Метод замены в тригонометрических уравнениях (6 видео)

§20. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, ОТЛИЧАЮЩИХСЯ ОТ ПРОСТЕЙШИХ.

Как правило, решение тригонометрических уравнений сводится к решению простейших уравнений с помощью преобразований тригонометрических выражений, разложения на множители и замены переменных.

20.1. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ ПРИ РЕШЕНИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

Следует помнить общий ориентир, когда замена переменных может выполняться без преобразования данных тригонометрических выражений.

Если в уравнение, неравенство или тождество переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной).

Задача 1. Решите уравнение

З а м е ч а н и е.

Задача 2. Решите уравнение .

К о м м е н т а р и й

В заданное уравнение переменная входит только в виде tg 2x. Поэтому
удобно ввести новую переменную tg 2x = t. После выполнения обратной
замены и решения полученных простейших тригонометрических уравнений
следует в ответ записать все полученные корни.

При поиске плана решения более сложных тригонометрических уравнений
можно воспользоваться таким о р и е н т и р о м.

1. Пробуем привести все тригонометрические функции к одному аргументу.

2. Если удалось привести к одному аргументу, то пробуем все тригонометрические выражения привести к одной функции.

3. Если к одному аргументу удалось привести, а к одной функции — нет,
тогда пробуем привести уравнение к однородному.

4. В других случаях переносим все члены в одну сторону и пробуем получить
произведение или используем специальные приемы решения.

20.2. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
ПРИВЕДЕНИЕМ К ОДНОЙ ФУНКЦИИ (С ОДИНАКОВЫМ
АРГУМЕНТОМ)

Задача 1 Решите уравнение соs 2x – 5 sin x – 3 = 0.

З а м е ч а н и е.

При желании ответ можно записать в виде:

Задача 2 Решите уравнение tg x + 2 сtg x = 3.

20.3. РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
И ПРИВЕДЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
К ОДНОРОДНОМ

Все одночлены, стоящие в левой части этого уравнения, имеют степень 2
(напомним, что степень одночлена uv также равна 2). В этом случае уравнение (2) (и соответственно уравнение (1)) называется однородным, и для распознавания таких уравнений и их решения можно применять такой о р и е н т и р.

Если все члены уравнения, в левой и правой частях которого стоят
многочлены от двух переменных (или от двух функций одной переменной), имеют одинаковую суммарную степень* , то уравнение называется однородным. Решается однородное уравнение делением на наибольшую степень одной из переменных.

З а м е ч а н и е.

Придерживаясь этого ориентира, приходится делить обе части уравнения на выражение с переменной. При этом можно потерять корни
(если корнями являются те числа, при которых делитель равен нулю). Чтобы избежать этого, необходимо отдельно рассмотреть случай, когда выражение, на которое мы собираемся делить обе части уравнения, равно нулю,
и только после этого выполнять деление на выражение, не равное нулю.

Задача 1 Решите уравнение

Задача 2 Решите уравнение sin 3x = 5 соs 3x.

Задача 3 Решите уравнение

20.4. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВИДА f (x) = 0
С ПОМОЩЬЮ РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ

Задача 1 Решите уравнение sin 7x = sin 5x.

Задача 2 Решите уравнение sin x + sin 3x = sin 4x.

20.5. ОТБОР КОРНЕЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Если при решении тригонометрических уравнений необходимо выполнять отбор корней, то чаще всего это делается так:

находят (желательно наименьший) общий период всех тригонометрических функций, входящих в запись уравнения (конечно, если этот общий период существует); потом на этом периоде отбирают корни (отбрасывают посторонние), а те, которые остаются, периодически продолжают.

Пример Решите уравнение

І способ решения

З а м е ч а н и е.

При решении уравнения (1) мы не следили за равносильностью выполненых преобразований, но выполняли преобразования, не приводящие к потере корней. Тогда говорят (см. § 3), что мы пользовались
уравнениями-следствиями (если все корни первого уравнения являются
корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием
первого). В этом случае мы могли получить посторонние для данного уравнения корни (то есть те корни последнего уравнения, которые не являются
корнями данного). Чтобы этого не случилось, можно пользоваться следующим о р и е н т и р о м.

Если при решении уравнения мы пользовались уравнениями-следствиями, то проверка полученных корней подстановкой в исходное уравнение является обязательной составной частью решения.

Если для решения этого же уравнения (1) мы будем использовать равносильные преобразования, то отбор корней будет организован немного иначе. А именно, нам придется учесть ОДЗ уравнения, то есть общую область
определения для всех функций, входящих в запись уравнения.

ІІ способ решения уравнения sin 4x tg x = 0.

Содержание

Основные методы решения тригонометрических уравнений
п.1. Разложение на множители
п.2. Приведение к квадратному уравнению
п.3. Приведению к однородному уравнению
п.4. Введение вспомогательного угла
п.5. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
п.6. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
п.7. Понижение степени
п.8. Замена переменных
п.9. Использование ограничений области значений функций
п.10. Примеры
Решение тригонометрических уравнений методом замены переменной
🔍 Видео

Видео:Тригонометрические уравнения. ЕГЭ № 12 | Математика | TutorOnline tutor onlineСкачать

Основные методы решения тригонометрических уравнений

п.1. Разложение на множители

Алгоритм простого разложения на множители

Шаг 1. Представить уравнение в виде произведения (f_1(x)cdot f_2(x)cdot . cdot f_n(x)=0) где (f_i(x)) — некоторые функции (тригонометрические и не только) от (x).
Шаг 2. Решить совокупность уравнений: ( left[ begin f_1(x)=0\ f_2(x)=0\ . \ f_n(x)=0\ end right. )
Шаг 3. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение (2cosx cos2x=cosx) begin 2cosx cos2x-cosx=0\ cosx(2cos2x-1)=0\ left[ begin cosx=0\ 2cos2x-1=0 end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi2+pi k\ cos2x=frac12 end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi2+pi k\ 2x=pmfracpi3+2pi k end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi2+pi k\ x=pmfracpi6+pi k end right. end

Метод замены в тригонометрических уравнениях

Мы видим, что полученные семейства образуют множество из 6 базовых точек на числовой окружности через каждые (60^=fracpi3)
Поэтому: begin left[ begin x=fracpi2+pi k\ x=pmfracpi6+pi k end right. Leftrightarrow x=fracpi6+frac end

Возможно, у вас не сразу получится объединять решения, которые частично пересекаются или дополняют друг друга.
Тогда записывайте ответ в виде полученных семейств.
В рассмотренном примере, это пара (fracpi2+pi k, pmfracpi6+pi k), равнозначная c (fracpi6+frac).
Вот только научиться работать с числовой окружностью нужно обязательно, т.к. чем сложнее пример или задача, тем больше вероятность, что этот навык пригодится.

Алгоритм разложения на множители со знаменателем

Шаг 1. Представить уравнение в виде произведения $$ frac=0 $$ где (f_i(x), g_i(x)) — некоторые функции (тригонометрические и не только) от (x).
Шаг 2. Решить смешанную систему уравнений: ( begin left[ begin f_1(x)=0\ f_2(x)=0\ . \ f_n(x)=0\ end right.\ g_1(x)ne 0\ g_2(x)ne 0\ . \ g_m(x)ne 0\ end )
Шаг 3. Найти объединение полученных решений для числителя. Исключить все решения, полученные для знаменателя. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение (ctgx-tgx=frac)
Левая часть уравнения: $$ ctgx-tgx=frac-frac=frac=frac $$ Подставляем, переносим правую часть влево: $$ frac-frac=0 $$ Выносим общий множитель, умножаем на (1/2) слева и справа, получаем: $$ frac=0 $$ В этом уравнении учтено ОДЗ для (ctgx) и (tgx). Поэтому отдельно его не записываем.
Полученное уравнение равносильно системе: begin begin left[ begin cosx-sinx=0\ cosx+sinx=1 end right.\ sin2xne 0 end end Решаем первое уравнение как однородное 1-й степени (см. этот параграф ниже): begin cosx-sinx=0 |: cosx\ 1-tgx=0Rightarrow tgx=1Rightarrow x=fracpi4+pi k end Решаем второе уравнение введением вспомогательного угла (см. этот параграф ниже): begin cosx-sinx=1 | times frac<sqrt>\ frac<sqrt>cosx+frac<sqrt>sinx=frac<sqrt>\ cosleft(fracpi4right)cosx+sinleft(fracpi4right)sinx=frac<sqrt>\ cosleft(fracpi4-xright)=cosleft(x-fracpi4right)=cosleft(x-fracpi4right)=frac<sqrt> Rightarrow x-fracpi4=pmfracpi4+2pi kRightarrow left[ begin x=2pi k\ x=fracpi2+2pi k end right. end Решаем исключающее уравнение для знаменателя: $$ sin2xne 0Rightarrow 2xne pi kRightarrow xnefrac $$

Записываем полученную систему, отмечаем базовые решения на числовой окружности, исключаем нули знаменателя. Получаем: begin begin left[ begin x=fracpi4+pi k\ x=2pi k\ x=fracpi2+2pi kLeftrightarrow x=fracpi4+pi k end right.\ xnefrac end end

За счет требования (xnefrac) исключаются семейства (x=fracpi2+2pi k) и (x=2pi k).
Остается только (x=fracpi4+pi k).
Ответ: (fracpi4+pi k)

п.2. Приведение к квадратному уравнению

Шаг 1. С помощью базовых тригонометрических отношений и других преобразований представить уравнение в виде $$ af^2(x)+bf(x)+c=0 $$ где (f(x)) — тригонометрическая функция.
Шаг 2. Сделать замену переменных: (t=f(x)). Решить полученное квадратное уравнение: begin at^2+bt+c=0\ D=b^2-4ac, t_=frac<-bpmsqrt> end Шаг 3. Если (f(x)) — синус или косинус, проверить условие (-1leq t_leq 1). Отбросить лишние корни.
Шаг 4. Вернуться к исходной переменной и решить совокупность простейших тригонометрических уравнений ( left[ begin f(x)=t_1\ f(x)=t_2 end right. ) или одно оставшееся уравнение.
Шаг 5. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение (3sin^2x+10cosx-6=0)
Заменим (sin^2x=1-cos^2x). Получаем: begin 3(1-cos^2x)+10cosx-6=0\ -3cos^2x+10cosx-3=0\ 3cos^2x-10cosx+3=0\ text t=cosx, -1leq tleq 1\ 3t^2-10t+3=0\ D=(-10)^2-4cdot 3cdot 3=64\ t=frac= left[ begin frac13\ 3gt 1 — text end right. end Решаем (cosx=frac13Rightarrow x=pm arccosfrac13+2pi k)
Ответ: (pm arccosfrac13+2pi k)

п.3. Приведению к однородному уравнению

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения 1-й степени

Например:
Решим уравнение (sinx+cosx=0)
Делим на (cosx). Получаем: (tgx+1=0Rightarrow tgx=-1Rightarrow x=-fracpi4+pi k)
Ответ: (-fracpi4+pi k)

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения 2-й степени

Шаг 1. Разделить левую и правую части уравнения на (cos^2x) begin frac=frac\ Atg^2x+Btgx+C=0 end Шаг 2. Сделать замену переменных: (t=tgx). Решить полученное квадратное уравнение: begin at^2+bt+c=0\ D=b^2-4ac, t_=frac<-bpmsqrt> end Шаг 3. Решить совокупность простейших тригонометрических уравнений ( left[ begin tgx=t_1\ tgx=t_2 end right. )
Шаг 4. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение (6sin^2x-sinxcosx-cos^2x=3)
Приведем уравнение к однородному (чтобы избавиться от тройки справа, умножим её на тригонометрическую единицу): begin 6sin^2x-sinxcosx-cos^2x=3(sin^2x+cos^2x)\ 3sin^2x-sinxcosx-4cos^2x=0 |: cos^2x\ 3tg^2x-tgx-4=0\ text t=tgx\ 3t^2-t-4=0\ D=(-1)^2-4cdot 3cdot(-4)=49\ t=frac= left[ begin -1\ frac43 end right. end Решаем совокупность: ( left[ begin tgx=-1\ tgx=frac43 end right. Rightarrow left[ begin x=-fracpi4+pi k\ x=arctgfrac43+pi k end right. )
Ответ: (-fracpi4+pi k, arctgfrac43+pi k)

Обобщим понятие однородного тригонометрического уравнения на любую натуральную степень:

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения n-й степени

Шаг 1. Разделить левую и правую части уравнения на (cos^n x)
Шаг 2. Сделать замену переменных: (t=tgx). Решить полученное алгебраическое уравнение: begin a_0t^n+a_1t^+. +a_n=0 end Найти корни (t_1, t_2. t_k, kleq n)
Шаг 3. Решить совокупность простейших тригонометрических уравнений ( left[ begin tgx=t_1\ tgx=t_2\ . \ tgx=t_k end right. )
Шаг 4. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение (2sin^3x=cosx)
Умножим правую часть на тригонометрическую единицу и получим однородное уравнение 3-й степени: begin 2sin^3x=cosx(sin^2x+cos^2x)\ 2sin^3x-sin^2xcosx-cos^3x=0 |: cos^3x\ 2tg^x-tg^2x-1=0\ end Замена (t=tgx) дает кубическое уравнение: (2t^3-t^2-1=0)
Раскладываем на множители: begin 2t^3-t^2-1=t^3-t^2+t^3-1=t^2(t-1)+(t-1)(t^2+t+1)=\ =(t-1)(2t^2+t+1) end Вторая скобка на множители не раскладывается, т.к. (D=1-4cdot 2=-7 lt 0).
Получаем: (2t^3-t^2-1=0Leftrightarrow t-1=0)
Возвращаемся к исходной переменной:
(tgx=1Rightarrow x=fracpi4+pi k)
Ответ: (fracpi4+pi k)

п.4. Введение вспомогательного угла

Например:
Решим уравнение (sqrtsin3x-cos3x=1)
Делим уравнение на ( p=sqrt=2: ) begin sqrtsin3x-cos3x=1 |: 2\ frac<sqrt>sin3x-frac12cos3x=frac12\ sinleft(fracpi3right)sin3x-cosleft(fracpi3right)cos3x=frac12\ cosleft(fracpi3right)cos3x-sinleft(fracpi3right)sin3x=-frac12\ cosleft(3x+fracpi3right)=-frac12Rightarrow 3x+fracpi3=pmfrac+2pi kRightarrow 3x= left[ begin -pi+2pi k\ fracpi3+2pi k end right. Rightarrow x= left[ begin -fracpi3+frac\ fracpi9+frac end right. end
Ответ: (-fracpi3+frac, fracpi9+frac)

п.5. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

При решении уравнений вида begin Asinax+Bsinbx+. +Ccoscx+Dcosdx+. =0 end используются формулы, выведенные в §17 данного справочника.
Затем проводится разложение на множители, и находится решение (см. начало этого параграфа).

Например:
Решим уравнение (cos3x+sin2x-sin4x=0)
Заметим, что: $$ sin2x-sin4x=2sinfraccosfrac=2sin(-x)cos3x=-2sinxcos3x $$ Подставляем: begin cos3x-2sinxcos3x=0\ cos3x(1-2sinx)=0\ left[ begin cos3x=0\ 1-2sinx=0 end right. Rightarrow left[ begin 3x=fracpi2+pi k\ sinx=frac12 end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi6+frac\ x=(-1)^kfracpi6+pi k= left[ begin x=fracpi6+2pi k\ frac+2pi k end right. end right. end Чтобы было понятней, распишем полученные множества в градусах: begin left[ begin x=fracpi6+frac=30^+60^k\ x=fracpi6+2pi k=30^+360^kLeftrightarrow x=30^+60^k=fracpi6+frac\ x=frac+2pi k=150^+360^k end right. end

Получаем, что семейства решений (fracpi6+2pi k) и (frac+2pi k) уже содержатся во множестве (fracpi6+frac).

п.6. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

При решении уравнений вида begin sinaxcdot cosbx=sincxcdot cosdx, sinaxcdot sinbx=sincxcdot cosdx text end используются формулы, выведенные в §18 данного справочника.

Например:
Решим уравнение (sin5xcos3x=sin6xcos2x)
Заметим, что: begin sin5xcos3x=frac=frac\ sin6xcos2x=frac=frac end Подставляем: begin frac=frac |times 2\ sin8x-sin2x=sin8x-sin4x\ sin4x-sin2x=0\ 2sin2xcos2x-sin2x=0\ sin2x(2cos2x-1)=0\ left[ begin sin2x=0\ 2cos2x-1=0 end right. Rightarrow left[ begin 2x=pi k\ cos2x=frac12 end right. Rightarrow left[ begin x=frac\ 2x=pmfracpi3+2pi k end right. Rightarrow left[ begin x=frac\ x=pmfracpi6+pi k end right. end

Семейства решений не пересекаются.

Примечание: учитывая ответ предыдущего примера, это же множество решений можно записать в виде: ( left[ begin x=frac\ x=pmfracpi6+pi k end right. Leftrightarrow left[ begin x=fracpi6+frac\ x=pi k end right. )

п.7. Понижение степени

При решении уравнений вида begin sin^2ax+sin^2bx+. +cos^2cx+cos^2dx+. =A end используются формулы понижения степени: begin sin^2x=frac, cos^2x=frac end (см. формулы половинного аргумента, §15 данного справочника).

Например:
Решим уравнение (sin^2x+sin^22x=1)
Расписываем квадраты синусов через формулу понижения степени: begin frac+frac=1\ cos2x+cos4x=0\ 2cosfraccosfrac=0\ cos3xcosx=0\ left[ begin cos3x=0\ cosx=0 end right. Rightarrow left[ begin 3x=fracpi2+pi k\ x=fracpi2+pi k end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi6+frac\ x=fracpi2+pi k end right. end

(x=fracpi2+pi k) является подмножеством (x=fracpi6+frac)
Поэтому begin left[ begin x=fracpi6+frac\ x=fracpi2+pi k end right. Leftrightarrow x=fracpi6+frac end

п.8. Замена переменных

При решении уравнений вида (f(sinxpm cosx, sinxcosx)=0) используется замена begin t=cosxpm sinx end

Например:
Решим уравнение (sinx+cosx=1+sinxcosx)
Замена: (t=sinx+cosx)
Тогда (t^2=sin^2x+2sinxcosx+cos^2x=1+2sinxcosxRightarrow sinxcosx=frac)
Подставляем: begin t=1+fracRightarrow 2(t-1)=t^2-1Rightarrow t^2-2t+1=0Rightarrow (t-1)^2=0Rightarrow t=1\ sinx+cosx=1 | times frac<sqrt>\ frac<sqrt>sinx+frac<sqrt>cosx=frac<sqrt>\ sinfracpi4 sinx+cosfracpi4 cosx=frac<sqrt>\ cosleft(x-fracpi4right)=frac<sqrt>Rightarrow x-fracpi4=pmfracpi4 + 2pi kRightarrow Rightarrow left[ begin x=2pi k\ x=fracpi2+2pi k end right. end Ответ: (2pi k, fracpi2+2pi k)

п.9. Использование ограничений области значений функций

Уравнения вида begin underbrace_<m text> end может иметь решение только, если каждое из слагаемых равно 1.
Поэтому решаем систему: ( begin sinax=1\ sinbx=1\ . \ cosdx=1\ . end )
Находим пересечение (!) полученных семейств решений и записываем ответ.

Аналогично, уравнение вида begin underbrace_<m text> end может иметь решение только, если каждое из слагаемых равно -1.

Например:
Решим уравнение (sinx+cos4x=2)
Для этого нужно решить систему: begin begin sinx=1\ cos4x=1 end Rightarrow begin x=fracpi2+2pi k\ 4x=2pi k end Rightarrow begin x=fracpi2+2pi k\ x=frac end end

Пересечением двух семейств решений будет только (fracpi2+2pi k).
Поэтому begin begin x=fracpi2+2pi k\ x=frac end Leftrightarrow x=fracpi2+2pi k end

п.10. Примеры

Пример 1. Используя различные методы, решите уравнения:
a) (4sinleft(fracpi2right)+5sin^2x=4)
Приводим уравнение к квадратному:
(5sin^x+4cosx-4=0)
(5(1-cos^2x)+4cosx-4=0)
(-5cos^2x+4cosx+1=0)
(5cos^2x-4cosx-1=0)
Замена: (t=cosx, -1leq tleq 1) begin 5t^2-4t-1=0Rightarrow (5t+1)(t-1)=0Rightarrow left[ begin t_1=-frac15\ t_2=1 end right. end Оба корня подходят. Возвращаемся к исходной переменной: begin left[ begin cosx=-frac15\ cosx=1 end right. Rightarrow left[ begin x=pm arccosleft(-frac15right)+2pi k\ x=2pi k end right. end Ответ: (pm arccosleft(-frac15right)+2pi k, 2pi k)

б) (6sinxcosx=5cos2x)
(6sinxcosx=3cdot 2sinxcosx=3sin2x)
Приводим уравнение к однородному 1-й степени:
(3sin2x=5cos2x | : cos2x)
(3tg2x=5Rightarrow tg2x=frac53Rightarrow 2x=arctgfrac53+pi kRightarrow x=frac12 arctgfrac53+frac)
Ответ: (frac12 arctgfrac53+frac)

в) (9cos^2x-5sin2x=-sin^2x)
(5sin2x=5cdot 2sinxcosx=10sinxcosx)
Приводим уравнение к однородному 2-й степени:
(sin^2x-10sinxcosx+9cos^2x=0 |: cos^2x)
(tg^2x-10tgx+9=0)
Замена: (t=tgx) begin t^2-10+9=0Rightarrow (t-1)(t-9)=0Rightarrow left[ begin t_1=1\ t_2=9 end right. end Оба корня подходят. Возвращаемся к исходной переменной: begin left[ begin tgx=1\ tgx=9 end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi4+pi k\ x=arctg9+pi k end right. end Ответ: (fracpi4+pi k, arctg9+pi k)

г) (cos3x-1=cos6x)
Косинус двойного угла: (cos6x=2cos^2 3x-1)
Подставляем и раскладываем на множители:
(cos3x-1=2cos^2 3x-1)
(cos3x-2cos^2 3x=0)
(cos3x(1-2cos3x)=0) begin left[ begin cos3x=0\ 1-2cos3x=0 end right. Rightarrow left[ begin 3x=fracpi2+pi k\ cos3x=frac12 end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi6+frac\ 3x=pmfracpi3+2pi k end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi6+frac\ x=pmfracpi9+frac end right. end Чтобы проверить пересечения, распишем семейства решений через градусы: begin left[ begin x=fracpi6+frac=30^+60^k=<. -90^,-30^,30^,90^,150^. >\ x=pmfracpi9+frac= left[ begin -20^+120^k=<. -140^,-20^,100^. >\ 20^+120^k=<. -100^,20^,140^. > end right. end right. end Семейства не пересекаются.
Ответ: (fracpi6+frac, pmfracpi9+frac)

д) (sqrtsin2x-cos2x=-sqrt)
Разделим на (p=sqrt) и введем дополнительный угол:
(frac<sqrt>sin2x-frac12 cos2x=-frac<sqrt>)
(frac12cos2x-frac<sqrt>sin2x=frac<sqrt>)
(cosleft(2x-fracpi3right)=frac<sqrt>)
(2x-fracpi3=pmfracpi6+2pi k)
(2x=fracpi3pmfracpi6+2pi k= left[ begin -frac+2pi k\ fracpi2+2pi k end right. )
( left[ begin x=-frac+pi k\ x=fracpi4+pi k end right. ) Семейства решений не пересекаются.
Ответ: (-frac+pi k, fracpi4+pi k)

е) (cos^2x+cos^2 2x=cos^2 3x+cos^2 4x)
Формула понижения степени: (cos^2x=frac)
Подставляем: begin frac+frac=frac+frac\ cos2x+cos4x=cos6x+cos8x\ 2cosfraccosfrac=2cosfraccosfrac |: 2\ cos3xcosx=cos7xcosx=0\ cos3xcosx-cos7xcosx=0\ cosx(cos3x-cos7x)=0\ cosxleft(-2sinfracsinfracright)=0\ -2cosxsin5xsin(-2x)=0\ 2cosxsin5xsin2x=0\ cosxsin5xsin2x=0\ left[ begin cosx=0\ sin5x=0\ sin2x=0 end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi2+pi k\ 5x=pi k\ 2x=pi k end right. Rightarrow left[ begin x=fracpi2+pi k\ x=frac\ x=frac end right. end Семейство решений (x=fracpi2+pi k) (базовые точки 90°, 270° на числовой окружности) является подмножеством для (x=frac) (базовые точки 0°, 90°, 180°, 270°). Поэтому: begin left[ begin x=fracpi2+pi k\ x=frac\ x=frac end right. Rightarrow left[ begin x=frac\ x=frac end right. end Ответ: (frac, frac)

Пример 2*. Решите уравнения:
a) begin frac-frac+frac=0 end ОДЗ: (tgxne pm 3)
1) Если (cosxne 0), то последнее слагаемое (frac=frac<frac><frac>=frac)
Получаем: begin frac-frac+frac=0\ frac=0\ frac=0\ end Замена: (t=tgx) begin fracRightarrow begin t^2+7t-30=0\ tnepm3 end Rightarrow begin (t+10)(t-3)=0\ tnepm3 end Rightarrow begin left[ begin t=-10\ t=3 end right.\ tnepm3 end Rightarrow\ t=-10 end Получаем: begin tgx=-10\ x=arctg(-10)+pi k=-arctg10+pi k end
2) Проверим, является ли (cosx=0) решением.
При (cosx=0, x=fracpi2+pi k, tgxrightarrowinfty). Первое слагаемое (fracrightarrowfracrightarrow 0)
Второе слагаемое (fracrightarrowfracrightarrow 0)
Третье слагаемое (fracrightarrowfrac=1ne 0)
Сумма слагаемых в пределе (tgxrightarrowinfty) равна (0+0+1=1ne 0)
(cosx=0) решением не является.
Ответ: (-arctg10+pi k)

б) (frac+1=7frac)
ОДЗ: (cosxne 0, xnefracpi2+pi k) begin |cosx|= begin cosx, -fracpi2+2pi kleq xlt fracpi2+2pi k\ -cosx, fracpi2+2pi kleq xlt frac+2pi k end end 1) Решаем для положительного косинуса (1-я и 4-я четверти) begin frac+1=7frac\ 3(1+tg^2x)+1-7tgx=0\ 3tg^2-7tgx+4=0\ (3tgx-4)(tgx-1)=0\ left[ begin tgx=frac43\ tgx=1 end right. Rightarrow left[ begin x=arctgfrac43+pi k\ x=fracpi4+pi k end right. end

Полученное решение даёт 4 базовых точки на числовой окружности: (fracpi4, arctgfrac43, frac) и (pi+arctgfrac43), которые находятся в 1-й и 3-й четвертях.
Выбираем только точки в 1-й четверти:
(fracpi4) и (arctgfrac43).
Это означает, что в записи решения период будет не (pi k), а (2pi k). begin left[ begin x=arctgfrac43+2pi k\ x=fracpi4+2pi k end right. end

2) Решаем для отрицательного косинуса (2-я и 3-я четверти) begin frac+1=-7frac\ 3(1+tg^2x)+1+7tgx=0\ 3tg^2x+7tgx+4=0\ (3tgx+4)(tgx+1)=0\ left[ begin tgx=-frac43\ tgx=-1 end right. Rightarrow left[ begin x=-arctgfrac43+pi k\ x=-fracpi4+pi k end right. end

Полученное решение даёт 4 базовых точки на числовой окружности: (-fracpi4, -arctgfrac43, frac) и (pi-arctgfrac43), которые находятся в 2-й и 4-й четвертях.
Выбираем только точки вo 2-й четверти:
(frac) и (pi-arctgfrac43).
Это означает, что в записи решения будут выбранные точки с периодом (2pi k). begin left[ begin x=pi-arctgfrac43+2pi k\ x=frac+2pi k end right. end

3) Объединяем полученные решения: begin left[ begin x=arctgfrac43+2pi k\ x=fracpi4+2pi k\ x=pi-arctgfrac43+2pi k\ x=frac+2pi k end right. end

По аналогии с записью арксинуса можно объединить симметричные относительно оси синусов точки: begin left[ begin x=arctgfrac43+2pi k\ x=pi-arctgfrac43+2pi k end right. Leftrightarrow x=(-1)^k arctgfrac43+pi k\ left[ begin x=fracpi4+2pi k\ x=frac+2pi k end right. Leftrightarrow x=(-1)^k fracpi4+pi k\ end

Окончательно получаем: ( left[ begin x=(-1)^k arctgfrac43+pi k\ x=(-1)^k fracpi4+pi k end right. ).
Ответ: ((-1)^k arctgfrac43+pi k, (-1)^k fracpi4+pi k)

г) (3sinx-4cosx=5)
Способ 1. Вводим дополнительный угол:
(p=sqrt=5)
(frac35sinx-frac45 cosx=1)
(sinalpha=frac35, cosalpha=frac45)
(sinalpha sinx-cosalpha cosx=1)
(cosalpha cosx-sinalpha sinx=-1)
(cos(x+alpha)=-1)
(x+alpha=pi+2pi k)
(x=-alpha+pi+2pi k=-arcsinfrac35+pi+2pi k)

Способ 2. Делаем универсальную подстановку: begin sinalpha=frac<2tgfrac>, cosalpha=frac\ 3cdot frac<2tgfrac><1+tg^2frac>-4cdotfrac<1-tg^2frac><1+tg^2frac>=5\ frac<6tgfrac-4left(1-tg^2fracright)-5left(1+tg^2fracright)><1+tg^2frac>=0 end (1=tg^2fracgeq 1), знаменатель никогда не превращается в 0, отбрасываем его и работаем с числителем: begin -tg^2frac+6tgfrac-9=0Rightarrow tg^2frac-6tgfrac+9=0Rightarrowleft(tgfrac-3right)^2=0Rightarrow tgfrac=3\ frac=arctg3+pi kRightarrow x= 2arctg3+2pi k end

Докажем, что полученные ответы: $$ x=-arcsinfrac35+pi+2pi k text x=2arctg3+2pi k $$ равнозначны, т.е. (-arcsinfrac35+pi=2arctg3), и равны углы: $$ arcsinfrac35=pi-2arctg3 (*) $$ Пусть в правой части равенства (*) (2arctg3=varphi). Тогда (arctg3=fracvarphi2) и (tgfracvarphi2=3).
А в левой части равенства (*) (arcsinfrac35=alpha) и (sinalpha=frac35)
Угол (0lt arcsinfrac35lt fracpi2) расположен в 1-й четверти.
Угол (varphi=2arctg3) расположен во 2-й четверти ((cosvarphilt 0, sinvarphigt 0)). $$ cosvarphi=frac=frac=-frac45, sinvarphi=frac=frac=frac35 $$ Получаем, что для угла (alpha: sinalpha=frac35, cosalpha=frac45)
Для угла (varphi: sinvarphi=frac35, cosvarphi=-frac45)
Откуда следует, что (alpha=pi-varphi). Что и требовалось доказать.
Ответ: (-arcsinfrac35+pi+2pi k) или (2arctg3+2pi k) (т.к. (-arcsinfrac35+pi=2arctg3))

Видео:Метод замены в тригонометрических уравнениях | МатематикаСкачать

Решение тригонометрических уравнений методом замены переменной

Разделы: Математика

Тип урока: изучение нового материала.

Цели урока:

Познакомить учащихся с методом решения тригонометрических уравнений методом замены переменной.
Формировать умения анализировать, устанавливать связь между элементами содержания ранее изученного материала, навыки поисковой деятельности, способность к самоанализу, рефлексии.
Содействовать развитию познавательного интереса и личностной активности учащихся; создать условия для творческой самореализации личности.

Оборудование урока:

экран,
мультимедиа проектор,
компьютер,
авторская презентация к уроку,
набор карточек для конструирования уравнений на магнитной доске,
комплекты дидактической игры “Лото”,
бланки с заданием теста.

Компьютерное программное обеспечение: программа Power Point

На уроке сочетаются фронтальный, парный и индивидуальный виды работы учащихся. У каждого ученика на рабочем месте находиться листы индивидуальной работы, на которых он подписывает свою фамилию, строит график самоанализа своей деятельности на занятии. Для самоанализа своей деятельности на занятии ученики строят график. На вертикальной оси отмечают самооценку от 1 до 5, а по горизонтальной отмечают этапы урока

Организационный момент. (1 мин.)

Учитель: Методы решения тригонометрических уравнений разрабатывались математиками уже многие годы. Ими выделены различные классы тригонометрических уравнений, для которых известны алгоритмы решения. Сегодня на уроке мы рассмотрим один из методов решения тригонометрических уравнений – “ Метод замены переменной”. Этот метод решения уравнений вам хорошо известен, вы не раз применяли его при решении алгебраических уравнений. Покажем, как он применяется при решении тригонометрических уравнений

I этап. (6 мин.) Учащиеся отвечают на вопросы учителя: Какие уравнения называются тригонометрическими? Что значить решить тригонометрическое уравнение? Какие тригонометрические уравнения относятся к простейшим? При каком условии уравнения имеют решения? Какие уравнения называются квадратными? Какие виды квадратных уравнений они знают? Какова связь числа корней квадратного уравнения с его дискриминантом? Ответы иллюстрируются слайдами презентации на экране

Ученики в парах выполняют задания теста по теме: “Простейшие тригонометрические уравнения”. По окончании работы над тестом учитель показывает правильные ответы на экране. Пары обмениваются бланками с тестовыми заданиями и проводят взаимопроверку. Во время проверки ученики корректируют свои знания по этой теме. Ученики отмечают свою оценку на графике и сдают бланк учителю. Критерии оценок: “5”-5 верных ответов, “4”-4 верных ответа, “3”-3 верных ответа, “2”-1-2 верных ответа.

1 2 3
4 5 6
7 8 9

Задание. Найдите ошибку.

Правильные ответы отметь кругом.

№	Верно ли, что
1	Решением уравнения являются числа
2	Решением уравнения являются числа
3	Решением уравнения являются числа
4	Уравнение не имеет решения
5	Решением уравнения являются числа
6	Решением уравнения являются числа
7	Решением уравнения являются числа
8	Что второе уравнение является следствием первого
9	Уравнение имеет решение при

1	2	3
4	5	6
7	8	9

Задание. Найдите ошибку.

Правильные ответы отметь кругом

№	Верно ли, что
1	Решением уравнения являются числа
2	Решением уравнения являются числа
3	Решением уравнения являются числа
4	Уравнение не имеет решения
5	Решением уравнения являются числа
6	Решением уравнения являются числа
7	Что второе уравнение равносильно первому
8	Уравнение не имеет решения
9	Уравнение имеет решение при

II этап. Объяснение нового материала (10 мин).

Учитель:— Проанализируйте два уравнения и ,где заданные числа и определите какое из этих уравнений сложнее и почему?

Учащиеся: – Второе уравнение сложнее, так как в него входят две тригонометрические функции ,.

Начинаем искать метод решения первого уравнения. Так как в этом уравнении коэффициенты известные числа и у двух элементов один и тот же аргумент обращаемся к аналогичной ситуации в алгебраических уравнениях. Вспоминаем с учащимися, что для решения, уравнения вида , где заданные числа, делаем замену , при этом отвечаем на вопросы подтверждающие возможность замены: Можно ли решить “новое” уравнение? Будет ли работать данный метод при решении тригонометрического уравнения. Отвечая на эти вопросы, приходим к выводу, что уравнение можно решать заменой .

Шаги алгоритма	Возможные ошибки	Пути исправления ошибок
1	Замена переменной.	Неправильно записано новое уравнение.	Проверить запись нового уравнения
2	Решение квадратного уравнения.	Ошибки при вычислении корней квадратного уравнения.	Проверить правильность решения квадратного уравнения различными способами.
3	Решение простейших тригонометрических уравнений	Формальное применение формул для решения простейших уравнений. Неправильно решены уравнения при частных случаях	Вспомнить ограниченность синуса и косинуса, выучить формулы для решения простейших уравнений, частных случаев.

Пример 1. Решить уравнение .

В итоге ученики совместно с учителем выделяют шаги реализации рассматриваемого метода и формулируют алгоритм решения данного уравнения, заполняют таблицу. Шаги алгоритма, возможные ошибки и пути их исправления иллюстрируются слайдами презентации на экране.

Учитель: – Какие уравнения могут иметь аналогичный метод решения?

Учащиеся: – Это уравнения вида: , , где заданные числа.

Учитель:— Вернемся ко второму уравнению . Чем оно отличается от уже решенного уравнения? Можно ли свести это уравнение к уравнению с одной функцией?

Учащиеся: – Его можно свести к уравнению с одной функцией, применяя формулу . Уравнение в этом случае примет вид: или .

В итоге ученики совместно с учителем разбирают, как можно решить уравнения вида и гдезаданные числа.

III этап (18 мин). “Конструктор” Задание 1. Составьте уравнения рассматриваемых видов из предложенных выражений, если корнями это уравнения являются числа:

а) ;

б) ;

в) ,

На магнитной доске трое учеников собирают полученные уравнения, а остальные учащиеся сверяют свои записи с полученными уравнениями, результаты отмечают на графике. Критерии оценок: “5”-3 верных ответа, “4”-2верных ответа, “3”-1 верный ответ , “2”-нет верных ответов

“Крестики- нолики” Задание 2. Предварительное домашнее задание: решите уравнения, для каждого уравнения из таблицы укажите его вид и способы какими его можно решить.

1.	4.	7.
2.	5.	8.
3.	6.	9.

“Крестики- нолики”: вычеркните прямой линией три уравнения, которые не имеют решения Таблица №1

1.	4.	7.
2.	5.	8.
3.	6.	9.

Критерии оценки: ”5” верный и полный ответ , “4”– ответ с одной ошибкой, “3”– ответ с двумя ошибками , “2”– неверный ответ.

Задание 3. Решите задачи с параметром.

Задача 2. Определить, при каких значениях параметра уравнение имеет решения. Решите уравнение.

Учащийся по желанию выходят к доске для оформления решения задач.

VI этап. (7 мин) Класс приступает к решению задач в группах. Учащиеся выполняют задания в зависимости от восприятия материала

“Лото”. У каждого ученика на рабочем месте находится лото, которое состоит из поля 3 1 и 6 двусторонних карточек. На клетках поля записаны уравнения, на лицевых сторонах карточек – ответы к уравнениям, на обратных сторонах – буквы, которые вместе позволят ответить на вопрос. Какой математик однажды заметил что: “Математическую теорию можно считать совершенной только тогда, когда ты сделал ее настолько ясной, что берешься изложить ее содержание первому встречному”?

I группа	Определить, при каких значениях параметра уравнение имеет решения.
II группа.	Определить, при каких значениях параметра уравнение имеет решения.
III группа	Определить, при каких значениях параметра уравнение имеет решения.
Лицевая сторона карточки	Г И	ЛЬБ	ЕРТ	РЕ	ЕТР	БЬ
Обратная сторона карточки		Таких не существует

Ответы иллюстрируются слайдами презентации на экране. Необходимо проверить решение задач, поэтому от каждой группы выступает учащийся, демонстрируя решение задач на доске.

Итог урока (2 мин) Подводя итог урока, учитель и учащиеся выясняют на каком этапе учащиеся испытывают наибольшие затруднения, какие задания для них были наиболее интересными, на что они должны обратить внимание при решении домашнего задания.

VI этап. Домашнее задание (1мин.)

Алгебра и начала анализа. Ч.1.Учебник для 10 класс А. Г. Мордкович, П.В.Семенов (профильный уровень). §34 п.1.стр179-180.

1-й уровень – задания репродуктивного характера – Решить уравнения №23.4(б), №23. 5(г), №23.7(б). Ч.2.Задачник для 10 кл. А.Г.Мордкович и д.р (профильный уровень) Алгебра и начала анализа. Решить задачу. Определить, при каких значениях параметра уравнение имеет решения.

2-й уровень – задания поискового плана: подобрать тригонометрические уравнения аналогичные уравнениям 1,5,9 из таблицы №1; Подобрать и решить задачу по физике при решении которой встречаются уравнения, рассмотренные на уроке.

3-й уровень – творческое; составить задания к дидактической игре “Лото” по теме: “ Решение тригонометрических уравнений методом замены переменной”.