Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей

Поверхности второго порядка. Исследование методом сечений

§21. Поверхности второго порядка. Исследование методом сечений.

Общий вид алгебраической поверхности второго порядка представляет собой многочлен второй степени относительно трех переменных:

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей

Одним из наиболее продуктивных методов изучения поверхностей в пространстве является метод сечений. Он заключается в исследовании кривых, получающихся в сечениях поверхности плоскостями, параллельными координатным. Для этого достаточно зафиксировать одну из переменных в уравнении поверхности и получить, тем самым, уравнение кривой в плоскости, параллельной двум другим координатным осям. Этот метод будет использован в последующих параграфах при исследовании поверхностей второго порядка. При этом будут рассматриваться только уравнения, непосредственно сводящиеся к каноническим.

Видео:Аналитическая геометрия, 8 урок, Поверхности второго порядкаСкачать

Аналитическая геометрия, 8 урок, Поверхности второго порядка

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей

8.4. Построение поверхностей

Мы приступаем к изучению формы поверхностей второго порядка, определённых в предыдущем разделе своими каноническими уравнениями. Напомним, что это вторая из двух основных задач аналитической геометрии: зная уравнение поверхности, изучить её геометрические свойства.

Метод, который мы будем применять, называется методом сечений: пересекая поверхность плоскостями, параллельными координатным плоскостям, будем рассматривать линии пересечения и по их виду делать выводы о форме поверхности.

Каноническое уравнение эллипсоида:

Отметим симметрию поверхности: если точка (x, у, z) лежит на эллипсоиде, то и все точки (±x, ±у, ±z) тоже лежат на эллипсоиде. Значит, поверхность симметрична относительно любой из координатных плоскостей. Пересечём эллипсоид плоскостью z = h. Получим линию

Это эллипс, полуоси которого убывают с увеличением |h|. При h = c эллипс превращается в точку, при h > c плоскость z = h не пересекает эллипсоид. Эллипсы получаются и при сечении эллипсоида плоскостями x = h, у = h. Используя эти данные, изображаем поверхность. Числа a, b, c называются полуосями эллипсоида. Если две полуоси равны, то получается эллипсоид вращения. Например, эллипсоид, образованный при вращении эллипса (лежит в плоскости XOZ) вокруг оси OZ. Если a = b = c, то эллипсоид превращается в сферу.

Видео:Лекция. Гиперболоиды, параболоиды, конус. Исследование методом сечений.Скачать

Лекция. Гиперболоиды, параболоиды, конус. Исследование методом сечений.

Поверхности второго порядка

Поверхностью второго порядка называется поверхность S, общее уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид:

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей(15.22)

где коэффициенты при одночленах второй степени одновременно не равны нулю.

Существует девять типов невырожденных поверхностей, уравнения которых с помощью преобразования координат могут быть приведены к одному из следующих видов. Эти уравнения определяют тип поверхности и называются каноническими уравнениями.

1. Эллипсоид: Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей(рис. 15.1).

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей

2. Конус второго порядка: Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей(рис. 15.2).

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей

3. Гиперболоиды

1) однополостный: Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей(рис. 15.3);2) двуполостный: Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей(рис. 15.4).

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей

Рис. 15.3 Рис. 15.4

4. Параболоиды

1) эллиптический: Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей(рис. 15.5);2) гиперболический: Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей(рис.15.6).
Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей

Рис. 15.5 Рис. 15.6

5. Цилиндры

1) эллиптический: Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей(рис. 15.7);2) гиперболический: Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей(рис. 15.8);
Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей

Рис. 15.7 Рис. 15.8

3) параболический: Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей(рис. 15.9).

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей

Основным методом исследования формы поверхности является метод параллельных сечений, который состоит в следующем. Поверхность пересекается координатными плоскостями и им параллельными, а затем на основании вида полученных в сечениях линий делается вывод о типе поверхности. Таким образом можно изучать основные геометрические свойства невырожденных поверхностей второго порядка на основе их канонических уравнений.

При этом, когда в общем уравнении поверхности коэффициенты Метод сечений в исследовании уравнений поверхностейприведение к каноническому виду осуществляется с помощью метода выделения полных квадратов.

В определенных случаях уравнение (15.22) поверхности может быть приведено к уравнениям, задающим, так называемые, вырожденные поверхности. Приведем примеры таких случаев:

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей– пустое множество точек (мнимый эллипсоид);

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей– точка (0, 0, 0);

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей– пустое множество точек (мнимый эллиптический цилиндр);

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей– прямая (ось Oz);

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей– пара пересекающихся плоскостей;

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей– пара параллельных плоскостей;

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей– пустое множество точек;

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей– плоскость (пара совпадающих плоскостей).

Пример 1. Привести уравнение к каноническому виду и определить тип поверхности, которую оно задает:

1) Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей

2) Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей

3) Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей

4) Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей

Решение. 1) Воспользуемся методом выделения полных квадратов.

Преобразуем левую часть уравнения:

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей

Значит, заданное уравнение равносильно уравнению

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностейили

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей

Имеем уравнение однополостного гиперболоида, центр которого находится в точке (–1, 1, 2). Его ось симметрии – прямая, параллельная оси Oz и проходящая через точку (–1, 1, 2).

2) Поскольку Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей

то заданное уравнение равносильно уравнению

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностейили Метод сечений в исследовании уравнений поверхностейчто приводит окончательно к уравнению гиперболического параболоида Метод сечений в исследовании уравнений поверхностейсмещенного в точку (–1, 0, 1).

3) Выделяем полные квадраты в выражении, стоящем в левой части уравнения:

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей

Поэтому заданное уравнение принимает вид:

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей

или (после деления на 36)

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей

Это уравнение эллипсоида с центром в точке (3, – 1, 2).

4. Методом выделения полных квадратов уравнение Метод сечений в исследовании уравнений поверхностейприводится к уравнению

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностейт. е.

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей

Почленное деление на 36 дает:

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей

Это уравнение эллиптического цилиндра, смещенного в точку
(–2, 5, 0).

Пример 2. Исследовать поверхность методом сечений и построить ее:

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей

Решение. Для исследования геометрических свойств и формы поверхности используем метод сечений.

Определим сечение поверхности плоскостями Метод сечений в исследовании уравнений поверхностейгде Метод сечений в исследовании уравнений поверхностейпараллельными координатной плоскости Oxy:

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей

Очевидно, что это кривые, проекции которых на ось Oxy задаются уравнением

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей(15.23)

Уравнение (15.23) при Метод сечений в исследовании уравнений поверхностейне имеет решений относительно Метод сечений в исследовании уравнений поверхностейЭто означает, что соответствующее сечение есть пустое множество точек, а значит, рассматриваемая поверхность целиком расположена ниже плоскости Метод сечений в исследовании уравнений поверхностейПри Метод сечений в исследовании уравнений поверхностейуравнение (15.23) определяет эллипс

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей

с полуосями Метод сечений в исследовании уравнений поверхностейи Метод сечений в исследовании уравнений поверхностейвырождающийся в точку (0, 0, 1) при Метод сечений в исследовании уравнений поверхностейЗаметим, что все эллипсы, которые получаются в сечениях поверхности плоскостями Метод сечений в исследовании уравнений поверхностейподобны между собой, причем с уменьшением h их полуоси неограниченно монотонно возрастают.

Дальнейшее уточнение формы можно получить, рассматривая сечения координатными плоскостями Oxz и Oyz:

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностейи Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей

В первом случае имеем кривую Метод сечений в исследовании уравнений поверхностейт. е. параболу с параметром Метод сечений в исследовании уравнений поверхностейвершиной в точке Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей Метод сечений в исследовании уравнений поверхностейи ветвями, направленными в отрицательную сторону оси Oz. Во втором – параболу Метод сечений в исследовании уравнений поверхностейс параметром Метод сечений в исследовании уравнений поверхностейвершиной в точке Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей Метод сечений в исследовании уравнений поверхностейи аналогичным направлением ветвей.

Выполненное исследование позволяет построить заданную поверхность (рис. 15.10). Это эллиптический параболоид Метод сечений в исследовании уравнений поверхностейс вершиной в точке (0, 0, 1), направленный в сторону убывания значений z с осью симметрии Oz.

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей

Пример 3. Построить тело, ограниченное поверхностями

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей Метод сечений в исследовании уравнений поверхностейМетод сечений в исследовании уравнений поверхностей

Решение. Уравнение Метод сечений в исследовании уравнений поверхностейзадает плоскость. Перейдя к уравнению плоскости «в отрезках», получим:

Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей

т. е. плоскость пересекает координатные оси в точках (3, 0, 0), (0, 3, 0) и (0, 0, 3) соответственно.

Уравнение Метод сечений в исследовании уравнений поверхностейзадает круговой цилиндр, осью которого служит Oz. Уравнение Метод сечений в исследовании уравнений поверхностейопределяет координатную плоскость Oxy.

Сделаем рисунок тела (рис. 15.11, 15.12), ограниченного заданными поверхностями.

💥 Видео

Поверхности второго порядкаСкачать

Поверхности второго порядка

Сопротивление материалов. Лекция: метод сеченийСкачать

Сопротивление материалов. Лекция: метод сечений

Практическое занятие: поверхности второго порядкаСкачать

Практическое занятие: поверхности второго порядка

Тех.Мех. - это просто. 1 Метод сеченийСкачать

Тех.Мех. - это просто. 1 Метод сечений

Метод сеченийСкачать

Метод сечений

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Математика это не ИсламСкачать

Математика это не Ислам

§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать

§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому виду

Семинар №9 "Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду"Скачать

Семинар №9 "Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду"

Определение конических сечений 1Скачать

Определение конических сечений 1

2013 1 Метод сечений Часть 1Скачать

2013 1 Метод сечений Часть 1

Эллипс, парабола и гипербола. Конические сечения | Ботай со мной #055 | Борис Трушин |Скачать

Эллипс, парабола и гипербола. Конические сечения | Ботай со мной #055 | Борис Трушин |

Семинар Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка.Скачать

Семинар Аналитическая геометрия. Кривые и поверхности второго порядка.

§64 Поверхности вращенияСкачать

§64 Поверхности вращения

Поверхности 2 порядкаСкачать

Поверхности 2 порядка

СМ -1.7 Метод сечений, внутренние силовые факторы (ВСФ)Скачать

СМ -1.7 Метод сечений, внутренние силовые факторы (ВСФ)

Метод сечений (РОЗУ)Скачать

Метод сечений (РОЗУ)
Поделиться или сохранить к себе: