Методом изоклин построить интегральные кривые уравнения 2x 1 y (3 видео)

Методом изоклин построить интегральные кривые уравнения dydx=2×1-y

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Методом изоклин построить интегральные кривые уравнения dydx=2×1-y

Содержание

Условие
Решение
Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Метод изоклин. Получение ДУ по общему решению
Метод изоклин решения дифференциального уравнения первого порядка
И методы их решения. Метод изоклин (графическое решение)
🌟 Видео

Условие

Методом изоклин построить интегральные кривые уравнения dydx=2×1-y.

Решение

Изоклины соответствующие касательным к интегральным кривым с угловым коэффициентом k, есть
2×1-y=k, где k — действительное число,
1-y=k2x,
y=1-k2x.
Изоклины — чёрные, интегральные кривые — синие . При переходе от положительных k к отрицательным (у > 1) производная меняет знак с + на –, при переходе от отрицательных k к положительным (у 1) производная меняет знак с + на –, при переходе от отрицательных k к положительным (у 50% текста контрольной работы недоступно

Оплатите контрольную работу или закажите уникальную работу на похожую тему

Видео:Решить дифф. уравнение и построить интегральные кривыеСкачать

Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Метод изоклин. Получение ДУ по общему решению

Видео:Практика 1 ИзоклиныСкачать

Метод изоклин решения дифференциального уравнения первого порядка

Дадим геометрическую интерпретацию дифференциального уравнения первого порядка. Пусть дано дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной:

и пусть у = $>(х,С) есть общее решение данного уравнения. Это общее решение определяет семейство интегральных кривых на плоскости Оху.

Уравнение (1) для каждой точки А/ с координатами х и у определяет зна-_v dy ,

чение производной — = tga = к, т.е. угловой коэффициент касательной к инте-dx

тральной кривой, проходящей через эту точку. Таким образом, дифференциальное уравнение (1) дает совокупность направлений или, как говорят, определяет поле направлений на плоскости Оху.

Для дифференциального уравнения (1) геометрическое место точек, в ко-dy ,

торых выполняется соотношение — = k = const, называется изоклиной данного dx

При различных значениях к получаем различные изоклины. Уравнение изоклины, соответствующей значению к, будет, очевидно, f(x,у) = к. Построив семейство изоклин, можно приближенно построить семейство интегральных кривых. Говорят, что зная изоклины можно качественно определить расположение интегральных кривых на плоскости.

Пример 1. На рисунке 1 изображено поле направлений, определяемое дифференциальным уравнением

Изоклинами данного дифференциального уравнения являются = к, х

или у = -кх. Это семейство прямых. Они построены на рис.1.

Нулевая изоклина f(x, у) = 0 дает уравнение линий, на которых могут находиться точки максимума и минимума интегральных кривых.

Рисунок 1 — Поле направлений для ДУ (2)

Для большей точности построения интегральных кривых находят также геометрическое место точек перегиба, в которых у» = 0. Для этого находят у» в силу уравнения (1) и приравнивают ее нулю:

у = — + — у = — + f(x, у)— = 0 dx dy dx dy

Линия, определяемая этим уравнением и есть возможное геометрическое место точек перегиба.

Пример 2. С помощью изоклин построить приближенно интегральные кривые дифференциального уравнения у’ = 2х-у.

Решение. Для получения уравнения изоклин положим у’ = k = const, 2х-у = к, или у = 2х-к

Изоклинами являются параллельные прямые. При к = 0 получим изоклину у = 2х. Эта прямая делит плоскость хОу на две части, в каждой из которых производная у’ имеет один и тот же знак (рис. 2).

Интегральные кривые, пересекая прямую у = 2х, переходят из области убывания функции у в область возрастания, и наоборот, а значит на этой прямой находятся точки экстремума интегральных кривых, а именно точки минимума.

Возьмем еще две изоклины: у = 2×4-1, k =-1 и у = 2х-1, к = 1

Касательные, проведенные к интегральным кривым в точках пересечения с изоклинами к = -1 _и к = 1, образуют с осью Ох углы в 135° и 45° соответственно. Найдем далее вторую производную у» = 2 — у’ = 2 — 2х 4- у.

Рисунок 2 — Интегральные кривые уравнения у’ = 2х-у

Прямая у = 2х-2, на которой у» = 0, является изоклиной, получаемой при к = 2, и в то же время интегральной линией, в чем можно убедиться подстановкой в уравнение. Так как правая часть данного уравнения f (х, у) = 2х- у удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности во всей плоскости хОу, то остальные интегральные кривые не пересекают эту изоклину. Изоклина у = 2х, на которой находятся точки минимума интегральных кривых, расположена над изоклиной у = 2х-2, а поэтому интегральные кривые, проходящие ниже изоклины у = 2х — 2, не имеют точек экстремума.

Прямая у = 2х — 2 делит плоскость хОу на две части, в одной из которых (расположенной над прямой) у»> 0, а значит, интегральные кривые вогнуты, а в другой у» 1 = у — х 2 + 2х — 2.

Решение. Положим у’ = к, к = const. Тогда уравнение изоклин будету — х 2 4- 2х — 2 = к, или у = х 2 — 2х + 2 + к = (х — 1) 2 4-14- к.

Изоклинами являются параболы с вертикальной осью симметрии х = 1. Среди изоклин нет интегральных кривых. В самом деле, подставляя в данное уравнение у = х 2 — 2х + 2 + к и у’ = 2х — 2,, будем иметь 2х — 2 = х 2 — 2х + 2 + к — х 2 + 2х — 2, или 2х — 2 = к. Но это равенство ни при каком значении к не может выполняться тождественно относительно х.

Пусть к = 0. Тогда в точках пересечения с изоклиной у = х 2 — 2х + 2 интегральные кривые будут иметь горизонтальные касательные. Изоклина у = х 2 — 2х 4-2 разбивает плоскость хОу на две части: в одной из них у’ 0 (решения у возрастают). И так как эта изоклина не является интегральной кривой, то на ней находятся точки экстремума интегральных кривых, именно на той части параболы у = х 2 -2х + 2 = (х-1) 2 +1, гдех 1 — точки максимума. Интегральная кривая, проходящая через точку (1; 1), т.е. через вершину параболы у = х 2 -2×4-2, в этой точке не имеет экстремума. В точках изоклин у — х 2 -2х + 3, k = 1 и у — х 2 -2×4-1, к = — 1 касательные к интегральным кривым имеют угловые коэффициенты, соответственно равные 1 и -1 (см. рис. 3).

Для исследования направления вогнутости интегральных кривых найдем вторую производную:

у» = у -2х 4- 2 = j/-x 2 +2х-2-2х 4- 2 = у — х 2

Она обращается в нуль только в точках, лежащих на параболе У “ х . В точках плоскости Х @У, координаты которых удовлетворяют условию У , ин-( у» х 2

тегральные кривые вогнуты вниз v J 7 , а в точках, где л , они вогнуты вверх ^У . Точки пересечения интегральных кривых с параболой У

V — х 2 являются точками перегиба этих кривых. Итак, парабола у есть геометрическое место точек перегиба интегральных кривых.

Правая часть исходного уравнения ^( Х ’У) _ У -Х + 2х — 2 _{во всех точках} плоскости хОу удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности, поэтому через каждую точку плоскости проходит единственная интегральная кривая уравнения.

Используя полученные сведения, строим приближенно семейство интегральных кривых данного уравнения (рис. 3).

Таким образом, надо проверять, является ли изоклина, для которой к = О интегральной кривой ДУ или нет. Если нет, то эта изоклина определяет точки экстремума.

Рисунок. 3 — Интегральные кривые уравнения

у’ = у — х 2 + 2х — 2

Задачи для самостоятельного решения

В задачах 1-14 с помощью изоклин начертить (приближенно) решение данных уравнений. (Филиппов)

Видео:Семинар 1 изоклиныСкачать

И методы их решения. Метод изоклин (графическое решение)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Основные понятия

Дифференциальным уравнением(ДУ) называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и её производные или дифференциалы.

— — дифференциальное уравнение первого порядка, неявный вид.

— — уравнение, разрешённое относительно производной.

— — дифференциальная форма записи дифференциального уравнения первого порядка.

ДУ с одной независимой переменной называется обыкновенным.

ПорядкомДУ называется порядок наивысшей производной (или дифференциала), входящей в уравнение.

Всякая функция, удовлетворяющая ДУ, т.е. при подстановке в уравнение обращающая его в тождество, называется решением уравнения. Бесконечное множество решений уравнения называется общим решением ДУ. Общее решение имеет вид , где C – произвольная постоянная. Если решение задано в неявном виде, то оно обычно называется интегралом. Множество интегралов называется общим интегралом и имеет вид .

Каждому решению уравнения соответствует линия (график), называемая интегральной кривой этого уравнения.

Задача отыскания решения ДУ первого порядка, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши.

Теорема (существования и единственности задачи Коши). Если функция непрерывна в области, содержащей точку , то уравнение имеет решение такое, что . Если, кроме того, непрерывна и частная производная , то это решение – единственное.

Условие, при котором значение искомой функции равно при , называется начальным условием уравнения и записывается .

Решение ДУ, удовлетворяющее заданному начальному условию, называется частным решением.

а) – ДУ 1-го порядка в неявном виде.

б) – ДУ 1-го порядка в дифференциальной форме.

в) – ДУ 1-го порядка разрешенное относительно производной.

Пример 1.Выяснить, является ли функция решением уравнения ?

Решение. . Полученную производную подставим в уравнение. Тогда , . Получили верное тождество, следовательно, данная функция является решением данного ДУ.

Дифференциальные уравнения первого порядка

и методы их решения. Метод изоклин (графическое решение)

Геометрическое истолкование ДУ первого порядка. Уравнение устанавливающее связь (зависимость) между координатами точки и угловым коэффициентом касательной интегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно, ДУ дает совокупность направлений (поле направлений) на плоскости Оху.

Поле направлений изображаетсяпри помощисистемы чёрточек или стрелок с углом наклона .

Кривые (где ), в точках которых наклон поля имеет постоянное значение, равное k, называются изоклинами. Построив изоклины и поле направлений, можно приближённо нарисовать интегральные кривые, рассматривая последние как кривые, которые в каждой своей точке имеют заданное направление поля.

Пример 2.Методом изоклин построить приближенно поле интегральных кривых для дифференциальног уравнения .

Решение. Здесь изоклинами являются прямые линии:

, где

, , ;

, , .

На каждой из прямой изображаем систему черточек под найденным углом. Проводя линии таким образом, чтобы черточки являлись касательными к интегральным кривым, получим параболы (рис. 12)