Метод возмущений для дифференциальных уравнений

Метод возмущений: алгебраические уравнения (СОБОЛЕВ В.А. , 1999), МАТЕМАТИКА

Описаны первоначальные сведения из теории возмущений применительно к задаче нахождения корней многочленов. Метод возмущений, основанный на разложении по малому параметру, позволяет вслед за решением невозмущенной задачи, соответствующей нулевому значению малого параметра, находить приближенное решение исходной возмущенной задачи.

МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ: АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Самарский государственный университет

Теория возмущений впервые возникла в рамках одной из старейших областей прикладной математики — небесной механике. Начиная с античных времен для описания движения планет применялись различные математические методы. После открытия закона всемирного тяготения оказалось возможным описывать планетарные движения на основе фундаментальных физических законов. Если рассматриваются только Солнце и одна планета, то она движется по эллипсу, в фокусе которого находится Солнце. Однако реально наблюдается несколько иное движение. Дело в том, что каждая планета оказывает воздействие на другие своим гравитационным полем и поэтому возмущает, то есть изменяет, их движение. Теория возмущений в ее изначальном смысле связана с разработкой различных способов учета таких изменений. Исследователь берет в основу анализа невозмущенное решение, которое соответствует эллиптическому движению как начальное приближение, и затем соответствующим образом корректирует это решение, вычисляя силы, с которыми планеты влияют на невозмущенное движение друг друга.

В настоящее время задачи, стоящие перед теорией возмущений, гораздо шире, чем ее применения в небесной механике, но основная идея сохранилась. Исследование начинается с невозмущенной или порождающей задачи, решение которой рассматривается как приближение более сложной задачи, отличающейся наличием дополнительных малых членов в уравнениях. Затем строятся следующие приближения, уточняющие это решение, обычно в форме степенных рядов (или их модификаций). Роль переменной в таких степенных рядах играет малая величина, называемая малым параметром. Обычно используются только частичные суммы рядов (в большинстве задач два-три слагаемых).

Простейшая задача, в которой можно применить теорию возмущений, — это задача о вычислении корней многочленов. Эта задача позволяет проиллюстрировать многие важные идеи: описание семейства возмущений, вырожденные и невырожденные случаи, равномерные и неравномерные решения, масштабирование координат и параметров. Задачу будем рассматривать как чисто математическую, мы не будем обращаться к физическим источникам каждой задачи, а будем обсуждать чисто математические трудности, порождаемые природой теории возмущений. При таком подходе полиномиальные уравнения представляют собой идеальный объект для изучения.

Применение метода возмущений для нахождения корней многочлена продемонстрируем на квадратном уравнении

x2 — 3,99x + 3,02 = 0.

Конечно, это уравнение нетрудно решить точно. Тем не менее мы опишем подход, основанный на методе возмущений, в соответствии с которым следует выполнить программу действий, состоящую из следующих четырех шагов.

1. Во-первых, заметим, что, поскольку — 3,99 = = — 4 + 0,01 и 3,02 = 3 + 0,02, уравнение (1) — это почти то же, что уравнение x2 — 4x + 3 = 0 или (x — — 1)(x — 3) = 0, корнями которого являются числа x(1) = 1, x(2) = 3.

2. На втором шаге создается семейство задач, связывающее легко решаемое уравнение с уже известными корнями и первоначальное уравнение (1). Это можно сделать обозначив через e малую величину 0,01, так что — 3,99 = — 4 + e; 3,02 = 3 + 2e. Тогда уравнение (1) можно переписать следующим образом:

x2 + (e — 4)x + (3 + 2e) = 0.

Если теперь позволить e изменяться, то одно уравнение (2) превратится в семейство уравнений, причем каждому значению e соответствует одно уравнение. Если e = 0, то (2) сводится к уже решенному уравнению; если e = 0,01, то имеем исходное уравнение (1). Уравнение (2) дает пример семейства возмущений, то есть семейства задач, зависящих от малого параметра e, легко решаемых при e = 0.

3. Третий шаг состоит в нахождении приближенных решений семейства уравнений (2) в виде многочленов (усеченных степенных рядов), роль переменной в которых играет малый параметр e. Метод нахождения будет описан в следующем разделе. Для рассматриваемого примера вполне подходящими будут приближенные решения

Полагая в этих формулах e = 0,01, получим приближенные решения исходного уравнения (1):

x(1) . 1,015 875, x(2) . 2,974 812 5.

4. На четвертом шаге следует, насколько это возможно, оценить ошибку полученного приближения. Этим вопросом мы не будем заниматься в данной статье.

Даже этот простой пример дает хорошее представление о теории возмущений. Прежде всего метод может применяться только тогда, когда исходная задача близка к легко решаемой задаче (к задаче, решение которой известно точно или может быть найдено приближенно каким-то методом, не связанным с теорией возмущений). Произвольно выбранное алгебраическое уравнение не всегда может быть решено методом возмущений, так как оно необязательно окажется близким к уравнению с легко определяемыми корнями. Кроме того, этот пример показывает, что применение метода возмущений дает не только решение исходной задачи (1), но и каждого уравнения семейства (2), если только величина e достаточно мала. Возмущенное решение типа (3) справедливо в том смысле, что дает хорошее приближение только для достаточно малых значений e. Что означают слова «достаточно малое», неясно до тех пор, пока не сделан четвертый шаг (анализ ошибки приближения). Может оказаться, что e = 0,01 недостаточно мало, чтобы дать хорошее решение нашей задачи. Тогда мы не можем решить исходную задачу, но в то же время можем получить хорошее решение задачи (2) для меньших значений малого параметра, например при e = = 0,001. Кроме того, формулы (3) могут давать приемлемое решение при e = 0,1 и даже для значений параметра, равных 1 или 10. Здесь мы столкнулись с отличием природы семейств возмущений от индивидуальных задач. Обычно считается, что в теории возмущений 0 0. Построить приближенное решение методом, изложенным в предыдущем разделе, невозможно, так как в данном примере мы имеем дело с вырожденным случаем: x0 = 0 и jx(x0 , 0) = 0. В математической литературе для рассмотрения вырожденных случаев обычно рекомендуется использовать метод диаграмм Ньютона [2], однако в прикладных работах широко используется более простой эвристический метод, не имеющий общепринятого названия, но иногда называемый методом неопределенных масштабов. Суть метода заключается в том, что приближенное решение ищется в форме

x . x0d0(e) + x1d1(e) + _ + xkdk(e)

вместо менее общей полиномиальной формы x . . x0 + x1e + _ + xkek. Функции dn(e) определяют последовательно вместе с коэффициентами xn . Этот метод в комбинации с другими методами важен для сложных задач, которые возникают, например, в газовой динамике, когда невозможно заранее предугадать вид этих функций. Мы продемонстрируем применение этого метода для приближенного нахождения корней многочленов в вырожденном случае. Рассмотрим вырожденную задачу x2 — 10x + + 25 — 4e — 4e2 = 0, имеющую точные решения Эти решения нельзя разложить в степенные ряды по e, но можно разложить в степенные ряды по Например, 5 + 2e1/2 + e3/2 + _ Последняя формула имеет вид (13) при x0 = 5, d0 = 1, x1 = 2, d1 = = e1/2 и т.д. Предугадать вид функций dn(e), основываясь на виде уравнения, не представляется возможным даже в этом простом случае. В общей ситуации заранее можно предполагать только то, что функции dn(e) располагаются в порядке важности. Другими словами, приближение наименьшего порядка должно задаваться формулой x . x0d0(e); член x1d1(e) должен играть роль меньшей (по абсолютной величине) поправки; x2d2(e) — еще меньше и т.д., по меньшей мере при достаточно малых значениях e. Точнее, для всех n должно выполняться предельное соотношение dn + 1(e) / dn(e) 0, когда e 0.

Рассмотрим еще один пример:

Невозмущенное уравнение имеет трехкратный корень x = 1. Полагая x . 1 + x1d1 в исходном уравнении, получим . 0. Отсюда находим d1 = e1/2, а для x1 получается уравнение имеющее один вещественный корень x1 = -1. В результате получаем следующее приближенное решение:

Дополнительные сведения и большое количество примеров можно найти в прекрасно написанных книгах [3, 4]. Материалы книги [4] существенно использовались при написании настоящей статьи.

1. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. М.: Изд-во МГУ, 1985. Т. 1.

2. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969.

3. Найфэ А.Х. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984.

4. Murdock J.A. Perturbations: Theory and Methods. N.Y.: Wiley, 1991.

Владимир Андреевич Соболев, доктор физико-математических наук, профессор, академик РАЕН, зав. кафедрой дифференциальных уравнений и теории управления Самарского государственного университета, декан факультета математики и компьютерных наук Самарского муниципального университета Наяновой. Область научных интересов — дифференциальные уравнения, теоретическая механика, математическое моделирование, теория управления. Автор более 80 научных публикаций и четырех книг.

Видео:7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать

ВОЗМУЩЕНИЙ ТЕОРИЯ

ВОЗМУЩЕНИЙ ТЕОРИЯ — комплекс методов исследования различных задач, используемый во многих разделах математики, механики, физики и техники. Здесь с общей точки зрения излагаются основные идеи В. т.

B. т. основана на возможности приближенного описания исследуемой системы с помощью нек-рой специальным образом выбираемой «идеальной» системы, допускающей корректное и полное изучение. Одним из признаков применимости В. т. в одной из ее форм, определяемой спецификой конкретной задачи, для к-рой В. т. разрабатывается, является условие того, что уравнения, описывающие исследуемый процесс, содержат в явной или неявной форме малый параметр (или несколько таких параметров). При этом требуется, чтобы при нулевом значении малого параметра уравнения допускали точное решение, и таким образом проблема сводится к нахождению асимптотики наилучшего приближения к истинному решению с точностью до ε, ε 2 , . .

1) В. т. впервые была предложена для решения проблем небесной механики, связанных с изучением движения планет в солнечной системе. Удаленность планет друг от друга и малая величина их массы в сравнении с массой Солнца позволяют пренебрегать гравитационным взаимодействием планет между собой и рассматривать их движение (в первом приближении) по орбитам Кеплера, определяемым из уравнений двух тел задачи — планеты и Солнца.

Существенное уточнение астрономич. данных сформулировало проблему учета влияния других планет на движение одной из них вокруг Солнца. Так возникла классическая трех тел задача, причем, напр., при изучении системы Луна — Земля — Солнце в качестве малого параметра выбиралось отношение масс Луны и Земли. Начиная с трудов Ж. Лагранжа (J. Lagrange), П. Лапласа (P. Laplace) было выдвинуто представление о том, что постоянные величины, характеризующие движение планеты вокруг Солнца, ввиду влияния движения других планет как бы «возмущаются» и претерпевают изменения, зависящие от времени; отсюда идет и наименование «теория возмущений».

В. т. занимала внимание классиков Ж. Лагранжа, П. Лапласа, С. Пуассона (S. Poisson), К. Гаусса (С. Gauss) и в результате их работ оказалось возможным проводить вычисления с чрезвычайно большой точностью. Триумфом В. т. явилось открытие планеты Нептун (1848) Дж. Адамсом (J. Adams) и У. Леверье (U. Le Verrier) из анализа отклонений в движении планеты Уран.

Трудности первоначально разработанных методов В. т. были обусловлены наличием в получающихся разложениях членов, содержащих время t вне знака синуса или косинуса. Вклад таких членов в ряд В. т. существен лишь за длительные промежутки времени (порядка столетий), но и в этом случае невозможно строгое описание планетных движений в схеме В. т.- приемлемым является только первое приближение. Появление так наз. секулярных членов обусловлено зависимостью частоты движения (обращения) исследуемой планеты от соответствующих частот других планет. Учет такого рода зависимости и приводит к возникновению в решениях как секулярных (вида At n ), так и смешанных (вида Bt cos (ωt + φ)) членов. Напр., соотношение

в схеме В. т. допускает следующее разложение по ε (ε〈〈1):

смешанный член в к-ром появляется в результате разложения колебания с частотой (1) по колебаниям с частотой ω₀.

Создание специальных методов В. т., устраняющих секулярные члены, т. е. позволяющих представить решение в чисто тригонометрич. виде, связано с работами Линдштедта (Lindstedt), П. Гульдина (P. Guldin), Ш.Делоне (Ch. Delaunay), Б. Волина (В. Bohlin), С. Ньюкома (S. Newcomb). В предложенном ими подходе частоты уже не разлагаются по малым параметрам, т. е. в соответствующие разложения входят не частоты нулевого приближения, а нек-рым образом переопределенные (в терминах современной теоретич. физики — ренормированные) частоты. В результате каждый отдельный член ряда В. т. но Степеням малого параметра представляет собой сходящееся выражение. Вопрос о сходимости ряда В. т. в целом остается открытым из-за появления так наз. малых знаменателей (малых делителей), образующихся при интегрировании в каждом приближении В. т. выражений вида exp<iΣ_jω_jn_it + φ>, где <ω_j> — набор частот, отвечающих различным движениям. В случае почти соизмеримых частот сумма в показателе экспоненты может быть малой и тогда после соответствующего интегрирования возникают члены ряда В. т., знаменатели к-рых малы, что и приводит к расходящимся выражениям ряда В. т. В частности, для двух частот ω₁ и ω₂, отношение к-рых является иррациональным числом, (n₁ω₁ + n₂ω₂) можно подобрать так, чтобы соответствующий ряд В. т. расходился.

При изучении с общей математич. точки зрения проблемы малых знаменателей А. Пуанкаре (Н. Poincaré) и А. М. Ляпуновым была предложена методика построения специального вида периодич. решений, эффективная не только в задачах небесной механики, но и в теории дифференциальных уравнений в целом.

Существенный вклад в решение проблемы малых делителей был сделан в работах [4], [5], [6]. Метод последовательных канонич. замен переменных позволяет «понизить» порядок возмущения и с помощью достигаемой усиленной сходимости (так наз. сверхсходимости) «преодолеть» расходимость ряда В. т. из-за малых знаменателей, возникающих в каждом порядке В. т., надлежащим выбором канонич. преобразования.

2) В В. т. для задач небесной механики развито асимптотич. интегрирование дифференциальных уравнений только в случае консервативных систем. Дальнейший прогресс В. т. связан с развитием теории колебаний, в особенности с созданием теории нелинейных колебаний.

Важную роль сыграли (выполненные в развитие работ Ж.Лагранжа) исследования Б. Ван дер Поля (В. Van der Pol) по уравнениям типа Рэлея с малым параметром ε:

Частным случаем уравнения (3) является Ван дер Поля уравнение.

Для решения уравнения

ẍ — ε(1 — ẋ 2 )ẋ + ω 2 х = 0 (4)

в первом приближении Б. Ван дер Поль предложил без должного математич. обоснования метод «медленно меняющихся коэффициентов», аналогичный одному из методов, применявшихся еще Ж. Лагранжем в небесной механике. Этот метод основан на представлении решения уравнения (4) в виде функции гармония, колебаний, амплитуда и фаза к-рых — медленно меняющиеся функции параметра t.

Общая теория нелинейных колебаний была разработана в работах Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова. При этом были преодолены принципиальные математич. трудности и дано распространение В. т. на общие неконсервативные системы. Развитые в этих работах новые асимптотич. методы нелинейной механики позволяют получать решения в высших приближениях В. т. в математически обоснованной схеме, причем наряду с периодич. решениями допускали строгое рассмотрение квазипериодич. режима.

Идея асимптотич. методов теории возмущений Крылова-Боголюбова становится наглядной при рассмотрении уравнения

описывающего нелинейные колебания системы с одной степенью свободы.

К правильной формулировке асимптотич. метода можно прийти, исходя из физич. соображений о характере колебательного процесса. Так, при полном отсутствии нелинейности, т. е. при ε = 0, колебания, описываемые уравнением (5), будут чисто гармоническими с постоянной амплитудой и равномерно вращающейся фазой. В случае, если ε ≠ 0, т. е. в случае наличия нелинейного возмущения, естественно ожидать появления в решении уравнения (5) обертонов, зависимости мгновенной частоты от амплитуды и, наконец, систематич. увеличения или уменьшения амплитуды колебания в связи с притоком или поглощением энергии возмущающими силами.

Принимая во внимание все эти физич. соображения, естественно решение уравнения (5) искать в виде ряда

х = а cos ψ + εu₁(a, ψ) + ε 2 u₂(a, ψ)+ . (6)

в к-ром u_i(a, ψ), i = 1, 2, . — периодич. функции угла ψ с периодом 2π, а величины а и ψ как функции времени определяются дифференциальными уравнениями

Таким образом, задача сводится к подбору соответствующих выражений для функций u_i(a, ψ), A_i(а), В_i(а), i = 1, 2, . так, чтобы выражение (6), в к-рое вместо а и ψ будут подставлены функции времени, определенные из системы (7), являлось решением исходного уравнения (5). Причем накладываются нек-рые дополнительные условия, обеспечивающие отсутствие в решении (6) секулярных членов.

Ограничиваясь в формальном ряде (6) первыми членами, приходят к m-му приближению, обладающему свойством асимптотичности в том смысле, что при фиксированном m и ε → 0 выражение (6) стремится к точному решению уравнения (5); уравнения первого приближения совпадают с уравнениями Ван дер Поля. Проблема оценки погрешности m-го приближения не вызывает особенных трудностей. Аналогичным образом решается задача в случае N степеней свободы.

Если интерпретировать формулу (6) не как решение уравнения (5), а как формулу замены переменных, то можно получить точные выражения для производных по времени от амплитуды а и фазы ψ.

Как известно (см. [8], [9]) во многих случаях дифференциальные уравнения, описывающие колебательные процессы и содержащие «малый» параметр, могут быть приведены к так наз. стандартной форме:

где ε — малый положительный параметр. Большое число задач физики и техники приводится к этому виду. Для системы дифференциальных уравнений вида (8) разработан особый метод аппроксимации, названный методом усреднения. Согласно методу усреднений, эти уравнения для достаточно малых значений ε на конечном интервале посредством замены переменных

приводятся к усредненным уравнениям:

Применяя метод усреднения, можно получить, напр., ряд критериев о существовании и устойчивости автоколебательных режимов.

Были установлены [13] при весьма общих условиях оценки разности |X_i — ε_i| на временном интервале длины L/ε. Кроме того, можно установить соответствие и в таких свойствах решений общих систем, к-рые зависят от их поведения на бесконечном интервале. Таким образом были доказаны теоремы о существовании и устойчивости квазипериоднч. решений.

3) При изучении нелинейных колебательных систем можно не приводить соответствующую систему уравнений к «стандартной форме», а работать непосредственно с исходными дифференциальными уравнениями для системы гармонич. вибраторов, подверженных слабому нелинейному воздействию. При этом наряду с общими решениями для такой системы можно получить и частные решения с помощью замены переменных специального вида.

Такой подход был использован Н. Н. Боголюбовым для нек-рых задач статистич. механики, связанных с вычислением функций распределения s частиц (s = 1, 2, . N) для систем многих взаимодействующих частиц. Малым параметром в задачах статистич. механики может служить как малая константа взаимодействия, так и малая плотность частиц в системе. В одном из этих приближений можно выразить высшие s-частичные функции распределения через функции распределения одной частицы. При этом уже в первом приближении В. т. можно получить из системы кинетич. уравнений известные уравнения Больцмана, а также уравнения Ландау, Власова и Боголюбова-Ленарда-Балеску, широко применяемые в теории плазмы.

Следует отметить, что перечисленные методы развиты в применении к уравнениям с малым параметром, входящим в них регулярным образом (не при старшей производной). В то же время, напр., уравнение Ван дер Поля в форме Рэлея в случае больших ε автоматически сводится к уравнению, в к-ром малый параметр стоит перед старшей производной. Для задач такого типа, требующих особого подхода, развиты мощные методы исследования (см. [14], [15], [16], [17]).

Именно задачи с малым параметром при старшей производной типичны для проблем статистич. механики и гидродинамики. Примером может служить Навье-Стокса уравнение в предположении малых коэффициентов вязкости и теплопроводности, имеющее в качестве нулевого приближения уравнения идеальной жидкости Эйлера. Поиск наилучшего приближения в данной задаче усложнен указанным условием.

4) Большое значение методы В. т. имеют в области квантовой механики, где, такие как и в классической, точные решения получены лишь в задаче двух тел, формально сводимой к задаче одного тела во внешнем потенциальном поле. Здесь используются две формы В. т.: одна для стационарных состояний, другая для расчета вероятностей переходов из одного стационарного состояния в другое в схеме метода матрицы рассеяния. В. т. формулируется в квантовой механике как задача на собственные значения для линейного самосопряженного оператора вида:

где ε — малый параметр, причем известно решение задачи на собственные значения для «невозмущенного» оператора H₀, т. е. задана полная система собственных функций <ψ (0) _n> и собственных значений Е 0 _n и требуется найти спектр оператора Н.

В предположении малости ε волновые функции

и собственные значения энергии Е_n могут быть найдены в виде рядов

по степеням возмущения ε. Тогда для возмущения n-состояния В. т. дает следующий результат:

Здесь V_mn — матричный элемент оператора возмущения, определяемый согласно правилу (V̂ = εH₁):

где dq — элемент объема. Условие применимости В. т. к таким задачам:

нарушается в случае вырождения уровня энергии невозмущенной системы: вырожденному уровню энергии Е (0) _n отвечает s состояний <ψ (0) _nj>, j = 1, 2, . s (s — кратность вырождения). В этом случае применяется нек-рая модификация В. т.: вначале учитывают влияние возмущения на вырожденные состояния, а влияние других уровней рассматривается как малое возмущение; строятся линейные комбинации s функций вырожденного состояния, причем для коэффициентов С (0) _r построенной комбинации получены уравнения вида

Поправка к энергии Е (1) _n находится из секулярного уравнения системы (9). Решения <Е (1) _n,p>, p = 1, . s этого уравнения s-й степени представляют в (9) и находят <С (0) _r,p> и волновую функцию:

после снятия вырождения. Поправки следующего порядка находят методами обычной В. т.

В нестационарном случае задача В. т. ставится в терминах вероятностей перехода из состояния ψ (0) _n в состояние &#968 (0) _m. В. т. может применяться в гейзенберговском, шрёдингеровском представлениях или же в представлении взаимодействия.

В квантовой механике есть также принципиально другого типа задачи о нахождении так наз. рассеяния матрицы двух или нескольких частиц. В особенности такие задачи важны для квантовой электродинамики, где имеется малый параметр — постоянная тонкой структуры.

Проблема вычисления вероятностей перехода сводится к исследованию гамильтониана вида:

где Н₀ — свободный гамильтониан, а Н₁ — гамильтониан взаимодействия, к-рый по предположению включается в «отдаленном прошлом» (t = -∞) и выключается в «отдаленном будущем» (t = +∞).

В представлении взаимодействия Шрёдингера уравнение имеет вид:

Посредством замены переменных

можно получить для состояния φ уравнение

Связь между начальными состояниями φ_in, описывающими «входящие» частицы, и конечными состояниями φ_out описывающими «выходящие» частицы, формулируется в терминах так наз. оператора рассеяния S, определяемого соотношением вида:

Формально решение уравнения (10) можно построить методом последовательных приближений в виде разложения по степеням малости взаимодействия:

В квантовой теории поля справедлива аналогичная формула, в к-рую вместо H₁(t) входит соответствующая плотность лагранжиана, причем используется представление S-оператора через T-произведение:

Действие оператора хронологического упорядочения т определяется правилами:

причем это T-произведение формально не определено для совпадающих аргументов. Для преодоления такого рода трудностей, возникающих в методе В. т. в квантовой теории поля, созданы специальные методы регуляризации. Релятивистски инвариантная В. т. используется для вычисления так наз. S-матрицы, элементы к-рой определяют вероятности переходов между квантовыми состояниями различных полей под влиянием взаимодействия между ними.

Лит.: [1] Роinсаré Н., Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, P., t. 1-3, 1892-97; Пуанкаре A., Избр. труды, т. 1-3, M., 1971 — 74; [2] Шарлье К., Небесная механика, пер. с нем., М., 1966; [3] Биркгоф Дж. Д., Динамические системы, пер. с англ., М.-Л., 1941; [4] Колмогоров А. Н., О динамических системах с интегральным инвариантом на торе, «Докл. АН СССР», 1953, т. 93, № 5; [5] Арнольд В. И., Математические методы классической механики, М., 1974; [6] Мозер Ю., Лекции о гамильтоновых системах, пер. с англ., М., 1973; [7] Боголюбов Н. Н., Крылов Н. М., в кн.: Збiрник праць з нелiнiйноï механiки, К., 1937, с. 55-112; [8] их же, Введение в нелинейную механику, К., 1937; [9] Боголюбов Н. Н., Mитропольский Ю. А., Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, 5 изд., М., 1974; [10] Моисеев Н. Н., Асимптотические методы нелинейной механики, М., 1969; [11] Челомей В. Н., «Докл. АН СССР», 1956, т. 110, №3; [12] Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Самойленко А. М., Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике, К., 1969; [13] Боголюбов Н. Н., О некоторых статистических методах в математической физике, К., 1945; [14] Дородницын А. А. «Прикл. матем. и мех.», 1947, т. 11; [15] Тихонов А. Н., «Матем. сб.», 1948, т. 22, с. 193-204; [16] Понтрягин Л. С., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1957, т. 21, с. 607; [17] Мищенко Е. Ф., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1957, т. 21, с 607; «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1957, т. 21, с. 627; [18] Блохинцев Д. И., Основы квантовой механики, 5 изд., М., 1976; [19] Боголюбов Н. Н., Лекцiï з квантовоï статистики, К., 1949; [20] его же, Избранные труды, т. 2, К., 1970; [21] БоголюбовН. Н., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, 3 изд., М., 1976; [22] Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров И. Т., Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля, М., 1969; [23] Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б., Квантовая электродинамика, 3 изд., М., 1969; [24] Маслов В. П., Теория возмущений и асимптотические методы, М., 1965.

Н. Н. Боголюбов (мл.).

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А — Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] — М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.

Видео:Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать

Курсовая работа: Асимптотика решений дифференциальных уравнений

по дисциплине “Эффективные алгоритмы исследования моделей естествознания”

на тему: «Асимптотические решения дифференциальных уравнений по малому параметру. Регулярные возмущения»

Применения регулярного возмущения

1. Асимптотическое поведение решений дифференциальных уравнений с малым параметром

1.1 Асимптотическое поведение решений системы

2. Регулярные возмущения

2.1 Асимптотические методы

2.2 Регулярные возмущения решений задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

2.3 Существование решении возмущенной задачи

Невозможно представить себе современную науку без широкого применения математического моделирования. Сущность этой методологии состоит в замене исходного объекта его «образом» — математической моделью — и дальнейшем изучении модели с помощью реализуемых на компьютерах вычислительно-логических алгоритмов. Этот «третий метод» познания, конструирования, проектирования сочетает в себе многие достоинства как теории, так и эксперимента. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность безболезненно, относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в любых мыслимых ситуациях (преимущества теории). В то же время вычислительные (компьютерные, симуляционные, имитационные) эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных методов и технических инструментов информатики, подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам (преимущества эксперимента).

Неудивительно, что методология математического моделирования бурно развивается, охватывая все новые сферы — от разработки технических систем и управления ими до анализа сложнейших экономических и социальных процессов.

Сейчас математическое моделирование вступает в третий принципиально важный этап своего развития, «встраиваясь» в структуры так называемого информационного общества.

Применения регулярного возмущения

Выходные пучки лазеров часто имеют квазирегулярную модуляцию волнового фронта (ВФ). В газовых лазерах с движущейся активной средой такую модуляцию могут вызывать неоднородности, возникающие под действием периодической сопловой решетки [1], под влиянием страт и доменов в газовом разряде [2], в результате наложения ударных волн [3,4], а также под действием ряда других физических факторов. Модуляция ВФ выходных лазерных пучков в литературе чаще всего рассматривается как фактор, влияющий, прежде всего на расходимость излучения.

Гораздо меньше внимания уделяется анализу метаморфоз структуры ВФ, условиям появления и взаимосвязи каустических и фазовых дислокационных образований в лазерных пучках. Такого рода образования регистрируются в излучении лазеров с самыми разными оптическими резонаторами [5,6]. В настоящей работе рассматриваются качественные изменения амплитудно-фазовой структуры лазерных пучков, первоначально обладающих плавной регулярной модуляцией ВФ.

Общее представление о характере рассматриваемых процессов можно получить на примере известной задачи [7] о распространении безграничной волны, фаза которой в начальной плоскости меняется по гармоническому закону. Амплитуда такой волны имеет следующий вид:

где m — параметр, характеризующий глубину фазовой модуляции; х — поперечная координата; а — период модуляции. На расстоянии z от начальной плоскости поле можно представить в виде суперпозиции плоских волн [7]:

где — функция Бесселя порядка — волновое число. Это поле является частным случаем самовоспроизводящихся полей, свойства которых нашли применение в лазерной технике [8,9]

Используя для расчета характеристик поля его разложение по плоским волнам (2), а также лучевой метод из работы [10], можно установить основные особенности трансформации первоначального распределения амплитуды и фазы. Расчеты показывают, что даже при малой глубине модуляции фазы и равномерном распределении интенсивности в начальной плоскости дифракционные эффекты приводят к значительному пространственному перераспределению интенсивности.

Перераспределение наиболее заметно вблизи плоскостей Эти плоскости располагаются между плоскостями, в которых, согласно эффекту Тальбо, воспроизводится первоначальное равномерное распределение интенсивности. Так, при m = 0.1 контраст картины распределения интенсивности , а при m = 0.5 контраст К = 2.82. С превышением определенной критической глубины модуляции в структуре волны происходят качественные изменения..

На рис.1 приведены распределения амплитуды А и фазы Ф на расстояниях при разных первоначальных глубинах модуляции фазы. Видно, что при превышении критической глубины модуляции появляются линии с нулевыми амплитудами. В распределении фазы им соответствуют КД, обусловленные скачкообразным изменением фазы на π. КД располагаются симметрично относительно осей клювообразных каустик. Клювы каустик, находящиеся сначала вблизи плоскостей , с дальнейшим увеличением глубины фазовой модуляции приближаются к плоскостям воспроизведения первоначальной структуры. При этом растет и число КД.

Их расположение по отношению к образующим каустик соответствует рассчитанной на основе интеграла Перси фазовой структуре поля, приведенной в работе [11].

Рис. 1. Распределение амплитуды А (1,2) и фазы Ф (3,4) по поперечной координате х для безграничной волны на расстоянии стрелками указано положение клювов каустик.

Продольная структура распределения интенсивности излучения показана на рис. 2 для т = 1.2. Из него видно, что фазовая модуляция вызывает формирование каналов, вытянутых вдоль направления распространения, в которых интенсивность излучения существенно превышает среднюю. Оси этих областей совпадают с осями симметрии клювообразных каустик.

Если фазовая модуляция в начальной плоскости осуществляется не по одной а по двум поперечным координатам, то появляется возможность формирования винтовых дислокаций (ВД) волнового фронта. ВД отличаются от КД принципиально иной топологической структурой (при обходе вокруг ВД фаза меняется на 2п). На рис. 3,а приведена структура эквифазных линий ВФ в начальной плоскости когда распределение поля задается формулой

Здесь функция ) совпадает с функцией при замене поперечной координаты х поперечной координатой у С —константа.

Структура эквифазных линий в начальной плоскости на рис.3,а построена с помощью формулы (3) для С = 0.2 и m = 2. Ход линий свидетельствует о наличии плавных регулярных возмущений волнового фронта. На рис.3,6 изображена структура эквифазных линий на расстояниях

ВД располагаются в точках пересечения эквифазных линий. Они образуют своеобразные квадруполи каждый из которых состоит из четырех ВД. Две из них имеют положительный знак (являются «правыми»), две — отрицательный знак (являются «левыми»). Квадруполи окружают оси каустик.

В отличие от КД каждая из которых строго говоря формируется в определенной плоскости z = const, ВД характеризуются определенной продольной длиной. Как и КД дислокации винтового типа возникают лишь при превышении глубиной первоначальной модуляции волнового фронта некоторого критического значения. Если обозначить через разность между максимальной и минимальной фазами в начальной плоскости (при модуляции по одной координате совпадает с ni) то ВД будут возникать когда >

Все вышеперечисленные эффекты были проанализированы применительно к пространственно-ограниченному пучку с гауссовым профилем распределения интенсивности. В основу расчета была положена формула (2), в которой суперпозиция плоских волн была заменена системой распространяющихся под углом друг к другу raусовых мод свободного пространства [12]. Горловины мод располагались в начальной плоскости

Расчеты показали, что переход к более точной модели гауссова пучка с периодической модуляцией ВФ не вносит существенных качественных изменений в данные о преобразовании амплитудно-фазового распределения, по крайней мере на расстояниях сопоставимых с характерной длиной . Как и в случае безграничной волны дислокации ВФ начинают формироваться в ближней зоне, когда глубина модуляции фазы превышает . Сказанное иллюстрирует рис. 4, который является аналогом рис. 1 для гауссова пучка. Отношение радиуса пучка в горловине к периоду модуляции, а равно пяти.

Из сравнения рис. 1 и 4 видно, что имеющиеся в них различия проявляются в дифракционном «замывании» части дислокаций. Различия усиливаются с ростом координаты z по мере того, как ухудшается периодическая воспроизводимость первоначальной структуры поля. Это видно, в частности, из рис. 5, на котором изображено продольное распределение интенсивности для параметров

Распределения, приведенные на рис.2 и 5, близки лишь в ближней зоне, для которой характерны узкие зоны, где концентрируется энергия светового потока. В дальней зоне дифракции перекрытие гауссовых угловых компонент излучения ослабевает, и структура излучения кардинальным образом отличается от структуры безграничной волны: излучение представляет собой «веер» пучков, интенсивность которых убывает с увеличением угла наклона.

Фазовая модуляция гауссова пучка по двум поперечным координатам, если ее глубина превышает указанную выше критическую глубину, приводит к появлению на волновом фронте БД. Как и в безграничной волне, эти БД обладают определенной продольной длиной, увеличивающейся с ростом глубины модуляции. Это свойство БД значительно облегчает их экспериментальное обнаружение. В дальней зоне дифракции вследствие изменения фазы в начальной плоскости по двум координатам будут формироваться два веера пучков, располагающихся во взаимно перпендикулярных плоскостях.

Заметим в заключение, что результаты выполненного анализа могут быть частично перенесены и на случай нерегулярной плавной модуляции ВФ, если длина рассматриваемой пространственной области сопоставима с величиной аЦк, где ап — характерный размер нерегулярных возмущений ВФ. В частности, это относится к образованию в световом поле каналов с повышенной интенсивностью и к появлению дислокаций волнового фронта при превышении фазовыми возмущениями определенного значения.

Таким образом, плавные возмущения ВФ играют важную роль в трансформации амплитудно-фазового профиля излучения и в формировании каустических и дислокационных образований. Появление каустик и дислокаций волнового фронта носит пороговый характер и непосредственно связано с глубиной первоначальной модуляции фазы. Для практики важным является то, что появление указанных образований в лазерном пучке сопряжено с формированием узких каналов, в которых интенсивность излучения значительно превышает среднюю.

Работа выполнена при финансовой поддержке государственной научно-технической программы «Физика квантовых и волновых процессов» (проект 1.61) и физического учебно-научного центра «Фундаментальная оптика и спектроскопия».

1. Асимптотическое поведение решений дифференциальных уравнений с малым параметром

Многие колебательные системы описываются дифференциальными уравнениями с малым параметром при производных:

или, в векторной форме

где — малый положительный параметр, — неизвестные функции времени t, характеризующие данную систему.

В работах ( х ) — ( 5 ) находится асимптотика решений системы (1.1) в случае, когда при каждом z любое решение системы «быстрых движений» **

при приближается либо к устойчивому положению равновесия, либо к устойчивому предельному циклу.

Но возможны случаи, когда система «быстрых движений» (1.2) может не иметь асимптотически устойчивых положений равновесия и изолированных предельных циклов. Такова, например, гамильтонова система. Целью настоящей работы и является изучение этих случаев. Так, в § 2 с точностью до величин порядка О (г) находится решение системы (1.1), для которой соответствующая система «быстрых движений» гамильтонова и к = 2, т. е. находится решение системы

Асимптотические формулы для решения этой системы находятся для области, где траектории соответствующей гамильтоновой системы «быстрых движений» при каждом векторе z замкнуты (в случае невырожденного центра в рассматриваемую область включается и сам центр). Метод исследования системы (1.3) таков: сначала рассматривается система «быстрых движений» (1.4), а затем система (1.3) после соответствующей замены переменных усредняется вдоль решений (1.4). Оказывается, что уравнение с малым параметром и. при старшей производной и с пропущенной в основном члене Q (п — 1)-й производной, исследованное В.М. Волосовым (при п — 2 — в работе ( 12Г ), при F

О — в ‘работах ( 8 ) — ( п )) методом конечных разностей, является частным случаем системы (1.3). Поэтому результаты работ ( 8 ) — ( 12 ) (эти результаты сформулированы в § 3 настоящей работы) следуют из результатов § 2.

Метод построения решения уравнения (1.5) при п = 2 с любой наперед заданной точностью в случае, когда известно общее решение (в форме разложения в тригонометрический ряд Фурье) соответствующего невозмущенного уравнения был дан в работе Ю.А. Митрополъским.

Задача исследования системы (1.3) с точки зрения работ ( 3 ) — ( 4 ) и вывода из нее известных результатов В.М. Волосова [работы ( 8 ) — ( 12 )] относительно уравнения (1.5) была поставлена Л.С. Понтрягиным в его докладе на семинаре В.И. Смирнова в Ленинграде в середине апреля 1957 г.

Выражаю глубокую благодарность Л.С. Понтрягину за ценные указания, советы и постоянное внимание к настоящей работе.

1.1 Асимптотическое поведение решений системы

Система (1.3) в векторной форме имеет вид:

глк, в быстром времени

При е = 0 система (2.1′) переходит в гамильтонову систему

являющуюся системой «быстрых движений» для системы (2.1). 1. Изучение системы (2.2). Пусть функции

определены и непрерывны вместе со всеми своими первыми частными производными в некоторой области G эвклидова пространства E ₂ + i переменных х, у, zi . zi . Как известно, система (2.2) имеет первый интеграл

и (2.3) представляет собой семейство всех фазовых траекторий системы(2.2) на кажтгой плоскости z = constобласти G .

Возьмем некоторую точку (х, у, z ) из G, не являющуюся положением равновесия системы (2.2). По известной теореме существования и единственности решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений, через эту точку пройдет только одна фазовая траектория системы

(2.2). Уравнение этой траектории запишется в виде:

Докажем следующее утверждение.

Пусть траектория (2.4) замкнута и целиком лежит внутри области G . Тогда в пространстве E ₂ + i существует некоторая окрестность G этой траектории (2.4) такая, что

1)фазовые траектории системы (2.2), проходящие через точки G , замкнуты и целиком лежат в G;

2)уравнение (2.3) при каждой паре (/г, z ) определяет одну и только одну фазовую траекторию системы (2.2), расположенную в G;

3)на каждой фазовой траектории (2.3) системы (2.2), лежащей в G, можно выбрать по одной точке , гладко зависящей от

В самом деле, в силу известных свойств гамильтоновой системы, в пространстве E ₂ + i существует некоторая окрестность G траектории (2.4) ( Gd G), в которой выполняется условие 1). Выделим из G ту окрестность траектории (2.4), в которой выполняются и условия 2), 3). Для этого возьмем поверхность, пересекающую каждую плоскость z = const области G

о о по нормали в точке (х, у, z ) к фазовой траектории системы (2.2), проходящей через эту точку. Уравнение этой поверхности имеет вид:

Следовательно, точка (х, у, z , h ) эвклидова пространства £»₂ +z переменных х, у, z , h удовлетворяет системе

Левые части системы (2.5) определены и непрерывны вместе со всеми своими частными производными в области Г: (#, у, z ) £ G, —ос 0 такое, что при любых eg (0, е₀ ], t 6 [*> L ] решение <ф ( t , е), h ( t , е), z ( t , г)> системы (2.15) с начальными условиями

и решение <ф ( t , e), h ( t ), z ( t )> усредненной системы (2.17) с теми же начальными условиями

связаны следующим образом: точка <h ( t , e), z ( t , г)> остается в некоторой и выполняются соотношения:

окрестность решения)). А так как, по (2.13),

и так как точка <h (£, е), z ( t , е)> остается в G_hp CZG_h , то на отрезке [ t_Q , L ] при любом 8 g (0, е₀ ] решение <х (t , е),?/ (£, е), z (£, г)> системы (2.1) остается в G, причем, по свойству 3,

и потому соотношения (2.39), (2.40) доказывают первую часть теоремы 1. Докажем вторую часть теоремы 1. По формуле конечных приращений, из (2.41) получаем:

Возникает вопрос, как ведут себя решения системы (2.1) во всей указанной окрестности Go (включая и положения равновесия</ (z), g (z), z> системы (2.3)). На этот вопрос отвечают теорема 1 и нижеследующие теоремы 2 и 3.

ТЕОРЕМА 2. Пусть в окрестности Go выполнены условия теоремы 1, касающиеся гладкости правых частей системы (2.1). Тогда найдется число 8° у> О, такое, что при любом г £ (0, е°] (е° и Н

сохраняет вид системы (2.1), но дает условия (2.54). Следовательно, в силу.

Это решение на конечном промежутке времени [ t ₀ , L ] составляет некоторое замкнутое ограниченное множество F_Q CZG ₀ и поэтому найдется ро > 0 такое, что G₀₀ С G ₀ ( G_{Q 0} — р₀ -окрестность F ₀ ).

Следовательно, по формуле Тейлора, примененной к функциям

(формула Тейлора применима в G₀₀ относительно х, у, так как прямолинейный отрезок, соединяющий любые две точки (я, у, z ) и (0, 0, z ) из Goo, содержится в Goo, поскольку каждое сечение области G₀₀ плоскостью z = const представляет собой круг с центром в точке (0, 0, z ), по определению Goo).

Функция О 2 (х, у, е), в силу указанной в условиях теоремы гладкости правых частей системы (2.1), является однородной квадратичной относительно х, у, е с ограниченными в Gooкоэффициентами, и поэтому

С другой стороны, по формуле Тейлора, в силу (2.54) имеем в G₀₀

то соотношение (2.61), в силу (2.57), дает на [£₀ , t (е) ]:

Но, по (2.56) — (2.58) и (2.63),

откуда следует, что на отрезке

Но так как, в силу

т. е. окончательно, по (2.64), (2.67),

2. Регулярные возмущения.

2.1 Асимптотические методы

Пусть задано банахово пространство и отображение .

Определение . Будем ряд называть асимптотическим рядом для функции , если для любого найдутся числа и такие, что

при (2.1)

Пример 1 . Если функция имеет производные всех порядков в точке , то справедливо формула Тейлора

(2.2)

Ряд Тейлора может расходиться на любом отрезке , но он будет асимптотическим рядом для функции . Действительно,

(2.3)

Пример 2 . Рассмотрим функцию

Интегрируя по частям, получаем

Ряд расходится при любом , но является асимптотическим для функции , так как

Замечание . Асимптотический ряд может быть полезен при вычислении значений функции при малых или больших значениях параметра .

Рассмотрим функцию примера 2. Вычисляя интеграл численно, получаем при

Вычисляя частичные суммы асимптотического ряда и оценивая разности , получаем первые 20 чисел

0.0015633, -0.0004366, 0.0001633, -0.0000766, 0.0000433, -0.0000287, 0.0000217,

-0.000186, 0.0000177, -0.0000186, 0.00002133, -0.0000266, 0.0000357, -0.0000515,

0.0000793, -0.0001299, 0.0002257, -0.0004145, 0.0008020

Наилучшее приближение дает девятая частичная сумма.

На рис. 1 изображен графически характер приближения частичных сумм к значению. На горизонтали оси откладывается номер , по вертикали частичная сумма .

Пусть банаховы пространства и при задано семейство операторов . Рассмотрим при уравнение . Допустим, что это уравнение при каждом имеет единственное решение . Уравнение будем называть вырожденным . Допустим, что вырожденное уравнение имеет единственное решение . Будем говорить, что вырождение регулярное, если

при (2.4)

Если (18.4) не выполняется, то говорят, что вырождение сингулярное.

Распространена еще и такая терминология: Уравнение называют уравнением возмущений для уравнения . Если условие (2.4) выполнено, то говорят о регулярных возмущениях. В противном случае речь идет о сингулярных возмущениях. Сам термин «теория возмущений» возник в рамках небесной механики. В следующем параграфе будет исследована задача о регулярных возмущениях для обыкновенных дифференциальных уравнений.

2.2 Регулярные возмущения решений задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Рассмотрим задачу Коши

(2.2.1)

Функция непрерывна по переменной и бесконечно дифференцируемая по переменным и при , , .

Предполагается, что вырожденная задача

(2.2.2)

имеет единственное решение при , причем .

(2.2.3)

и воспользовавшись тем, что функция удовлетворяет уравнению (2.2.2) запишем систему уравнений для функции в виде

(2.2.4)

(2.2.5)

(2.2.6)

Будем искать решение задачи Коши (2.1.4) в виде формального ряда по степеням малого параметра

(2.2.7)

Для определения неизвестных функций получаем рекуррентную систему задач Коши для линейных уравнений (уравнений в вариациях)

(2.2.8)

Уравнение (2.2.8) называют уравнением в вариациях.

Вычислим две первых функции

(2.2.9)

Подставляя разложения (2.2.7) и (2.2.8) в уравнения (2.2.4),получаем рекуррентную систему уравнений

(2.2.10)

Все уравнения (2.2.4) имеют одинаковую структуру

, (2.1.11)

Столбцы фундаментальной матрицы образуют фундаментальную систему решений. При помощи формулы Коши получим решение в виде

(2.2.12)

Линейный оператор

(2.2.13)

Покажем, что ряд (2.2.3) асимптотический для решения . Положим

(2.2.14)

Применяя формулу Тейлора, получаем

(2.2.15)

где функции те же, что и в формуле (19.8), а

(2.2.16)

Подставляя представление (2.2.14) в уравнение (2.2.4), воспользовавшись представлением (2.2.15) и формулами (2.2.8), получаем уравнение для функции .

(2.2.17)

(2.2.18)

Из формулы (2.2.6) получаем

и формула (2.2.18) может быть записана в виде

(2.2.19)

Так как вторые производные функции ограничены, то функция удовлетворяет условию Липшица и

(2.2.20)

Вспоминая определение оператора , получаем функциональное уравнение

(2.2.21)

Используя принцип сжатых отображений, покажем, что уравнение (2.1.21) при имеет единственное решение, и справедливо неравенство . Тем самым будет доказано, что ряд является асимптотическим рядом для функции , являющейся решением задачи Коши (2.2.1).

Пусть . Так как частные производные равномерно непрерывны, то из (2.2.17)- (2.2.20) получаем оценки

при . Таким образом, шар радиуса отображается в себя при.

Используя (2.2.20), получаем

Используя равномерную непрерывность частных производных, получаем

Уменьшая, если нужно, получаем, что при оператор является оператором сжатия. Следовательно,

и ряд асимптотический для решения задачи Коши (2.1.1).

2.3 Существование решении возмущенной задачи

Результаты, полученные обладают той особенностью, что справедливость асимптотического представления гарантируется на некотором сегменте [0,T], определяемом свойствами правой части (2.3.1), одновременно с существованием и единственностью как невозмущенного, так и возмущенного уравнений.

Можно ставить вопрос иначе. Допустим, что решение невозмущенной задачи (2.3.2) существует, единственно и принадлежит некоторой области G пространства переменных y(t,μ) при, 0≤t≤T.Величину T в данном случае можно, например, установить непосредственно из явного вида y(t). Будет ли при достаточно малых μ решение задачи (2.3.1) также существовать на всем [0,T] и подчиниться формуле (1.3)? Ответ на этот вопрос дает следующая

Теорема 1 .2. Пусть в области

непрерывны и равномерно ограничены:

Пусть решение y ( t ) задачи (2.3.2) существует, единственно на [0, T ] и принадлежит . Тогда при каждом достаточно малом μ решение y ( t , μ) задачи (2.3.1) также существует, единственно на [0, T ] принадлежит G , и имеет место равномерный относительно предельный переход

(2.3.8)

Доказательство. Перейдем в (2.3.1) к новой неизвестной функции . Имеем

Перейдем к эквивалентному интегральному уравнению

(2.3.9)

где причем . Здесь и в

дальнейшем бесконечно малые при μ →0 величины будем обозначать

ω(μ), ω₁ (μ) и т. д. Применим к уравнению (2.3.9) метод последовательных приближений и докажем, что ▲(t,μ) существует на сегменте [0,Т] и .Это очевидно, равносильно утверждению теоремы 1.2.

Построим последовательные приближения обычным образом

Предварительно заметим, что так как y=y(t) принадлежит G для кривая , где при достаточно малом μ. также принадлежит G для

Положим Тогда

(2.3.10)

В равномерной сходимости последовательности ( k ) ▲ к решению ▲(t,μ) уравнения (2.3.9) можно убедиться совершенно, может в пределе при k→∞ появиться равенство. Поэтому , что равносильно (2.3.8).

Замечание. Теорема доказана для скалярного случая, но аналогичное утверждение справедливо и для случая, когда y — вектор.

2.3.2 Теорема 2.3.2 остается справедливой, если имеет место возмущение не только в уравнении, во и в начальных условиях, т. е. имеет вид

1. Понтрягин Л.С. Асимптотическое поведение решений системы дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных, Известия Ак. паук СССР, серия метем, 21(1957), 605—626.

2. Мищенко Е.Ф., Понтрягии Л.С. Периодические решения систем дифференциальных уравнении, близкие к разрывным, Доклады Ак. наук СССР, 102, № 5 (1955), 889-891.

3. Мищенко Е.Ф., Асимптотическое вычисление периодических решении систем дифференциальных уравнении, содержащих малые параметры при производные. Известия Ак. наук СССР, серия матем., 21 (1957), 627—654.

4. Мищенко Е., Понтрягии Л.С. Вывод некоторых асимптотических оценок для решений дифференциальных уравнений с малым параметром пр» производных, Известия Ак. наук СССР, серия матем., 23(1959), 643—660.

5. Тихонов А. И-, Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных, Матем. еборн., 31(73): 3 (1952), 574—586.

6. Боголюбов Н.И., Митропольский Ю.А., Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, Москва, 1955.

7. Митропольскнй Ю.А., Нестационарные процессы в нелинейных колебательных системах, Изд. АН УССР, 1955.

📹 Видео

Бутузов В. Ф. - Основы сингулярной теории возмущений - Метод дифференциальных неравенствСкачать

Дифференциальные уравнения, 5 урок, Уравнение БернуллиСкачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

9. Метод вариации произвольной постоянной ( метод Лагранжа ). Линейные дифференциальные уравнения.Скачать

Метод ЭйлераСкачать

Операторный метод решения дифференциальных уравнений | Решение задачСкачать

Метод Лагранжа & Метод Бернулли ★ Решение линейных неоднородных дифференциальных уравненийСкачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

#Дифуры I. Урок 5. Линейные дифференциальные уравнения. Метод БернуллиСкачать

Система дифференциальных уравнений. Операционный методСкачать

Уравнение Бернулли Метод БернуллиСкачать

Поле направлений дифференциального уравнения первого порядкаСкачать

Практика 1 ИзоклиныСкачать

Операционное исчисление. Решить неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядкаСкачать

МЗЭ 2022 Численное решение дифференциальных уравнений. Неявный метод Эйлера. Ложкин С.А.Скачать