Методом простых итераций уточнить корень уравнения (5 видео)

Метод итераций

Содержание

Правила ввода функции
Достаточные условия сходимости метода итерации
3.2.1. Метод простых итераций (метод последовательных приближений)
Итерационное уточнение корней.
🎥 Видео

Правила ввода функции

Примеры
≡ x^2/(1+x)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3)

На рис.1а, 1б в окрестности корня |φ′(x)| 1, то процесс итерации может быть расходящимся (см. рис.2).

Видео:1 3 Решение нелинейных уравнений методом простых итерацийСкачать

Достаточные условия сходимости метода итерации

Процесс нахождения нулей функции методом итераций состоит из следующих этапов:

Получить шаблон с омощью этого сервиса.
Уточнить интервалы в ячейках B2 , B3 .
Копировать строки итераций до требуемой точности (столбец D ).

Примечание: столбец A — номер итерации, столбец B — корень уравнения X , столбец C — значение функции F(X) , столбец D — точность eps .

Видео:Метод простых итераций пример решения нелинейных уравненийСкачать

3.2.1. Метод простых итераций (метод последовательных приближений)

Метод реализует стратегию постепенного уточнения значения корня.

Постановка задачи. Дано нелинейное уравнение (3.1). Корень отделен x* Î [a;b]. Требуется уточнить корень с точностью ε.

Уравнение ( 3.1) преобразуем к эквивалентному виду x=φ(x), (3.7)

Что можно сделать всегда и притом множеством способов.

Выберем начальное приближение x0Î [a;b].

Вычислим новые приближения:

Xi=φ(xi-1) , i=1,2,… где i − номер итерации. (3.8)

Последовательное вычисление значений xi по формуле (3.8) называется итерационным процессом метода простых итераций, а сама формула — формулой итерационного процесса метода.

Если , то итерационный процесс Сходящийся .

Условие сходимости (3.9)

Точное решение x* получить невозможно, так как требуется Бесконечный Итерационный процесс.

Можно получить Приближенное Решение, прервав итерационный (3.8) при достижении условия

, (3.10)

Где ε — заданная точность; i — номер последней итерации.

В большинстве случаев условие завершения итерационного процесса (3.10) обеспечивает близость значения xi к точному решению:

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию метода простых итераций.

Уравнение (3.7) представим на графике в виде двух функций: y1 = x и y2= φ(x).

Возможные случаи взаимного расположения графиков функций, и соответственно, видов итерационного процесса показаны на рис. 3.7 – 3.10.

Рис. 3.7 Итерационный процесс для случая 0 1 xÎ[a, b].

Методом простых итераций уточнить корень уравнения

Рис. 3.10 Итерационный процесс для случая £ — 1 xÎ[a, b].

Из анализа графиков следует, что скорость сходимости растет при уменьшении значения

Метод достаточно прост, обобщается на системы уравнений, устойчив к погрешности округления (она не накапливается).

При разработке алгоритма решения нелинейного уравнения методом простых итераций следует предусмотреть защиту итерационного процесса от зацикливания: использовать в качестве дополнительного условия завершения итерационного процесса превышение заданного максимального числа итераций.

Рис 3.11. Алгоритм решения нелинейного уравнения методом
простых итераций:

Основной проблемой применения метода является обеспечение сходимости итерационного процесса: нужно найти такое эквивалентное преобразование (3.1) в (3.7), чтобы обеспечивалось условие сходимости (3.9) .

Простейшие эквивалентные преобразования, например:

F(x) = 0 => x+f(x) = x, т. е. φ(x) = x + f(x)

Или выразить явно x из (3.1)

F(x) = 0 => x — φ(x) = 0 => x = φ(x)

Не гарантируют сходимость.

Рекомендуется следующий способ получения формулы Сходящегося итерационного процесса.

Пусть .

Если это не так, переписать уравнение (3.1) в виде

Умножить обе части уравнения на и к обеим частям прибавить x:

Константу l вычислить по формуле:

(3.11)

Такое значение λ гарантирует сходящийся итерационный процесс по формуле

Xi = xi+1− λ f(x) (3.12)

Где i=1,2,… — номер итерации, x0Î[a, b] – начальное приближение.

Методом простых итераций уточнить корень уравнения x3=1-2 x с точностью ε=0,001. Корень отделен ранее (см. пример 3.1), x* Î [0;1].

Сначала нужно получить формулу сходящегося итерационного процесса.

Из уравнения выразим явно x:

Проверим условия сходимости для полученной формулы:

, ,

для x Î (0;1].

Условие сходимости не соблюдается, полученная формула не позволит уточнить корень.

Воспользуемся описанным выше способом получения формулы итерационного процесса (формулы 3.11, 3.12).

, , для всех x Î [0;1].

Наибольшее значение принимает при x = 1, т. е.

Следовательно .

Формула Сходящегося итерационного процесса

Уточним корень с помощью данной формулы.

Выберем начальное приближение на [0;1], например x0=0,5 (середина отрезка).

Вычислим первое приближение

Проверим условие завершения итерационного процесса

Расчет следует продолжить.

X6 = 0,453917 − ответ, т. к.

Проверим полученное значение, подставив в исходное уравнение:

Значение f(x) близко к 0 с точностью, близкой к ε, следовательно, корень уточнен правильно.

Видео:Решение нелинейного уравнения методом простых итераций (программа)Скачать

Итерационное уточнение корней.

На этапе отделения корней решается задача отыскания возможно более узких отрезков , в которых содержится один и только один корень уравнения.

Этап уточнения корня имеет своей целью вычисление приближенного значения корня с заданной точностью. При этом применяются итерационные методы вычисления последовательных приближений к корню: x₀, x₁, . x_n, …, в которых каждое последующее приближение x_n+1вычисляется на основании предыдущего x_n. Каждый шаг называется итерацией. Если последовательность x₀, x₁, . x_n, …при n ® ¥ имеет предел, равный значению корня , то говорят, что итерационный процесс сходится.

Существуют различные способы отделения и уточнения корней, которые мы рассмотрим ниже.

Отделение корней

Корень уравнения f(x)=0считается отделенным (локализованным) на отрезке , если на этом отрезке данное уравнение не имеет других корней. Чтобы отделить корни уравнения, необходимо разбить область допустимых значений функции f(x) на достаточно узкие отрезки, в каждом их которых содержится только один корень. Существуют графический и аналитический способы отделения корней.

Графическое отделение корней

Графическое отделение корнейосновано на графическом способе решения уравнений – отыскании точек, в которых функция f(x)пересекает ось 0Х.

Пример 1.2.2-1. Отделить корни уравнения ln (x-1) 2 – 0.5 = 0.

На рис. 1.2.2-1 изображен график функции y = ln (x-1) 2 – 0.5, из которого следует, что уравнение имеет два действительных корня [-1;0] и [2;3].

В некоторых случаях удобно вначале преобразовать функцию f(x) к виду f(x)=g₁(x)— g₂(x), из которого, при условии f(x)=0, следует, что g₁(x)=g₂(x). При построении графиков y₁=g₁(x)и y₂=g₂(x)находят отрезки, содержащие точки пересечения этих графиков.

Пример 1.2.2-2. Отделить корни уравнения сos(x) – x + 1 = 0.

Приведем исходное уравнение к виду сos(x)= x – 1. Построив графики функций y₁ = сos(x) и y₂ = х – 1 (рис. 1.2.2), выделим отрезок, содержащий корень [1;2].

Аналитическое отделение корней

Аналитическое отделениекорней основано на следующей теореме.

Если функция f(x) непрерывна и монотонна на отрезке [a;b] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то на отрезке [a;b] содержится один корень уравнения f(x)=0.

Действительно, если условия теоремы выполнены, как это имеет место на отрезке [a;b] (рис. 1.2.2-3), то есть f(a)∙f(b) 0 для xÎ [a;b], то график функции пересекает ось 0Х только один раз и, следовательно, на отрезке [a;b] имеется один корень уравнения f(x) = 0.

Аналогично можно доказать единственность корня на отрезке [c;d], на[d;e]и т.д

Таким образом, для отделения корней нелинейного уравнения необходимо найти отрезки, в пределах которых функция монотонна и изменяет свой знак. Принимая во внимание, что непрерывная функция монотонна в интервалах между критическими точками, при аналитическом отделении корней уравнения можно рекомендовать следующий порядок действий:

1)установить область определения функции;

2)определить критические точки функции, решив уравнение f¢(x)=0;

3)составить таблицу знаков функции f(x) в критических точках и на границах области определения;

4)определить интервалы, на концах которых функция принимает значения разных знаков.

Пример 1.2.2-3. Отделить корни уравнения x — ln(x+2) = 0.

Область допустимых значений функции f(x) = x — ln(x+2) лежит в интервале (-2; ∞), найденных из условия x+2>0. Приравняв производную f¢(x)=1-1/(x+2) к нулю, найдем критическую точку х_k= -1. Эти данные сведены в табл. 1.2.2-1 и табл. 1.2.2-2 знаков функции f(x).

Таблица 1.2.2-1 Таблица 1.2.2-.2

x	x→-2	-1	x→∞	x	-1.9	-1.1	-0.9	2.0
Sign(f(x))	+	—	+	Sign(f(x))	+	—	—	+

Уравнение x — ln(x+2) = 0 имеет два корня (-2;-1]и [-1; ∞) . Проверка знака функции внутри каждого из полученных полуинтервалов (табл.1.2.2) позволяет отделить корни уравнения на достаточно узких отрезках [-1.9;-1.1]и [-0.9;2.0].

Уточнение корней

Задача уточнения корня уравнения с точностью , отделенного на отрезке [a;b], состоит в нахождении такого приближенного значения корня , для которого справедливо неравенство .Если уравнение имеет не один, а несколько корней, то этап уточнения проводится для каждого отделенного корня.

Метод половинного деления

Пусть корень уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a;b], то есть на этом отрезке имеется единственный корень, а функция на данном отрезке непрерывна.

Метод половинного деления позволяет получить последовательность вложенных друг в друга отрезков [a_1;b₁], [a₂;b₂], …,[a_i;b_i],…, [a_n;b_n], таких что f(a_i).f(b_i) 3 +x-1=0 с точностью =0.1, который локализован на отрезке [0;1].

Результаты удобно представить с помощью таблицы 1.2.3-3.

k	a	b	f(a)	f(b)	(a+b)/2	f((a+b)/2)	a _k	b _k
-1	0.5	-0.375	0.5
0.5	-0.375	0.75	0.172	0.5	0.75
0.5	0.75	-0.375	0.172	0.625	-0.131	0.625	0.75
0.625	0.75	-0.131	0.172	0.688	0.0136	0.625	0.688

После четвертой итерации длина отрезка |b₄-a₄| = |0.688-0.625| = 0.063 стала меньше величины e, следовательно, за приближенное значение корня можно принять значение середины данного отрезка: x = (a₄+b₄)/2 = 0.656.

Значение функции f(x) в точке x = 0.656 равно f(0.656) = -0.062.

Метод итерации

Метод итераций предполагает замену уравнения f(x)=0 равносильным уравнением x=j(x). Если корень уравнения отделен на отрезке [a;b], то исходя из начального приближения x₀Î[a;b], можно получить последовательность приближений к корню

x₁ = j(x₀), x₂ = j(x₁), …, , (1.2.3-3)

где функция j(x) называется итерирующей функцией.

Условие сходимости метода простой итерации определяется следующей теоремой.

Пусть корень х* уравнения x=j(x) отделен на отрезке [a;b]и построена последовательность приближений по правилу x_n=j(x_n_-1). Тогда, если все члены последовательности x_n=j(x_n_-1) Î [a;b] и существует такое q (0 -1. Таким образом, очевидно, что если |j’(x)| 1. На рис. 1.2.3-4а показан случай, когда j’(x)>1, а на рис. 1.2.3-4b – когда j’(x)