Метод симметризации при решении уравнений

Существует ряд уравнений, которые удается решить при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

К таким уравнениям, в частности, относятся уравнения следующих типов:

	Трёхчленные уравнения
	Уравнения 4-ой степени, левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии
	Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени
	Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени
	Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени

Замечание . Уравнения, носящие название «Биквадратные уравнения» , относятся к типу «Трехчленные уравнения» .

Видео:11 класс, 27 урок, Общие методы решения уравненийСкачать

Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени

Возвратным уравнением 3-ей степени называют уравнение вида

где a , b – заданные числа.

Решение уравнения (1) осуществляется при помощи разложения левой части уравнения (1) на множители:

Для завершения решения уравнения (1) остаётся лишь решить квадратное уравнение

Пример 1 . Решить уравнение

Решение . Разложим левую часть уравнения (2) на множители:

Ответ :.

Видео:Крутой метод решения уравнений из ЕГЭСкачать

Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени

Возвратными (симметричными) уравнениями 4-ой степени называют уравнения вида

а также уравнения вида

Для того, чтобы решить возвратное уравнение (3), разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (5):

В результате этого преобразования уравнение (5) принимает вид

Если теперь обозначить

(7)

то уравнение (6) станет квадратным уравнением:

Найдем корни уравнения (8), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (7), решим полученное уравнение относительно x .

Описание метода решения уравнений вида (3) завершено.

Для того, чтобы решить возвратное уравнение (4), разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (9):

В результате этого преобразования уравнение (9) принимает вид

Если теперь обозначить

(11)

то уравнение (10) станет квадратным уравнением:

Найдем корни уравнения (13), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (11), решим полученное уравнение относительно x .

Описание метода решения уравнений вида (4) завершено.

Пример 2 . Решить уравнение

Решение . Уравнение (13) является возвратным и относится к виду (3). Разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (14):

В результате этого преобразования уравнение (14) принимает вид

Если теперь обозначить

(16)

то уравнение (15) станет квадратным уравнением:

(18)

В первом случае из равенства (16) получаем уравнение:

которое решений не имеет.

Во втором случае из равенства (16) получаем:

Ответ :

Пример 3 . Решить уравнение

Решение . Уравнение (19) является возвратным и относится к виду (4). Разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (20):

В результате этого преобразования уравнение (20) принимает вид

Если теперь обозначить

(22)

то уравнение (21) станет квадратным уравнением:

(24)

В первом случае из равенства (22) получаем:

Во втором случае из равенства (22) получаем:

Ответ :

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени

Обобщенным возвратным уравнением 4-ой степени назовём уравнение вида

где a , b , c, d – заданные числа.

Для того, чтобы решить уравнение (25), разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (26):

В результате этого преобразования уравнение (26) принимает вид

Если теперь обозначить

(28)

то уравнение (27) станет квадратным уравнением:

(29)

Найдем корни уравнения (29), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (28), решим полученное уравнение относительно x .

Описание метода решения уравнений вида (25) завершено.

Пример 4 . Решить уравнение

Решение . Введем для коэффициентов уравнения (30) следующие обозначения

и найдем значение выражения

то уравнение (30) является обобщенным возвратным уравнением 4-ой степени. В соответствии с изложенным выше, разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (31):

В результате этого преобразования уравнение (31) принимает вид

Если теперь обозначить

(33)

то уравнение (32) станет квадратным уравнением:

В первом случае из равенства (33) получаем:

Во втором случае из равенства (33) получаем:

Ответ :

Видео:СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные УравненияСкачать

Метод симметризации при решении уравнений

Симметрическое уравнение нечетной степени имеет корень x = -1.

Симметрическое уравнение четной степени 2n с помощью подстановки $$ u = x + frac$$ сводится к уравнению степени n

Уравнения вида $$ a_0 x^ + a_1 x^ + . + a_n x^ + a_ x^n + . + a_ x + a_ = 0$$ называют возвратными уравнениями нечетной степени,
если $$frac <<a_>><> = lambda ^ ,quad frac <<a_>><> = lambda ^n ,quad frac <<a_>><> = lambda $$, где $$ lambda$$ — некоторое действительное число.

Возвратное уравнение нечетной степени имеет корень $$ x = — lambda $$.

Возвратное уравнение четной степени 2n с помощью подстановки $$ u = x + frac$$ сводится к уравнению степени n

Если обе части однородного уравнения разделить на $$ left( right)^n$$, применяя замену $$ t = frac<><>$$
получим уравнение $$ a_0 t^n + a_1 t^ + . + a_k t^ + . + a_n = 0$$

Видео:УРАВНЕНИЯ С МОДУЛЕМ. Метод интервалов для решения уравнений.Скачать

Симметрические и кососимметрические уравнения

Симметрические и кососимметрические уравнения

Симметрическим уравнением n -й степени называется алгебраическое уравнение вида

где равноотстоящие от концов многочлена коэффициенты равны, т.е.

Рассмотрим отдельно решение симметрических уравнений чётной и нечётной степеней [30].

Если то поделим уравнение на и сделаем замену . В результате получим алгебраическое уравнение степени в два раза ниже первоначальной, решив которое и сделав обратную подстановку, найдём все решения уравнения.

Если же , то одним из корней уравнения всегда будет x = — 1. Делением многочлена в левой части уравнения на x + 1 задача сводится к решению симметрического уравнения степени n = 2k , метод решения которого рассматривался выше.

Пример №189.

Решить уравнение

Решение:

Очевидно, имеем симметрическое уравнение 5-й степени. Решаем его по изложенной выше схеме. Одним из корней уравнения будет число x = — 1. Найдём другие корни:

Решим симметрическое уравнение 4-й степени

Поделим для этого обе части уравнения на :

Обозначим у = x + (1/x), тогда

Выполняя обратную подстановку, получаем

Объединяя полученные решения, приходим к ответу:

Кососимметрическим уравнением n -й степени называется уравнение вида

где равноотстоящие от концов многочлена коэффициенты являются противоположными числами, т.е.

Решение кососимметрических уравнений чётной и нечётной степени во многом аналогично решению соответствующих симметрических уравнений.

Если , то делением обеих частей уравнения на и заменой получим алгебраическое уравнение степени в два раза ниже первоначальной, решив которое и сделав обратную подстановку, найдём решения уравнения.

Если же , то одним из корней уравнения всегда будет x = 1, поэтому делением на x — 1 получаем кососимметрическое уравнение степени n = 2k . Задача свелась к предыдущей.

Пример №190.

Решить уравнение

Решение:

Это кососимметрическое уравнение 4-й степени. Поскольку x = 0 не является корнем уравнения, то поделим обе его части на :

Перепишем последнее уравнение в виде

Положим у = х — (1/x), тогда получим

Выполняя обратную подстановку, получаем 4 решения

Пример №191.

Найти все значения параметра а , при которых уравнение

на промежутке имеет не менее двух корней.

Решение:

Так как , то делением уравнения на , группировкой слагаемых с одинаковыми коэффициентами и заменой у = x — (1/х), получаем равносильное уравнение

Поскольку функция у =x — (1/x) возрастает на промежутке от до , то исходное уравнение имеет не менее двух корней на тогда и только тогда, когда, когда полученное уравнение имеет два отрицательных корня т.е. когда

Ответ:

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

🔥 Видео

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Решение уравнения методом замены переменнойСкачать

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЕГЭ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэСкачать

Решение квадратных уравнений. Метод разложения на множители. 8 класс.Скачать

Метод оценки при решении уравненийСкачать

Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

Ошибка при решении уравненияСкачать

Методы решения уравненийСкачать

Повторяем решение уравнений. Полезно всем! Вебинар | МатематикаСкачать

Как решают уравнения в России и США!?Скачать

Матричный метод решения систем уравненийСкачать

Решение матричных уравненийСкачать

Метод решения уравнений, чтобы не ошибаться в знакахСкачать