Рассмотрим уравнение Фредгольма второго рода
Дадим определение: ядро интегрального уравнения называется вырожденным , если его можно представить в виде конечной суммы произведений двух функций, из которых одна зависит только от t, а другая только от s:
Будем считать, что функции между собой линейно независимы.
Предположим , что непрерывны на отрезке [a, b], тогда ядро будет непрерывным в прямоугольнике Q .
Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром :
где f(t)- непрерывная на отрезке [a, b] функция.
Пусть уравнение (2) имеет решение Положим
Тогда из (2) получим
Отсюда видно, что решение этого интегрального уравнения с вырожденным ядром сводится к определению постоянных . заменив в равенстве (4) индекс суммирования I на j, умножим обе части этого равенства на и проинтегрируем по t в пределах a до b:
Видео:Интегральные уравнения Фредгольма второго рода Случай вырожденного ядря Однородный случайСкачать
получим систему алгебраических уравнений, которой должны удовлетворять коэффициенты :
Если эта система неразрешима, то, очевидно, интегральное уравнение (2) также неразрешимо.
Предположим что система (6) имеет решение подставив эти значения коэффициентов в формулу (4) получим функцию , которая является решением интегрального уравнения (2), в этом можно убедиться сделав проверку.
Таким образом, интегральное уравнение (2) и система линейных алгебраических уравнений (6) эквивалентны в том смысле, что разрешимость системы (6) влечет за собой разрешимость уравнения (2) и наоборот.
Определитель системы (6) D(л) равен
— многочлен относительно л степени не выше n , отличный от тождественного нуля, так как
Следовательно, имеет не более n различных корней.
называют определителем Фредгольма для интегрального уравнения (2), а его нули, т.е корни уравнения , называют характеристическими числами ядра или уравнение (2)
Рассмотрим некоторые Теоремы Фредгольма:
I. Если л не является характеристическим числом, то интегральное уравнение (2) имеет единственное решение , определяемое формулой (4), при любом свободном члене f(t).
В случае когда Соответствующее однородное интегральное уравнения
Видео:Интегральные уравнения Фредгольма второго рода Случай вырожденного ядра Неоднородный случайСкачать
отвечающее условию , имеет только тривиальное решение . В самом деле если то все равны нулю и система (6) будет системой однородных линейных уравнений с определителем, отличных от нуля. Такая система имеет только нулевое решение . Поэтому первую теорему Фредгольма иногда формулируют так:
для того чтобы уравнение (2) имело единственное решение при любой функции f(t) , необходимо и достаточно, чтобы соответствующее однородное уравнение имело только тривиальное решение .
II. Рассмотрим другой случай, пусть теперь совпадает с одним из нулей определителя Фредгольма , т.е является характеристическим числом ядра
Тогда определитель системы (6) будет равен нулю. Соответствующая однородная система
имеет при этом некоторое число p линейно независимых ненулевых вектор-решений
Будут нетривиальными решениями соответствующего однородного интегрального уравнения
Нетривиальные решения однородного уравнения называются собственными или фундаментальными функциями этого уравнения или ядра K(t,s). Число линейно независимых функций , соответствующее данному характеристическому числу, называется его рангом или кратностью.
Если же — собственные функции, отвечающие одному и тому же характеристическому числу л, то их сумма будет также собственной функцией , отвечающей этому же числу л. Точно так же, если — собственная функция, то — любая постоянная, будет собственной функцией ядра K(t,s).
Общим решением однородного уравнения (15), отвечающие данному характеристическому числу л, будет функция
Где произвольные постоянные.
Введем некоторые понятия. имеем интегральное уравнение Фредгольма
Видео:Интегральные уравнения с вырожденным ядромСкачать
Дадим определение: ядро , получаемое из ядра заменой t на s и наоборот, называется сопряженным с ядром K(t,s): (21)
В случае, когда есть комплекснозначная функция действительных аргументов t,s полагаем по определению
где означает величину, комплексно сопряженную с .
называется сопряженным с уравнением (20)
для интегрального уравнения (2) с вырожденным ядром сопряженное с ним уравнение имеет вид
Если , т.е уравнение (23) однородное , то для определения получаем однородную систему
Сопряженную с системой (13).
В силу теоремы 1 обе эти системы имеют одинаковое число p линейно независимых вектор-решений.
Если ненулевые вектор-решения системы (26), то функции
будут собственными функциями однородного уравнения
сопряженного с уравнением (9).
Видео:Интегральные уравнения Вольтерра второго рода Метод разрешающего ядра или Метод резольвентыСкачать
Итак, если есть характеристическое число ядра , то однородное интегральное уравнение (15) и сопряженное с ним уравнение (27) имеют одно и то же конечное число линейно независимых собственных функций. алгебраический уравнение интегральный колебание
Это — вторая теорема Фредгольма.
III. Рассмотрим, наконец, неоднородное уравнение (2) в случае, когда -характеристическое число.
Как мы отмечали , его разрешимость эквивалентна разрешимости неоднородной системы (6) линейных алгебраических уравнений
Воспользуемся теоремой: для того чтобы неоднородная система линейных алгебраических уравнений была разрешима, необходимо и достаточно, чтобы вектор свободных членов этой системы был ортогонален ко всем вектор-решениям сопряженной однородной системы.
Согласно этой теореме, неоднородная система(6) будет разрешима тогда и только тогда, когда вектор будет ортогонален каждому из векторов , т.е когда
Но , и, следовательно, условие (28) можно записать так:
Таким образом, сформулируем третью теорему Фредгольма: неоднородное интегральное уравнение (2) с вырожденным ядром при характеристическом значении будет разрешимо тогда и только тогда, когда свободный член f(t) будет ортогонален ко всем решениям сопряженного однородного интегрального уравнения (27).
Подчеркнем, что вопрос о разрешимости уравнения (2) требует проверки конечного числа p условий
Если эти условия выполнены, то уравнение (2) имеет бесчисленное множество решений. Все они описываются формулой
где — какое либо решение неоднородного уравнения (2), а — общее решение соответствующего однородногоуравнени.
Видео:Интегральное уравнение Вольтерра второго рода Пример решения методом разрешающего ядраСкачать
Как следствие из предыдущих теорем вытекает важная теорема об альтернативе: если однородное интегральное уравнение Фредгольма с вырожденным ядром имеет только тривиальное решение, то соответствующее неоднородное уравнение всегда имеет одно и только одно решение. Если же однородное уравнение имеет нетривиальное решение, то неоднородное интегральное уравнение в зависимости от свободного члена f(t) либо вовсе не имеет решения, либо имеет бесконечное число решений.
🎦 Видео
Метод определителей ФредгольмаСкачать
Метод итерированных ядерСкачать
Уравнения Фредгольма - 2Скачать
Интегральные уравнения Вольтерра второго рода Метод последовательных приближенийСкачать
Уравнения Фредгольма - 1Скачать
Курс по ИДУ: Интегральные уравнения Фредгольма с вырожденным ядром | Занятие 7Скачать
Методы численного анализа - Уравнения Фредгольма и ВольтерраСкачать
Интегральные уравнения Вольтерра второго рода Операционный метод для случаев разностного ядраСкачать
Уравнения Вольтерра - 1Скачать
Курс по ИДУ: Методы решения интегральных уравнений Вольтерра и Фредгольма | Занятие 6Скачать
Интегральные уравнения ВольтерраСкачать
Ягола А. Г. - Интегральные уравнения - Уравнение Фредгольма 2-го рода с непрерывными ядрамиСкачать
Метод решения интегрального уравнения Вольтерра второго рода с помощью резольвентыСкачать
