Методика изучения показательных уравнений и неравенств

Данная методическая разработка по теме «решение показательных уравнений» для студентов 3 курса колледжа

Видео:Системы показательных уравнений и неравенств. Практика. Видеоуроки 13. Алгебра 10 классСкачать

Скачать:

Видео:Показательные уравнения. 11 класс.Скачать

Предварительный просмотр:

Администрации Ярославской области

Государственное учреждение Ярославской области

«Центр оценки и контроля качества образования»

студентов колледжа решению показательных уравнений

Епишина Ольга Ивановна, преподаватель математики

ГОУ НПО ЯО ПЛ № 30

Глава I. Особенности начального профессионального образования

Основные педагогические проблемы ………………….. ..………. 4 – 11

Глава II. Методика обучения решению показательных уравнений

2.1 Роль и место темы в учебном плане …………………………. 12

2.2 Роль и место показательной функции, её свойства

2.3 Сравнительный анализ теоретического и задачного

материала в альтернативных учебниках для старших

классов средней школы ……………………………. . . . . . .. . . . . 14 – 16

2.4 План изучения темы «Показательная функция. Решение

показательных уравнений и неравенств» ……………………. 17 – 21

2.5 Конспект урока «Показательная функция. Решение

показательных уравнений». ……………………………………. 22 – 26

1. Опорная карточка «Свойства и графики показательной функции. Основные свойства степени. Таблица степеней».
2. Опорная карточка «Решение квадратных уравнений».
3. Информационный лист обучающихся. План и сроки изучения темы: «Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств»
4. Тренажер на компьютере.
5. Тест на компьютере.
6. Результаты тестирования на компьютере.
7. Задания для подготовки к зачету.
8. Готовые решения заданий для подготовки к зачету.
9. Зачетная работа.
10. Устная работа (к уроку №1, к уроку №2, к уроку №3).
11. Самостоятельная работа (к уроку №2, к уроку №4).
12. Примерная контрольная работа.
13. Контрольная работа.
14. Карточки для индивидуальной работы (к урокам №1-2, к урокам №3-4).
15. Карточки-инструкторы.
16. Карточка для коррекции знаний.
17. Карточки-информаторы (к уроку №2, к уроку №4).
18. Домашние задания в карточках.
19. Внеклассная работа. «Занятие — семинар».
20. Внеклассная работа. Игровое занятие «Умники и умницы».
21. Внеклассная работа. Беседа «Задачи с практическим содержанием. Прикладной аспект».
22. Подготовка к ЕГЭ.

Настоящая методическая разработка раскрывает специфику обучения математике в профессиональном образовании на примере одной взятой темы, содержит рекомендации, разработки групповых консультаций, подборку практического материала к занятиям по теме «Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств».

Перед педагогической наукой и практикой поставлены важные задачи совершенствования организации, содержания и методов обучения. В связи с этим необходимо улучшать формы, методы и средства обучения, активнее приобщать обучающихся к работе над книгой и другими источниками знаний, помогать им вырабатывать самостоятельность, проявлять творческую активность, готовить их к самообразованию [19].

В процессе математической деятельности в арсенале приемов и методов человеческого мышления естественным образом включаются индукция, дедукция, обобщение и конкретизация, анализ и синтез, классификация и систематизация, абстрагирование и аналогия. Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определенных навыках и умениях [4].

«Как и все другие науки, математика возникла из практических нужд людей. Все ее вопросы — жизненно необходимы». Справедливость этих слов Ф.Энгельса важно показать на примере изучения показательной функции [20].

Современная наука и техника широко используют показательную функцию для описания различных по своей природе процессов и явлений действительности. Трудно перечислить все области науки и хозяйства, где специалистам приходится сталкиваться в той или иной степени с показательной функцией, решать показательные уравнения. Изучение законов природы все время наталкивает нас на такие величины, зависимости между которыми выражаются показательной функцией. А таких величин очень много. Примером этого являются возрастание количества различных органических веществ (дрожжей, ферментов, микроорганизмов и т. д.) в зависимости от времени, распад радиоактивных веществ, поглощение света или газа, зависимость давления воздуха от высоты, скорость химических реакций и т. д. [29].

Таким образом, знание показательной функции и умение решать показательные уравнения и неравенства помогут обучающимся в изучении других дисциплин, в работе в дальнейшем, в жизни в целом.

Наряду с практической значимостью темы, при изучении возникают широкие возможности для развития логики мышления, умения сравнивать, делать выводы,

т. е. для совершенствования развития человека и навыков самостоятельной работы.

Умение решать показательные уравнения и неравенства – обязательный элемент Государственной итоговой аттестации. Без определенных знаний и навыков по этой теме нельзя хорошо сдать итоговые экзамены в ПЛ. Поэтому в ПЛ уделяется большое внимание решению показательных уравнений и неравенств, совершенствованию содержания и методов обучения по этой теме.

Изучение показательной функции, ее свойств и способов решения показательных уравнений носит в основном формально вычислительный, тренировочный характер. Но необходимо, чтобы эта тренировка не превратилась в натаскивание, а имела целью закрепление основных навыков и теоретических положений. Большую помощь в этом может оказать решение задач с физическим, химическим содержанием, зависимость между компонентами которых выявляет показательная функция.

Это улучшенное понимание теории показательной функции и вызовет у обучающихся интерес к математике как к науке, имеющей применение к решению разнообразных вопросов науки и техники, поможет быстрее освоить приемы и методы решения уравнений и неравенств.

Таким образом, необходимость изучения показательной функции как аппарата для описания всевозможных процессов и явлений действительности, приобретения умений и навыков в решении показательных уравнений и неравенств и слабо развитая методика обучения по этой теме в открытой школе и определило актуальность этой работы.

В разработке ставится вопрос о совершенствовании методики изучения темы. Это соответствует задачам обучения в ПЛ на современном этапе.

Абстрактный характер математики вызывает трудности при обучении. Следовательно, важно так организовать деятельность учеников, чтобы изучение основных понятий и приобретение навыков по теме не вызывало отторжения, а наоборот, развивало интерес у ся к учебе, активизировало их творческие способности. Методика обучения должна быть направлена на восстановление, закрепление, затем углубление и систематизацию знаний обучающихся [18].

Почему среди прочих тем мною выделена эта тема?

Во-первых, материал вызывает интерес у обучающихся, т. к. знания по этой теме требуются ученикам на уроках физики, химии, биологии при решении задач.

Во-вторых, предложенная методика обучения по теме закреплена и проверена на практике, оправдала себя, о чем свидетельствует тот факт, что на притяжении трех последних лет изучение этой темы не вызывает затруднений у обучающихся. Достигается высокий процент усвоения материала учениками. Прослеживается положительная динамика в обучении по этой теме. На итоговой аттестации решение показательных уравнений и неравенств не вызывает затруднений у обучающихся.

В-третьих, при изучении темы прослеживаются и осуществляются внутрипредметные связи, вызывающие интерес обучающихся, повторяются многие важные темы из курса математики, изученные ранее.

Показать методику обучения решению показательных уравнений и неравенств в профессиональном образовании.

Для раскрытия цели намечены следующие задачи:

1) Раскрыть особенности обучения математике в ПЛ.

2) Изучить и проанализировать литературу по педагогике, психологии, методике преподавания математики в ПЛ.

3) Проанализировать изложение темы в альтернативных школьных учебниках, задачниках.

4) Разработать и экспериментально проверить методику обучения решению показательных уравнений и неравенств.

3) Проследить динамику в обучении на примере сравнительного анализа тестирования по этой теме за последние три года.

6) Создать дидактический материал для изучения этой темы в ПЛ.

Направления в работе :

Система обучения строилась таким образом, чтобы:

• обучающихся могли получить необходимые умения и навыки умственного труда,
• наблюдался прогресс в развитии всех обучающихся,
• заметны были целенаправленность и систематизация в обучении.

• доступность изучаемого материала,
• систематичность в изложении и усвоении обучающихся материала,
• активность,
• сознательное, прочное усвоение обучающихся учебного материала,
• целеустремленность и идеологическая направленность уроков,
• обучение как средство воспитания.

Практическая значимость работы.

Разработанный практический материал может быть использован:

• учениками для подготовки к зачетам и контрольным работам,
• при подготовке преподавателя к учебным занятиям,
• в качестве дидактического материала в методическом кабинете.

I. Особенности обучения в ПЛ. Основные педагогические проблемы.

Продуктивное и репродуктивное мышление.

В нашей стране ПЛ входят составным звеном в систему образования и воспитания молодежи. Без людей образованных, предприимчивых, любящих и умеющих трудиться невозможно не только достойное существование нации, но и сама реализация планов возрождения России. В приобщении молодежи и взрослых к знаниям и культуре важная роль принадлежит ПЛ. Наряду с обучением профессии в ПЛ подростки получают общее полное среднее образования.

ПЛ своими образовательными средствами содействуют педагогической реабилитации молодых людей, в которой так нуждаются они и общество в целом.

Контингент обучающихся самый разнообразный и отличается от массовых детских школ. Назовем существенные отличия:

• Характерной особенностью состава обучающихся ПЛ является его неоднородность :различные по содержанию жизненного опыта, по стилю умственной деятельности, уровню познавательных интересов, по способностям.
• Многие обучающихся поступают в ПЛ после длительного перерыва в учебе, вследствие чего нарушается система знаний, утрачиваются навыки учебного труда
• Обучающихся отличаются психологическими особенностями (восприятие, внимание, память, стиль мышления, умственная деятельность).

• Создавать условия для появления позитивных установок на учение.
• Повышать мотивацию к учению.
• Развивать память и мышление.
• Прививать навыки самообразования.
• Восстанавливать, закреплять, утраченные знания, чтобы ученики смогли получить и профессию, и аттестат.
• Развивать речь.
• Научить пользоваться источниками знаний.

Обучающихся ПЛ ясно представляют себе, что они пришли за необходимыми им знаниями и требования к ним должны соответствовать единым государственным образовательным стандартам.

• бороться с отрицательным влиянием,
• проявлять больше положительных эмоций таких как — доброжелательность, искренняя человеческая забота и внимание к каждому,
• вызывать творческий интерес к работе,
• создавать обстановку, способствующую поддержанию высокого уровня работоспособности.

Кроме того, недостатки методического оснащения учебного процесса значительно тормозят развитие творческих сил и способностей обучающихся. ПЛ испытывают потребность в дидактических материалах, в учебниках и методических разработках для обучающихся в соответствии с учебными программами.

А специальная учебная и дидактическая литературы для ПЛ отсутствует. Это заметный минус.

В помощь преподавателям в ПЛ создана лаборатория программно-методического обеспечения образовательного процесса. Лаборатория является формой работы педагогического коллектива по реализации задач адаптации учебного процесса, повышению методической и профессиональной подготовки преподавателя. В ходе работы рассматриваются программы и тематическое планирование, моделируется дидактический материал по очной системе обучения, оказывается методическая помощь преподавателям, апробируются и внедряются передовые технологии, отслеживаются уровни усвоения обучающихся обязательного минимума содержания образования.

Мы стремимся к личностному развитию каждого, кто пришел к нам учиться, с учетом его психофизиологических особенностей.

Задача ПЛ – создать такие условия, чтобы каждый ученик получал удовлетворение от учебной деятельности. Раскрытие субъективных ценностей и построение на этой основе личностно-ориентированного обучения – основное условие эффективности обучения в училище. Совершенствованию процесса обучения математике в ПЛ посвящен ряд исследований в сложившейся системе учебного процесса. Деятельность преподавателя должна способствовать максимальному проявлению самостоятельности и познавательной активности обучающихся, что положительно влияет на качество усваиваемых ими знаний.

НПО стоит перед необходимостью решения важной дидактической проблемы — наряду с сообщением определенной суммы знаний вооружить обучающихся приемами и навыками познавательной деятельности [65].

Необходимым условием дальнейшего развития обучения в ПЛ является:

• повышение результативности обучения обучающихся,
• обеспечение общего уровня и качества знаний не ниже, чем в массовых школах.

Важное значение приобретает поиск путей совершенствования учебного процесса в ПЛ, выбор наиболее рациональных и экономных методов обучения.

Основными формами организации учебной работы в ПЛ являются групповые занятия, индивидуальные консультации, зачеты.

Учитывая, что базовый компонент образования един для всех ОУ, система НПО должна создавать условия для развития и самореализации обучающихся. Открывается широкое поле деятельности для педагогического творчества и методических поисков. Педагог должен к каждому ученику найти индивидуальный подход по его способностям, стремлениям и желаниям учиться.

Некоторые формы работы с обучающихся.

В системе форм учебных занятий особое значение имеют: групповые занятия, индивидуальные консультации, зачеты, внеклассная работа.

На групповых занятиях проводится: фронтальная проверка домашних знаний, устные упражнения, объяснение нового материала учителем, фронтальный опрос, коллективное решение задач, проведение самостоятельных и контрольных работ, отработка приемов решений на компьютерных тренажерах, тесты на компьютере.

Необходимость домашних заданий.

Немаловажное значение при обучении математике имеет домашнее задание. Оно должно быть по силам ученикам. А так как уровень подготовки и способности учеников различные, то и домашние задания для них должны быть различными. Необходимо предлагать дифференцированные домашние задания, которые состоят из двух частей: обязательной и дополнительной. Удобно выдавать домашние задания на карточках с необходимым пояснением или инструктажем. Выполнение домашних заданий говорит о том, что ученик усвоил материал или показывает проблемные места, над которыми надо еще работать. Проверку выполнения домашних заданий удобно проводить в начале урока через проектор.

В начале урока на 5 минут следует проводить устные упражнения для повышения активности обучающихся. Роль устных упражнений на уроках трудно переоценить. Чтобы сделать этот вид работ существенно более полезным, нужно всячески разнообразить задания. При этом на первом месте должны быть не сами по себе вычисления, а рассуждения и доказательства. Устные упражнения способствуют экономии времени, т. к. ничего не надо записывать, развитию разговорной математической речи, т.к. рассуждения нужно обосновывать, воспитанию внимания, активному повторению пройденного материала, подготовке к более трудной работе на уроке. Практически любые цели, которые могут ставиться при обучении математике, в значительной мере могут достигаться уже при устных упражнениях. Обычно достаточно 3-4 тщательно подобранных упражнений в начале урока, чтобы подготовить обучающихся к более сложным заданиям.

К системе устных упражнений предъявляются такие же требования, как и ко всякой системе упражнений: упражнения должны служить достижению основных целей занятия,

упражнения должны увязываться друг с другом, а также с прошлым и будущим материалом, в системе упражнений должна быть единая стержневая линия с небольшими вариациями от упражнения к упражнению, система упражнений должна охватывать все наиболее важные и типичные ситуации.

Активизация мышления достигается за счет повышения интереса и увеличения числа мыслительных операций. Так, при разборе различных способов решения невольно возникает сопоставление многих понятий и фактов, т. е. интенсифицируется мыслительная деятельность.

Объяснение нового материала преподавателем.

На групповом занятии я прибегаю к лекционной форме ведения занятия при изложении нового материала ( в виде небольшой, краткой лекции). Это воспитывает волевые качества обучающихся, заставляя их быть «активными слушателями», вырабатывает в них умение слушать и вникать в речь. Лекционное изложение части учебного материала служит для обучающихся образцом связной, последовательной, логически построенной и стилистически правильной речи.

Информационное сообщение оказывает недостаточное влияние на развитие умственных способностей обучающихся, на формирование их самостоятельности и творческого, критического мышления. Успешного развития творческих способностей

обучающихся можно добиться лишь путем организации их активной самостоятельной деятельности, путем создания условий для успешного проявления творчества, то есть сам обучающихся должен активно включиться в процесс «добывания» знаний, проявляя при этом максимум самостоятельности. Так, при решении показательных уравнений и неравенств начинаем решать простейшие уравнения и неравенства, отрабатываем навыки и умения, и переходим к более сложным заданиям. Важно, чтобы ученики стремились к самостоятельности в решении заданий. Базу определенных знаний, умений и навыков они получают от учителя и на уроке, а затем стараются применить знания при решении более сложных заданий. Всегда приветствуется на занятиях стремление учеников найти более сложное задание, самостоятельно попробовать его решить или прийти с ним на индивидуальную консультацию. В такой деятельности действительно формируются прочные умения и навыки самостоятельной работы, вырабатываются гибкие приемы мыслительной деятельности.

Разработка принципов построения системы упражнений по их роли и месту в учебном процессе.

В соответствии с определенной «этапностью» процесса обучения математике целесообразно в ПЛ построить систему упражнений содержащих упражнения следующих групп:

• пропедевтического характера,
• на непосредственное применение изучаемого понятия,
• обзорно-обобщающего характера на повторение некоторых разделов курса или всего курса.

Упражнения пропедевтического характера.

Эта группа упражнений особенно важна в условиях ПЛ, т. к. обучающихся имеют пробелы в знаниях. Основная цель этой группы упражнений состоит в создании необходимых предпосылок для усвоения учениками нового материала.

• на восполнение знаний, умений и навыков, служащих базой для формирования новых знаний,
• упражнения на создание проблемной ситуации,
• упражнения контролирующего характера, которые бы позволили учителю судить о подготовленности обучающихся к усвоению нового и о понимании существа стоящей перед ними проблемы.

Например, приступая к изучению темы «Решение показательных уравнений и неравенств» необходимо восполнить знания, умения и навыки по таким важным вопросам как :

• свойства показательной функции,
• графики функции,
• решение линейных, дробно-рациональных, тригонометрических, квадратных уравнений и т.д.

Таким образом, создаются необходимые предпосылки для успешного усвоения учениками новой темы. Упражнения подобраны так, что они дают возможность учителю на этом этапе работы индивидуализировать работу с учеником. Упражнения составлены с учетом повторения ранее изученных вопросов: корни уравнения, решение квадратных, линейных, тригонометрических уравнений и т. д.

Упражнения на непосредственное применение изучаемого материала.

Эта группа упражнений направлена в основном на усвоение изучаемого понятия.

Цель — отработка навыков в применении понятия. Эта группа выполняет в основном дидактические функции. Для выработки навыков необходимо упражняться на уроках, консультациях.

Упражнения обзорно-обобщающего характера.

Эти упражнения позволяют повторить изученное понятие, наиболее ярко представлять упражнения повышенной трудности. Степень трудности должна соответствовать требованиям программы.

Упражнения как средство индивидуального обучения.

Результаты выполнения контрольных и самостоятельных работ показывают, что если с учениками велась индивидуальная работа по выработке умений и навыков — успеваемость выше. При коллективном методе работы успеваемость на уровне 65%, при индивидуальной работе – 88%.

В результате длительного применения индивидуальных форм работы у учеников повышается интерес к математике, увеличивается число работ, выполненных на «хорошо», ответы учеников становятся более обоснованными [46].

Особое значение имеет в открытой школе вводно-корректирующее повторение.

От того, как будет организовано начало учебного года, зависит и успех обучения, и сохранение контингента. Целесообразно в начале года проводить так называемый «Входной контроль», позволяющий проверить уровень подготовки учеников в группе, выявить слабые места и перед прохождением каждой темы вводить повторение на устных упражнениях.

Современная педагогическая наука рассматривает самостоятельную работу как метод обучения, поскольку она выступает в роли одного из распространенных способов решения учебно-воспитательных задач, в частности, задач развития познавательной самостоятельности и развития учебной мотивации [60].

Вопрос о самостоятельной деятельности в ПЛ признан одним из главных. Самостоятельная работа – главный источник познавательной активности учеников. Обучающихся предоставляются широкие возможности для самостоятельной работы в такой мере, в какой это необходимо для сознательного и прочного усвоения математических фактов и идей.

Какая форма самостоятельной работы является ведущей при обучении решению показательных уравнений и неравенств? Полезным видом самостоятельной работы обучающихся является конспектирование ими лекции на занятии, составление конспекта по изученному материалу по учебнику дома в случае непосещения урока.

Основная форма самостоятельной работы — работа с учебником. Работу с учебником мы начинаем со знакомства с его структурой, условными обозначениями, разделами. Затем чередуем объяснение учителя и самостоятельное изучение текста, рассматриваем образцы решения примеров, предлагаем выучить по учебнику некоторые правила, работаем с графиками, составляем план решения уравнений и неравенств.

В ПЛ широко используют методы работы на занятиях по развитию у обучающихся навыков самостоятельной работы. При самостоятельной работе значительно повышается роль преподавателя, т. к. в этом случае его руководство направлено не только на усвоение обучающихся определенного материала, но и на организацию соответствующей умственной деятельности обучающихся, которая и приводит к усвоению учебного материала.

Анализ целей обучения и содержания свидетельствуют о том, что его усвоение может быть осуществлено лишь при широком использовании в обучении письменных самостоятельных работ, систематическое проведение самостоятельных работ позволяет организовать формирование понятий, выработку и закрепление умений, контроль за усвоением материала.

Активизация мыслительной деятельности обучающихся в первую очередь, обеспечивается не внешними факторами, а глубоко продуманными системами упражнений и заданий. Среди требований к системе упражнений, направленных на активное развитие мышления, выделяются следующие:

в системе упражнений должны быть достаточно полно представлены не только все основные понятия и факты, но также и все приемы мыслительной деятельности,

все упражнения должны быть взаимосвязаны, в каждом новом упражнении должны быть заложены возможности для активного повторения изученного ранее и для целенаправленного их использования в будущем,

постепенное нарастание трудностей от упражнения к упражнению.

Преподаватель должен заранее планировать на каком этапе учебного занятия отрабатываются те или иные приемы (обобщение, аналогия, анализ). Способные ученики усваивают эти приемы стихийно в результате изучения программного материала и решения задач.

Важнейшим условием поддержания интереса к математике является систематическое обеспечение успеха обучающихся на достаточно высоком для них уровне трудности.

Оптимальный вариант — когда каждое следующее упражнение в основном похоже на предыдущее, но содержит и крупицу нового. Необходимое соотношение между этим новым и уже известным зависит от уровня развития обучающихся. Одна из важных задач педагога — правильно определить дозу нового материала.

Самостоятельное решение примеров и задач на уроке проводится фронтально, с

учетом индивидуальных особенностей обучающихся. Учитель, следя за ходом выполнения задания, имеет возможность составить себе представление о состоянии знаний многих обучающихся, об их умении применять эти знания на практике, о прочности приобретенных навыков, об их инициативе и способности к самостоятельному, творческому поиску наиболее рациональных путей решения. Этот вид работы имеет немалое значение и в том отношении, что между обучающихся возникает здоровое и благотворно влияющее на них соревнование. Все удачно справившиеся с заданиями, испытывают моральное удовлетворение по поводу успешно закончившейся проверки их сил.

Выполнение самостоятельных и контрольных работ преследует две цели:

• контроль за работой обучающихся,
• выявление вопросов, которые оказались сложными для обучающихся.

Однако только коллективные методы обучения в условиях НПО не дают хороших результатов. Необходимы специальные дидактические комплекты материалов, позволяющие снимать трудность обучения математике в ПУ. Под дидактическими или обучающими материалами понимают учебные пособия в виде отдельных карт, содержащих разноуровневые задания, карт-инструктажей, карт с образцами решения уравнений или неравенств. Это и будет средством дифференциации и индивидуализации обучения математике, интенсификацией обучения на всех его этапах, управлением в обучении [37].

В одной и той же групп есть ученики с разными уровнями подготовки, нуждающиеся в особом внимании преподавателя. Система карточек такова, что преподаватель может организовать дифференцированное обучение в зависимости от математической подготовки каждой группы обучающихся с последующей индивидуализацией обучения, т. е. выходом на каждого обучающихся.

Карточки должны быть различные по сложности и по своей дидактической направленности, числу упражнений, содержанием в них. Это дает возможность каждую группу обучающихся обеспечить учебной работой, соответствующего уровня математической подготовки. Выполнение посильных заданий дает веру в собственные силы и вызывает желание учиться. Таким образом, индивидуальные карты должны быть, а составляться по мере возрастания сложности заданий, постепенно доводя до требуемого уровня обучения. Надо исходить из того, что все ученики пришли учиться с желанием, и только дело рук и стараний самого педагога сделать процесс интересным, неутомительным. Обязательно, для обучающихся с низким уровнем подготовки, составлять карточки с соответствующими инструктажами, замечаниями преподавателя.

Дифференциацию и индивидуализацию обучения математике с помощью карточек можно организовать на всех этапах от первичного до закрепления. Постепенно устраняется запущенность в математической подготовке отдельных обучающихся. Такая работа обеспечивает достижение необходимого уровня знаний обучающихся всей группы. Интенсификация обучения непосредственно на уроке способствует формированию определенной культуры учебной работы, вырабатывает у обучающихся вкус к напряженному учебному труду. Преподаватель может пояснять содержание, комментировать отдельные решения, отвечать на вопросы. Таким образом, осуществляется управление учебным процессом, при котором осуществляется необходимое движение информации от педагога к обучающихся и обратно, по каналам прямой и обратной связи.

В педагогическом словаре дается такое определение индивидуального подхода: «Индивидуальный подход – это принцип педагогики, согласно которому в учебно-воспитательной работе с коллективом достигается педагогическое воздействие на каждого ученика, основанное на знаниях черт его личности и условий жизни». Методика обучения должна предусматривать систему занятий, планирующих обязательное повторение и закрепление учебного материала на групповой консультации. Следовательно, одним из обязательных принципов методики обучения в ПЛ выступает принцип индивидуального подхода. Индивидуальный метод дает определенное повышение качества знаний. Сильные обучающихся имеют возможность расширить и углубить знания на индивидуальном занятии, повысить свою культуру, а слабые обучающихся, постепенно овладевая рациональными навыками усвоения знаний, лучше овладевают учебным материалом.

Введение групповых и индивидуальных консультаций, проработка системы контроля знаний – дают заметный педагогический эффект, т. к. создают определенное соответствие между учебными возможностями обучающихся и требованиями, предъявляемые к ним. Это дает возможность всем обучающихся работать в полную меру сил и способностей, приводит к новым качествам знаний. Индивидуальный подход дает положительный результат при применении его на всех этапах занятия: при объяснении, закреплении, учете знаний обучающихся.

Для обучающихся с высокоразвитыми способностями к обучению полезно давать дополнительную литературу, повышающую их общий кругозор, упражнения, развивающие их мышление опережающими темпами. Это позволяет избежать серьезной опасности – потери интереса к предмету. На индивидуальных консультациях, работая с сильными учениками, необходимо решать сложные задания, вести подготовку к ЕГЭ для обучающихся, которые планируют по собственному желанию сдавать итоговую аттестацию в форме ЕГЭ. Так, в практике проведения индивидуальных консультаций я практикую разбор упражнений для подготовки к ЕГЭ и задаю аналогичные задания на дом тем ученикам, которые в них нуждаются. Для обучающихся с низкоразвитыми способностями к обучению особое значение имеет дидактическая обработка материала, дробление действия на более мелкие шаги, т. к. такой контроль позволяет установить, какой элемент в цепи умственной деятельности не усвоен, ввести коррекцию, и приблизить конечный обучающий эффект к полноценным знаниям [46].

Учебный план ПЛ предусматривает наличие специального времени для подготовки и проведения зачетов, являющихся важнейшей формой контроля и учета знаний обучающихся.Как рационально использовать время на зачете, привлечь к активной работе всех учеников, обеспечить более глубокое усвоение материала? С одной стороны надо добиться обязательных результатов обучения, с другой – удовлетворить «продвинутых» учеников и не забыть слабых. Этому способствует уровневая дифференциация знаний на зачете. Так в обязательную часть зачета по теме «Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств» включены 5 заданий несложных, а в дополнительную часть задания для тех, кто хочет получить оценку «4-5». Задания 1-5 соответствуют обязательным результатам обучения.

Цель зачета выявить обучающихся, достигших уровня обязательной подготовки, проверить знания обучающихся по основным вопросам темы.

Введение зачетной системы учета знаний резко подняло значение индивидуального подхода к обучающихся. Первый шаг в индивидуальном подходе к ученику – вызов на зачет или выставление «зачета-автомата». Этот момент очень актуален в ПЛ и является действительным стимулом для обучающихся, систематически работающих на занятиях. Второй шаг индивидуализации – определение объема работы для обучающихся на зачете.

Чтобы подготовить обучающихся к зачету по теме «Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств» я рекомендую выполнить все задания по этой теме из «Сборника заданий для подготовки к итоговой аттестации за курс средней школы», автор Дорофеев Г.В. , далее при проведении зачета предлагаю письменную работу или тест на компьютере. Зачетный способ в виде теста на компьютере особенно любят наши ученики.

Тест позволяет полно проверить знания и навыки обучающихся. Тесты имеют не только контролирующую функцию, но и обучающую. Тесты – новый вид учебной деятельности, поэтому перед тестированием проводится инструктаж. Задания в тестах расположены по возрастанию сложности. Основным достоинством тестового способа оценки учебных достижений является его объективность, т.е. независимость от многих возможных воздействий, неизбежно присутствующих при традиционном способе оценки знаний, в том числе и от взаимных отношений между педагогом и обучающихся. Не менее важным достоинством тестирования является возможность объективного сравнения учебных достижений обучающихся одной группы.

Внеклассная работа по математике отталкивается от проблем, возникающих на занятиях. Так, ученикам интересно знать при изучении показательной функции применение ее в жизни. Для этого можно провести внеклассные мероприятия:

— игровое занятие «Умники и умницы» ,

— беседу «Задачи с практическим содержанием ( Прикладной аспект)» .

Все это волнует обучающихся, вызывает потребность отвлечься от основных уроков и во внеурочной обстановке разбирать волнующие их темы.

Продуктивное и репродуктивное мышление обучающихся.

Известно, что в разное время вопросами мышления занимались ученые-психологи различных школ и направлений. Как процесс репродуктивный, процесс, в результате которого не возникает ничего принципиально нового, а происходит лишь перекомбинация исходных элементов, рассматривали мышление ассоцианисты (А. Бен, Д. Гартли). Выразителями другого подхода к мышлению как к чисто продуктивному процессу являлись представители гештальтпсихологии (М. Вертгаймер, В. Келлер, К. Кофка и др.)

В трудах советских психологов продуктивность выступает как наиболее характерная, специфическая черта мышления, отличающая его от других психических процессов, и в то же время рассматривается противоречивая связь её с репродукцией.

Идеи о творческом характере мышления разрабатывались в трудах Б. Г. Ананьева, П. Я. Гальперина, А. В. Запорожеца, А. Н. Леонтьева, Н. А. Менчинской и многих других. Среди работ, посвященных вопросам развития продуктивного (творческого) мышления при обучении математике следует отметить работы В. А. Крутецкого, Д. Пойа, Л. М. Фридмана, Е. Н. Турецкого. Однако, при кажущемся обилии научного материала по этой тематике приходится признать, что конкретного фактического материала, позволяющего строить обучение школьников с учетом особенностей продуктивного мышления, нет. Развить творческое мышление на уроках математики, заинтересовать их математикой, привести к « открытию» математических фактов возможно только при условии использования на уроках задач нестандартных, задач, требующих известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности и изобретательности.

Идеи о творческом характере мышления человека, о его специфике, взаимоотношениями с другими процессами, и прежде всего с памятью, о закономерностях его развития разрабатывались в исследованиях многих советских психологов (Б. Г. Ананьев, П. Я. Гальперин, А. В. Запорожец, Г. С. Костюк, А. Н. Леонтьев, А. А. Люблинская, Н. А. Менчинская, Ю. А. Самарин, Б. М. Теплов, М. Н. Шардаков, П. Я. Шеварев, Л. И. Узнадзе, Н. П. Элиава и др.). Широкое обобщение положений о сущности и специфике мышления было осуществлено С. Л. Рубинштейном. В трудах советских психологов продуктивность выступает как наиболее характерная, специфическая черта мышления, отличающая его от других психических процессов, и в то же время рассматривается противоречивая связь ее с репродукцией.

Мышление представляет собой активную целенаправленную деятельность, в процессе которой осуществляется переработка имеющейся и вновь поступающей информации, отчленение внешних, случайных, второстепенных ее элементов от основных, внутренних, отражающих сущность исследуемых ситуаций, раскрываются закономерные связи между ними. Мышление не может быть продуктивным без опоры на прошлый опыт, и в то же время оно предполагает выход за его пределы, открытие новых знаний, благодаря чему расширяется фонд их и тем самым увеличивается возможность решения все новых и новых, более сложных задач. В мышлении как процессе обобщенного и опосредованного познания действительности в диалектически противоречивом единстве сплетены его продуктивные и репродуктивные компоненты, причем удельный вес их в конкретной мыслительной деятельности может быть различным. Под влиянием всевозрастающих требований жизни к творческому её компоненту возникла необходимость выделить особые виды мышления — продуктивное и репродуктивное. Следует отметить, что в советской литературе встречается возражение против выделения таких видов, поскольку любой процесс мышления продуктивен (А. В. Брушлинский). Однако, большинство психологов, изучающих мышление, считают целесообразным выделение этих видов (П. П. Блонский, Д. Н. Завалишина, Н. А. Менчинская, Я. А. Пономарев, В. Н. Пушкин, О. К. Тихомиров). В литературе данные виды (стороны, компоненты) мыслительной деятельности называют по-разному. Как синонимы к понятию « продуктивное мышление» употребляют термины: творческое мышление, самостоятельное, эвристическое, креативное. Синонимами к репродуктивному мышлению служат термины: словесно-логическое, дискурсивное, рассудочное, рецептивное и др. Мы применяем термины продуктивное и репродуктивное мышление. Продуктивное мышление характеризуется высокой степенью новизны получаемого на его основе продукта, его оригинальностью. Это мышление появляется тогда, когда человек, попытавшись решить задачу на основе ее формально-логического анализа с прямым использованием ему известных способов, убеждается в бесплодности таких попыток и у него возникает потребность в новых знаниях, которые позволяют решить проблему: эта потребность и обеспечивает высокую активность решающего проблему субъекта. Осознание самой потребности говорит о создании у человека проблемной ситуации (А. М. Матюшкин). Нахождение искомого предполагает открытие не известных субъекту признаков, существенных для решения проблемы отношений, закономерных связей между признаками, тех способов, с помощью которых они могут быть найдены. Человек вынужден действовать в условиях неопределенности, намечать и проверять ряд возможных решений, осуществлять выбор между ними, подчас не имея к тому достаточных оснований. Он ищет ключ к решению на основе выдвижения гипотез и их проверки, т. е. способы опираются на известное предвидение того, что может быть получено в результате преобразований. Существенную роль в этом играют обобщения, позволяющие сокращать количество той информации, на основе анализа которой человек приходит к открытию новых знаний, уменьшать число проводимых при этом операций, « шагов» к достижению цели.

Хотя мышление как процесс обобщенного и опосредованного познания действительности всегда включает в себя элементы продуктивности, удельный вес ее в процессе мыслительной деятельности может быть различным. Там, где удельный вес продуктивности достаточно высок, говорят о собственно продуктивном мышлении как особом виде мыслительной деятельности. В результате продуктивного мышления возникает нечто оригинальное, принципиально новое для субъекта, т. е. степень новизны здесь высока. Условие возникновения такого мышления — наличие проблемной ситуации, способствующей осознанию потребности в открытии новых знаний, стимулирующей высокую активность решающего проблему субъекта. Новизна проблемы диктует новый путь ее решения: скачкообразность, включение эвристических, « поисковых» проб, большую роль семантики, содержательного анализа проблемы. В этом процессе наряду с словесно-логическими, хорошо осознанными обобщениями, очень важны обобщения интуитивно-практические, не находящие сначала своего адекватного отражения в слове. Они возникают в процессе анализа наглядных ситуаций, решения конкретно-практических задач, реальных действий с предметами или их моделями, что значительно облегчает поиск неизвестного, однако сам процесс этого поиска находится вне ясного поля сознания, осуществляется интуитивно. Вплетаясь в сознательную деятельность, будучи подчас растянутым во времени, нередко весьма длительном, процесс интуитивно-практического мышления осознается как мгновенный акт, как инсайт благодаря тому, что в сознание сначала «прорывается» результат решения, в то время как путь к нему остается вне его и осознается на основе последующей более развернутой, осознанной мыслительной деятельности. В результате продуктивного мышления происходит становление психических новообразований — новых систем связи, новых форм психической саморегуляции, свойств личности, ее способностей, что знаменует сдвиг в умственном развитии.

Итак, продуктивное мышление характеризуется высокой новизной своего продукта, своеобразием процесса его получения и, наконец, существенным влиянием на умственное развитие. Оно является решающим звеном в умственной деятельности, так как обеспечивает реальное движение к новым знаниям. С психологической точки зрения нет принципиальной разницы между продуктивным мышлением ученого, открывающего объективно новые, еще не ведомые человечеству закономерности окружающего мира, и продуктивным мышлением ученика, делающего открытие нового лишь для него самого, так как в основе лежат общие психические закономерности. Однако условия поиска новых знаний у них весьма различны, как различен и уровень мыслительной деятельности, приводящей к открытию. Для того чтобы как-то обозначить эти различия большинство исследователей предпочитают в отношении такого вида мышления школьников употреблять термин

« продуктивное мышление», а термином « творческое мышление» обозначать высшую ступень мыслительной деятельности, осуществляемую теми, кто открывает принципиально новые для человечества знания, создает нечто оригинальное, не имеющее себе аналога. Характеризуясь меньшей продуктивностью, репродуктивное мышление тем не менее играет важную роль и в познавательной, и в практической деятельности человека. На основе этого вида мышления осуществляется решение задач знакомой субъекту структуры. Под влиянием восприятия и анализа условий задачи, ее данных, искомого, функциональных связей между ними актуализируются ранее сформированные системы связей, обеспечивающие правильное, логически обоснованное решение такой задачи, адекватное отражение его в слове.

Репродуктивное мышление имеет большое значение в учебной деятельности школьников. Оно обеспечивает понимание нового материала при его изложении преподавателем или в учебнике, применение знаний на практике, если при этом не требуется их существенного преобразования и т. д. Возможности репродуктивного мышления прежде всего определяются наличием у человека исходного минимума знаний, оно, как показали исследования, легче поддается развитию, чем мышление продуктивное, и в то же время играет немалую роль в решении новых для субъекта проблем. В этом случае оно выступает на начальном этапе, когда человек пытается решить новую для него задачу известными для него способами и убеждается в том, что знакомые способы не обеспечивают ему успеха. Осознание этого приводит к возникновению « проблемной ситуации» , т. е. активизирует продуктивное мышление, обеспечивающее открытие новых знаний, формирование новых систем связей, которые позднее обеспечат ему решение аналогичных задач. Как уже отмечалось, процесс продуктивного мышления скачкообразен, часть его осуществляется подсознательно, без адекватного отражения в слове. Сначала в слове находит выражение его результат (« Ага! Нашел! Догадался!» ), а затем — сам путь к нему.

Осознание найденного субъектом решения, его проверка и логическое обоснование вновь осуществляются на основе репродуктивного мышления. Таким образом, реальная деятельность, процесс самостоятельного познания окружающей действительности — результат сложного переплетения, взаимодействия репродуктивного и продуктивного видов мыслительной деятельности.

Основные показатели продуктивного мышления

Решение задачи исследования творческого мышления предполагает выделение совокупности индивидуальных особенностей мышления, формирующихся качеств ума от которых зависит легкость овладения новыми знаниями, широта переноса, применения этих знаний на практике. Для их обоснованного выделения следует прежде всего обратиться к анализу некоторых литературных данных об индивидуальных особенностях мыслительной деятельности школьников. Затем, опираясь на наше представление о сущности продуктивного мышления обучающихся, нужно найти среди них те, которые, по нашему мнению, должны играть ведущую роль в умственной деятельности школьников при относительно самостоятельном овладении ими новыми знаниями, при решении задач-проблем, определяя характер этой деятельности. Понятие « интеллект» очень широко используется в научной литературе, однако до сих пор нет более или менее полного однозначного определения его содержания, структуры, факторов, в него входящих, взаимоотношений между ними.

Во многих работах о творческом мышлении основными его показателями считаются такие, которые отражают степень отклонения от привычного решения, преодоления « барьеров прошлого опыта» . С целью их выявления используются искусственные проблемы, предполагающие резкое столкновение имеющегося опыта с требованиями задачи, они предполагают необычные решения, нарушающие то, что диктуется опытом жизни.

Мы подходим к решению проблемы взаимоотношения интеллекта и продуктивного мышления (включая и его высшую ступень — творческое мышление) следующим образом. Интеллект человека (или его ум) характеризуется мышлением, взятым в аспекте индивидуальных различий. Самый существенный признак отличающий мышление от других психических процессов,— направленность на открытие новых знаний, т. е. его продуктивность. В соответствии с этим возможности человека к более или менее самостоятельному открытию новых знаний, определяемые (при наличие других необходимых условий) уровнем развития продуктивного мышления, составляют основу, « ядро» его интеллекта.

Обучаемость и ее компоненты

Рассматривая индивидуально-типические компоненты продуктивного мышления, мы ставили перед собой задачу выделить те его особенности, от которых зависит легкость овладения однородными знаниями, темп продвижения в них, т. е. связывали его с понятием общих способностей. У школьников эти свойства их психики обуславливают успешность учебной деятельности, быстроту и легкость в овладении новыми знаниями, широту их переноса, т. е. выступают как их общие способности к учению. Для их обозначения в психологии широко используют термин « обучаемость» .Чем выше обучаемость, тем быстрей и легче приобретает человек новые знания, тем свободнее оперирует ими в относительно новых условиях, тем выше, следовательно и темп его умственного развития. Вот почему мы полагаем, что обучаемость, наряду с фондом действенных знаний, т. е. тех, которые человек применяет на практике, входит в структуру умственного развития. Об умственных способностях человека судят не потому, что он может сделать на основе подражания, усвоить в результате подробного, развернутого объяснения. Ум человека проявляется в относительно самостоятельном приобретении, « открытии» новых для себя знаний, в широте переноса этих знаний в новые ситуации, при решении нестандартных, новых для него задач. В этой стороне психики находит свое выражение продуктивное мышление, его особенности проявляются в формирующихся у человека качествах ума, определяя уровень и специфику обучаемости личности. Эти особенности, свойства мыслительной деятельности обучающихся, качества их ума и есть компоненты обучаемости, они входят в ее структуру, а своеобразие их сочетаний определяет многообразие индивидуальных различий в обучаемости.

II. Методика обучения решению показательных уравнений и неравенств в ПУ.

2.1 Роль и место темы в учебном плане.

В Программе Министерства образования РФ для общеобразовательных школ по теме «Показательная и логарифмическая функции» записано:

«Познакомить обучающихся с показательной и логарифмической функциями и их свойствами, научить решать показательные уравнения, неравенства и их системы. Серьезное внимание следует уделить работе с показательными тождествами, которые используются как при изложении теоретических вопросов, так и при решении задач». Таким образом, в обязательную подготовку входит обучение решению показательных уравнений и неравенств. Изучение программного материала дает возможность обучающихся:

• освоить общие приемы решений уравнений,
• усвоить общую схему решений уравнений и неравенств,
• овладеть техникой решения уравнений и неравенств.

Согласно учебной программе, в ПУ на изучение математики отведено

285 часов. Из них на решение показательных уравнений и неравенств отводится 5 часов, что составляет примерно 1,8 % от общего количества учебных часов.

2.2 Роль и место показательной функции, ее свойства и графики.

Показательная функция является основополагающей при изучении таких тем, как «Производная показательной функции», «Термодинамика», «Электромагнетизм», «Ядерная физика», «Колебания», используется для решения некоторых задач судовождения.

Вот некоторые из Нобелевских лауреатов, получивших премию за исследования в области физики с использованием показательной функции:

Пьер Кюри — 1903 г.

Ричардсон Оуэн — 1928 г.

Игорь Тамм — 1958 г.

Альварес Луис — 1968 г.

Альфвен Ханнес — 1970 г.

Вильсон Роберт Вудро — 1978 г.

Для знакомства с использованием показательной функции обучающихся на индивидуальных консультациях, на внеклассных мероприятиях приводятся примеры на практическое применение показательной функции .

В курсе «Алгебры и начал анализа» показательная функция изучается после степенной функции и знакомства с иррациональными числами.

Показательные уравнения и неравенства решаются с опорой на изученные свойства функции, ее графики. На изучение свойств показательной функции, построение графиков по плану отводится 2 урока. В дальнейшем на групповых занятиях ученикам при решении показательных уравнений и неравенств необходимо помнить свойства и графики показательной функции, уметь пользоваться ими. Удобно на парте перед обучающихся положить таблицы, содержащие свойства и графики показательной функции, а также основные свойства степеней.

Цели обучения математике определяются ее ролью в развитии общества в целом и формировании личности каждого отдельного человека. Современному обществу нужны высокообразованные, инициативные, предприимчивые, обладающие чувством социальной ответственности, способные преумножать духовные и материальные богатства людей.

Изучение математики способствуют эстетическому воспитанию человека, пониманию красоты и изящества математических рассуждений.

В ускорении научно-практического прогресса математика играет все более возрастающую роль, проникая во все среды человеческой деятельности, становясь производительной силой современного общества.

Современная наука и техника широко используют показательную функцию для описания различных по своей природе процессов и явлений действительности, развитие теории показательной функции тесно связано с ее применением. Таким образом: для работающей молодежи эти знания нужны

Развитие темы, ее углубление и расширение в полной мере способствуют пониманию красоты математических рассуждений, активизируют творческие способности у обучающихся, формирует качество мышления, способствуют развитию умения применять различные методы решения сложных задач.

Показательная функция – необходимый аппарат для исследования реальности, решение уравнений – важнейшее на сегодняшний день. Предложенная система преподавания темы включает в себя обязательный уровень и доп.знания, раздел факультативных занятий. Опыт применения решений показательных уравнений был применен учениками на уроках физики и химии, информатики биологии при решении задач

Эффективность учебно-воспитательного процесса возможна при условии внедрения современных образовательных технологий и новых методик, обеспечение дифференциального подхода в рамках разноуровневого класса.

В дальнейшем я буду стремиться организовывать познавательную и практическую деятельность обучающихся, стимулировать самостоятельность обучающихся.

Практическая значимость разработки в том, что изложенный в нем теоретический и дидактический материал могут использоваться в практике проведения уроков по этой теме в вечерней школе, разработанный материал может использоваться обучающихся для подготовки к зачетам, контрольным работам, для учебно-методического обеспечения школы..

Предлагаемая методика изучения этой темы полностью согласуется с количеством часов, отведенным на прохождение этой темы по ныне действующим программам.

Неплохие результаты на итоговой аттестации показали обучающихся при решении показательных уравнений и неравенств в 20010-2011 учебном году.

Предложенная методика вызывает одобрение со стороны педагогов и методистов школы.

1. Абрамович М.И., Методические указания и контрольные работы по математике. 2000.
2. Александров Б.И., Математика. Методическое руководство и контрольные задания. 2011.
3. Алтухов В.Е., Методика преподавания математики, 2011.
4. Аргунов Б.И., Школьный курс математики и методы его преподавания, 12011.
5. Баженова И.И., Педагогический поиск. М- Педагогика, 2009.
6. Башмаков М.И., Уравнения и неравенства, М., 2010.
7. Башмаков М.И., Алгебра и начала анализа 10-11 класс, 2011
8. Бородуля И.Т., Показательная и логарифмическая функция, М.: Просвещение,
9. Высотский Л.С., Педагогическая психология. М., 2011.
10. Гальперин П.Я., Психология как объективная наука, М.,2010.
11. Галицкий М.Л., Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа – М: Просвещение, 2010.
12. Гельфанд М.С., Глейзер Г.Д., Новое содержание математического образования в вечерней школе, Журнал «Математика в школе», 2009.
13. Герус А.П., Вопросы методики преподавания алгебры в 10 классах, 2009.
14. Глейзер Г.Д., Дидактические материалы к зачетам по математике, 2008.
15. Дорофеев Г. В., Математика – М : Дрофа, 2002
16. Ершова А.П.,Голобородько В.В.,Математика. Самостоятельные и контрольные работы 10-11 класс, М., 2003.
17. Жаворонков А.И., Изучение элементарных алгебраических функций.
18. Злоцкий Г.В., Роль и место дидактических материалов в современном обучении математике. 2009.
19. Крутецкий В.А., Психология обучения и воспитания школьников. М., Просвещение, 2011.
20. Людмилов Д.С., Некоторые вопросы проблемного обучения. М., Просвещение.
21. Манасович С.С., Система упражнений как средство обучения алгебре и началам анализа. 2009.
22. Черкасов О.И., ЯкушевА.А. Математика. Интенсивный курс подготовки к экзаменам – М: Анрис Пресс, 2010.
23. Шабунин М.И., Ткачева Л.С., Алгебра и начала анализа. Дидактические материалы, 2000.
24. Шабунин М. И., Пособие по математике для поступающих в вузы – М: Лаборатория базовых знаний, 2000
25. Автореферат. Организация самостоятельных работ в 10-11 классах . Ленинград, 2010.
26. Пособие. Поурочные планы по учебнику Колмогорова А.Н. «Алгебра и начала анализа 10-11 класс»
27. Пособие. Методические рекомендации учителям математики 9-11 классов вечерней школы. №2, № 7, 2011.
28. Пособие. Алгебра и начала анализа в 10-12 классах вечерней школы. Просвещение, 2013.
29. Пособие. Единый государственный экзамен, Математика . Просвещение, 2013.
30. Сборник статей под редакцией Никитина Н.Н.. Вопросы общей методики преподавания математики, 2911.
31. Сборник статей под редакцией Кирищиева Р.И.. Математика и методика ее преподавания. 2010.
32. Сборник задач для проведения письменного экзамена по математике за курс средней школы. Дрофа, 2005.

Видео:ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

Курсовая работа на тему Методика изучения показательных уравнений неравенств

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

ГЛАВА I . ТЕОРИТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ……………………………………………………………………. 5

1.1 Анализ учебников по алгебре и началам анализа по теме «Показательные уравнения и неравенства» …………………………………………………………

1.2 Показательные уравнения и методы их решения …….…………………….8

ГЛАВА II . МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ И ИХ СИСТЕМ . ……………………..…………..15

2.1 Анализ заданий на решение показательных уравнений и неравенств в составе ЕГЭ……..………………………………………………………. ……. 15

2.2 Методические особенности изучения показательных уравнений и неравенств…. ……………………………………………………….…………..18

Актуальность работы . В школьном курсе математики важное место отводится решению показательных уравнений и неравенств и системам, содержащие показательные уравнения. Впервые ученики встречаются с показательными уравнениями и неравенствами в 10 классе после того, как познакомятся с показательной функцией и ее свойствами, а системы, содержащие показательные уравнения и неравенства в 11 классе. Показательные уравнения, неравенства, системы, содержащие показательные уравнения, встречаются в заданиях ЕГЭ. Поэтому изучению методов их решения должно быть уделено значительное внимание, т.к. в заданиях ЕГЭ системы, содержащие показательные уравнения и неравенства могут быть и комбинированными. И для того, чтобы решить правильно систему уравнений или неравенств, нужно правильно решить показательное уравнение или неравенство.

При решении показательных уравнений и неравенств часто возникают трудности, связанные со следующими особенностями:

— незнание четкого алгоритма решения показательных уравнений, неравенств и их систем;

— при решении показательных уравнений и неравенств, ученики производят преобразования, которые не равносильны исходным уравнениям и неравенствам;

— при решении показательного уравнения и неравенства введением новой переменной забывают возвращаться к обратной замене.

Объектом является процесс обучения математике в старшей школе.

Предметом являются методические особенности изучения показательных уравнений, неравенств и их систем в старших классах средней школы.

Цель данной работы: изучить теоретический материал по теме, проанализировать данную тему в учебниках по алгебре и началам анализа, систематизировать задания ЕГЭ на решение показательных уравнений и неравенств, систематизировать и обобщить методические рекомендации по решению показательных уравнений и неравенств.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

· изучить требования государственных стандартов по теме «Показательные уравнения и неравенства»;

· проанализировать материал по теме в учебниках алгебры и начал анализа;

· систематизировать методы решения показательных уравнений и неравенств;

· систематизировать и обобщить методические особенности изучения данной темы.

В процессе работы используются следующие методы исследования: изучение и анализ теоретических и методологических источников по теме исследования, качественный и количественный анализ данных.

Структура: работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Работа составляет 31 страницы.

ГЛАВА I . ТЕОРИТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1.1 Анализ учебников по алгебре и началам анализа по теме «Показательные уравнения и неравенства»

В данном параграфе мы проведем анализ школьных учебников алгебра и начал анализа для того, чтобы узнать в каком классе изучают показательные уравнения и как преподносится эта тема в каждых из учебников. Для сравнения возьмем 3 учебника алгебры для старших классов общеобразовательной школы.

— А.Г. Мордкович, Алгебра и начала анализа 10-11 классы, учебник для общеобразовательных учреждений;

— А.Н. Колмогоров, Алгебра и начала математического анализа, учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений;

— Ш.В. Алимов, Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, учебник для общеобразовательных учреждений.

Впервые тему «Показательные уравнения неравенства» изучают в 10 классе. Проанализировав учебники, мы можем узнать в чем сходство и различие теоретического материала, заданий.

Учебник алгебры А.Г. Мордковича дает цельное и полное представление о школьном курсе алгебры и начала анализа, отвечает требованиям обязательного минимума содержания образования. Изложение теоретического материала ведется очень подробно. Построение курса алгебры осуществляется на основе приоритетной функциональной линии.

Прежде чем познакомить нас с методами решения показательных уравнений и неравенств автор знакомит нас с такими понятиями как, корень n -ой степени числа и его свойства. Далее мы знакомимся с функцией y , ее графиком и свойствами. После мы изучаем логарифмическую функцию, ее свойства. И уже потом переходим к показательной функции и затем, к решению показательных уравнений и неравенств.

Сначала вводится понятие показательного уравнения, как

показательным называют уравнения вида: , где –

положительное число, отличное от 1, и уравнения сводящиеся к нему. Далее приведена теорема о решении показательного уравнения с одинаковыми основаниями. В учебнике предложены методы решения показательных уравнений: метод уравнивания показателей, функционально-графический метод и метод введения новой переменной.

В каждом параграфе представлено большое количества заданий. Упражнения сконцентрированы по двум блокам. Первый блок содержит задания базового и среднего уровня сложности, второй блок включает задания среднего и повышенного уровня.

По данной теме предлагаются задания:

· решить систему уравнений;

Следует отметить, что учебник «Алгебры и начала анализа10-11 классы» используется в обычном классе. Для профильных классов есть другой учебник этого автора.

Учебник «Алгебры и начала анализа» А.Н. Колмогорова является самым распространенным учебником алгебры в 10-11 классах.

Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров. Задания для учащихся делаться на две части. Первая часть заданий обязательный минимум для учеников, который они должны уметь решать. В следующей части задания чуть сложнее. Также в конце каждой темы можно увидеть задания и вопросы на повторение, что помогает к подготовки к контрольной работе.

В учебники хорошо изложен дополнительный материал, интересные факты, биография ученных, происхождение терминов. Это позволяет развить интерес к предмету и окружающему миру.

Содержание учебника Колмогорова мы сначала изучаем главу функции, в которой изучаем показательную функцию. Затем в следующей главе, переходим к решению показательных уравнений и неравенств. Однако, четкого определения показательного уравнения и неравенства в учебнике нет.

В учебнике представлены следующие задания:

— решите систему уравнений;

Учебник «Алгебра и начала математического анализа» Ш.В. Алимова пользуется меньшей популярностью среди учебников алгебры. Изложение учебника уже близко подходит к математическому анализу. В учебнике очень много разобранных примеров, графических иллюстраций к решению задач.

Задания, предоставляемые в параграфе, разделены на два уровня: средний и высокий. В конце учебника к каждому параграфу есть дополнительные задачи, которые помогают подготовиться к контрольной работе.

Прежде чем перейти к решению показательных уравнений и неравенств автор предлагает сначала познакомиться с показательной функцией, ее графиком и свойствами. В учебнике представлены методы: метод уравнивания показателей, вынесения общего множителя за скобки, метод введения новой переменной. При решении показательных неравенств, также автор предлагает обратить внимание на возрастание и убывание функции. В учебнике предлагается пример решения показательного неравенства графическим методом. После изучения методов решения показательных уравнений и неравенств, сразу дается решение систем, содержащих показательные уравнения и неравенств.

Задания, представленные в учебнике:

— доказать, что уравнение имеет один корень при фиксированном значении ;

— решить графически уравнения;

— найти целые значения неравенства на отрезке;

— решить графически неравенства;

Проанализировав учебники, можно сделать вывод о том, что во всех трех учебниках почти одинаковый порядок изучения темы, но методы решения показательных уравнений представлены по-разному. Теоретическое изложение этой темы, задания представленные в учебнике алгебры и начал анализа изложены лучше под редакцией А.Г. Мордковича.

1.2 Показательные уравнения и методы их решения

Показательным уравнением называется уравнение, содержащее переменную в показателе степени. Например:

Простейшим показательным уравнением называется уравнение вида: .

Пример показательных уравнений:

1.

2.

3.

При решении показательных уравнений необходимо помнить, что решение любого показательного уравнения сводиться к решению простейших показательных уравнений.

Методы решения показательных уравнений:

· Ме т од уравнивания показателей;

· Метод введения новой переменной;

· метод вынесения общего множителя за скобки;

· метод почленного деления ;

Метод уравнивания показателей

Алгоритм решения уравнения методом уравнивания показателей:

· представить обе части показательного уравнения в виде степеней с одинаковыми основаниями;

· на основании теоремы, если где , равносильно уравнению вида ,приравниваем показатели степеней;

· решаем полученное уравнение, согласно его виду(линейное, квадратное и т.д.);

· записываем ответ. [ 1 c.105]

Пример 1. Решить уравнение:

Решение. Представим 27 как . Наше показательное уравнение имеет одинаковое основание 3: . Данное уравнение равносильно уравнению .

Ответ: .

Пример 2. Решить уравнение:

Решение. Упростим показательное уравнение , т.к. в показательном уравнении основания одинаковы, следует, что оно равносильно уравнению: . Решаем это линейное уравнение и получаем: .

Ответ: .

Метод введения новой переменно

Способ подстановки применяется в более сложных примерах. Он заключается в следующем. Показательное уравнение можно решить, введя новое обозначение. После подстановки в исходное уравнение нового обозначения получим новое, более простое уравнение, решив которое, возвращаемся к подстановке и находим корни исходного уравнения.

Алгоритм решения показательного уравнения методом введения новой переменной:

· определить возможность переписать данное уравнение в новом виде, позволяющем ввести новую переменную;

· решаем уравнение относительно новой переменной;

· записываем ответ. [1 c.109]

Пример1. Решить уравнение:

Решение. Упростим показательное уравнение . Применим метод введения новой переменной, пусть . Данное уравнение можно записать в виде . Решая это квадратное уравнение, получаем . Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений ⇒

Ответ:

Метод вынесения общего множителя за скобки

Вынесение множителя за скобки применяется для разложения многочлена на множители. Для этого нужно сначала каждое слагаемое многочлена заменить произведением двух множителей. Например, в многочлене у каждого слагаемого есть общий множитель . Поэтому этот многочлен можно представить так: .

Теперь это выражение можно представить в виде произведения двух множителей, один из которых общий множитель , а второй — сумма , которая заключается в скобки: .

Таким образом, общий множитель был вынесен за скобки и в результате этого тождественного преобразования первоначальное выражение представлено в виде другого, тождественного ему: .

Вынесение общего множителя за скобки применяется, например, при тождественных преобразованиях дробей (сокращение дробей, приведение к общему знаменателю), при решении уравнений и в других задачах. [3 c .170]

Решение показательных уравнений методом вынесения общего множителя за скобки

Пример1. Решить уравнение: .

Решение: , т.к. равносильно , запишем как . Вынесем за скобку: . Отсюда

. Представим 27 как .Тогда получимуравнение . Следовательно, .

Ответ: .

Метод основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функций.

В одной системе координат строим графики функций, записанные в левой и в правой частях уравнения, затем находим точку (точки) их пересечения. Абсцисса найденной точки является решением уравнения.

· левую и правую части уравнения представить в виде функций;

· построить графики обеих функций в одной системе координат;

· найти точки пересечения графиков, если они есть;

· указать абсциссы точек пересечения, это корни уравнения[3 c . 118]

Пример 1. Решить уравнение: .

Видео:11 класс, 12 урок, Показательные уравненияСкачать

Методика изучения показательных уравнений и неравенств

Из предложенных тем я выбрала: «Методы решения показательных уравнений и неравенств», так как она наиболее актуальна не только для меня, но и для детей моего возраста. В связи с приближающимися экзаменами, данный проект так же поможет мне при решении заданий из ЕГЭ.

В данной работе исследуются разные способы решений показательных уравнений и неравенств.

В процессе выполнения проекта я приобрела навыки проектной деятельности, развила коммуникативные и аналитические способности, а также навыки самостоятельного поиска необходимого материала с помощью учебной и художественной литературы и интернет­-источников, более того получила знания как по математики, так и по истории.

Для достижения цели исследовательской работы необходимо было решить следующие задачи:

— осваивание математических знаний и умений, необходимых для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне.

-изучить различные методы решения показательных уравнений и неравенств.

— развитие логического мышления и алгоритмической культуры;

Обычно математику считают прямой противоположностью поэзии. Однако математика и поэзия — ближайшие родственники, ведь и то и другое — работа воображения.
Томас Хилл

Определенно, чтобы понять и научиться решать любые математические задания, мало просто знать все многочисленные формулы и свойства, которыми богата данная наука. Если не подходить к заданию творчески, широко и открыто мыслить, то легко попадешь «в тупик», что может привести не только к разочарованию в науке, но и в самом себе. Математика как игра привлекательна свое содержательностью, сложностью и неожиданностью результатов. Так же для овладения почти любой современной профессии требуются математические познания. Строгое и абстрактное мышление, необходимое в реальной действительности, легче развить, занимаясь математикой, поскольку эта наука строга и абстрактна. Именно поэтому, на примере решения показательных уравнений и неравенств, я хочу показать, что данный процесс может не только увлечь вас, но и так же заставить ваш мозг работать куда продуктивнее.

История Показательных уравнений

Термин «показатель» для степени ввел в 1553 г. немецкий математик (сначала монах, а затем − профессор) Михаэль Штифель (1487-1567). По-немецки показатель − Exponent: «выставлять напоказ». Штифель же ввел дробные и нулевой показатели степени. Само обозначение ax для натуральных показателей степени ввел Рене Декарт (1637 г.), а свободно обращаться с такими же дробными и отрицательными показателями стал с 1676 г. сэр Исаак Ньютон.
Степени с произвольными действительными показателями, без всякого общего определения, рассматривали и Готфрид Вильгельм Лейбниц, и Иоганн Бернулли; в 1679 г. Лейбниц ввел понятия экспоненциальной (т.е., по-русски, показательной) функции для зависимости y=ax и экспоненциальной кривой для графика этой функции.

Уравнение, которое содержит неизвестное в показателе степени, называется показательным уравнением.

Самое простое показательное уравнение имеет вид:

Показательные уравнения путём алгебраических преобразований приводят к стандартным уравнениям, которые решаются, используя следующие методы:

• метод приведения к одному основанию;
• метод введения новых переменных;
• метод вынесения общего множителя за скобки;
• метод почленного деления;
• метод группировки;
• метод оценки.

Метод приведения к одному основанию

Способ основан на следующем свойстве степеней: если равны две степени и равны их основания, то равны и их показатели, т. е. уравнение надо попытаться свести к виду:

Представим правую часть в виде 3 log 3 7 x+1 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

И запишем уравнение равносильное исходному

3 2x-1 = 3 log 3 7 x+1 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Перейдем к уравнению для показательных степеней

2x-1= log 3 7 x+1 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

2x-1=x log 3 7 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image005.png» /> + log 3 7 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

x(2- log 3 7 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image005.png» /> )= log 3 7 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

x= 1+ log 3 7 2- log 3 7 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

x= log 3 3+ log 3 7 log 3 3 2 — log 3 7 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

x= log 3 21 log 3 9 7 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

x= log 9 7 21 ≈12.1144 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Ответ: 12.1144 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Метод введения новых переменных

Введение новой переменной обычно производится после преобразований членов уравнения.

4 x 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image012.png» /> — 2 x 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Обозначим t= 2 x 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image013.png» /> ,где t>0, тогда

t 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

t 1 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

t 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Так как -1 2 x 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image013.png» /> =2 , откуда

x 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Метод вынесения общего множителя за скобки

Тождественное преобразование, в результате которого многочлен
приводится к произведению нескольких множителей, называют
разложением многочлена на множители.

x2·2x+1 + 2|x-3|+2 = x2·2|x-3|+4 + 2x-1

То, что находится в правой части, мы перенесем в левую часть и сгруппируем многочлены с одинаковыми показателями

(x2·2x+1 -2x-1)+(2|x-3|+2- x2·2|x-3|+4) = 0

Вынесем общие множители за скобки

2x-1(4×2-1) +2|x-3|+2(1-4×2) = 0,

Последнее уравнение равносильно совокупности

Из первого уравнения совокупности находим x1 = — 1 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image019.png» /> ,x2= 1 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Из второго уравнения получаем:

x — 1= x — 3 +2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

x — 3= x — 3 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

x — 3= x — 3, если x ≥3 x — 3=- x +3, если x <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

0∙ x =0, если x ≥3 2 x =6, x =3, если x <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Ответ: — 1 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image025.png» /> ∪ <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image026.png» /> 1 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image027.png» /> ∪ <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image026.png» /> 3; +∞ <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Метод почленного деления

Данный метод заключается в том, чтобы разделить каждый член уравнения, содержащий степени с одинаковыми показателями, но разными основаниями, на одну из степеней. Этот метод применяется для решения однородных показательных уравнений.

22х·2– 7·2х·5х+52х·5=0 /52х≠ 0
2· 2 5 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image029.png» /> 2х– 7· 2 5 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image029.png» /> х +5=0

Пусть 2 5 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image029.png» /> х =t, t>0
2t2-7t+5=0
D=b2-4ac=49-4·2·5=9
t1=1, t2= 5 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image030.png» />
2 5 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image029.png» /> х=1, 2 5 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image029.png» /> х = 5 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image030.png» />
х=0, х=-1

3·22х+ 1 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image020.png» /> ·9х+1– 6·4х+1= — 1 3 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

1 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image020.png» /> ·9х+1+ 1 3 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image020.png» /> ·9х·9+ 1 3 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

31,5= 21· 4 9 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

4 9 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image032.png» /> х= 3 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

2 3 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image034.png» /> 2х= 2 3 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

( 5 ) 2+4+6+. +2 x <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image035.png» /> = 5 45 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image036.png» /> , x Î N

Логарифмируя по основанию 5 (обе части уравнения положительны), получим

1 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image020.png» /> (2+4+6+. +2x) = 45

Используя формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии

Sn =n( a 1 + a n 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

x 1+ x 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image038.png» /> =45 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

корни которого x1 = -10 и x2 = 9.

Поскольку x ÎN, остается x = 9.

Неравенства, содержащие переменные в показатели степени, называются показательными. Методы применяемы при решении показательных уравнений, мы также можем использовать и при решении показательных неравенств. Приведем несколько примеров.

2 x — 3 ≥ <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image040.png» /> 4+ 1 6- 2 x — 3 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

В этом неравенстве мы используем метод введения новой переменной.

Пусть 2 x — 3 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image042.png» /> =t, тогда получаем неравенство

t ≥ <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image043.png» /> 4+ 1 6- t <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Преобразуем последнее неравенство

4+ 1 6- t <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image045.png» /> – t ≤ <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

t 2 — 10 t +25 6- t ≤ <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

(t-5) 2 6-t ≤ <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Используя метод интервалов, найдем решение неравенства с переменной

t=5, t > <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image049.png» /> 6. Отсюда 2 x — 3 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image042.png» /> =5 и 2 x — 3 > <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Пусть 2 x <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image051.png» /> =a, решим уравнение и неравенство с модулем.

Из уравнения a-3 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image052.png» /> =5 получаем

a-3=5 a-3=-5 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

a=8 a=-2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Подставим вместо a= 2 x <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

2 x =8 2 x =-2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Модуль a — 3 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image052.png» /> есть расстояние на координатной оси от точки a до точки 3.

Для решения неравенств a — 3 > <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image056.png» /> 6 необходимо найти такие точки, расстояние от которых до точки 3 больше 6. Справа от точки 3 расположена точка 9 на расстоянии 6 единиц, а слева — точка (-3). Поэтому из неравенства

a — 3 > <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image056.png» /> 6 получаем a <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image057.png» /> -3 или a > <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

2 x 2 x >9 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

2 x > 2 log 2 9 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

x > log 2 9 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Ответ: ∪ ( log 2 9 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

2 (3 2x + 2 x ∙ 3 x+1 + 3 0 ) > 3 (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 + log 3 2) <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Так как и левая, и правая части неравенства положительны, то от них можно взять log2 :

3 2x + 2 x ∙ 3 x +1> log 2 3 (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 + log 3 2) <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

3 2x + 2 x ∙ 3 x +1> (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 + log 3 2)∙ log 2 3 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

3 2x + 2 x ∙ 3 x +1> (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 )∙ log 2 3 +1 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

3 2x + 2 x ∙ 3 x > (4 x — 2 x ∙ 3 x+1 )∙ log 2 3 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Поделим каждое слагаемое неравенства на ( 2 x ∙ 3 x ) <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

3 2 x +1> 2 3 x — 3 ∙ log 2 3 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Обозначим: 3 2 x <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image069.png» /> =y, где y > <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

y+1 > 1 y — 3 ∙ log 2 3 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Умножим каждое слагаемое на y:

y 2 +y> 1-3y ∙ log 2 3 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Перенесем многочлен из левой стороны в правую сторону:

y 2 +y- 1-3y ∙ log 2 3 >0 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

y 2 +y — log 2 3+3y log 2 3 >0 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

y 2 + 3 log 2 3 +1 y- log 2 3 >0 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

y 2 + 3 log 2 3 +1 y- log 2 3=0 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

D = 3 log 2 3 +1 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image076.png» /> 2 + <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image077.png» /> 4 log 2 3= 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

D >0 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

y = — 3 log 2 3 +1 ± 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

В связи с тем, что log 2 3 >0 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

1AppDataLocalTempmsohtmlclip11clip_image081.png» /> , то и D > 3 log 2 3 +1 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Из этого следует, что только один из корней будет больше нуля:

y = — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Отметим точку y на оси, y >0 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

y Î — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 ;+∞ <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Из этого следует, что x Î log 3 2 — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 ;+∞ <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Ответ: x Î log 3 2 — 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 ;+∞ <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

— 3 log 2 3 +1 + 9 log 2 3 2 +10 log 2 3 +1 2 <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="file:///C:UsersWEBMAS

Работа над данным проектом была интересной и увлекательной. Но что самое главное — она стала очень полезной для меня, так как совсем скоро мне предстоит сдавать экзамены. Ведь изучение над этой темой не только дало мне новые знания, но также помогло развить логическое мышление и научило находить решение в, казалось бы, безвыходных ситуациях.
Мне понравилось работать над данной темой, потому что благодаря этому проекту я смогла расширить свои знания в области показательных уравнений и неравенств.

Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс:/ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачев, Н.Е.Федоров, М.И.Шабунин

Алгебра и начала математического анализа. 10-11 класс. Учебник. Базовый и углублённый уровни. Колягин Ю. М.

ЕГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов/ под редакцией И.В. Ященко.

ЕГЭ 2016. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов/ под редакцией И.В. Ященко.

💥 Видео

Системы показательных уравнений и неравенств. Видеоурок 13. Алгебра 10 классСкачать

Это просто! Как решать Показательные Неравенства?Скачать

Показательные неравенства. 11 класс.Скачать

11 класс, 13 урок, Показательные неравенстваСкачать

§14 Системы показательных уравнений и неравенствСкачать

Графический метод решения показательных уравнений и неравенств Алгебра 10 (база)Скачать

Показательные неравенства и их системы. Вебинар | МатематикаСкачать

Показательные уравнения и неравенстваСкачать

системы показательных уравнений и неравенствСкачать

СИСТЕМЫ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ системы показательных неравенствСкачать

Как решать системы показательных уравнений. Урок№ 27Скачать

10 класс. Алгебра. Системы показательных уравнений.Скачать

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 10 класс решение показательных уравненийСкачать

Методы решения показательных уравнений. Урок №25.Скачать

Как решать системы показательных уравнений и неравенств? Начало.Скачать

Алгебра 10 класс (Урок№22 - Показательные уравнения. Системы показательных уравнений.)Скачать