Метод совместного решения уравнения равновесия и уравнения пластичности (8 видео)

Метод совместного решения приближенных уравнений равновесия и пластичности

Если высота деформированного тела намного меньше длины и ширины очага деформации, то, как показывает опыт, напряжения и скорости течения мало изменяются по толщине очага деформации. Этот случай весьма распространен в ОМД (прокатка, ковка тонких плит, волочение трубы на оправке и т.д.). Он называется течением тонких слоев между жесткими поверхностями.

Выделим в плоском очаге деформации (рис. 9.36) элемент шириной dy и длиной dx. Предположим, что напряжения ст,, о_у, с_х мало изменяются по высоте, а касательное напряжение на границе элемента

с инструментом равно Составим для элемента уравнения равновесия. Сумма проекций всех сил на ось х равна нулю:

Отсюда получаем Аналогично для оси у

Условие пластичности при плоской деформации (9.47) можно записать в виде

Если скорости течения постоянны по толщине слоя h, то т = О и условие (9.54) сводится к

При этом оси х и z — главные. Если сечение отклоняется от плоского, то можно использовать условие пластичности (9.49). Из (9.55) следует, что

Подставляя (9.56) в (9.53) и интегрируя с учетом граничного условия о_г(х = х_г) = -2к, находим давление инструмента

Видео:Техническая механика/ Определение равнодействующей. Плоская система сходящихся сил.Скачать

МЕТОД РЕШЕНИЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ И УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ

Этот метод в настоящее время широко применяют для расчета усилий и расхода энергии при обработке давлением. Метод основан на следующих положениях:

1. Напряженно-деформированное состояние рассматривается либо осесимметричным, либо плоским (плоская деформация или плоское напряженное состояние). Поэтому уравнение пластичности принимают в форме, соответствующей указанным видам состояния: (6.16) или (6.17) для плоской деформации, (6.14) для плоского напряженного состояния, (6.19) для осесимметричного.

При деформации тела сложной формы его условно разделяют на объемы, напряженно-деформированное состояние которых можно приближенно принимать плоским или осесимметричным.

2. Дифференциальные уравнения равновесия для плоской задачи упрощаются принятием допущения, что нормальные напряжения зависят только от одной координаты. Благодаря этому остается одно дифференциальное уравнение и в нем вместо частных производных можно принять обыкновенные.

Это допущение исключает возможность определения напряжения в каждой точке деформируемого тела в отличие от методов совместного решения точных уравнений равновесия с уравнением пластичности, а также линий скольжения и характеристик.

Методом решения приближенных уравнений равновесия и уравнения пластичности определяют только напряжения на контакте тела с инструментом. Для определения потребного при деформации усилия этого достаточно и нет необходимости определять напряжения в каждой точке по объему деформируемого тела.

МЕТОД РАБОТ

Метод работ основан на положении, что при пластической деформации работа внешних сил равна сумме работ внутренних сопротивлений [6]. При деформации нужно затратить работу на преодоление внутренних сопротивлений, определяемых прочностными свойствами тела, и на преодоление сил внешнего трения. Работа внешних сил равна разности работ активных сил, развиваемых машиной, и сил внешнего трения, т. е. .

, (8.15)

где — работа внешних сил;

— работа активных сил;

—работа сил трения;

—работа внутренних сопротивлений, работа деформации.

Определим приращение работы внутренних сил при малой деформации. При упругой деформации работа равна половине суммы произведений составляющих напряжений на составляющие деформации (2.13). Коэффициент 0,5 принят потому, что напряжения возрастают линейно от нуля до конечного значения.

При пластической деформации начальные напряжения отличны от нуля и при незначительном изменении формы тела их можно принять постоянными. Поэтому приращение работы при пластической деформации можно определить выражением

но без коэффициента 1/2:

(8.16)

Подставим в это выражение значения деформаций из уравнений (5.10):

. (8.17)

Выражение в квадратных скобках равно удвоенному квадрату интенсивности напряжений , согласно уравнению (3.16 а).

Модуль пластичности второго рода выразим через модуль пластичности первого рода Е’ согласно уравнению , а последний — через интенсивность напряжений и деформаций, согласно выражению . Тогда

Подставив в выражение (8.17) вместо квадратных скобок и значение , получаем

(8.18)

(8.19)

Работу внешних (поверхностных) сил, включая работу контактных сил трения, можно выразить так:

, (8.20)

где X, У, Z — проекции сил на оси координат;

и, v, w— соответствующие координатам перемещения.

Работу сил контактного трения в общем случае можно представить так:

(8.21)

где — напряжение трения (вынесено за интеграл, так как принято постоянным и изотропным). Подставив выражения (6.63) (8.19) и (6.65) (8.21) в уравнение (6.59) (8.15) и принимая абсолютное значение , получаем

. (8.22)

Во многих случаях работу активных сил можно определить как произведение полного усилия на перемещение инструмента (обжатие), т. е.

Тогда полное усилие

. . (8.23)

8.3. МЕТОД ЛИНИЙ СКОЛЬЖЕНИЯ

8.3.1._: Основные понятия о линиях скольжения

Метод линий скольжения, применяемый для решений плоских (и отчасти осесимметричных) задач, сущность которого будет изложена в этом параграфе, ведет свое начало от работ М. Леви (1871 г.), Г. Генки и Л. Прандтля (20-е годы) [30]. Дальнейшее развитие он получил в работах советских ученых А. А. Ильюшина, А. Ю. Ишлинского, С. Г. Михлина, В. В. Соколовского, С. А. Христиановича и др., а также ряда иностранных ученых, как, например, Г. Гейрингер, В. Джонсона, Е. Ли, В. Прагера, Э. Томсена, Ф. Г. Ходжа, Р. Хилла. В теории процессов ковки и штамповки этим методом с успехом пользовались А. Д. Томленов, К. Н. Шевченко, Л. А. Шофман, а также Е. М. Макушок, И. П. Ренне и др.

Метод в конечном итоге выражается в построении сетки (поля) линий скольжения и использовании их свойств [41]. Возьмем на плоскости xz в теле, находящемся в плоском деформированном состоянии, какую-нибудь точку (рис.8.7) и отложим от нее вектор главного касательного напряжения. Перейдем в направлении этого вектора к точке , весьма близко отстоящей от точки . От точки отложим вектор главного касательного напряжения на этой точке. Вектор в общем случае будет отличаться от вектора как по направлению, так и по величине. Поступая таким же образом дальше, мы получим в результате ломаную линию и т. д.

Так как от взятой точки вследствие парности касательных напряжений можно отложить второй вектор , перпендикулярный к ранее отложенному, то аналогичным способом от точки можно построить вторую ломаную линию и т. д.

Рис. 8.7.Построение двух линий скольжения, Рис. 8.8.Семейства линий скольжения

проходящих через точку а и

В точке линии пересекаются под прямым углом. Понятно, что эти линии можно продолжить и по другую сторону от точки .

При неограниченном увеличении числа точек а и точек а’ ломаные линии превратятся в плавные кривые ос и р (рис.8.8), представляющие собой траектории главных касательных напряжений или линий скольжения.

Из каждой точки а и а’ (рис.8.7) данной пары линий скольжения можно начать построение других линий скольжения. В результате получим ортогональную сетку (поле) линий скольжения (рис.8.8), в общем случае криволинейную из двух семейств линий и . Точки пересечения линий скольжения двух семейств называют узловыми точками (точка а на рис.8.8).

Из рассуждений, на основании которых показана возможность построения поля линий скольжения, явствует, что для разных напряженных состояний поля линий скольжения различны и каждому определенному напряженному состоянию соответствует определенное поле линий скольжения.

Касательные к каждой из двух линий скольжения в любой точке совпадают с направлением главных касательных напряжений и пересекают ось х под какими-то углами и (рис.8.9), плавно изменяющимися при переходе от одной точки к соседней.

Так же как сетку линий скольжения, можно построить ортогональную сетку траекторий главных напряжений. Эти траектории пересекают линии скольжения под углом . Траектории главных напряжений и , проходящие через точку а, показаны на рис.8.9. Касательные к ним являются главными осями 1 и 3, которые пересекают ось х соответственно под углами и .

Из рис. 8.9 следует, что для линий скольжения соответственно семейств и

, (8.24)

где .

Рис. 8.9. Линии скольжения и и троектории главных нормальных напряжений и

Уравнения (8.24) представляют собой дифференциальные уравнения линий скольжения. Линии скольжения реально отображаются в деформируемом теле в виде линий Людерса—Чернова.

Выпишем теперь формулы (3.48), выражающие компоненты напряжений при плоском деформированном состоянии в функции угла , т. е. угла между произвольной осью х и главной осью1:

;

Заменим в этих выражениях угол углом , одновременно учтем, что при плоской пластической деформации по уравнению (6.17а) .

В результате получим

(8.25)

Заметим, что выражения (8.25) обладают тем свойством, что они тождественно удовлетворяют условию пластичности (6.17):

Действительно, подставляя уравнения (8.25) в (6.17), получим

Следовательно, в дальнейшем при оперировании выражениями (8.25) можно не обращаться к условию пластичности, поскольку последнее будет удовлетворяться при любом значении . Подставив значения напряжений из (8.25) в дифференциальные уравнения равновесия (8.1)

— (8.26)

.Перейдем в уравнениях (8.26) к криволинейной системе координат и , где в качестве координатной сетки примем сетку линий скольжения.

Поскольку сетка линий скольжения является вполне закономерной, постольку можно рассматривать, например, линии О’ и О’ (рис.8.10) как начальные или нулевые (криволинейные оси) и по отношению к ним определять положение на сетке любой точки а координатами аир взамен координат х и z. Ясно, что декартовы координаты и криволинейные будут функционально связаны между собой.

Рис. 8.10. Схема для перехода к криволинейной системе координат

Как во всякой системе координат, в рассматриваемом случае при перемещении точки а вдоль одной из координатных линий, например, вдоль линии (в положении и далее), ее координата останется постоянной; при перемещении же точки вдоль линии (в положение и далее) постоянной останется координата .

Поместим теперь начало координат О системы в произвольную точку а пересечения двух линий скольжения и направим оси х и z по касательным х’ и z’ к паре линий скольжения, пересекающихся в данной точке. Уравнения (8.25), а следовательно, и (8.26) при этом останутся в силе, так как при выводе уравнения (8.25) направления осей принимались произвольными.

В бесконечно малой окрестности точки а элементы дуг системы , можно считать совпадающими с касательными, по которым направлены новые оси х’, z’, и, следовательно, можно принять

Угол же теперь равен нулю в силу совпадения осей с касательными к линиям скольжения. Однако и в нуль не обратятся, так как угол изменяется вдоль криволинейных координатных направлений. Учтя сказанное и заменяя в уравнении (8.26) производные по x; z производными по , , получим

(8.27)

Поскольку точка а при выводе (8.27) являлась произвольной, постольку эти уравнения будут действительны для любой точки.

Таким образом, от координат х, z в (8.26) мы перешли к новым координатам , . Уравнения (8.27) являются также дифференциальными уравнениями равновесия и притом удовлетворяющими условию пластичности.

Интегрируя уравнения (8.27), первое по , второе по , получим

(a)

. (б)

В приведенное выше решение следует внести корректив, поскольку мы интегрировали уравнения в частных производных. Дело в том, что при дифференцировании по одной переменной функция другой принимается за постоянную и производная ее обращается в нуль. Следовательно, уравнение (а) может содержать какую-то функцию от , производная которой обратилась в нуль в первом уравнении (8.27). Это обстоятельство надо учесть, заменяя в уравнении (а) произвольную постоянную произвольной функцией от . То же относится к уравнению (б), где постоянную С₂ необходимо заменить произвольной функцией от .

В качестве произвольных функций от и примем соответственно

Тогда уравнения (а) и (б) можно написать в окончательной форме

(по линии ); (8.28,а)

(по линии ). (8.28,б)

Уравнения (8.28) носят название интегралов Генки.

Произвольные функции и имеют постоянные значения при перемещении точки вдоль одной и той же линии скольжения соответственно системы и системы и изменяются при переходе от одной линии скольжения к другой.

Если бы линии скольжения , были нам всегда известны, то интегралы Генки представляли бы общее решение задачи о плоской деформации при отсутствии упрочнения.

Пусть в какой-либо точке М данной линии скольжения напряжение и , а в другой точке N той же линии и .

Подставляя эти данные, например, в первое уравнение системы (8.28), получим

Но так как при перемещении точки вдоль одной и той же линии скольжения произвольная функция не изменяется, то

;

соответственно другое уравнение даст

Объединяя и несколько преобразовывая последние уравнения, получим

(8.29)

а обозначая через , где представляет собой угол поворота линии скольжения при переходе от точки М к точкеN, имеем

(8.30)

Уравнение (8.30) показывает, что изменение _ср пропорционально углу поворота линии скольжения, а коэффициентом пропорциональности является величина 2k.

Выражения (8.28)—(8.30) имеют существенное значение. Действительно, если дана линия скольжения, а также известно напряжение в одной ее точке (например, из граничных условий), то уравнения (8.28)—(8.30) позволяют легко определить среднее напряжение в любой другой ее точке. Если же известно поле линий скольжения и напряжение в какой-либо одной узловой точке, то, переходя от одной узловой точки к другой, нетрудно установить распределение средних напряжений по всему полю. Зная же средние напряжения и углы , легко определить и компоненты напряжений , и , используя систему уравнений (8.25), что и будет показано дальше.

Если некоторый отрезок линии скольжения прямой, то напряженное состояние не изменяется при движении вдоль этого отрезка. Если в некоторой области прямолинейны оба семейства линий скольжения, то напряженное состояние в этой области будет однородным, и, наоборот, при однородном напряженном состоянии поле линий скольжения представляет собой сетку ортогональных прямых.

Свойства линий скольжения

Выделим в поле линий скольжения произвольный криволинейный четырехугольник MNQP (рис.8.11), ограниченный двумя линиями скольжения MN и PQ системы и двумя линиями MP и NQ системы . Учитывая, что разность средних напряжений в двух точках не может зависеть от того, с помощью каких промежуточных точек N и Р она вычислена, на основании уравнений (6.16) можно написать

Рис. 8.11.Произвольный криволинейный четырех- Рис. 8.12.Схема семейства линий

угольник, ограниченный системами и скольжения

Из этих двух уравнений получим

(8.31)

где — угол между двумя касательными линиями MN и PQ системы в точках пересечения каждой из них одной и той же линией системы (рис.8.11). Аналогичным способом можно получить такой же результат для любой пары линий другого семейства.

Таким образом, угол между касательными к двум линиям скольжения одного семейства в точках пересечения их каждой линией скольжения другого семейства остается постоянным (рис.8.11). Это положение представляет собой первую теорему Генки.

Отсюда вытекает такое следствие: если какой-либо отрезок линии скольжения данного семейства есть отрезок прямой, то и все другие отрезки линий скольжения этого семейства, отсекаемые одними и теми же линиями скольжения другого семейства, будут также отрезками прямых и длина их одинакова, например АВ — А’В ’ (рис.8.12).

Вторую теорему Генки формулируют следующим образом: при перемещении точки вдоль данной линии скольжения одного семейства радиусы кривизны линий скольжения другого семейства в точках пересечения с данной изменяются на величину пройденных расстояний.

Рис. 8.13. Схема к доказательству второй Рис. 8.14. Эвольвента, ограничивающая линии

Теоремы Генки скольжения

Для доказательства выделим в поле линий скольжения бесконечно малый криволинейный четырехугольник, образованный парой ab и cd линий скольжения системы , которые пересекаются двумя линиями ас и bd системы (рис.8.13). Так как четырехугольник считаем бесконечно малым, то стороны его можно считать дугами окружностей.

Длину дуги ab (ab = ) можно определить через радиус кривизны О_аа = R_a и угол aO_ab = d , т. е. .

Длину же дуги cd (cd = ds_ai) с точностью до величин высшего порядка малости можно выразить так:

С другой стороны, так как кривизна дуг системы уменьшается при переходе от линии к линии , можно считать, что радиус кривизны дуги cd будет больше радиуса кривизны дуги ab на некоторую величину приращения , т. е.

На этом основании можно написать второе выражение для длины дуги , а именно:

( на основании первой теоремы Генки).

Приравнивая правые части полученных для выражений, получим

Аналогичным способом получим

Таким образом, вторая теорема Генки доказана.

Вторую теорему Генки можно представить в несколько иной форме. Для этого рассмотрим две близкие линии скольжения и , пересекаемые рядом линий скольжения системы (рис.8.14). Касательные к двум близким линиям скольжения системы в точках пересечения их элементами дуг линий системы пересекаются в центре кривизны этих элементов.

Радиус кривизны дуги АА’ линии равен сумме радиуса кривизны В0₃ линии в точке В и длины дуги АВ. Аналогичные рассуждения можно продолжить в отношении радиуса и других, отмеченных на рисунке. Следовательно, геометрическим местом центров кривизны и т.д. является эвольвента линии скольжения .

Таким образом, центры кривизны дуг линий скольжения одного семейства образуют эвольвенту для данной линии скольжения другого семейства, которую они пересекают. Это положение называют теоремой Прандтля.

Так как радиус кривизны линий скольжения уменьшается при перемещении от линии к линии данной системы в сторону их вогнутости, то в результате радиус кривизны может обратиться в нуль.

На рис. 8.14 это, например, произойдет для линий системы в точке О, которая является точкой пересечения эвольвенты бесконечно близкими линиями и сходящимися в этой точке. Отсюда следует, что точка О принадлежит огибающей семейства и одновременно представляет собой точку заострения (точку возврата) семейства .

Таким образом, огибающая линия скольжения одного семейства является геометрическим местом точек возврата линий скольжения другого семейства.

Так как линия скольжения системы в точке О образует точку возврата, то она не может пересечь огибающую системы . Эта огибающая является границей возможного аналитического решения, и, как доказал С. А. Христианович, она является линией разрыва.

Следовательно, огибающая линий скольжения одного семейства является предельной линией, через которую нельзя продолжить линии скольжения другого семейства.

Линии скольжения выходят на свободную или контактную поверхность. На свободной поверхности, а также и на контактной при отсутствии трения . Из третьего уравнения системы (8.25) для этого значения получим , , т. е. линии скольжения обоих семейств пересекают свободную поверхность (а также контактную поверхность при отсутствии трения) под постоянным углом 45°.

Если трение достигает на контактной поверхности максимального значения, т. е. , то ; ; . Таким образом, при максимальном трении контактная поверхность является огибающей для одного семейства линий скольжения и геометрическим местом точек возврата для линий другого семейства. При промежуточном значении контактного касательного напряжения значения углов также будут промежуточными:

Зная величину , эти углы можно определить по уравнению (6.13).

Резюмируем вкратце сказанное об основных свойствах линий скольжения.

1. Линии скольжения непрерывны.

2. Линии скольжения образуют два семейства.

3. Семейства линий скольжения взаимно ортогональны.

4. Линии скольжения пересекают траектории главных напряжений под углом .

5. Изменение среднего нормального напряжения при движении вдоль линии скольжения пропорционально углу ее поворота.

6. Угол между касательными к двум линиям скольжения одного семейства в точках пересечения их линиями другого семейства остается постоянным.

7. Радиусы кривизны линий скольжения изменяются на величину расстояний, пройденных по линиям скольжения другого семейства.

8. Углы наклона линий скольжения при выходе на контур зависят от величины касательного напряжения на контуре.

Характеристики

Исключим из уравнений (8.26) переменную , для чего первое уравнение продифференцируем по , второе по ; и вычтем одно из другого:

. (8.32)

Полученное уравнение в обобщенной форме может быть написано так:

(8.32а)

Тогда уравнение в обыкновенных производных вида

(8.32б)

будет являться, как говорят в теории дифференциальных уравнений, уравнением характеристик уравнения (8.32а), а его решения — характеристиками.

Составим уравнение характеристик для (8.32):

Определяя отсюда как явную функцию , имеем

откуда получим два дифференциальных уравнения характеристик уравнения (8.32):

(8.33)

Сравнивая уравнения (8.24) и (8.3), заключаем, что линии скольжения совпадают с характеристиками дифференциального уравнения (8.32). Решения уравнений характеристик осуществляются преимущественно с приведением их к так называемой канонической форме путем замены переменных х и у новыми переменными и . На основании интегралов Генки (8.28) примем

; .

Тогда, исключая из уравнений (8.28) сначала , а затем , получим

;

х и у являются функциями координат и следовательно, они являются функциями переменных и . Поэтому имеют смысл выражения

Умножая на эти выражения соответственно первое и второе уравнения (8.33), получим

откуда, заменяя знаки производных, окончательно получим систему

(8.34)

Линии скольжения из этих уравнений определяются в параметрическом виде и

Если решить уравнения характеристик, то станут известны линии скольжения и можно будет вычислить напряжения. Однако получение решений в замкнутой форме оказывается возможным в отдельных случаях. В общем случае применяют численное интегрирование уравнений характеристик, при котором вместо отыскания общего решения определяют искомые функции в конечном числе узловых точек сетки характеристик.

Виды полей линий скольжения

Простейшее поле линий скольжения представляет собой систему двух ортогональных семейств прямых линий. Поскольку углы поворота линий скольжения каждого семейства в этом случае равны нулю, среднее напряжение _ср остается постоянным в любой точке поля в соответствии с уравнением (6.18). Следовательно, такое поле выражает однородное (равномерное) напряженное состояние, при котором параметры и также постоянны. Среднее напряжение _ср — единственная неизвестная величина, которую надо определить из граничных условий. У прямолинейной свободной границы или находящейся под равномерной нормальной нагрузкой полем линий скольжения всегда является сетка ортогональных прямых, образующих углы 45° с границей (рис. 8.15, а).

В другой группе полей линий скольжения одно семейство линий скольжения состоит из прямых линий, а другое — из кривых, к ним ортогональных. Такие поля называют простыми. В этом случае при перемещении вдоль каждой из прямых линий скольжения среднее напряжение _ср остается постоянным, но изменяется при переходе от одной к другой прямой линии скольжения. При этом если кривые линии скольжения считать принадлежащими к семейству , то параметр будет постоянным (рис.8.15, б).

Частным случаем рассматриваемой группы полей скольжения является центрированное поле, образуемое пучком прямых и концентрическими окружностями. Нормальные напряжения по радиальным и окружным (тангенциальным) площадкам равны среднему давлению и являются линейными функциями угла наклона прямой (рис.8.15, в).

Рис. 8.15.Виды линий скольжения

Центр такого поля О называют особой точкой. Поскольку в особой точке сходятся прямые линии скольжения, вдоль каждой из которых средние напряжения _ср различны по величине, постольку в особой точке напряжения теоретически не имеют единственного значения. Однако формально условия равновесия и пластичности удовлетворяются и в этой точке.

Учитывая сказанное о полях линий скольжения указанных видов, можно утверждать, что в области, примыкающей к области равномерного, напряженного состояния, поле линий скольжения возможно только простое, т. е. в котором одно из семейств состоит из прямых (8.15, г).

Видео:Статика. Условия равновесия плоской системы сил (23)Скачать

Метод совместного решения уравнения равновесия и уравнения пластичности

Решение дифференциальных уравнений равновесия совместно с условием пластичности

Этот метод заключается в совместном решении системы из дифференциальных уравнений равновесия и уравнения, выражающего условие пластичности. Уравнения пишут в форме (для объемного, осесимметричного, плоского напряженного состояний, плоского деформированного состояния) и в координатах (прямоугольных, цилиндрических, полярных, сферических), отвечающих условиям рассматриваемой конкретной задачи.
Произвольные постоянные определяют из граничных условий. При наличии трения необходимо задать условия трения, определяющие касательные напряжения на поверхностях контакта. Условия трения принимают практически только в двух формах: либо контактные касательные напряжения считают независимыми от координаты, по которой они направлены, т. е. постоянными [см. выражение (5.46)], либо их считают пропорциональными нормальным напряжениям на поверхности контакта. Если задача представляется статически неопределимой, то дополнительно используют уравнения-связи между напряжениями и деформациями и уравнения неразрывности деформаций.
Решение в принципе должно дать величину и распределение напряжений по всему объему тела, т. е. значения напряжений как функции координат точек тела, в том. числе и. лежащих на поверхности, непосредственно воспринимающей, активное усилие. К сожалению, такое решение возможно лишь в отдельных частных случаях и то при отсутствии (или в предположении отсутствия) сил трения на контактных поверхностях.
Разберем теперь возможности решения дифференциальных уравнений равновесия для ^различных видов пластически напряженного состояния.
При объемном напряженном состоянии мы располагаем тремя уравнениями равновесия (3.38), в которые входят шесть неизвестных (три нормальных и три касательных напряжения) и условие пластичности (5.5), заключающее те же неизвестные. В этом случае в четырех уравнениях шесть неизвестных, и задача дважды статически неопределима. Дополнительно можно использовать уравнения связи между напряжениями и деформациями и уравнения неразрывности деформаций, которые внесут, однако, новые неизвестные (шесть деформаций и модуль пластичности). В результате можно получить 13 уравнений с 13 неизвестными [3]. Однако, несмотря на то, что количество неизвестных будет соответствовать числу уравнений, практически решение этой системы невозможно. Таким образом, объемная задача в общем виде (шесть напряжений, каждое из которых есть функция трех координат) является пока неразрешимой. Для осесимметричного напряженного состояния есть два уравнения равновесия (3.39), содержащие четыре неизвестных, и условие пластичности (5.14), в которое входят те же неизвестные. Таким образом, осесимметричная задача так же, как и объемная, статически неопределима, и для решения ее требуется привлечение уравнений связи между напряжениями и деформациями (четыре уравнения, которые внесут четыре новых неизвестных) и уравнение совместимости деформаций. Всего получим восемь уравнений с восемью неизвестными. Отсюда следует, что осесимметричная задача значительно проще объемной. Однако точные замкнутые решения этой задачи существуют только для отдельных частных случаев, когда касательное напряжение на контактной поверхности или отсутствует, или зависит только от одной из двух координат, входящих в условия равновесия.
Для плоского напряженного и плоского деформированного состояний располагаем двумя уравнениями равновесия (3.50) в декартовых координатах или (3.51) в полярных координатах и условием пластичности (5.10) или (5.12). В этих трех уравнениях содержится три неизвестных. Таким образом, число уравнений соответствует числу неизвестных. Тем не менее для системы уравнений этой задачи существуют точные замкнутые решения тоже лишь для частных случаев при касательных напряжениях на контактной поверхности, равных нулю или не зависящих от одной из двух координат, входящих в уравнения равновесия.
К числу осесимметричных и плоских задач, для которых метод интегрирования дифференциальных уравнений равновесия совместно с условием пластичности дает при вышеуказанных предпосылках точные замкнутые решения, например, относятся: пластическое равновесие толстостенной трубы под действием внутреннего и внешнего давлений (А. Надаи), сжатие бесконечной полосы между шероховатыми плитами при тк = const (Л. Прандтль [103]), сжатие клина, равновесие пластической массы, заполняющей форму конуса (В. В. Соколовский [911), осадка без трения толстостенной трубы, замкнутой в матрицу, и др.