Метод вырожденных ядер для интегральных уравнений фредгольма 2 рода

Теоремы Фредгольма. Случай вырожденных ядер

Рассмотрим уравнение Фредгольма второго рода

Дадим определение: ядро интегрального уравнения называется вырожденным , если его можно представить в виде конечной суммы произведений двух функций, из которых одна зависит только от t, а другая только от s:

Будем считать, что функции между собой линейно независимы.

Предположим , что непрерывны на отрезке [a, b], тогда ядро будет непрерывным в прямоугольнике Q .

Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром :

где f(t)- непрерывная на отрезке [a, b] функция.

Пусть уравнение (2) имеет решение Положим

Тогда из (2) получим

Отсюда видно, что решение этого интегрального уравнения с вырожденным ядром сводится к определению постоянных . заменив в равенстве (4) индекс суммирования I на j, умножим обе части этого равенства на и проинтегрируем по t в пределах a до b:

Видео:Интегральные уравнения Фредгольма второго рода Случай вырожденного ядра Неоднородный случайСкачать

Интегральные уравнения Фредгольма второго рода Случай вырожденного ядра Неоднородный случай

получим систему алгебраических уравнений, которой должны удовлетворять коэффициенты :

Если эта система неразрешима, то, очевидно, интегральное уравнение (2) также неразрешимо.

Предположим что система (6) имеет решение подставив эти значения коэффициентов в формулу (4) получим функцию , которая является решением интегрального уравнения (2), в этом можно убедиться сделав проверку.

Таким образом, интегральное уравнение (2) и система линейных алгебраических уравнений (6) эквивалентны в том смысле, что разрешимость системы (6) влечет за собой разрешимость уравнения (2) и наоборот.

Определитель системы (6) D(л) равен

— многочлен относительно л степени не выше n , отличный от тождественного нуля, так как

Следовательно, имеет не более n различных корней.

называют определителем Фредгольма для интегрального уравнения (2), а его нули, т.е корни уравнения , называют характеристическими числами ядра или уравнение (2)

Рассмотрим некоторые Теоремы Фредгольма:

I. Если л не является характеристическим числом, то интегральное уравнение (2) имеет единственное решение , определяемое формулой (4), при любом свободном члене f(t).

В случае когда Соответствующее однородное интегральное уравнения

Видео:Интегральные уравнения Фредгольма второго рода Случай вырожденного ядря Однородный случайСкачать

Интегральные уравнения Фредгольма второго рода Случай вырожденного ядря Однородный случай

отвечающее условию , имеет только тривиальное решение . В самом деле если то все равны нулю и система (6) будет системой однородных линейных уравнений с определителем, отличных от нуля. Такая система имеет только нулевое решение . Поэтому первую теорему Фредгольма иногда формулируют так:

для того чтобы уравнение (2) имело единственное решение при любой функции f(t) , необходимо и достаточно, чтобы соответствующее однородное уравнение имело только тривиальное решение .

II. Рассмотрим другой случай, пусть теперь совпадает с одним из нулей определителя Фредгольма , т.е является характеристическим числом ядра

Тогда определитель системы (6) будет равен нулю. Соответствующая однородная система

имеет при этом некоторое число p линейно независимых ненулевых вектор-решений

Будут нетривиальными решениями соответствующего однородного интегрального уравнения

Нетривиальные решения однородного уравнения называются собственными или фундаментальными функциями этого уравнения или ядра K(t,s). Число линейно независимых функций , соответствующее данному характеристическому числу, называется его рангом или кратностью.

Если же — собственные функции, отвечающие одному и тому же характеристическому числу л, то их сумма будет также собственной функцией , отвечающей этому же числу л. Точно так же, если — собственная функция, то — любая постоянная, будет собственной функцией ядра K(t,s).

Общим решением однородного уравнения (15), отвечающие данному характеристическому числу л, будет функция

Где произвольные постоянные.

Введем некоторые понятия. имеем интегральное уравнение Фредгольма

Видео:Интегральные уравнения с вырожденным ядромСкачать

Интегральные уравнения с вырожденным ядром

Дадим определение: ядро , получаемое из ядра заменой t на s и наоборот, называется сопряженным с ядром K(t,s): (21)

В случае, когда есть комплекснозначная функция действительных аргументов t,s полагаем по определению

где означает величину, комплексно сопряженную с .

называется сопряженным с уравнением (20)

для интегрального уравнения (2) с вырожденным ядром сопряженное с ним уравнение имеет вид

Если , т.е уравнение (23) однородное , то для определения получаем однородную систему

Сопряженную с системой (13).

В силу теоремы 1 обе эти системы имеют одинаковое число p линейно независимых вектор-решений.

Если ненулевые вектор-решения системы (26), то функции

будут собственными функциями однородного уравнения

сопряженного с уравнением (9).

Видео:Интегральные уравнения Вольтерра второго рода Метод разрешающего ядра или Метод резольвентыСкачать

Интегральные уравнения Вольтерра второго рода Метод разрешающего ядра или Метод резольвенты

Итак, если есть характеристическое число ядра , то однородное интегральное уравнение (15) и сопряженное с ним уравнение (27) имеют одно и то же конечное число линейно независимых собственных функций. алгебраический уравнение интегральный колебание

Это — вторая теорема Фредгольма.

III. Рассмотрим, наконец, неоднородное уравнение (2) в случае, когда -характеристическое число.

Как мы отмечали , его разрешимость эквивалентна разрешимости неоднородной системы (6) линейных алгебраических уравнений

Воспользуемся теоремой: для того чтобы неоднородная система линейных алгебраических уравнений была разрешима, необходимо и достаточно, чтобы вектор свободных членов этой системы был ортогонален ко всем вектор-решениям сопряженной однородной системы.

Согласно этой теореме, неоднородная система(6) будет разрешима тогда и только тогда, когда вектор будет ортогонален каждому из векторов , т.е когда

Но , и, следовательно, условие (28) можно записать так:

Таким образом, сформулируем третью теорему Фредгольма: неоднородное интегральное уравнение (2) с вырожденным ядром при характеристическом значении будет разрешимо тогда и только тогда, когда свободный член f(t) будет ортогонален ко всем решениям сопряженного однородного интегрального уравнения (27).

Подчеркнем, что вопрос о разрешимости уравнения (2) требует проверки конечного числа p условий

Если эти условия выполнены, то уравнение (2) имеет бесчисленное множество решений. Все они описываются формулой

где — какое либо решение неоднородного уравнения (2), а — общее решение соответствующего однородногоуравнени.

Видео:Интегральное уравнение Вольтерра второго рода Пример решения методом разрешающего ядраСкачать

Интегральное уравнение Вольтерра второго рода Пример решения методом разрешающего ядра

Как следствие из предыдущих теорем вытекает важная теорема об альтернативе: если однородное интегральное уравнение Фредгольма с вырожденным ядром имеет только тривиальное решение, то соответствующее неоднородное уравнение всегда имеет одно и только одно решение. Если же однородное уравнение имеет нетривиальное решение, то неоднородное интегральное уравнение в зависимости от свободного члена f(t) либо вовсе не имеет решения, либо имеет бесконечное число решений.


источники:

📸 Видео

Метод определителей ФредгольмаСкачать

Метод определителей Фредгольма

Метод итерированных ядерСкачать

Метод итерированных ядер

Уравнения Фредгольма - 2Скачать

Уравнения Фредгольма - 2

Методы численного анализа - Уравнения Фредгольма и ВольтерраСкачать

Методы численного анализа - Уравнения Фредгольма и Вольтерра

Курс по ИДУ: Интегральные уравнения Фредгольма с вырожденным ядром | Занятие 7Скачать

Курс по ИДУ: Интегральные уравнения Фредгольма с вырожденным ядром | Занятие 7

Интегральные уравнения Вольтерра второго рода Операционный метод для случаев разностного ядраСкачать

Интегральные уравнения Вольтерра второго рода Операционный метод для случаев разностного ядра

Уравнения Фредгольма - 1Скачать

Уравнения Фредгольма - 1

Интегральные уравнения Вольтерра второго рода Метод последовательных приближенийСкачать

Интегральные уравнения Вольтерра второго рода Метод последовательных приближений

Курс по ИДУ: Методы решения интегральных уравнений Вольтерра и Фредгольма | Занятие 6Скачать

Курс по ИДУ: Методы решения интегральных уравнений Вольтерра и Фредгольма | Занятие 6

Метод решения интегрального уравнения Вольтерра второго рода с помощью резольвентыСкачать

Метод решения интегрального уравнения Вольтерра второго рода с помощью резольвенты

Уравнения Вольтерра - 1Скачать

Уравнения Вольтерра - 1

Интегральные уравнения ВольтерраСкачать

Интегральные уравнения Вольтерра

Ягола А. Г. - Интегральные уравнения - Уравнение Фредгольма 2-го рода с непрерывными ядрамиСкачать

Ягола А. Г. - Интегральные уравнения - Уравнение Фредгольма 2-го рода с непрерывными ядрами
Поделиться или сохранить к себе: