Метод симметризации при решении уравнений

Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям:
возвратные (симметричные) уравнения

Существует ряд уравнений, которые удается решить при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

К таким уравнениям, в частности, относятся уравнения следующих типов:

Метод симметризации при решении уравненийТрёхчленные уравнения
Метод симметризации при решении уравненийУравнения 4-ой степени, левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии
Метод симметризации при решении уравненийВозвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени
Метод симметризации при решении уравненийВозвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени
Метод симметризации при решении уравненийОбобщенные возвратные уравнения 4-ой степени

Замечание . Уравнения, носящие название «Биквадратные уравнения» , относятся к типу «Трехчленные уравнения» .

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.

Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени

Возвратным уравнением 3-ей степени называют уравнение вида

a x 3 + b x 2 + b x + a = 0,(1)

где a , b – заданные числа.

Решение уравнения (1) осуществляется при помощи разложения левой части уравнения (1) на множители:

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Для завершения решения уравнения (1) остаётся лишь решить квадратное уравнение

Пример 1 . Решить уравнение

2x 3 + 7x 2 + 7x + 2 = 0.(2)

Решение . Разложим левую часть уравнения (2) на множители:

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Ответ :Метод симметризации при решении уравнений.

Видео:Крутой метод решения уравнений из ЕГЭСкачать

Крутой метод решения уравнений из ЕГЭ

Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени

Возвратными (симметричными) уравнениями 4-ой степени называют уравнения вида

a x 4 + b x 3 + cx 2 +
+ b x + a = 0,
(3)

а также уравнения вида

a x 4 + b x 3 + cx 2
– b x
+ a = 0,
(4)

Для того, чтобы решить возвратное уравнение (3), разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Преобразуем левую часть уравнения (5):

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

В результате этого преобразования уравнение (5) принимает вид

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Если теперь обозначить

Метод симметризации при решении уравнений(7)

то уравнение (6) станет квадратным уравнением:

a y 2 + b y + c – 2 a = 0.(8)

Найдем корни уравнения (8), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (7), решим полученное уравнение относительно x .

Описание метода решения уравнений вида (3) завершено.

Для того, чтобы решить возвратное уравнение (4), разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Преобразуем левую часть уравнения (9):

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

В результате этого преобразования уравнение (9) принимает вид

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Если теперь обозначить

Метод симметризации при решении уравнений(11)

то уравнение (10) станет квадратным уравнением:

a y 2 + b y + c + 2 a = 0.(12)

Найдем корни уравнения (13), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (11), решим полученное уравнение относительно x .

Описание метода решения уравнений вида (4) завершено.

Пример 2 . Решить уравнение

2x 4 – 3x 3 – x 2 –
– 3x + 2 = 0.
(13)

Решение . Уравнение (13) является возвратным и относится к виду (3). Разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Преобразуем левую часть уравнения (14):

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

В результате этого преобразования уравнение (14) принимает вид

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Если теперь обозначить

Метод симметризации при решении уравнений(16)

то уравнение (15) станет квадратным уравнением:

2y 2 – 3y – 5 = 0.(17)
Метод симметризации при решении уравнений(18)

В первом случае из равенства (16) получаем уравнение:

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

которое решений не имеет.

Во втором случае из равенства (16) получаем:

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Ответ : Метод симметризации при решении уравнений

Пример 3 . Решить уравнение

6x 4 – 25x 3 + 12x 2 +
+ 25x + 6 = 0.
(19)

Решение . Уравнение (19) является возвратным и относится к виду (4). Разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Преобразуем левую часть уравнения (20):

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

В результате этого преобразования уравнение (20) принимает вид

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Если теперь обозначить

Метод симметризации при решении уравнений(22)

то уравнение (21) станет квадратным уравнением:

6y 2 – 25y + 24 = 0.(23)
Метод симметризации при решении уравнений(24)

В первом случае из равенства (22) получаем:

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Во втором случае из равенства (22) получаем:

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Ответ : Метод симметризации при решении уравнений

Видео:11 класс, 27 урок, Общие методы решения уравненийСкачать

11 класс, 27 урок, Общие методы решения уравнений

Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени

Обобщенным возвратным уравнением 4-ой степени назовём уравнение вида

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

где a , b , c, d – заданные числа.

Для того, чтобы решить уравнение (25), разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Преобразуем левую часть уравнения (26):

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

В результате этого преобразования уравнение (26) принимает вид

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Если теперь обозначить

Метод симметризации при решении уравнений(28)

то уравнение (27) станет квадратным уравнением:

Метод симметризации при решении уравнений(29)

Найдем корни уравнения (29), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (28), решим полученное уравнение относительно x .

Описание метода решения уравнений вида (25) завершено.

Пример 4 . Решить уравнение

2x 4 – 15x 3 + 35x 2 –
– 30 x + 8 = 0.
(30)

Решение . Введем для коэффициентов уравнения (30) следующие обозначения

и найдем значение выражения

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

то уравнение (30) является обобщенным возвратным уравнением 4-ой степени. В соответствии с изложенным выше, разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Преобразуем левую часть уравнения (31):

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

В результате этого преобразования уравнение (31) принимает вид

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Если теперь обозначить

Метод симметризации при решении уравнений(33)

то уравнение (32) станет квадратным уравнением:

2y 2 – 15y + 27 = 0.(34)

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

В первом случае из равенства (33) получаем:

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Во втором случае из равенства (33) получаем:

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений

Ответ : Метод симметризации при решении уравнений

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvy

Метод симметризации при решении уравнений

Симметрическое уравнение нечетной степени имеет корень x = -1.

Симметрическое уравнение четной степени 2n с помощью подстановки $$ u = x + frac$$ сводится к уравнению степени n

Уравнения вида $$ a_0 x^ + a_1 x^ + . + a_n x^ + a_ x^n + . + a_ x + a_ = 0$$ называют возвратными уравнениями нечетной степени,
если $$frac <<a_>><> = lambda ^ ,quad frac <<a_>><> = lambda ^n ,quad frac <<a_>><> = lambda $$, где $$ lambda$$ — некоторое действительное число.

Возвратное уравнение нечетной степени имеет корень $$ x = — lambda $$.

Возвратное уравнение четной степени 2n с помощью подстановки $$ u = x + frac$$ сводится к уравнению степени n

Если обе части однородного уравнения разделить на $$ left( right)^n$$, применяя замену $$ t = frac<><>$$
получим уравнение $$ a_0 t^n + a_1 t^ + . + a_k t^ + . + a_n = 0$$

Симметрические и кососимметрические уравнения

Метод симметризации при решении уравнений

Симметрические и кососимметрические уравнения

Симметрическим уравнением n -й степени называется алгебраическое уравнение вида

Метод симметризации при решении уравнений

где равноотстоящие от концов многочлена коэффициенты равны, т.е.

Метод симметризации при решении уравнений

Рассмотрим отдельно решение симметрических уравнений чётной и нечётной степеней [30].

Если Метод симметризации при решении уравненийто поделим уравнение на Метод симметризации при решении уравненийи сделаем замену Метод симметризации при решении уравнений. В результате получим алгебраическое уравнение степени в два раза ниже первоначальной, решив которое и сделав обратную подстановку, найдём все решения уравнения.

Если же Метод симметризации при решении уравнений, то одним из корней уравнения всегда будет x = — 1. Делением многочлена в левой части уравнения на x + 1 задача сводится к решению симметрического уравнения степени n = 2k , метод решения которого рассматривался выше.

Пример №189.

Решить уравнение Метод симметризации при решении уравнений

Решение:

Очевидно, имеем симметрическое уравнение 5-й степени. Решаем его по изложенной выше схеме. Одним из корней уравнения будет число x = — 1. Найдём другие корни:

Метод симметризации при решении уравнений

Решим симметрическое уравнение 4-й степени

Метод симметризации при решении уравнений

Поделим для этого обе части уравнения на Метод симметризации при решении уравнений:

Метод симметризации при решении уравнений

Обозначим у = x + (1/x), тогда

Метод симметризации при решении уравнений

Выполняя обратную подстановку, получаем

Метод симметризации при решении уравнений

Объединяя полученные решения, приходим к ответу: Метод симметризации при решении уравнений

Кососимметрическим уравнением n -й степени называется уравнение вида

Метод симметризации при решении уравнений

где равноотстоящие от концов многочлена коэффициенты являются противоположными числами, т.е. Метод симметризации при решении уравнений

Решение кососимметрических уравнений чётной и нечётной степени во многом аналогично решению соответствующих симметрических уравнений.

Если Метод симметризации при решении уравнений, то делением обеих частей уравнения на Метод симметризации при решении уравненийи заменой Метод симметризации при решении уравненийполучим алгебраическое уравнение степени в два раза ниже первоначальной, решив которое и сделав обратную подстановку, найдём решения уравнения.

Если же Метод симметризации при решении уравнений, то одним из корней уравнения всегда будет x = 1, поэтому делением на x — 1 получаем кососимметрическое уравнение степени n = 2k . Задача свелась к предыдущей.

Пример №190.

Решить уравнение Метод симметризации при решении уравнений

Решение:

Это кососимметрическое уравнение 4-й степени. Поскольку x = 0 не является корнем уравнения, то поделим обе его части на Метод симметризации при решении уравнений:

Метод симметризации при решении уравнений

Перепишем последнее уравнение в виде

Метод симметризации при решении уравнений

Положим у = х — (1/x), тогда получим

Метод симметризации при решении уравнений

Выполняя обратную подстановку, получаем 4 решения

Метод симметризации при решении уравнений

Пример №191.

Найти все значения параметра а , при которых уравнение

Метод симметризации при решении уравнений

на промежутке Метод симметризации при решении уравненийимеет не менее двух корней.

Решение:

Так как Метод симметризации при решении уравнений, то делением уравнения на Метод симметризации при решении уравнений, группировкой слагаемых с одинаковыми коэффициентами и заменой у = x — (1/х), получаем равносильное уравнение

Метод симметризации при решении уравнений

Поскольку функция у =x — (1/x) возрастает на промежутке Метод симметризации при решении уравненийот Метод симметризации при решении уравненийдо Метод симметризации при решении уравнений, то исходное уравнение имеет не менее двух корней на Метод симметризации при решении уравненийтогда и только тогда, когда, когда полученное уравнение имеет два отрицательных корня Метод симметризации при решении уравненийт.е. когда

Метод симметризации при решении уравнений

Ответ: Метод симметризации при решении уравнений

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Метод симметризации при решении уравнений

Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений Метод симметризации при решении уравнений

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

📺 Видео

Решение уравнения методом замены переменнойСкачать

Решение уравнения методом замены переменной

УРАВНЕНИЯ С МОДУЛЕМ. Метод интервалов для решения уравнений.Скачать

УРАВНЕНИЯ С МОДУЛЕМ. Метод интервалов для решения уравнений.

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ.  | Математика

9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравнений

Метод оценки при решении уравненийСкачать

Метод оценки при решении уравнений

Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | Математика

Решение квадратных уравнений. Метод разложения на множители. 8 класс.Скачать

Решение квадратных уравнений. Метод разложения на множители. 8 класс.

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЕГЭ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэСкачать

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЕГЭ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ

Методы решения уравненийСкачать

Методы решения уравнений

Ошибка при решении уравненияСкачать

Ошибка при решении уравнения

Повторяем решение уравнений. Полезно всем! Вебинар | МатематикаСкачать

Повторяем решение уравнений. Полезно всем! Вебинар | Математика

Как решают уравнения в России и США!?Скачать

Как решают уравнения в России и США!?

Матричный метод решения систем уравненийСкачать

Матричный метод решения систем уравнений

Метод решения уравнений, чтобы не ошибаться в знакахСкачать

Метод решения уравнений, чтобы не ошибаться в знаках

Решение матричных уравненийСкачать

Решение матричных уравнений
Поделиться или сохранить к себе: