Методом эйлера коши найти решение дифференциального уравнения

Данная задача возникает при поиске частного решения дифференциального уравнения. Наш онлайн калькулятор, построенные на основе системы Wolfram Alpha, позволяет найти решение задачи Коши для различных типов дифференциальных уравнений. Чтобы начать работу, необходимо ввести данные своей задачи (дифференциальное уравнение и начальные условия) в калькулятор.

Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения:

при заданных начальных условиях:

При постановке задачи Коши, указываются так называемые начальные условия, позволяющие однозначно выделить искомое частное решение из общего. Эти условия включают в себя значения функции и всех её производных до включительно (где -порядок дифференциального уравнения), заданные в одной и той же точке .

Поясним вышесказанное на конкретном примере. Пусть нам требуется найти частное решение дифференциального уравнения:

удовлетворяющее начальным условиям:

Первым делом, используя различные методы (Бернули, вариации произвольной постоянной Лагранжа), сначала находим общее решение данного дифференциального уравнения:

Теперь, для поиска частного решения, нам необходимо использовать заданные начальные условия. Для этого, находим производную функции полученной ранее:

Далее, поставляем начальные условия в функцию и её производную :

Решая полученную систему уравнений получаем значения произвольных постоянных и :

Подставляем полученные результаты в общее решение дифференциального уравнения, в результате получаем искомое частное решение:

Видео:Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Другие полезные разделы:

Видео:Линейное дифференциальное уравнение Коши-ЭйлераСкачать

Оставить свой комментарий:

Мы в социальных сетях:
Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме

Видео:Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать

Задачи с начальными условиями для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений $$ begin tag frac &= f_i (t, u_1, u_2, ldots, u_n), quad t > 0\ tag u_i(0) &= u_i^0, quad i = 1, 2, ldots, m. end $$

Используя векторные обозначения, задачу (1), (2) можно записать как задачу Коши $$ begin tag frac<d pmb> &= pmb(t, pmb), quad t > 0, \ tag pmb(0) &= pmb_0 end $$ В задаче Коши необходимо по известному решению в точке ( t = 0 ) необходимо найти из уравнения (3) решение при других ( t ).

Видео:Пример решения задачи Коши методом Эйлера. Метод Эйлера с пересчетом.Скачать

Численные методы решения задачи Коши

Существует большое количество методов численного решения задачи (3), (4). Вначале рассмотрим простейший явный метод Эйлера и его программную реализацию. Затем будут представлены методы Рунге—Кутта и многошаговые методы.

При построении численных алгоритмов будем считать, что решение этой дифференциальной задачи существует, оно единственно и обладает необходимыми свойствами гладкости.

Идея численных методов решения задачи (3), (4) состоит из четырех частей:

1. Вводится расчетная сетка по переменной ( t ) (время) из ( N_t + 1 ) точки ( t_0 ), ( t_1 ), ( ldots ), ( t_ ). Нужно найти значения неизвестной функции ( pmb ) в узлах сетки ( t_n ). Обозначим через ( pmb^n ) приближенное значение ( pmb(t_n) ).

2. Предполагаем, что дифференциальное уравнение выполнено в узлах сетки.

3. Аппроксимируем производные конечными разностями.

4. Формулируем алгоритм, который вычисляет новые значения ( pmb^ ) на основе предыдущих вычисленных значений ( pmb^k ), ( k 0 ) при ( tauto 0 ).

Видео:Метод ЭйлераСкачать

Явный метод Эйлера

Проиллюстрируем указанные шаги. Для начала введем расчетную сетку. Очень часто сетка является равномерной, т.е. имеет одинаковое расстояние между узлами ( t_n ) и ( t_ ): $$ omega_tau = . $$

Затем, предполагаем, что уравнение выполнено в узлах сетки, т.е.: $$ pmb^prime (t_n) = pmb(t_n, u(t_n)), quad t_n in omega_tau. $$

Заменяем производные конечными разностями. С этой целью, нам нужно знать конкретные формулы, как производные могут быть аппроксимированы конечными разностями. Простейший подход заключается в использовании определения производной: $$ pmb^prime(t) = lim_ frac<pmb(t+tau) — pmb(t)>. $$

В произвольном узле сетки ( t_n ) это определение можно переписать в виде: $$ begin pmb^prime(t_n) = lim_ frac<pmb(t_n+tau) — pmb(t_n)>. end $$ Вместо того, чтобы устремлять шаг сетки к нулю, мы можем использовать малый шаг ( tau ), который даст численное приближение ( u^prime(t_n) ): $$ begin pmb^prime(t_n) approx frac<pmb^ — pmb^>. end $$ Такая аппроксимация известна как разностная производная вперед и имеет первый порядок по ( tau ), т.е. ( O(tau) ). Теперь можно использовать аппроксимацию производной. Таким образом получим явный метод Эйлера: $$ begin tag frac<pmb^ — pmb^n> = pmb(t_n, pmb^). end $$

Четвертый шаг заключается в получении численного алгоритма. Из (5) следует, что мы должны знать значение ( y^n ) для того, чтобы решить уравнение (5) относительно ( y^ ) и получить формулу для нахождения приближенного значения искомой функции на следующем временном слое ( t_ ): $$ begin tag pmb^ = pmb^n + tau pmb(t_n, pmb^) end $$

При условии, что у нас известно начальное значение ( pmb^0 = pmb_0 ), мы можем использовать (6) для нахождения решений на последующих временных слоях.

Программная реализация явного метода Эйлера

Выражение (6) может быть как скалярным так и векторным уравнением. И в скалярном и в векторном случае на языке Python его можно реализовать следующим образом

При решении системы (векторный случай), u[n] — одномерный массив numpy длины ( m+1 ) (( m ) — размерность задачи), а функция F должна возвращать numpy -массив размерности ( m+1 ), t[n] — значение в момент времени ( t_n ).

Таким образом численное решение на отрезке ( [0, T] ) должно быть представлено двумерным массивом, инициализируемым нулями u = np.zeros((N_t+1, m+1)) . Первый индекс соответствует временному слою, а второй компоненте вектора решения на соответствующем временном слое. Использование только одного индекса, u[n] или, что то же самое, u[n, :] , соответствует всем компонентам вектора решения.

Функция euler решения системы уравнений реализована в файле euler.py:

Строка F_ = lambda . требует пояснений. Для пользователя, решающего систему ОДУ, удобно задавать функцию правой части в виде списка компонент. Можно, конечно, требовать чтобы пользователь возвращал из функции массив numpy , но очень легко осуществлять преобразование в самой функции решателе. Чтобы быть уверенным, что результат F будет нужным массивом, который можно использовать в векторных вычислениях, мы вводим новую функцию F_ , которая вызывает пользовательскую функцию F «прогоняет» результат через функцию assaray модуля numpy .

Видео:Пример 65. Решить задачу Коши (диффуры)Скачать

Неявный метод Эйлера

При построении неявного метода Эйлера значение функции ( F ) берется на новом временном слое, т.е. для решении задачи (5) используется следующий метод: $$ begin tag frac<pmb^ — pmb^n> = pmb(t_, pmb^). end $$

Таким образом для нахождения приближенного значения искомой функции на новом временном слое ( t_ ) нужно решить нелинейное уравнение относительно ( pmb^ ): $$ begin tag pmb^ — tau pmb(t_, pmb^) — y^n = 0. end $$

Для решения уравнения (8) можно использовать, например, метод Ньютона.

Программная реализация неявного метода Эйлера

Функция backward_euler решения системы уравнений реализована в файле euler.py:

Отметим, что для нахождения значения u[n+1] используется функция fsolve модуля optimize библиотеки scipy . В качестве начального приближения для решения нелинейного уравнения используется значение искомой функции с предыдущего слоя u[n] .

Видео:Дифференциальные уравнения. Задача Коши. Метод Эйлера.Скачать

Методы Рунге—Кутта

Одношаговый метод Рунге—Кутта в общем виде записывается следующим образом: $$ begin tag frac<pmb^ — pmb^n> = sum_^s b_i pmb_i, end $$ где $$ begin tag pmb_i = pmbleft( t_n + c_itau, pmb^n + tau sum_^s a_pmb_j right), quad i = 1, 2, ldots, s. end $$ Формула (9) основана на ( s ) вычислениях функции ( pmb ) и называется ( s )-стадийной. Если ( a_ = 0 ) при ( j geq i ) имеем явный метод Рунге—Кутта. Если ( a_ = 0 ) при ( j > i ) и ( a_ ne 0 ), то ( pmb_i ) определяется неявно из уравнения $$ begin tag pmb_i = pmbleft( t_n + c_itau, pmb^n + tau sum_^ a_pmb_j + tau a_ pmb_i right), quad i = 1, 2, ldots, s. end $$ О таком методе Рунге—Кутта говорят как о диагонально-неявном.

Одним из наиболее распространенных является явный метод Рунге-Кутта четвертого порядка: $$ begin tag pmb_1 & = pmb(t_n, pmb^n), &quad pmb_2 &= pmbleft( t_n + frac, pmb^n + tau frac<pmb_1> right),\ pmb_3 &= pmbleft( t_n + frac, pmb^n + tau frac<pmb_2> right), &quad pmb_4 &= pmbleft( t_n + tau, pmb^n + tau pmb_3 right),\ frac<pmb^ -pmb^n> &= frac (pmb_1 + 2pmb_2 + 2pmb_3 + pmb_4) & & end $$

Видео:Численное решение задачи Коши методом ЭйлераСкачать

Многошаговые методы

В методах Рунге—Кутта в вычислениях участвуют значения приближенного решения только в двух соседних узлах ( pmb^n ) и ( pmb^ ) — один шаг по переменной ( t ). Линейный ( m )-шаговый разностный метод записывается в виде $$ begin tag frac sum_^m a_i pmb^ = sum_^ b_i pmb(t_, pmb^), quad n = m-1, m, ldots end $$ Вариант численного метода определяется заданием коэффициентов ( a_i ), ( b_i ), ( i = 0, 1, ldots, m ), причем ( a_0 ne 0 ). Для начала расчетов по рекуррентной формуле (13) необходимо задать ( m ) начальных значений ( pmb^0 ), ( pmb^1 ), ( dots ), ( pmb^ ) (например, можно использовать для их вычисления метод Эйлера).

Различные варианты многошаговых методов (методы Адамса) решения задачи с начальными условиями для систем обыкновенных дифференциальных уравнений могут быть получены на основе использования квадратурных формул для правой части равенства $$ begin tag pmb(t_) — pmb(t_n) = int_^<t_> pmb(t, pmb) dt end $$

Для получения неявного многошагового метода используем для подынтегральной функции интерполяционную формулу по значениям функции ( pmb^ = pmb(t_, pmb^) ), ( pmb^n ), ( dots ), ( pmb^ ), т.е. $$ begin tag frac<pmb^ — pmb^n> = sum_^ b_i pmb(t_, pmb^) end $$

Для интерполяционного метода Адамса (15) наивысший порядок аппроксимации равен ( m+1 ).

Для построения явных многошаговых методов можно использовать процедуру экстраполяции подынтегральной функции в правой части (14). В этом случае приближение осуществляется по значениям ( pmb^n ), ( pmb^ ), ( dots ), ( pmb^ ) и поэтому $$ begin tag frac<pmb^ — pmb^n> = sum_^ b_i pmb(t_, pmb^) end $$

Для экстраполяционного метода Адамса (16) погрешность аппроксимации имеет ( m )-ый порядок.

На основе методов Адамса строятся и схемы предиктор–корректор. На этапе предиктор используется явный метод Адамса, на этапе корректора — аналог неявного метода Адамса. Например, при использовании методов третьего порядка аппроксимации в соответствии с (18) для предсказания решения положим $$ frac<pmb^ — pmb^n> = frac (23 pmb^ -16pmb^ + 5pmb^). $$ Для уточнеия решения (см. (17)) используется схема $$ frac<pmb^ — pmb^n> = frac (9pmb^ + 19pmb^ — 5pmb^ + pmb^). $$ Аналогично строятся и другие классы многошаговых методов.

Видео:Дифференциальное уравнение. Формула ЭйлераСкачать

Жесткие системы ОДУ

При численном решении задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (3), (4) могут возникнуть дополнительные трудности, порожденные жесткостью системы. Локальные особенности поведения решения в точке ( u = w ) передаются линейной системой $$ begin frac

= sum_^ frac (t, w) v + bar(t), quad t > 0. end $$

Пусть ( lambda_i(t) ), ( i = 1, 2, ldots, m ) — собственные числа матрицы $$ begin A(t) = < a_(t) >, quad a_(t) = frac(t, w). end $$ Система уравнений (3) является жесткой, если число $$ begin S(t) = frac <max_|Re lambda_i(t)|> <min_|Re lambda_i(t)|> end $$ велико. Это означает, что в решении присутствуют составляющие с сильно различающимися масштабами изменения по переменной ( t ).

Для численное решения жестких задач используются вычислительные алгоритмы, которые имеют повышенный запас устойчивости. Необходимо ориентироваться на использование ( A )-устойчивых или ( A(alpha) )-устойчивых методов.

Метод называется ( A )-устойчивым, если при решении задачи Коши для системы (3) область его устойчивости содержит угол $$ begin |arg(-mu)| —>

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

Задача Коши и Уравнение Эйлера

Как известно, задача Коши для линейного неоднородного уравнения состоит в следующем: найти решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (данным Коши)

Пример 11. Найти частное решение уравнения

удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Находим частное решение уравнения

Для решения поставленной начальной задачи Коши требуется определить значения постоянных и так, чтобы решение (24) удовлетворяло начальным условиям (23). Используя условие , получаем . Дифференцируя (24), найдем

откуда, в силу условия , будем иметь . Для отыскания получили систему

решая которую находим . Подставляя найденные значения произвольных постоянных в общее решение (24), получаем решение исходной задачи:

Пример 12. Найти частное решение уравнения

Решение. Общее решение данного уравнения

При величина и при любых и , не равных одновременно нулю, первое слагаемое правой части (26) будет функцией, неограниченной при , а второе слагаемое — функцией, ограниченной при всех значениях . Следовательно, только при имеем ограниченное при решение уравнения (25), именно

Более того, решение (27) уравнения (25) ограниченно при всех :

Пример 13. Найти частное решение уравнения

удовлетворяющее условию при .

Решение. Общее решение данного уравнения

При любых значениях постоянных и , не равных одновременно нулю, решение (29) является неограниченной функцией при . При решением уравнения (28) будет функция для которой, очевидно, выполняется условие . Таким образом, функция будет искомым частным решением.

Видео:Математика без Ху!ни. Линейное неоднородное уравнение 1 порядка. Метод вариации постоянной.Скачать

Уравнения Эйлера

Дифференциальные линейные уравнения вида

где все постоянные, называются уравнениями Эйлера . Эти уравнения заменой независимого переменного преобразуются в линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами:

Замечание 1. Уравнение вида

также называются уравнениями Эйлера и сводятся к линейным однородным уравнениям с постоянными коэффициентами заменой переменных .

Замечание 2. Частные решения уравнения (30) можно сразу искать в виде , при этом для к мы получаем уравнение, которое совпадает с характеристическим уравнением для уравнения (31).

Пример 1. Найти общее решение уравнения Эйлера

Решение. Первый способ. Делаем в уравнении подстановку , тогда

Корни характеристического уравнения , и общее решение уравнения будет

Но так как , то или .

Второй способ. Будем искать решение данного уравнения в виде , где — неизвестное число. Находим .

Подставляя в уравнение, получаем

Но так как , то . Корни этого уравнения . Им соответствует фундаментальная система решений , и общее решение по-прежнему будет

Неоднородные уравнения Эйлера вида

где — многочлен степени , можно также решать методом подбора по аналогии с решением неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью вида .

Пример 2. Решить уравнение Эйлера

Решение. Характеристическое уравнение , или имеет корни, Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения будет

🔍 Видео

6.1 Численные методы решения задачи Коши для ОДУСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Метод Эйлера. Решение систем ДУСкачать

5 Численное решение дифференциальных уравнений Part 1Скачать

Численные методы решения ДУ: метод ЭйлераСкачать

метод Эйлера для решения ОДУСкачать

МЗЭ 2022 Численное решение дифференциальных уравнений. Неявный метод Эйлера. Ложкин С.А.Скачать