Видео:Решение уравнения теплопроводности методом конечных разностейСкачать
Лабораторная работа №7
Читайте также:
DL – deadline – крайний срок сдачи работы – после DL работа принимается, но оценка снижается (20% за неделю, если не оговорено другое).
E) Работа в цикле
I. Самостоятельная работа
I. Самостоятельная работа
I. Самостоятельная работа
I. Самостоятельная работа
I. Самостоятельная работа
I. Самостоятельная работа
I. Самостоятельная работа
I. Самостоятельная работа
Решение уравнений в частных производных методом сеток.
Решить одномерное уравнение теплопроводности методом сеток.
Используя явную схему метода сеток, проинтегрировать одномерное уравнение теплопроводности со следующими начальными и граничными условиями: , , , , .
Наиболее простой конечно-разностной схемой, применяемой для численного решения уравнений с частными производными, является явная схема. В случае одномерного уравнения теплопроводности она записывается следующим образом:
, j = 1, . , n , ( 10 )
где , n — число узлов cетки по x. ( 11 )
1. В первой строке введем названия параметров: n , l , c , Dx, g, m, Dt, a, b, а под ними в соответствующих ячейках — числовые значения (n=10, l=1, c=1). Для Dx вводим соответствующую формулу =B2/A2 (Dx=l/n). Исходя из условий устойчивости явной схемы, выбираем m=0,5 и выражаем Dt через m из уравнения ( 11 ) (=$D$2*$D$2*0,5).Для параметров функций, задающих краевые и начальные условия, выбираем следующие значения: g=8, a=10000, b=250.
2. В столбце А, как мы уже делали в предыдущих работах, разместим вычисление значений x, соответствующих узлам сетки. В третьей строке разместим формулы, вычисляющие значения узлов по времени. В столбце Вразместим формулы, вычисляющие начальное распределение температуры по длине стержня =EXP($E$2*A4-$E$2*A4*A4), а в четвертой и четырнадцатой строках, начиная со столбца С, -формулы, вычисляющие значения температуры на концах стержня: =EXP(-$H$2*C$3*C$3+$I$2*C$3).
3. В ячейку С5вводим формулу, реализующую конечно-разностное уравнение ( 10 ) —=B5+$F$2*(B6-2*B5+B4). Распространяем эту формулу на всю область, ограниченную краевыми и начальными условиями.
4. Результирующая таблица и построенная с использованием данных из блока A3:J14 диаграмма представлены на рис. 24 и 25.
Рис. 24. Решение одномерного уравнения теплопроводности с использованием явной схемы метода сеток.
Рис. 25. Графическое изображение решения одномерного уравнения теплопроводности.
Литература
1. Фигурнов В. Э. IBM PC для пользователя. 6-е изд. — М.: ИНФРА-М, 1995.
2. Шиб Й. Windows 3.1 (русская версия ) : Пер. с нем. — М. : БИНОМ, 1995.
3. Николь Н., Альбрехт Р. Электронные таблицы Excel 5.0: Практ. пособ. / Пер. с нем. — М.: ЭКОМ.,1995.
4. Наймершайм Дж. Excel 5.0 for Windows: Учебное пособие / Пер. с англ. — М.: Междунар. отношения, 1995.
5. Осейко Н. Н. Excel 5.0 для пользователя: — К.: Торгово — издательское бюро ВНV, 1994.
6. Альтхаус М. Excel. Секреты и советы / Пер. с нем. М.: БИНОМ, 1995.
7. Основы работы с Excel 5.0 : Методические указания / ИГХТА. — Иваново, 1996.
7.1 Метод сеток для решения смешанной задачи для уравнения параболического типа (уравнения теплопроводности)
Смешанная задача означает, что следует найти искомую функцию, удовлетворяющую заданному уравнению в частных производных, краевым, а так же начальным условиям.
Рассмотрим смешанную задачу для однородного уравнения теплопроводности
, k =const>0.
Задано начальное условие
и заданы краевые условия первого рода
Требуется найти функцию u (x,t) , удовлетворяющую в области D (0 x a , 0 t T) условиям (7.5) и (7.6). Физически это можно представить как стержень, на концах которого поддерживается требуемый температурный режим, заданный условиями (7.6).
Рисунок 10 – Неявная схема
При проведении замены получим , т.е. k =1. Задача решается методом сеток : строим в области D равномерную сетку с шагом h по оси x и шагом по t (см. рисунок 10).
Приближенное значение искомой функции в точке — обозначим через . Тогда ; ; i =0,1. n ; ;
j =0,1. m ; . Заменим производные разностными отношениями
;
.
В результате получим неявную двухслойную схему с погрешностью O ( +h 2 )
.
Используя подстановку , выразим из этой схемы u i,j-1
,
где: u 0, j = 1 ( t j ) ; u n , j = 2 ( t j ) .
Получаем разностную схему, которой аппроксимируем уравнение (7.4). Эта схема (7.7) неявная, и выглядит так, как показано на рисунке 10. При построении схемы (7.7) получается система линейных уравнений с трехдиагональной матрицой. Решив ее любым способом (в частности, методом прогонки), получаем значения функции на определенных временных слоях. Так, на нулевом временном слое используем начальное условие U i,0 =f ( x i ), т.к. j =0. Эта неявная схема более устойчива для любых значений параметра >0.
Есть и явная схема (рисунок 11), но она устойчива только при , т.е. при .
Рисунок 11 — Явная схема
7.2 Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток
Рассмотрим уравнение Лапласа
.
Уравнение (7.8) описывает распространение электромагнитных волн(полей). Будем рассматривать уравнение Лапласа в прямоугольной области с краевыми условиями
; ; ; ,
где -заданные функции. Заметим, что чаще всего область бывает не прямоугольной.
Введем обозначения u ij = u ( x i , y j ). Накладываем на прямоугольную область сетку ; i =0,1,…, n ; ; j =0,1,…, m . Тогда , .
Частные производные аппроксимируем по формулам
и заменим уравнение Лапласа конечно-разностным уравнением
Рисунок 12 – Схема “крест”
,
где: i =1,…, n -1, j =1. m -1 (т.е. для внутренних узлов).
Погрешность замены дифференциального уравнения разностным составляет величину О(). Выразим u i , j при h =l, и заменим систему
Получаем систему (7.10) линейных алгебраических уравнений, которые можно решить любым итерационным методом (Зейделя, простых итераций и т.д.). При этом построении системы использовалась схема типа “крест”(рисунок 12). Строим последовательность итераций по методу Гаусса-Зейделя
,
где s -текущая итерация.
Условие окончания итерационного процесса
.
Условие (7.11) ненадежно и на практике используют другой критерий
где .
Схема “крест “- явная устойчивая схема ( малое изменение входных данных ведет к малому изменению выходных данных).
7.3 Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток
Рассмотрим уравнение колебания однородной и ограниченной струны.
Задача состоит в отыскании функции u ( x , t ) при t >0, удовлетворяющей уравнению гиперболического типа
,
где: 0 x a ; 0 t
и краевым условиям
Заменим С на с t и получим уравнение
и в дальнейшем будем считать С =1.
Для построения разностной схемы решение задачи (7.12)-(7.14) построим в области сетку ; i = 0,1,…, n ; ; ; j =0,1,…, m ; m = T .
Аппроксимируем (7.12) разностными производными второго порядка точности относительно шага
.
Полагая = / h перепишем (7.15), выразив U i , j +1. Таким образом получим трехслойную разностную схему
,
где: i =1,…, n ; j =1,…, m . Задаем нулевые граничные условия 1 ( t ) =0, 2 ( t ) =0. Тогда в (7.16) , для всех j .
Схема (7.16) называется трехслойной, т.к. она связывает значения искомой функции на трех временных слоях j -1, j , j +1.
Численное решение задачи состоит в вычислении приближенных значений решения u ( x , t ) в узлах при i =1,…, n ; j = 1,…, m . Алгоритм решения основан на том, что решение на каждом следующем слое ( j = 2,3. n ) можно получить пересчетом решений с двух предыдущих слоев ( j = 0,1. n — 1) по формуле (7.16). При j =0 решение известно из начального условия . Для вычисления решения на первом слое ( j = 1) положим
,
тогда , i = 1,2,…, n . Теперь для вычисления решений на следующих слоях можно использовать формулу (7.16).
Описанная схема аппроксимирует задачу (7.12)-(7.14) с точностью O ( + h ). Невысокий порядок аппроксимации по объясняется грубостью аппроксимации по формуле (7.17).
Схема будет устойчивой, если выполнено условие .
Лабораторная работа № 1
Решение систем линейных алгебраических уравнений
Входные параметры: n—целое положительное число, равное порядку n системы; а — массив из n х n действительных чисел, содержащий матрицу коэффициентов системы (а(1) = а 11 , а(2) = a 12… а(n) = а n 1 , а(n + 1) = а 12 , . а(n х n) = а nn ); b — массив из n действительных чисел, содержащий столбец свободных членов системы (b(1) = b 1 , b(2)=b 2, …b(n)=b n ) .
Выходные параметры: b—массив из n действительных чисел (он же входной); при выходе из программы содержит решение системы b(l) = x 1 , b(2) = x 2 , … b(n) = х n ; error—признак правильности решения (код ошибки): если ks = 0, то в массиве b содержится решение системы, если error= 1, исходная система не имеет единственного решения (определитель системы равен нулю).
Перед обращением к подпрограмме SIMQ необходимо:
1) описать массивы а и b. Если система содержит n уравнений, то массив а должен содержать n 2 элементов, а массив b – n элементов;
2) присвоить значение параметру n, который равен числу уравнений системы;
3) присвоить элементам массивов а и b значения коэффициентов системы следующим образом: a(l) = a 11 , а(2) = а 21 , а(3) = а 31 ,…а(n) = а n1 а(n+1) = а 12 , а(n+2) = а 22 … а(n x n) = а nn . b(1) = b 1 , b(2)=b 2, …b(n)=b n
4) проверить соответствие фактических параметров по типу и порядку следования формальным параметрам подпрограммы SIMQ. Параметры а и b — величины вещественного типа, n и error — целого типа.
Задание. Используя программу SIMQ, решить заданную систему трех линейных уравнений. Схема алгоритма приведена на рисунке 13.
Видео:Лекция №1.1 Явная и неявная схемы для уравнения теплопроводностиСкачать
Порядок выполнения лабораторной работы:
1. Составить головную программу, содержащую обращение к SIMQ и печать результатов;
Варианты заданий для решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса приведены в таблице 1.
Метод квадратных корней Холецкого
Входные параметры: n—целое положительное число, равное порядку n системы; а — массив из n х n действительных чисел, содержащий матрицу коэффициентов системы (а(1) = а 11 , а(2) = a 12… а(n) = а n 1 , а(n + 1) = а 12 , . а(n х n) = а nn ); b — массив из n действительных чисел, содержащий столбец свободных членов системы (b(1) = b 1 , b(2)=b 2, …b(n)=b n ) .
Выходные параметры: b—массив из n действительных чисел (он же входной); при выходе из программы содержит решение системы b(l) = x 1 , b(2) = x 2 , … b(n) = х n ; p—количество операций.
Тема лабораторной работы №1 для контроля знаний проиллюстрирована контрольно – обучающей программой.
Видео:Сеточные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.Скачать
Приближенные методы решения задач теплопроводности
Видео:8.1 Решение уравнения теплопроводности на отрезкеСкачать
Приближенные методы решения задач теплопроводности
Выше приведен пример решения уравнения теплопроводности (IV-1), (IV-49) и (V-1).Эти примеры показывают, что эти решения очень трудно обрабатывать в 1-D и 2-D уравнений, а также. Термальная проводимость и простая форма object. In на практике возникает проблема многомерной теплопроводности сложных объектов. Именно поэтому получить аналитическое решение практически невозможно.
Нестационарное уравнение теплопроводности сложного объекта не всегда может быть решено аналитически, даже в случае одномерного поля. Если вы не можете решить эту проблему Применяются аналитические, численные или графические и аналоговые методы (Глава 3,§ 4).Это дает приблизительное solution. In аналитическое решение, как известно, из дифференциала Уравнение позволяет определить температуру в любой точке исследуемого тела.
Этот метод основан на замене производной, содержащейся в дифференциальном уравнении. Людмила Фирмаль
Численный метод использует алгебраические уравнения, полученные из дифференциальных уравнений. Температуру можно определить только в отдельных точках, обычно в точках сетки. Недостатком численных методов по сравнению с аналитическими методами является то, что они решаются в первом случае. Только изменения конкретной задачи и параметра 1 требуют нового решения, которое является столь же трудоемким, как и первое.
Метод анализа обеспечивает семейство зависимых решений Из параметров задачи. Если параметры изменятся, то получить новый ответ не составит труда; для этого вовсе не обязательно переделывать все решения. Поэтому он всегда будет следовать Попробуйте получить аналитическое решение, но только если это невозможно, нужно решить задачу наиболее подходящим численным методом или в определенном случае Аналогия. § 1.
Численные методы решения задачи теплопроводности в стационарном режиме рассмотрим численный метод решения 2-мерного стационарного уравнения теплопроводности. Метод конечных разностей, или сеточный метод, на приближенное значение, выраженное относительно разности. Значение функции в отдельных точках (узлах) сетки. Вид дифференциального уравнения (IV-49) в этом случае равен d11l_ ^ K₌dx * arcs0.(VI-1) соответствующее уравнение .
Конечная difference. In пластина теплопроводности (рис. VI-1, а), температурное поле было предварительно найдено аналитически (IV-78), рис. VI-1.To выведите уравнение (V1-4) Применена конечно-разностная теплопроводность двумерной сетки температурного поля. Координатами точки O являются X и Y. узел сетки с температурой точки O/, 2, 3, 4 Каждый/₀, / ₂ (рисунок VI-1, aₜb).Градиент температуры в направлении оси x точки O ’(рис. VI-1, а) может быть описан в виде, в котором наименьший высший член не рассматривается.
Точность последнего уравнения возрастает с уменьшением ДХ. Аналогично градиент температуры в направлении точки O, для D * ’2, можно записать в виде^ dx / X — / o — / s ^2 Точка Odx2Dx 7em fdt Ex I D, определяет производную 2-го порядка от направления X 1 x—x. y 2 2 (VI-2) x y&yr также、 Если направление главного y точки O (рис. VI-1, c) I -) подставляет значение 2-й производной от (VI-2) и (VI-3) в (VI-1), а Dx = D///, то (VI-3) (VI-4) или G 4-G +t₃+ /₄- 4 ^ ₀ — 0.
Из уравнения (VI-5) видно, что температура любого узла плоской сетки является средним арифметическим температуры соседних 4 узлов сетки. Это… Основные свойства уравнения Лапласа. В результате получается (VI-5).Условие (VI-5) является 1 основой численного решения задач теплопроводности. Релаксация-называется ts, m О и s. Этот метод заключается в следующем: узел сетки записывает ожидаемый, но произвольно выбранный temperature. In в общем, их это не устраивает.
Государство (VI-5). Если / ₀ больше, чем средняя арифметическая температура tсреднегоt₂, T₃, T₄, это означает, что источник тепла находится в этом point. In эти В некоторых случаях формула (VI-5) принимает вид G 4-4-4 — / ₄ — 4 /₀= Yao. Назвать сумму? запишите остаток от точки O в виде/ = = ^Dx⁸.Где 7 / — мощность воображаемого источника (стока Тепло в точке О (гл. IV,§ 2).Для всех узлов сетки найдите остальные по формуле (VI-6). (VI-6)насколько точно было установлено значение температуры в узле сетки.
Количество остатков. Если окажется, что остаток Самый большой, то значение температуры выбирается наименьшее. Это означает, что разница между всеми другими узлами и фактическим узлом больше. Давай войдем. Точка O — это максимальное значение R. самые большие остатки делятся на 4, к остальным 4 смежным точкам добавляется-Rₒ, температура узла, в котором расположены самые большие остатки, равна Исходный баланс.
Из Формулы (VI-6) видно, что остаток узла O равен нулю. G + G » On + A-4 /; = 0, где 0 = — Ko-4 точки/, остатки на 2, 3, 4 равны / ?₀ , Например//?! = / ?！ 4- » Г^о-4 Далее необходимо повторить все операции для следующего узла, где остальные являются самыми большими. Этот процесс должен продолжаться до тех пор, пока все остатки Внутренние узлы сетки могут либо исчезнуть, либо быть проигнорированы. Результирующая температура узла сетки составляет желаемое решение. Из вышесказанного следует, что время Чтобы устранить эту проблему, выберите узел сетки, который более успешно снижает ожидаемую температуру.
Выбор этих температур более удобен следующим образом. Во-первых, вам нужно применить сетку Это большая ячейка с небольшим количеством узлов или необходимой температурой. После решения задачи о большой сетке необходимо уменьшить размер ячейки и температуру, найденные в предыдущих расчетах. Используйте его для прогнозирования ожидаемой температуры на 2-м узле * * более тонкой сетки.
Если продолжить этот процесс, то можно наилучшим образом спрогнозировать температуру узлов в выбранной сетке Решайте конкретные задачи. Условие (VI-5) может быть расширено в случае 3D-температуры field. In в этом случае форма:/ 1 + G + / s + * 4-Hb-He» 6 / ₀ = 0, (VI-7) a На рисунке показано расположение узлов пространственной решетки. VI-2.Рассмотрим пример использования метода релаксации. Квадратная трубка (рис. VI-3, а) (размеры Рис.) на внутренней поверхности температура/₁В = 2о () СС, на внешней поверхности / Я = 0°с.
Температурное поле определяется толщиной стенок. Аналитическим решением этой задачи является Очень громоздкий. Учитывая симметрию трубы, достаточно учесть 8 минут 1 сечения. То есть найти температуру в точках a, b, c, d (рисунок VI-3, b).Настройка по умолчанию Температура этих точек равна 100°C, поэтому условие точки a (VI-5)равно R0= 0 + 10 10-4 0-4•100 = -дает остаток от 200.Оставшийся Rₐ—200 па делится на 4 части и остатки .
Для точек a₄, b добавьте Rₐ/ 4 = −50.In точек и A₂, остатки не вычисляются, потому что они находятся на границе тела, где установлена температура. Добавьте значение, равное температуре точки А Оставшиеся 4 минуты 1, то есть (-50) градусов. Рисунок VI-2. К выводу уравнения теплопроводности в конечной разности трехмерного температурного поля, где из условия точки (VI-5) b вы можете пересчитать новый баланс b = 50 4-0 4-100 4-200-4-100 = −50. можно было не рассматривать новые остатки позиции b в соответствии с (VI-5), поскольку добавление-к старым остаткам позиции b было равносильно добавлению позиции C. / ?О.
Используя остальные и температуру, сделайте то же самое, что и в предыдущем случае, и новая температура в точке b будет равна 87,5°C. Здесь необходимо отметить следующие особенности: Оставшаяся R = −12.5 складывается с остатком точки a, но после этой операции оставшаяся сумма точек a становится (-25).Это происходит потому, что вторая половина исходит из точки a₄ (рисунок V1-3).
Тогда из точки (а) условия (VI-5) Rₐ= 0 4- 0 4- 87.5 4- 87.5-4-50 = —ты получишь 25.Дальнейшие операции ясны. При максимальном остатке температура снижается примерно на 1 минуту、 Расчет конкретного размера сетки может быть рассмотрен completed. By уменьшая ячейку сетки, можно дополнительно уточнить температурное поле. Температура пятна a, b, c, d Это показано на рисунке. Вл-б, б. рассмотрим еще один пример. Найти распределение температуры по всей толщине стенки и теплопотери, площадь поперечного сечения нагревательной печи к окружающей среде .
Это размеры, показанные на рисунке VI-4, a. температура внутренней поверхности камеры печи составляет 1000°C, а снаружи-0°C. To решите задачу с учетом симметрии, достаточно учесть 1/8 часть поперечного сечения(рис. VI-4, Б).Сначала выберите шаг сетки Lx = V2A, который минимизирует количество узлов в сетке. Это делает его возможным в этих отношениях. Легко найти temperature. In это дело, VI-3.Рисунок VI-4 — к определению температуры.
Квадратное поперечное сечение поля стенки трубы нагревательной печи; Метод релаксации путем определения температурного поля стенки нагревательной печи:^ 2A расстояние сетки 8—g—(о) из 1/8 сечения поперечного сечения становится только 1 узлом Точка, используя температуру, указанную на границе, температура V легко найти. Согласно методу релаксации, R = 1000 4-1000 4-0 4-4-0-его можно записать как 4f = 0, f = 500°C.
Чтобы улучшить температурное поле, мы уменьшаем шаги сетки в 2, а затем в 4 раза. На рисунке показано распределение температуры в узлах Dx =и Ax=. VI-4, b и VI-5, a. Пожалуйста, обратите внимание на Первое уменьшение шага сетки было значительным улучшением температуры. Например, температура t ’при первой грубой оценке составляла 50 (G C, ее начальное корректирующее значение составляло 464°C.
При 2-м уменьшении шага сетки мы можем найти 2-е указанное значение. VI-5.Определение температурного поля стенок нагревательной печи: / 2L warmesh Dx — — f-457 = s、 Это не так сильно отличается от предыдущего. Очевидно, что с Dx 0 вы получаете истинное распределение температуры. Нанесены линии на рисунке В1-5 и постоянной температуре е (Изотермы) и линии постоянного теплового потока q. эти линии перпендикулярны друг другу. Если известно хотя бы свойство Изотерм или линий постоянного теплового потока, то、.
Примерно, затраты труда и времени на решение задачи значительно снижаются методом релаксации. В следующем параграфе описан метод экспериментального определения линии Постоянный тепловой поток. Определение тепловых потерь. На поперечном сечении стенки печи (рис. VI-5, а) нанесена сетка постоянных тепловых потоков и Изотерм、 Образуется изогнутый квадрат типа f, 2, 3, 4, D / a-D //(рисунок VI-5, b).Выделим слой CC в направлении оси Z толщины Дг = I (ось Z перпендикулярна плоскости рисунка). Рассмотрим объем DU = pl. 1234 Х ГД.
Через такой объем количество тепла, которое обычно проходит к участку D / A-D2, равно X (D / A) Dg -^, (VI-8), Dg = 1; D / — разность температур 2 изотермические поверхности, которые окружают рассматриваемый объемный элемент. X — теплопроводность материала в стенке печи. A-b-c-d объемная теплопроводящая трубка — / z В данном примере он состоит из 10 томов типа DU. Трубу можно считать многослойной стенкой. Это постоянная D /(VI-8） Что количество hq (VI-8) проходя через блок будет иметь постоянн значение.
На основании (1-6) и (VI-8) формула для определения количества тепла, проходящего через 1 трубу, может быть: она выражается в виде mp = y (b-b). (VI-9), где S-число томов AV в этой трубке(в данном примере S = 10). / ₂ — Температура линии ad1-линии bc(рисунок V1-5, a).Тепловая схема Через слой стенки толщиной, равной Az = 1 или всем трубам C (в данном примере C = 64), его можно определить по следующей формуле: (VI-10)§ 2.
Численные методы решения задач Теплопроводность в нестационарном режиме для численного решения задачи из дифференциального уравнения теплопроводности (р-54) необходимо получить dh (VI-11) для дуги dz в dh. Каждый узел сетки уравнение с конечными разностями. Последнее, как показано ниже, представляет собой простое алгебраическое уравнение, из которого можно легко определить, что вы хотите.
Температура. 1-я производная m от (VI-I1)может быть выражена в виде конечной разности вида: dt ^ hT_ T ^ — T₉dx At (VI-12), где To-температура в точке O(на рисунке VI-2 Момент t; T’O-в той же точке температура через определенное время. С учетом полученных соотношений (VI-12) и (VI-2), (VI-3) и (VI-I1) уравнения конечных разностей имеют вид Сформировать если AX =&zₜthen а + ТП + Т₊ТН + ТН + Т −67″, =(м, м.).И откуда «» = ^ [(T1 + T «+ T »+ G + G » + 7’c)+(—b)?> ] ■(VI-13) полученная формула учитывает известную температуру. Затем, в заданный момент времени T и определенной точки О и температуры ТтемператураТь, Т₃, Т₄, Л»момент t (см. рис. Vi-2 ниже), неизвестной температуры Т ’в той же точке.
О, и в следующий момент, чтобы найти его. Времени Т + Ат. Таким образом, определим температуру всех точек сетки в момент времени t + At. To найти температуру точки O времени t 4-2Dt, найти температуру Г ’ (т4- At) берется как известная вещь и находит T (t 4-2Dt).Продолжайте эту операцию много раз, чтобы найти распределение температуры во времени в указанной точке O. In точно так же、 Распределение температуры в других точках пространственной сетки.
Уравнение конечной разности (V-1) на основе (VI-2) и (VI-12) точек I, k является r _ t 1, k + 1 lt, K Dt (VI-I4) Dx . Людмила Фирмаль
При решении задач с объектами сложной формы количество операций очень велико, и задача решается с помощью компьютера. Считать Уравнение теплопроводности для полузакрытого объекта с одномерным температурным полем. Дифференциальное уравнение(в-1)формата Т=(К-1)&Т’КЛТТ(К-1) АТ=2ЛТТ= 0о.1.КМ — — — 1 z V, Sv, г%B. o Ty Tn ^рисунок VI-6.As вывод нестационарного уравнения теплопроводности, длина температурного поля 1D равна Dx 2Dx / SDx dT_ d » T dxdx1 температура тела равна 2 Переменная: координата x и время t. используйте прямые линии x-xₜ и m = xk, чтобы разделить область определения в прямоугольной сетке. на оси x длина X = Dx, x = / Dx,…
Мы отложим этот сегмент на ближайшие два года. ось m — временной интервал m = Dm,…то… м = КДМ(рисунок Vi-6). Точка/, если температура T₁k в момент k известна, момент KDT целевой температуры TₗₜK ₊ ᵢ является той же точкой тела, точка следующего момента M-(K + 1) DT равна следующему уравнению. (VI-15) если заданы начальные и граничные условия, то в любой момент времени можно найти распределение температуры вдоль оси X полуограниченного тела.
Начальные условия включают в себя распределение температуры по оси x, т. е. температура₁₁o,….То… Граница слоя x =Дх,…, х= /atat M = 0.Граничное условие должно содержать значение Используя эти условия (если время t = 0), температура тела по формуле (VI-14) Tj, 1,…TᵢₜJ можно найти на границах тела x = 0. Ось X Момент времени m = At. (VI-16) iдх* /дх»формула (VI-15) с использованием распределения температуры времени t-am по, M = 2dt 7₂, в данный момент и т. д.. ..«Tₗᵢ₂ можно найти. д. Исследования показали, что рассмотренная схема расчета стабилизируется, то есть погрешность неверных исходных данных и погрешность расчета не увеличивается M увеличивается, когда выполняется условие (Dx).
Особенно простой формулой (VI-15) является Dt температурного момента (VI-17), а именно Dt температурного момента (VI-17), становится i, k + 1-2 ’(VI-18 ） Поскольку H3 (VH8) — температура Tᵢₜk в точке/является K κ4-I в момент t = (K 4-1), am не зависит от температуры T Dependk и зависит только от температуры 2 соседних точек и tᵢ ₊ ₗₜk. So … Мгновенный t = kAt. По аналогии с условием (VI-17) 3-мерной задачи (уравнение (VI-13) 1), Условия — ^ 6,(VI-19), а 2-мерные-7 — > 4 условия(VI-20) и Dm из условия( VI-17). (VI-19), (VI-20) для заданного шага вдоль оси координат можно найти временной шаг Am такой, что схема расчета устойчива.
Поскольку разностная схема типа (VI-14) явно называется th、 Как температура мгновенного t — (k 4-1) At определяется по формуле (VI-14) через температуру мгновенного kDt. In помимо явных разностных схем, существует так называемая неявная разностная схема. Для уравнения(Фау-1), неявная разностная схема имеет вид л. 4-1• — к_ Л. / Я, К+ я-2Л, к4-1〜гЛ-к+! Если мы сравним формулы «Дт дх» (VI-21)и(VI-14), то увидим, что они различны.
Approximate. In в явной схеме (VI-14) эта производная заменяется конечной разностью момента mk = kDt, а в неявной схеме (VI-21) — моментом mk =(k4 * 1) lt. уравнение типа (VI-21) p 3 балла(я-1, к-ф-1), (х, к-4-1), (х-4-1, к-я).Поэтому в данном случае необходимо решить все Система разностных уравнений типа (VI-21) относительно всех точек x, k 4-1 сетки.1 из наиболее распространенных методов решения неявных (VI-21) систем является метод развертки. Несмотря на Тот факт, что неявные разностные уравнения типа (VI-21) более сложны для решения, чем явные уравнения типа(VI-14), является более выгодным, чем явные уравнения.
В отличие от явных схем、 При условии (VI-17) устойчивости неявная схема абсолютно устойчива, то есть погрешность в расчете этих схем не увеличивается по отношению шагов. Время и пространство. Это позволяет выбрать шаг, который длиннее явной схемы, и, соответственно, уменьшает общее время расчета для всей задачи. Для получения дополнительной информации по вышеуказанным вопросам, вы можете Прочитайте специальную литературу I77J. § 3.Если аналитическое решение задачи теплопроводности методом апологии невозможно, и Численное решение является очень трудоемким, поэтому можно применить метод аналогии(Глава 3,§ 4).
Приведенная аналогия позволяет установить распределение температуры Если математическое описание распределения температуры и другой величины аналогичны, то исследуемый объект соответствует распределению другой величины, которая легко измерима в модели объекта. (II1-33), (II1-34)), и безразмерная форма идентична. Г и Дод и М и Чески я тому пример. Рассмотрим возможность моделирования 2D стационарного процесса .
Теплопроводность обусловлена невращающимся потоком идеальной жидкости. Для идеальной жидкости известно следующее уравнение для текущей функции: линия, где dh-l do (VI-22) Φconst называется l Ударный ток a. гармоническая сопряженная функция sf p называется потенциалом потока. Линии с постоянными линиями тока и постоянными потенциалами скорости ортогональны друг другу. Обе функции-ток и скорость-потенциалы удовлетворяют уравнению Лапласа (например, сравните (IV-49) и (VI-22)). Таким образом, тепловой поток и температурный потенциал Двумерная устойчивая теплопроводность подобна линиям тока и ионам, соответственно. VI-7.
To решить задачу теплопроводности двумерного температурного поля этим методом Гидродинамическая аналогия. N-1-точка визуализации линии потока Pi требуемого слоя жидкости. П»_».Идеальная потенциальная скорость потока жидкости. Жидкостная линия Например, кристаллы перманганата калия можно визуализировать, введя их в плоскую форму. stream. It растворяется при движении и оставляет видимые следы-обтекаемость(рисунок VI-7).
Но, да. Они напоминают линии постоянного теплового потока, поэтому можно экспериментально установить характер расположения последних. Вдоль линии постоянного теплового потока Линии 1 и 2 ортогональны друг другу, поэтому можно графически построить Репин при постоянной температуре (изотермы).Вы можете настроить изотермы с помощью таких методов, как релаксация (См. рисунок VI-5 с предыдущим пунктом).Электрическая аналогия. Метод электрической аналогии[110J, модель принята вместо рассматриваемого тела-электрическая схема、 .
Он состоит из ом resistor. It необходимо решить задачу нестационарной теплопроводности полуограниченного объекта с одномерным температурным полем. Метод. Схема полуограниченного тела (рис. VI-8, а) показана на Рис. 5. VI-8, b начало цепи в точке Po, в данном случае соответствует границам исследуемого тела. Наконец, цепочка точек Pn соответствует n-му слою тела. Если последнее обнаружено в силу рассматриваемых условий, то температура соответствует точке x исследуемого тела. = Дуплексный. х / ДХ,….
Эти же точки применяются к сетке при численном решении задачи (см. Рисунок VI-6).Точки Po, Pn, P(,…, П’и,… Она соответствует температуре, заданной граничными условиями. Таким образом, напряжение Uₒ соответствует температуре ДОₜ внешней поверхности тела в момент t = 0、 Точка Рп-к точке PJ I-го слоя, соответствующей заданной начальной температуре….Р / — напряжение Uₗₜ,….UOOₜ… «Соответствует заданной начальной температуре Температура₁₁>₀,…7₀,…Расстояние от внешней поверхности x = Dx,…. x = / Dx,…в результате узлы в Pₗₜ…»ПФ * * * происходит.
Напряжение Uₗₜᵢₜ…В UᵢₜU…* Экспериментальная процедура и метод расшифровки диаграммы типов, описанной в RNS. VI-7 описан в специализированной литературе[89]、 Температура ТБ…«Теннесси. ..X — = Ax, в слое тела… х =(ДХ,…Время т-ДТ. Поэтому температуру, полученную численным решением, можно найти экспериментально. Он рассчитывается по формуле (VI-16).С первого шага использования рассматриваемого метода можно сделать вывод, что суть метода заключается в решении следующего уравнения (V1-14): Электрическая схема (рисунок VI-9, Б).
Просмотрите свои выводы, выполнив следующие шаги: Temperature₁₁r .. .. Tₗₜ₂, … в том же слое, чтобы найти, но в следующий момент, M = 2Dt достаточно, чтобы перейти к точке PJ… П «ручьи»,… Напряжение, равное напряжению, найденному при первом измерении РНС. VI-8.To решить задачу одномерной нестационарной теплопроводности После того, как эта операция выполняется, узел РВ… то… В Pₕ…Соответствует напряжению₁₁>₂,…, Uᵢₜ₂,… Необходимая температура Т₁₂,…7 ₂ «•••В общем случае для нахождения распределения температуры в теле при обследовании в любой момент времени••* достаточно Т|M =(k 4-1) Dm. Точки Р .П/,…
Напряжение тока к… то… Температура k,…the… the… At соответствующий момент времени t = kDt и измеряют напряжение на узле Pi. ……Pₜ,… Результирующее напряжение… то… В UₗK ₗₜ₊…И соответствующая нужной температуре 7₊ ₁.It используется для определения численного значения температуры по измеренному напряжению в цепи Простые отношения. Например, форма слоя тела i равна Гi,=(VI-23).Где 2-температура, указанная в граничном условии и выбранная Шкала напряжений z= -^.Рисунок VI-9.
To обоснуйте метод электрической аналогии, здесь напряжение Uₒ выбирается так, чтобы было удобно выполнять другие измерения в определенном месте. Эксперимент. Электрическая схема-на основе напряжения, измеренного в модели (VI-23), можно определить соответствующую температуру в теле исследуемого объекта. Стержень штока Положения этого метода доказываются, если указано, что зависимость между напряжениями электрических цепей, подготовленных к измерению(рис. VI-8), описывается следующим уравнением:.
То же, что и уравнение (VI-14).Согласно закону Кирхгофа, сумма токов L + L + L (рис. VI-9) в узле Pf электрической цепи равна нулю, то есть нулю, т. е./ ₂ + / ₂Ч — /З0-Express Значение тока через напряжение и сопротивление в соответствии с Омами law. As в результате мы видим, что Rₓ и Rₒ являются соответствующими электрическими(рис. VI-8, б).Если вы добавляете эти выражения для каждого термина, это выглядит так Сопротивление C / / −1, k + | — 2Ui, k + 1 4 —<///4-i, k4-1 =1x•(VI-24)полученное уравнение (VI-24)идентично уравнению (VI-14) при условиях, удовлетворенных при приготовлении. Электрическая схема(рисунок VI-8).
Если вы практикуете этот способ на практике, необходимое напряжение подается от источника напряжения Е К ранее упомянутой точке электрической цепи. Через потенциометр, как показано на рисунке. VI-10.Требуемое напряжение цепи или потенциометра измеряется путем подключения контакта Pr(рис. VI-10) к определенной точке или подвижной части цепи Контакт потенциометра.
После подключения потенциометр B или потенциометр Dₜ настраиваются таким образом, чтобы обеспечить отсутствие одновременного протекания тока через измеритель m Измерительная цепь. Поэтому напряжение в разных точках выражается в относительных единицах. Относительное конечное напряжение источника E равно U-этот метод является、 Более сложная проблема нестационарной теплопроводности, чем это возможно.
Например, можно решить задачу о меняющейся во времени температуре внешней поверхности полуограниченного тела. Рисунок VI-10. Электрическая модель (схема) для исследования нестационарной теплопроводности полузакрытого объекта при наличии одномерного температурного поля） Со временем температура поверхности становится новой известной величиной, и эту ситуацию можно легко учесть, изменив напряжение, подаваемое на точку Po, соответственно, с помощью потенциометра DQ.
Данный метод позволяет решать задачи с объектами сложной геометрии, состоящими из материалов с различными теплофизическими свойствами. Вы можете решить проблемы, требующие учета зависимостей Физические константы, Р, температура х, но в этих случаях электрическая схема сложнее II101.It это из-за такой сложной проблемы, что этот метод является promising. To .
Преимущества данного метода заключаются в следующем: простота электрической схемы и способа измерения требуемого напряжения, а также более высокая точность результата. Исследования показывают, что I110J Погрешность определения температуры таким способом, по сути, возникает только в том случае, если дифференциальное уравнение теплопроводности аппроксимируется конечно-разностным уравнением. Результаты, полученные численным методом, согласуются с результатами экспериментов.
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
со следующими начальными и граничными условиями: 
, 
, 
, 
, 
.
, j = 1, . , n , ( 10 )
, n — число узлов cетки по x. ( 11 )
, k =const>0.
a , 0 t 
получим 
, т.е. k =1. Задача решается методом сеток : строим в области D равномерную сетку с шагом h по оси x и шагом по t (см. рисунок 10).
— 
обозначим через 
. Тогда 
; 
; i =0,1. n ; 
;
.
;
.
.
, выразим из этой схемы u i,j-1
,
, т.е. при 
.
.
с краевыми условиями
; 
; 
; 
,
-заданные функции. Заметим, что чаще всего область бывает не прямоугольной.
; i =0,1,…, n ; 
; j =0,1,…, m . Тогда 
, 
.
,
). Выразим u i , j при h =l, и заменим систему
,
.
,
сетку 
; i = 0,1,…, n ; 
; 
; j =0,1,…, m ; m = T .
.
,
, 
для всех j .
решения u ( x , t ) в узлах 
при i =1,…, n ; j = 1,…, m . Алгоритм решения основан на том, что решение на каждом следующем слое ( j = 2,3. n ) можно получить пересчетом решений с двух предыдущих слоев ( j = 0,1. n — 1) по формуле (7.16). При j =0 решение известно из начального условия 
. Для вычисления решения на первом слое ( j = 1) положим
,
, i = 1,2,…, n . Теперь для вычисления решений на следующих слоях можно использовать формулу (7.16).
.
