Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1

Метод половинного деления (метод дихотомии или метод бисекции)

Теорема 2. Итерационный процесс половинного деления сходится к искомому корню ξ с любой наперед заданной точностью ε.
Доказательство: Рассмотрим последовательность чисел ξi являющихся приближением корня на i -ом шаге.
ξi=½(bi+ai), i=0,1.
где a0=a; b0=b; ai;bi — границы подынтервалов, в которых f(ai)f(bi) 0 мы ни задали, всегда можно найти такое n , что Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1ч.т.д.
Графически метод дихотомии выглядит следующим образом
Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1
|f(c)|≤δ f(a)f(c) 10 = 1024 ≈ 10 3 раз. За 20 итераций (n=2) уменьшается в 2 20 ≈ 10 6 раз.

Пример №1 . Найти экстремум функции: y=5x 2 -4x+1 методом дихотомии, если ε=0.1, а исходный интервал [0,10].

  • Решение
  • Видео решение

Пример №3 . Методом бисекции найти решение нелинейного уравнения на отрезке [a,b] с точностью ε = 10 -2 . Выбрав полученное решение в качестве начального приближения, найти решение уравнения методом простой итерации с точностью ε = 10 -4 . Для метода простой итерации обосновать сходимость и оценить достаточное для достижения заданной точности число итераций.
sqrt(t)+x 2 = 10, a = 2.6, b = 3

Найдем корни уравнения: Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1
Используем для этого Метод половинного деления (метод дихотомии)..
Считаем, что отделение корней произведено и на интервале [a,b] расположен один корень, который необходимо уточнить с погрешностью ε.
Итак, имеем f(a)f(b) 1 /2(a+b) и вычисляем f(c). Проверяем следующие условия:
1. Если |f(c)| 1 /2 n (b-a)
В качестве корня ξ. возьмем 1 /2(an+bn). Тогда погрешность определения корня будет равна (bn – an)/2. Если выполняется условие:
(bn – an)/2 1 /2(an+bn).
Решение.
Поскольку F(2.6)*F(3) 0, то a=2.8
Итерация 2.
Находим середину отрезка: c = (2.8 + 3)/2 = 2.9
F(x) = 0.113
F(c) = -0.487
Поскольку F(c)•F(x) 0, то a=2.825
Остальные расчеты сведем в таблицу.

Ncabf(c)f(x)
12.632.8-1.6275-0.4867
22.832.9-0.48670.1129
32.82.92.850.1129-0.1893
42.82.852.825-0.1893-0.3386
52.8252.852.8375-0.3386-0.2641
62.83752.852.8438-0.2641-0.2267

Ответ: x = 2.8438; F(x) = -0.2267
Решение было получено и оформлено с помощью сервиса Метод Ньютона онлайн

Пример №2 . Локализовать корень нелинейного уравнения f(x) = 0 и найти его методом бисекции с точностью ε1 = 0,01. Выбрав полученное решение в качестве начального приближения, найти решение уравнения методом простой итерации с точностью ε2 = 0,0001. Для метода простой итерации обосновать сходимость и оценить достаточное для достижения заданной точности ε2 число итераций.

Видео:Метод половинного деленияСкачать

Метод половинного деления

Метод половинного деления для решения уравнений по математике

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Метод половинного деления (метод дихотомии/метод бисекции) отличается от других стандартных методов тем, что для него не требуется выполнять условие, [1 и 2] производная сохраняют знак на интервале [[a, b].] Данного рода метод применяют для любых непрерывных функций [f(x),] включая не дифференцируемые.

Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1

Решение уравнений методом половинного деления сводится к следующим действиям:

1. Определить новое приближение корня х в середине отрезка [[а,b]:] [х=frac];

2. Найти значения функции в точках [а, х: F(a) и F(x);]

3. Проверить условие [F(a)*F(x)

Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды.

Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!

Видео:Метод половинного деления. ДихотомияСкачать

Метод половинного деления. Дихотомия

Метод половинного деления. Один из методов уточнения корней уравнения (1) – метод половинного деления

Один из методов уточнения корней уравнения (1) – метод половинного деления. Исходные данные: уравнение f(x)=0; отрезок [a,b], на котором существует единственный корень уравнения (корень отделен), т.е. f(x) удовлетворяет условиям: f(x) непрерывна на [a,b], монотонна нем и f(a)f(b) 0 (знаки функции f(x) в точках a и c одинаковы), то левый конец отрезка заменяется на середину (а=с) иначе правый конец заменяется на середину (b=c).

4. Если длина отрезка не превосходит заданной точности (b-a 4 -x 3 -2x 2 +3x-3=0.

Полагая f(x)= x 4 -x 3 -2x 2 +3x-3, имеем f’(x)=4x 3 -3x 2 -4x+3.

Найдем нули производной: 4x 3 -3x 2 -4x+3=0; 4x(x 2 -1)-3(x 2 -1)=0;(x 2 -1)(4x-3)=0;

Составим таблицу знаков функции f(x):

x-∞-13/4+∞
f(x)++

Из таблицы видно, что уравнение имеет два действительных корня x1 Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1(-∞;-1) и x2 Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1(1;+ ∞). Уменьшим промежутки, на которых находятся корни, до единичной длины:

x-2-1
f(x)++

Следовательно, x1 Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1(-2;-1) и x2 Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1(1;2).

Уточним один из корней, например, x1, методом половинного деления до сотых долей. Все вычисления удобно производить, используя следующую таблицу:

Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1

Второй корень, уточняемый аналогичным образом, равен 1,73.

2. Отделить корни графически и уточнить их методом половинного деления.

Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1

Перепишем уравнение в виде Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1. Обозначим Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1, Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1и построим графики этих функций:

Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1 Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1

Из рисунка видно, что уравнение имеет три корня: точный x=0 и еще два, расположенных симметрично на отрезках [-3;-2] и [2;3].

Уточним корень на отрезке [2;3]:

Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1

Задания

1)Отделить корни аналитически и уточнить их методом половинного деления до 0,01, используя электронные таблицы.

1. 3x 4 +4x 3 -12x 2 -5=0

2. 2x 3 -9x 2 -60x+1=0

5. 3x 4 +3x 3 +6x 2 -10=0

7. x 4 +4x 3 -3x 2 -17=0

8. x 4 -x 3 -2x 2 +3x-3=0

9. 3x 4 +4x 3 -12x 2 +1=0

10. 3x 4 -8x 3 -18x 2 +2=0

11. 2x 4 -3x 3 +8x 2 -1=0

12. 2x 4 +8x 3 +3x 2 -1=0

13. x 4 -4x 3 -8x 2 +1=0

14. 3x 4 +4x 3 -12x 2 -5=0

15. 2x 3 -8x 2 -30x+1=0

17. 2x 4 -2x 2 -7=0

18. 3x 4 +8x 3 +6x 2 -10=0

19. x 4 -18x 2 +6=0

20. x 4 +4x 3 -3x-7=0

21. x 4 -2x 3 -x 2 +3x-3=0

22. 3x 4 +4x 3 -3x 2 -17=0

23. 2x 4 -5x 3 -12x 2 +2=0

24. 3x 4 +9x 3 -14x 2 +1=0

25. x 4 +2x 3 -x-1=0

26. x 4 +8x 3 -6x 2 -72x=0

28. x 4 -3x 2 +75x-10000=0

2) Отделить корни графически и уточнить их методом половинного деления до 0.01, используя электронные таблицы.

Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1

Лабораторная работа №3

Решение нелинейных уравнений методом хорд

Краткая теория

Будем рассматривать уравнения вида f(x)=0 (1). Пусть корень уравнения отделен и находится на отрезке [a,b]. Уточним этот корень методом хорд. Геометрически метод хорд означает замену на отрезке [a,b] графика функции y=f(x) хордой, проведенной через точки (a,f(a)) и (b,f(b)):

Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1

Здесь ξ — точный корень уравнения (1), ­­x Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1— начальное приближение к корню, x Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1-точка пересечения хорды с осью Ох – первое приближение к корню. Далее метод хорд применяется на отрезке [a, x Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1] и получается второе приближение к корню — x Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1. В случае, изображенном на рис.1, конец отрезка а остается неподвижным. Из уравнения хорды и условия, что точка (x Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1,0) принадлежит хорде, получается формула для вычисления n-го приближения к корню для случая, когда а – неподвижный конец: x Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1=b,

x Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1=a- Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1 (2)

Для случая неподвижного конца b используется формула: x Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1=a,

x Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1=x Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1 (3)

Правило определения неподвижного конца хорды:

Если знаки первой и второй производных функции f(x) на отрезке [a, b] совпадают, то неподвижным являются конец b, иначе — конец a.

Метод хорд обеспечивает на n-м шаге абсолютную погрешность приближения к корню уравнения (1), не превосходящую длину n-го отрезка: Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1

1. Определить, какой конец отрезка будет неподвижным и принять за x Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1другой конец отрезка.

2. Вычислить новое приближение к корню x Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1по формуле (2) или (3).

3. Если длина отрезка [x Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1, x Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1] не превосходит заданной точности, то процесс заканчивается и в качестве точного корня можно взять x Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1или x Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1, иначе идти к п.2

Решение одного варианта

1.Отделить корни графически и уточнить их методом хорд с точностью до 0.001: tg(0.5x+0.1)=x Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1.

Отделим корень графически. Построим графики функций

y Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1=tg(0.5x+0.1) и y Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1=x Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1:

Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1

Таким образом, уравнение имеет два корня

Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1x Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1 Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1[0.5; 1] и x Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1 Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1[-0.5; 0]

Чтобы уточнить этот корень методом хорд, определим знаки первой и второй производной функции f(x)= tg(0.5x+0.1)-x Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1на промежутке [0.5;1]. Имеем

Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1f ‘(x)=0.5/cos Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1(0.5x+0.1)-2x;

3. Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1­­­

6. Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1

7. Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1

8. Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1

9. Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1

10. Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1

11. Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1

12. Методом половинного деления уточнить корень уравнения х4 2х3 х 1

13. x lgx — 1.2 = 0

14. 1.8x 2 – sin10x = 0

15. ctgx – x / 4 = 0

16. tg(0.3x + 0.4) = x 2

17. x – 20sinx = 0

18. ctgx – x / 3 = 0

19. tg(0.47x + 0.2) = x 2

20. x 2 + 4sinx = 0

21. ctgx – x / 2 = 0

22. 2x – lgx – 7 = 0

24. 3x – cosx – 1 = 0

26. 10cosx-0,1x 2 =0

2)Отделить корни аналитически и уточнить их методом хорд до 0.001:

🔥 Видео

Отделение корней уравнений аналитическим методом. Уточнение корней методом половинного деленияСкачать

Отделение корней уравнений аналитическим методом. Уточнение корней методом половинного деления

6 Метод половинного деления C++ Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать

6 Метод половинного деления C++ Численные методы решения нелинейного уравнения

Урок 10. C++ Метод половинного деленияСкачать

Урок 10.  C++ Метод половинного деления

Алгоритмы. Нахождение корней уравнений методом деления отрезка пополам.Скачать

Алгоритмы. Нахождение корней уравнений методом деления отрезка пополам.

7 Метод половинного деления Mathcad Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать

7 Метод половинного деления Mathcad Численные методы решения нелинейного уравнения

Метод половинного деления - ВизуализацияСкачать

Метод половинного деления - Визуализация

Метод дихотомииСкачать

Метод дихотомии

Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать

Метод Ньютона (метод касательных) Пример Решения

Метод дихотомии c++Скачать

Метод дихотомии c++

Решение уравнений (метод дихотомии) на C#Скачать

Решение уравнений (метод дихотомии) на C#

Решение нелинейного уравнения методом деления отрезка пополамСкачать

Решение нелинейного уравнения методом деления отрезка пополам

Алгоритмы. Нахождение корней уравнения методом хордСкачать

Алгоритмы. Нахождение корней уравнения методом хорд

1 3 Решение нелинейных уравнений методом простых итерацийСкачать

1 3 Решение нелинейных уравнений методом простых итераций

Численное решение уравнений, урок 3/5. Метод хордСкачать

Численное решение уравнений, урок 3/5. Метод хорд

Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать

Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?

ОГЭ №21 Как решать кубическое уравнение x^3+4x^2-9x-36=0 Группировка Деление многочлена столбикомСкачать

ОГЭ №21 Как решать кубическое уравнение x^3+4x^2-9x-36=0 Группировка Деление многочлена столбиком

ЕГЭ по математике. Деление многочлена на двучленСкачать

ЕГЭ по математике. Деление многочлена на двучлен

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline
Поделиться или сохранить к себе: