Методом фурье решить начально краевую задачу для однородного волнового уравнения

Метод Фурье — один из распространенных и эффективных методов решения уравнений с частными производными. Этот метод часто встречается и под другими названиями: метод разделения переменных или метод собственных функций.

Общая схема метода Фурье.

Основная идея этого метода состоит в том, что решение задачи для уравнения с частными производными сводится к решению вспомогательных задач для уравнений с меньшим числом независимых переменных. В частности, если заданное уравнение содержит две независимые переменные, то вспомогательные задачи будут уже зависеть только от одной переменной. Таким образом решение уравнения с частными производными сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.

При применении метода Фурье удобно использовать следующую лемму.

Основная лемма метода Фурье.

Если в прямоугольнике R плоскости XOY:

для некоторых функций выполняется тождество

то в этом случае

Доказательство. Предположим противное, т.е. что

Тогда существуют значения такие, что

Рассмотрим точки (x₁,y) и (x₂,y), принадлежащие прямоугольнику R. На R справедливо тождество (8), а поэтому

Сравнивая эти равенства, приходим к противоречию с нашим предположением. Следовательно X(x) = const, а тогда Y(y)=const.

Решение первой начально-краевой задачи для волнового уравнения.

Рассмотрим волновое уравнение

Граничные условия первого рода

И начальные условия

Решим эту задачу методом Фурье.

Шаг 1. Представим функцию U(x,t) в виде

Найдем частные производные U_xx и U_tt и подставим в уравнение (9):

В полученном уравнении левая часть зависит только от x, а правая- только от t. Используя основную лемму, заключаем:

Из граничных условий (10) получим

Шаг 2. Решим задачу Штурма-Лиувилля

Она имеет собственные значения и собственные функции

Шаг 3. Подставим найденные значения λ_n в уравнение а) и решим его:

Шаг 4. Выпишем частные решения уравнения (9):

Для волнового уравнения эти решения называются собственными колебаниями. В лекции 6 мы изучим их подробнее. В силу линейности и однородности уравнения (9) линейная комбинация этих решений

Замечание 1. Здесь мы предполагаем, что полученный функциональный ряд равномерно сходится и его можно дважды почленно дифференцировать по x и по t в области 0 0. Об условиях, при которых это можно сделать, будет рассказано в лекции 5.

Шаг 5. Определим коэффициенты A_nи B_n в формуле (12), используя начальные условия (11). Из первого начального условия получим

Равенство (13) означает, что начальная функция φ(x) разлагается в ряд Фурье по синусам, которые в данном случае являются собственными функциями X_n(x) задачи Штурма-Лиувилля.

Коэффициенты Фурье вычисляются по формулам

Из второго начального условия находятся коэффициенты B_n.

Вычислив коэффициенты A_n и B_n для конкретных начальных функций и подставив их значения в (12), мы получим решение первой начально-краевой задачи.

Замечание 2. Используя формулу (12), можно получить решение первой начально-краевой задачи для уравнения колебания струны: Для этого проведем замену переменной τ=at и получим

При этом начальное условие не изменится, а условие преобразуется к виду Тогда решение задачи в переменных (x,τ) будет иметь вид

Возвращаясь к переменным (x,t), получим

Видео:Уравнение колебаний струны. Метод разделения переменных. Метод ФурьеСкачать

Решение двумерных краевых задач для волнового уравнения методом Фурье

В пп. 5.5 и 5.6 метод Фурье рассмотрен применительно к краевым задачам для волнового уравнения с одной пространственной переменной. Но идею разделения переменных можно распространить и на краевые задачи большей размерности, сформулированные для простых областей, например прямоугольника и круга.

Рассмотрим двумерную первую краевую задачу в прямоугольнике:

Эта задача является, в частности, математической моделью процесса колебаний однородной прямоугольной мембраны (0 2 X(x)Y(y)T(t) получим:

Каждое из отношений из этого равенства зависит только от своей переменной. Поэтому данное равенство возможно для всех значений переменных х, у, t из рассматриваемой области только в случае, когда указанные отношения постоянны, т.е.

С учетом граничных условий (5.86) и (5.87) получаем из (5.90) две задачи Штурма—Лиувилля:

Решения этих задач уже найдены в п. 5.5, см. (5.42), (5.43):

Согласно последнему равенству (5.90) функция T(t) должна удовлетворять уравнению T»(t) + а 2 (к_к + i_n)T(t) = 0 или

Общее решение этого уравнения для различных к, т е N имеет вид

Итак, с учетом (5.89), (5.91), (5.92) и (5.94) можно записать выражение для искомых функций:

которые удовлетворяют уравнению (5.85) и граничным условиям (5.86)—(5.87). Теперь, как и в одномерном случае, следует найти линейную комбинацию этих функций, обеспечивающую выполнение и начальных условий (5.88).

Введем в рассмотрение функции

Нетрудно убедиться, что в прямоугольнике 0 2 (2m -1) 2 1 ..

Перейдем теперь к двумерной краевой задаче для волнового уравнения в другой области простой формы — круге. Рассмотрим математическую модель процесса свободных колебаний однородной мембраны, натянутой на круговой контур радиуса г₀ с центром в начале координат. Будем предполагать, что колебания являются осесимметричными, т.е. в полярных координатах (г, ф) отклонения точек мембраны и(г, ф, /) не зависят от полярного угла ф. Это предположение выполняется для однородной мембраны, если она растянута на круговом контуре симметрично относительно центра круга, а начальные условия осесимметричны.

С учетом формы мембраны для упрощения краевой задачи целесообразно перейти к полярной системе координат. В этой системе оператор Лапласа имеет вид

см. (П2.12). Поскольку и = u(r, t), волновое уравнение в полярной системе координат записывается так:

Граница мембраны закреплена по окружности радиуса г₀, поэтому

Другое граничное условие получим из требования ограниченности функции u(r, t) в особой точке волнового уравнения г = 0:

Начальные условия записываются, как обычно:

Итак, рассматриваемая краевая задача имеет вид

В соответствии с методом Фурье будем искать частные ненулевые решения уравнения (5.101), удовлетворяющие граничным условиям

(5.102), в виде произведения

После подстановки (5.104) в (5.101) и разделения переменных, как и в п. 5.5, получим:

Равенство (5.105) приводит к уравнениям

Если сделать в (5.106) замену переменной г’ = уг, то получим уравнение Бесселя нулевого порядка, см. (П4.3):

Его общее решение

представляется произвольной линейной комбинацией функций Бесселя J₀(r’) и Неймана N₀(r’), см. п. П4.2. Функция N₀(r’) не ограничена при /•’—>+ 0, поэтому согласно второму из граничных условий

(5.102) С₂ = 0, т.е. R(r’) = C_xJ_Q(r’). Положим С_х = 1 и возвратимся к переменной г. Получим частное решение уравнения (5.106), найденное с учетом второго из граничных условий (5.102):

А первое из этих граничных условий приводит к трансцендентному уравнению для значений у:

где р_Л — нули функции Бесселя /₀(х), т.е. /₀(Р/к) = 0. Функция J₀(х) имеет счетное множество нулей: щ = 2,4048; р₂ = 5,5201; р₃ = 8,6537; р₄ = 11,7915; . ; их можно найти в справочной литературе, см., например, [10].

Значениям у_к из (5.108) соответствуют собственные функции

Известно, что система функций |/₀^—г j|, к = 1, 2, . является ортогональной с весом г на отрезке [0; г₀], т.е.

см. п. П4.5. Кроме того, квадрат нормы функции /₀ —г равен

где Ji(x) — функция Бесселя первого порядка, см. формулу (П4.16).

Теперь перейдем к уравнению (5.107). С учетом (5.108) оно принимает вид

а его общее решение

Подставляя выражения (5.109) и (5.110) в (5.104), получим частные решения

уравнения (5.101), удовлетворяющие обоим граничным условиям

(5.102). Остается составить линейную комбинацию этих решений, удовлетворяющую и начальным условиям (5.103):

Коэффициенты А_к и В_к из (5.113) находим с помощью начальных условий (5.103):

Из (5.114) видно, что А_к — это коэффициенты разложения Фурье функции (р(г) по системе |у₀ j j ( см — п — П4.5), т.е. с учетом (5.110)

Из (5.115) аналогично получаем:

Окончательно имеем: искомое решение краевой задачи (5.101)—

(5.103) представляется рядом (5.113) с коэффициентами

Пример 5.7. Найти закон свободных колебаний однородной круглой мембраны радиуса г₀, закрепленной вдоль контура, если начальное распределение отклонений точек мембраны описывается функцией

а начальные скорости точек равны нулю.

Бесселя в самосопряженном виде: (ху’У + х—Iу = 0, см. формулу

(П4.2). Поскольку функция у = /₀(х) есть решение уравнения Бесселя нулевого порядка (v = 0), то

После подстановки левой части (5.119) в (5.118) воспользуемся интегрированием по частям:

(в предпоследнем равенстве использовалось соотношение J’_Q(x) = = -/j(x), см. (П4.10)). Окончательно, искомое решение имеет вид

Видео:Метод Фурье для неоднородного уравнения теплопроводностиСкачать

Решение начально-граничных задач для волнового уравнения методом интегральных преобразований Фурье Текст научной статьи по специальности « Математика»

Видео:Решение первой начально-краевой задачи для волнового уравнения.Скачать

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Фахретдинова Дилара Ильдаровна, Сабитова Юлия Камилевна

В данной статье решены начально-граничные задачи для однородного и неоднородного волновых уравнений, методом интегральных преобразований Фурье .

Видео:Метод Фурье для волнового уравненияСкачать

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Фахретдинова Дилара Ильдаровна, Сабитова Юлия Камилевна

Видео:Решение первой краевой задачи для неоднородного уравнения теплопроводности.Скачать

SOLUTION OF THE INITIAL-BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR THE WAVE EQUATION FOURIER INTEGRAL METHOD

This article addressed the initial-boundary value problems for homogeneous and inhomogeneous wave equation, the Fourier integral method .

Видео:5. Решение волнового уравнения на отрезке методом ФурьеСкачать

Текст научной работы на тему «Решение начально-граничных задач для волнового уравнения методом интегральных преобразований Фурье»

РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНО-ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Фахретдинова Дилара Ильдаровна

студент 4 курса Стерлитамакского филиала Башкирского Государственного

Университета, РФ, г. Стерлитамак E-mail: dilaragirl09@bk. ru Сабитова Юлия Камилевна канд. физ.-мат. наук, доцент Стерлитамакского филиала Башкирского Государственного Университета, РФ, г. Стерлитамак

SOLUTION OF THE INITIAL-BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR THE WAVE EQUATION FOURIER INTEGRAL METHOD

4th year student of Sterlitamak Branch the Bashkir State University, Russia,

Sterlitamak Julia Sabitova

candidate of physico-mathematical sciences, associate professor of Sterlitamak Branch the Bashkir State University, Russia, Sterlitamak

В данной статье решены начально-граничные задачи для однородного и неоднородного волновых уравнений, методом интегральных преобразований Фурье.

This article addressed the initial-boundary value problems for homogeneous and inhomogeneous wave equation, the Fourier integral method.

Ключевые слова: методом интегральных преобразований Фурье; начально-граничная задача; преобразование Фурье.

Keywords: Fourier integral method; initial-boundary problem; Fourier transform.

Если функция f(x), —го ) 0,

для определения функции йс(Я, £). Решение этой задачи имеет вид

йс(Я, £) = /С(Я) cos(аЯt) + £С(Я)—

Искомую функцию и(х, £) находим с помощью обратного косинус — преобразования Фурье:

📸 Видео

Неоднородное уравнение колебания струныСкачать

4.3 Решение неоднородного волнового уравнения на бесконечной прямойСкачать

8.1 Решение уравнения теплопроводности на отрезкеСкачать

ФОРМУЛА КАРДАНО-ТАРТАЛЬЯ + РЕКЛАМА МФТИ!!!Скачать

10. Волновое уравнение на отрезке. Сложные задачиСкачать

Неоднородное уравнение колебаний струныСкачать

Решение первой начально-краевой задачи для одномерного уравнения теплопроводности.Скачать

Уравнение колебания струны. Решение методом ДаламбераСкачать

Задача Коши для волнового уравнения (Часть 1)Скачать

Уравнения математической физики. Одномерное волновое уравнение. Метод Фурье.Скачать

Решение начально-краевых задач в круге для волнового уравнения и теплопроводностиСкачать

Физика. Лекция 8. Уравнения Максвелла и электромагнитные волны.Скачать