Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Метод Жордана-Гаусса онлайн

Данный онлайн калькулятор находит общее решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса. Дается подробное решение. Для вычисления выбирайте количество уравнений и количество переменных. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить.» Теоретическую часть нахождения решения системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса смотрите ниже.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:Метод Гаусса и метод Жордана-Гаусса ➜ 2 метода за 7 минутСкачать

Метод Гаусса и метод Жордана-Гаусса ➜ 2 метода за 7 минут

Метод Жордана-Гаусса

Метод Жордана-Гаусса − это метод для решения систем линейных уравнений а также метод нахождения обратной матрицы. Данный метод является модификацией метода Гаусса.

Первый этап метода Жордана-Гаусса аналогична методу Гаусса (прямой ход Гаусса), который подробно можно посмотреть на странице «Метод Гаусса онлайн». Второй этап (обратный ход) метода Жордана-Гаусса заключается в обнулении всех элементов матрицы коэффициентов системы линейных уравнений, выше ведущих элементов. Отметим, что мы здесь рассматриваем произвольную систему линейных уравнений, где число переменных может быть не равным числу ограничений.

Рассмотрим следующую систему линейных уравнений:

Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы(1)

Запишем систему (1) в матричном виде:

Ax=b(2)
Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыМетод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы(3)

A-называется матрица коэффициентов системы, b − правая часть ограничений, x− вектор переменных, которую нужно найти. Пусть rang(A)=p.

Построим расшренную матрицу системы:

Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы(4)

После прямого хода Гаусса (подробнее о прямом ходе Гаусса посмотрите на странице «Метод Гаусса онлайн») получим следующую расширенную матрицу:

Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы(5)

Если Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы. Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыравны нулю, то система линейных уравнений имеет решение, если же хотя бы один из этих чисел отлично от нуля, то система несовместна. Иными словами, система (2) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A навен рангу расширенной матрицы (A|b).

Пусть Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы. Тогда в обратном порядке, начиная с ведущего элемента Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыприменяем обратный ход Гаусса. Суть обратного хода заключается в обнулении всех элементов расширенной матрицы, стоящих выше ведущих элементов.

Итак, обнуляем все элементы, стоящие в столбце p, выше элемента Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы. Так как Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы≠0, то сложим строки 1,2. p−1 со строкой p, умноженной на Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системысоответственно.

Расширенная матрица примет следующий вид:

Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Аналогичным методом обнуляем элементы столбцов p−1, p−2, . 2 выше ведущих элементов Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы.

Расширенная матрица примет следующий вид:

Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Делим каждую строку на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Тогда решение можно записать так:

Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

где Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы− произвольные вещественные числа.

Отметим, что при m=n и rangA=n система линейных уравнений (2) имеет единственное решение.

Рассмотрим численные примеры.

Видео:Метод Жордана-Гаусса (метод прямоугольников). ВидеоурокСкачать

Метод Жордана-Гаусса (метод прямоугольников). Видеоурок

Примеры решения системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса

Пример 1. Найти решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса:

Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Матричный вид записи: Ax=b, где

Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы.

Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы.

Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a11. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на 1/2,-3/2 соответственно:

Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы.

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a2 2. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на 1/5:

Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы.

Второй этап. Обратный ход Гаусса

Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше элемента a33. Для этого сложим строки 1, 2 со строкой 3, умноженной на -3/2, -5/4 соответственно:

Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы.

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a22. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на -2/5:

Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы.

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы.
Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы.

Векторный вариант решения:

Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы.

Пример 2. Найти решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса:

Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Матричный вид записи: Ax=b, где

Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a11. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на 4/3, 5/3 соответственно:

Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a2 2. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на -2:

Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Второй этап. Обратный ход Гаусса

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a22. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на -3/10:

Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Выразим переменные x1, x2 относительно остальных переменных.

Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

x3− произвольное действительное число.

Векторный вариант решения:

Запишем вышеизложенное решение, представив свободные переменные в виде тождеств:

Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Тогда векторное решение можно представить так:

Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы,

x3− произвольное действительное число.

Видео:Метод Гаусса и метод Жордана-ГауссаСкачать

Метод Гаусса и метод Жордана-Гаусса

Метод Жордана-Гаусса для решения СЛАУ

В данной статье мы рассмотрим метод Жордана-Гаусса для решения систем линейных уравнений, отличие метода Гаусса от метода Жордана-Гаусса, алгоритм действий, а также приведем примеры решений СЛАУ.

Видео:Метод Жордана-Гаусса решения систем линейных уравнений.Скачать

Метод Жордана-Гаусса решения систем линейных уравнений.

Основные понятия

Метод Жордана-Гаусса — один из методов, предназначенный для решения систем линейных алгебраических уравнений.

Этот метод является модификацией метода Гаусса — в отличие от исходного (метода Гаусса) метод Жордана-Гаусса позволяет решить СЛАУ в один этап (без использования прямого и обратного ходов).

Матричная запись СЛАУ: вместо обозначения А в методе Жордана-Гаусса для записи используют обозначение Ã — обозначение расширенной матрицы системы.

Решить СЛАУ методом Жордана-Гаусса:

4 x 1 — 7 x 2 + 8 x 3 = — 23 2 x 1 — 4 x 2 + 5 x 3 = — 13 — 3 x 1 + 11 x 2 + x 3 = 16

Записываем расширенную матрицу системы:

à = 4 — 7 8 | — 23 2 — 4 5 | — 13 — 3 11 1 | 16

Напоминаем, что слева от черты записывается матрица системы А :

A = 4 — 7 8 2 — 4 5 — 3 11 1

На каждом шаге решения необходимо выбирать разрешающие элементы матрицы. Процесс выбора может быть различным — в зависимости от того, как выбираются элементы, решения будут отличаться. Можно выбирать в качестве разрешающих элементов диагональные элементы матрицы, а можно выбирать произвольно.

В этой статье мы покажем оба способа решения.

Видео:Практика. Решение систем методом Жордана-ГауссаСкачать

Практика. Решение систем методом Жордана-Гаусса

Произвольный способ выбора разрешающих элементов

  • Первый этап:

Следует обратиться к 1-му столбцу матрицы Ã — необходимо выбрать ненулевой (разрешающий) элемент.

В 1-ом столбце есть 3 ненулевых элемента: 4, 2, -3. Можно выбрать любой, но, по правилам, выбирается тот, чей модуль ближе всего к единице. В нашем примере таким числом является 2.

Цель: обнулить все элементы, кроме разрешающего, т.е. необходимо обнулить 4 и -3:

4 — 7 8 2 — 4 5 — 3 11 1

Произведем преобразование: необходимо сделать разрешающий элемент равным единице. Для этого делим все элементы 2-ой строки на 2. Такое преобразование имеет обозначение: I I : 2 :

4 — 7 8 | — 23 2 — 4 5 | — 13 — 3 11 1 | 16 I I ÷ 2 → 4 — 7 8 | — 23 2 — 4 5 / 2 | — 13 / 2 — 3 11 1 | 16

Теперь обнуляем остальные элементы: 4 и -3:

4 — 7 8 | — 23 2 — 4 5 / 2 | — 13 / 2 — 3 11 1 | 16 I — 4 × I I I I I — ( — 3 ) × I I

Необходимо выполнить преобразования:

I — 4 × I I и I I I — ( — 3 ) × I I = I I I + 3 × I I

Запись I — 4 × I I означает, что от элементов 1-ой строки вычитаются соответствующие элементы 2-ой строки, умноженные на 4.

Запись I I I + 3 × I I означает, что к элементам 3-ей строки прибавляются соответствующие элементы 2-ой строки, умноженные на 3.

I — 4 × I I = 4 — 7 8 — 23 — 4 1 — 2 5 / 2 — 13 / 2 = = 4 — 7 8 — 23 — 4 — 8 10 — 26 = 0 1 — 2 3

Записываются такие изменения следующим образом:

4 — 7 8 | — 23 2 — 4 5 / 2 | — 13 / 2 — 3 11 1 | 16 I — 4 × I I I I I — ( — 3 ) × I I → 0 1 — 2 | 3 1 — 2 5 / 2 | — 13 / 2 0 5 17 / 2 | — 7 / 2

Необходимо обнулить 2-ой столбец, следовательно, нужно выбрать разрешающий элемент: 1, -2, 5. Однако 2-ую строку матрицы мы использовали в первом этапе, так что элемент -2 не может быть использован.

Поскольку необходимо выбирать число, чей модуль ближе всего к единице, то выбор очевиден — это 1. Обнуляем остальные элементы 2-го столбца:

0 1 — 2 | 3 1 — 2 5 / 2 | — 13 / 2 0 5 17 / 2 | — 7 / 2 I I — ( — 2 ) × I I I I — 5 × I

0 1 — 2 | 3 1 — 2 5 / 2 | — 13 / 2 0 5 17 / 2 | — 7 / 2 I I + 2 × I I I I — 5 × I → 0 1 — 2 | 3 1 0 — 3 / 2 | — 1 / 2 0 0 37 / 2 | — 37 / 2

Теперь требуется обнулить элементы 3-го столбца. Поскольку первая и вторая строки уже использованы, поэтому остается только один вариант: 37 / 2 . Обнуляем с его помощью элементы третьего столбца:

0 1 — 2 | 3 1 0 — 3 / 2 | — 1 / 2 0 0 37 / 2 | — 37 / 2

I — ( — 2 ) × I I I = I + 2 × I I I и I I — ( — 3 2 ) × I I I = I I + 3 2 × I I

получим следующий результат:

0 1 — 2 | 3 1 0 — 3 / 2 | — 1 / 2 0 0 1 | — 1 I + 2 × I I I I I + 3 / 2 × I I I → 0 1 0 | 1 1 0 0 | — 2 0 0 1 | — 1

Ответ: x 1 = — 2 ; x 2 = 1 ; x 3 = — 1 .

4 — 7 8 | — 23 2 — 4 5 | — 13 — 3 11 1 | 16 I I ÷ 2 → 4 — 7 8 | — 23 2 — 4 5 / 2 | — 13 / 2 — 3 11 1 | 16 I — 4 × I I I I I — ( — 3 ) × I I →

→ 0 1 — 2 | 3 1 — 2 5 / 2 | — 13 / 2 0 5 17 / 2 | — 7 / 2 I I — ( — 2 ) × I I I I — 5 × I → 0 1 — 2 | 3 1 0 — 3 / 2 | — 1 / 2 0 0 37 / 2 | — 37 / 2 I I I ÷ 37 2 →

→ 0 1 — 2 | 3 1 0 — 3 / 2 | — 1 / 2 0 0 1 | — 1 I + 2 × I I I I I + 3 / 2 × I I I → 0 1 0 | 1 1 0 0 | — 2 0 0 1 | — 1 .

Видео:Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса

Выбор разрешающих элементов на главной диагонали матрицы системы

Принцип выбора разрешающих элементов строится на простом отборе соответствующих элементов: в 1-ом столбце выбирается элемент 1-го столбца, во 2-ом — второй, в 3-ем — третий и т.д.

  • Первый этап

В первом столбце необходимо выбрать элемент первой строки, т.е. 4. Но поскольку в первом столбце есть число 2, чей модуль ближе к единице, чем 4, то можно поменять местами первую и вторую строку:

4 — 7 8 | — 23 2 — 4 5 | — 13 — 3 11 1 | 16 → 2 — 4 5 | — 13 4 — 7 8 | — 23 — 3 11 1 | 16

Теперь разрешающий элемент — 2. Как показано в первом способе, делим первую строку на 2, а затем обнуляем все элементы:

4 — 7 8 | — 23 2 — 4 5 | — 13 — 3 11 1 | 16 I ÷ 2 → 2 — 4 5 / 2 | — 13 / 2 4 — 7 8 | — 23 — 3 11 1 | 16 I I — 4 × I I I I + 3 × I → 1 — 2 5 / 2 | — 13 / 2 0 1 — 2 | 3 0 5 17 / 2 | — 7 / 2

На втором этапе требуется обнулить элементы второго столбца. Разрешающий элемент — 1, поэтому никаких изменений производить не требуется:

0 1 — 2 | 3 1 — 2 5 / 2 | — 13 / 2 0 5 17 / 2 | — 7 / 2 I + 2 × I I I I I — 5 × I I → 0 1 — 2 | 3 1 0 — 3 / 2 | — 1 / 2 0 0 37 / 2 | — 37 / 2

На третьем этапе необходимо обнулить элементы третьего столбца. Разрешающий элемент — 37/2. Делим все элементы на 37/2 (чтобы сделать равными 1), а затем обнуляем:

0 1 — 2 | 3 1 0 — 3 / 2 | — 1 / 2 0 0 37 / 2 | — 37 / 2 I I I ÷ 37 2 → 1 0 — 3 / 2 | — 1 / 2 0 1 — 2 | 3 0 0 1 | — 1 I + 2 × I I I I I + 3 / 2 × I I I → 1 0 0 | — 2 0 1 0 | 1 0 0 1 | — 1

Ответ: x 1 = — 2 ; x 2 = 1 ; x 3 = — 1 .

4 — 7 8 | — 23 2 — 4 5 | — 13 — 3 11 1 | 16 I ÷ 2 → 2 — 4 5 / 2 | — 13 / 2 4 — 7 8 | — 23 — 3 11 1 | 16 I I — 4 × I I I I + 3 × I → 0 1 — 2 | 3 1 — 2 5 / 2 | — 13 / 2 0 5 17 / 2 | — 7 / 2 I + 2 × I I I I I — 5 × I I →

→ 0 1 — 2 | 3 1 0 — 3 / 2 | — 1 / 2 0 0 37 / 2 | — 37 / 2 I I I ÷ 37 2 → 1 0 — 3 / 2 | — 1 / 2 0 1 — 2 | 3 0 0 1 | — 1 I + 2 × I I I I I + 3 / 2 × I I I → 1 0 0 | — 2 0 1 0 | 1 0 0 1 | — 1

Решить СЛАУ методом Жордана-Гаусса:

3 x 1 + x 2 + 2 x 3 + 5 x 4 = — 6 3 x 1 + x 2 + 2 x 4 = — 10 6 x 1 + 4 x 2 + 11 x 3 + 11 x 4 = — 27 — 3 x 1 — 2 x 2 — 2 x 3 — 10 x 4 = 1

Записать расширенную матрицу данной системы Ã :

3 1 2 5 | — 6 3 1 0 2 | 10 6 4 11 11 | — 27 — 3 — 2 — 2 — 10 | 1

Для решения используем второй способ: выбор разрешающих элементов на главной диагонали системы. На первом этапе выбираем элемент первой строки, на втором — второй строки, на третьем — третьей и т.д.

Необходимо выбрать разрешающий элемент первой строки, т.е. 3. Затем обнуляем все элементы столбца, разделяя на 3 все элементы:

3 1 2 5 | — 6 3 1 0 2 | — 10 6 4 11 11 | — 27 — 3 — 2 — 2 — 10 | 1 I ÷ 3 → 1 1 / 3 2 / 3 5 / 3 | — 2 3 1 0 2 | — 10 6 4 11 11 | — 27 — 3 — 2 — 2 — 10 | 1 I I — 3 × I I I I — 6 × I I V + 3 × I →

→ 1 1 / 3 2 / 3 5 / 3 | — 2 0 0 — 2 — 3 | — 4 0 2 7 1 | — 15 0 — 1 0 — 5 | — 5

Необходимо обнулить элементы второго столбца. Для этого выделяем разрешающий элемент, но элемент первой строки второго столбца равен нулю, поэтому необходимо менять строки местами.

Поскольку в четвертой строке есть число -1, то меняем местами вторую и четвертую строки:

1 1 / 3 2 / 3 5 / 3 | — 2 0 0 — 2 — 3 | — 4 0 2 7 1 | — 15 0 — 1 0 — 5 | — 5 → 1 1 / 3 2 / 3 5 / 3 | — 2 0 — 1 0 — 5 | — 5 0 2 7 1 | — 15 0 0 — 2 — 3 | — 4

Теперь разрешающий элемент равен -1. Делим элементы второго столбца на -1, а затем обнуляем:

1 1 / 3 2 / 3 5 / 3 | — 2 0 — 1 0 — 5 | — 5 0 2 7 1 | — 15 0 0 — 2 — 3 | — 4 I I ÷ ( — 1 ) → 1 1 / 3 2 / 3 5 / 3 | — 2 0 1 0 5 | 5 0 2 7 1 | — 15 0 0 — 2 — 3 | — 4 I — 1 / 3 × I I I I I — 2 × I →

→ 1 0 2 / 3 0 | — 11 / 3 0 1 0 5 | 5 0 0 7 — 9 | — 25 0 0 — 2 — 3 | — 4

На третьем этапе необходимо также обнулить элементы третьего столбца. Для этого находим разрешающий элемент в третьей строке — это 7. Но на 7 делить неудобно, поэтому необходимо менять строки местами, чтобы разрешающий элемент стал -2:

1 0 2 / 3 0 | — 11 / 3 0 1 0 5 | 5 0 0 7 — 9 | — 25 0 0 — 2 — 3 | — 4 → 1 0 2 / 3 0 | — 11 / 3 0 1 0 5 | 5 0 0 — 2 — 3 | — 4 0 0 7 — 9 | — 25

Теперь делим все элементы третьего столбца на -2 и обнуляем все элементы:

1 0 2 / 3 0 | — 11 / 3 0 1 0 5 | 5 0 0 — 2 — 3 | — 4 0 0 7 — 9 | — 25 I I I ÷ ( — 2 ) → 1 0 2 / 3 0 | — 11 / 3 0 1 0 5 | 5 0 0 1 3 / 2 | 2 0 0 0 — 9 | — 25 I — 2 / 3 × I I I I V — 7 × I I I →

1 0 0 — 1 | — 5 0 1 0 5 | 5 0 0 1 3 / 2 | 2 0 0 0 — 39 / 2 | — 39

Обнуляем четвертый столбец. Разрешающий элемент — — 39 2 :

1 0 0 — 1 | — 5 0 1 0 5 | 5 0 0 1 3 / 2 | 2 0 0 0 — 39 / 2 | — 39 I V ÷ ( — 39 2 ) → 1 0 0 — 1 | — 5 0 1 0 5 | 5 0 0 1 3 / 2 | 2 0 0 0 1 | 2 I + I V I I — 5 × I V I I I — 3 / 2 × I V →

→ 1 0 0 0 | — 3 0 1 0 0 | — 5 0 0 1 0 | — 1 0 0 0 1 | 2 .

Ответ: x 1 = — 3 ; x 2 = — 5 ; x 3 = — 1 ; x 4 = 2

Видео:Решение системы линейных уравнений методом ГауссаСкачать

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Метод Жордана Гаусса

Содержание:

Метод Жордана Гаусса

Суть метода Жордана-Гаусса заключается в построении такой ступенчатой матрицы, вдоль главной диагонали которой будут стоять лишь одни единицы.

Затем, не производя обратного хода, как это было сделано в методе Гаусса, нужно продолжать элементарными преобразованиями снизу вверх обращать в нули элементы, стоящие над главной диагональю, до тех пор, пока слева до черты в расширенной матрице не будет стоять единичная матрица.

Тогда справа получим решение системы уравнений.

Это один из самых простых и изящных способов решения систем линейных уравнений.

Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Примеры с решением

Пример 1:

Решить систему уравнений методом Жорда-на-Гаусса: Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Решение:

Расширенная матрица системы имеет вид: Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Преобразуем первый столбец: Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыв результате получим Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Теперь работаем с нижней строкой, содержащей единицу в четвертом столбце, и с ее помощью «обнуляем» весь столбец. Не забываем выполнять действия со строчкой, содержащей не четыре, а пять элементов.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Справа получили столбец решений. Таким образом: Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыМетод Жордана-Гаусса вычисления обратной матрицы. Используя метод Жордана-Гаусса, можно вычислять обратные матрицы менее трудоемким способом, чем через алгебраические дополнения. Возьмем нашу обычную квадратную матрицу Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыи припишем к ней справа единичную матрицу той же размерности: Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Элементарными преобразованиями над строками, используя алгоритм метода Жордана-Гаусса, приведем левую часть к единичной матрице: Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Матрица Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыполученная справа, и будет обратной к Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Пример 2:

Найти обратную матрицу к матрице Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Решение:

Припишем справа к матрице единичную матрицу той же размерности и применим к полученной двойной матрице преобразования над строками: Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыСделав проверку, получим Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Метод Жордана-Гаусса 1. Система из га линейных уравнений с п неизвестными в общем случае записывается так:

Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы(1) Коэффициенты Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыи свободные члены Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы— заданные действительные числа. Первый индекс Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыв записи Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыобозначает номер уравнения, второй — Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы— номер неизвестной.

Решить систему (1) — значит найти все ее решения, т.е. все такие наборы чисел Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыкоторые при подстановке во все уравнения системы превращают их в верные равенства, или доказать, что решений нет.

Система (1) называется:

  • совместной, если она имеет хотя бы одно решение;
  • определенно совместной, если она имеет только одно решение;
  • неопределенно совместной, если она имеет более одного решения;
  • несовместной, если она не имеет ни одного решения. 2°. Две системы называются равносильными, если они имеют одинаковые решения или обе несовместны. Переход от одной системы к равносильной осуществляется при помощи множества элементарных преобразований:
  • умножение обеих частей любого уравнения на отличное от нуля число;
  • прибавление к одному из уравнений произвольного другого, умноженного на любое число;
  • удаление (вычеркивание) из системы тривиального уравнения Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы— если в системе имеются два или более уравнений с пропорциональными коэффициентами, то сохранить нужно только одно из них.

Уравнение Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыне имеет решений. Оно называется противоречивым. Система, содержащая такое уравнение, сама противоречива, т.е. несовместна. 3. Один шаг метода Жордана-Гаусса состоит в приведении системы (1) к виду Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

(2) в котором одна неизвестная Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системысохранена с коэффициентом 1 только в Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыуравнении, а из остальных исключена. Систему (2) назовем разрешенной относительно неизвестной Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыпоскольку ее легко выразить через остальные неизвестные данной системы. Для того, чтобы получить систему (2), требуется следующее:

1) коэффициент Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыпри Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыв уравнении с номером р должен быть отличен от нуля; в дальнейшем Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыназовем ведущим, или разрешающим коэффициентом, а Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыуравнение — ведущим уравнением;

2) Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыуравнение надо разделить на Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

3) для получения нулевых коэффициентов при Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыв остальных уравнениях следует из Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыуравнения вычесть ведущее уравнение, сначала разделенное на Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыа затем домноженное на Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыТогда все остальные коэффициенты Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыпреобразуются по формулам Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Эти формулы будем называть формулами Жордана-Гаусса.

Расчет по ним удобно выполнять, пользуясь мнемоническим правилом прямоугольника, наглядно показанным на следующих диаграммах: Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

На втором шаге сохраним с коэффициентом 1 другую неизвестную в другом уравнении, исключая из остальных. Через Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системышагов систему (1) можно привести к системе, состоящей из г уравнений (остальные Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системытривиальных уравнений, если такие были, отброшены) и содержащей Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыразрешенных неизвестных.

Эти г неизвестных назовем базисными (используя векторную терминологию, которая появится позже), остальные — свободными, или независимыми.

Основная часть метода Жордана-Гаусса завершена. Если Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыто система разрешена относительно всех неизвестных, т.е. однозначно совместна. Если Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыто, выражая базисные (зависимые) неизвестные через свободные (независимые), получаем «общее» решение системы в соответствующем базисе, которое впоследствии следует параметризовать и из которого можно получать различные частные решения, в том числе базисное (так называется решение, соответствующее нулевому набору свободных неизвестных).

Заметим, что «общее» решение определяется неоднозначно, оно зависит от того, какие неизвестные являются свободными (независимыми, произвольными), а какие — зависимыми (базисными).

Метод Жордана-Гаусса удобно реализовать в виде таблицы, которую назовем таблицей Гаусса. Каждый ее блок содержит результат одного преобразования или одну итерацию. Столбец блока таблицы, состоящий из нулей и одной единицы, будем называть единичным столбцом. Цель преобразований Жордана-Гаусса — получить Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыединичных столбцов. Неизвестные, соответствующие единичным столбцам, являются базисными, остальные — свободными. Последний блок таблицы изображает систему, разрешенную относительно Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыбазисных неизвестных.

Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Примеры с решениями

Пример 3:

Решить линейную систему Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Решение:

Имеем Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыПервый блок таблицы Гаусса данной системы имеет вид («св. ч.» означает «свободные члены» уравнений системы, вертикальная черта соответствует знакам равенства): Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыВыполним первую итерацию, т.е. получим первый единичный столбец, выбирая в качестве ведущего коэффициента Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы(в таблице он обведен кружком).

Для этого над строками таблицы (над уравнениями системы) выполним следующие действия (они обозначены справа от таблицы):

1) первую строку сохраняем (переписываем);

2) первую строку, умноженную на 2, прибавим ко второй;

3) первую строку, умноженную на -2, прибавим к третьей;

4) первую строку прибавим к четвертой. Получаем второй блок таблицы: Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Приведем к единичному третий столбец, в нем уже имеется один нуль. Ведущий коэффициент Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыобведен кружком.

1) вторую строку, умноженную на 3, прибавим к первой и запишем вместо первой строки;

2) перепишем вторую строку без изменения;

3) вторую строку, умноженную на —1, прибавим к третьей;

4) четвертую строку перепишем без изменения. Эти действия выражаются числами и стрелками, показанными справа от второго блока таблицы.

Третий блок таблицы имеет вид: Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Следующая итерация заключается в получении третьего единичного столбца. Для этого примем в качестве ведущего коэффициента Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыи выполним следующие действия: третью строку, умноженную на —5, -1, -2, прибавим к первой, второй и четвертой строкам соответственно. Третью строку переписываем без изменений.

Получаем четвертый блок: Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

4. Наконец, последнюю итерацию выполним, выбирая в качестве ведущего коэффициента Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыЧетвертую строку разделим на -3. Остальные действия очевидны. Получаем: Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыПосле четырех итераций получили таблицу, соответствующую системе, разрешенной относительно всех неизвестных Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыЗапишем это также в виде: Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыСистема определенно совместна. Примечание. Подставьте эти значения неизвестных в данную систему и убедитесь, что получаются верные числовые равенства.

Пример 4:

Решить линейную систему Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Решение:

Каждый раз в качестве ведущего будем принимать простейший коэффициент, т.е. либо 1, либо — 1.

Подчеркнем, что цель преобразований заключается в получении нулей в ведущем столбце. Как получить нулевые коэффициенты в единичном столбце, видно из решения примера 1. Для этого ведущую строку надо умножить на надлежащие числа (иногда на 1 или -1) и прибавить к остальным строкам, не содержащим 0 в этом ведущем столбце. Поэтому ограничимся выделением в каждом блоке ведущего коэффициента, не комментируя сами преобразования и не указывая соответствующие числа со стрелками.

Результаты вычислений поместим в единую таблицу Гаусса, которая имеет следующий вид:

Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Последние две строки удалены как нулевые (они соответствуют тривиальным уравнениям). Из последнего блока таблицы получаем систему Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системывыражающую «почти» общее решение исходной системы.

Смысл слова «почти» заключается в неравноправном участии неизвестных. Положим Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы— произвольные постоянные или параметры).

Тогда система Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

представляет общее решение системы в параметрическом виде. Все неизвестные выражены (равноправно) через два параметра Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Решения, получаемые из общего при фиксированных значениях параметров Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыназываются частными. Например, при Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыполучаем: Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыПри Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыполучаем Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыБазисное решение соответствует нулевому набору свободных переменных: если Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыОтвет запишем так: Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Пример 5:

Решить систему уравнений Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Решение:

Вместо таблицы Гаусса будем использовать другую, более компактную интерпретацию ее блоков. Вертикальная черта в блоках соответствует знакам равенства в уравнениях системы. Знак

(читается «тильда») между двумя соседними блоками означает, что системы, соответствующие этим блокам, равносильны.

Имеем: Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

единичный столбец второго блока получен в результате умножения первой строки на) -3, -3, -1, -4 и последующего прибавления ко второй, третьей, четвертой и строкам соответственно; во втором блоке произвели почленное деление четвертой и ( (.пятой строк на 3 и -3, т. е. сокращение уравнений) Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Вторая и третья строки четвертого блока отброшены как пропорциональные пятой. Заметим, что выделение ведущего (разрешающего) элемента однозначно определяет действия по обнулению элементов ведущего столбца, поэтому мы отказались от применения чисел и стрелок, обозначающих действия над строками блока. Последний блок изображает систему, состоящую из трех уравнений Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыс четырьмя неизвестными Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыСоответствующая система приведена к трем базисным неизвестным; разрешая ее относительно этих неизвестных, получаем Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Положим Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыТогда общее р базисное решения принимают вид соответственно: Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыЗаметим, что переменную Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системынельзя получить среди свободных (свободная переменная может принимать любые значения, тогда как Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы).

Пример 6:

Решить систему уравнений Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Решение:

В предыдущих примерах преобразования Жордана-Гаусса свелись к действиям над уравнениями системы, или строками таблицы, потому что все ведущие коэффициенты были равны 1. Если же ведущие коэффициенты отличны от 1, то действия над строками могут вызывать затруднения, и в таких случаях следует пользоваться формулами преобразования Жордана-Гаусса, т.е. правилом прямоугольника. С целью экономии места решение этой системы приведем также в блоковой записи: Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

(последняя строка пропорциональна первой, поэтому она удалена). Подчеркнем, что цель наших преобразований состоит в получении единичных столбцов. Приведем примеры применения правила прямоугольника в третьем блоке.

При этом одна из вершин каждого прямоугольника должна совпасть с ведущим элементом Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыпротивоположная вершина — с элементом, подлежащим пересчету: Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Из последнего блока получаем общее решение системы в базисе Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системыПри Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Метод Гаусса (усеченный метод Жордана-Гаусса) допускает получение в очередном блоке таблицы Гаусса столбца, отличного от единичного, т.е. неизвестную не обязательно исключать из всех уравнений, кроме одного.

В этом случае говорят о приведении системы уравнений к ступенчатому виду. Это важно в смысле экономии времени, когда коэффициенты системы «неудобные», особенно, если система окажется неразрешимой.

Пример 7:

Решить систему уравнений Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы.

Решение:

Нули в столбцах будем получать только под диагональю соответствующей матрицы. Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Последняя строка выражает противоречивое уравнение — система несовместна.

Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ Метод жордана гаусса применим для решения системы линейных уравнений если матрица системы

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

📸 Видео

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.

Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать

Система линейных уравнений.  Общее решение. Метод Гаусса

Линейная алгебра, 9 урок, Метод ГауссаСкачать

Линейная алгебра, 9 урок, Метод Гаусса

МЕТОД ГАУССА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

МЕТОД ГАУССА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Линейная алгебра, Матрицы: Метод Гаусса. Высшая математикаСкачать

Линейная алгебра, Матрицы: Метод Гаусса. Высшая математика

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.

Метод Жордана-Гаусса (01)Скачать

Метод Жордана-Гаусса (01)

12. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Часть 1.Скачать

12. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Часть 1.

Система линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Матричный метод.Скачать

Система линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Матричный метод.

Решение системы уравнений методом Гаусса 4x4Скачать

Решение системы уравнений методом Гаусса 4x4

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvy

метод Гаусса СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ решение СЛАУСкачать

метод Гаусса СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ решение СЛАУ

Общее, частное, базисное решение системы линейных уравнений Метод ГауссаСкачать

Общее, частное, базисное решение системы линейных уравнений Метод Гаусса
Поделиться или сохранить к себе: