Метод рунге кутта для системы дифференциальных уравнений второго порядка

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

с начальным условием х=х₀, у =уо-

В окрестности точки х₀ функцию у(х) разложим в ряд Тейлора:

который можно применить для приближенного определения искомой функции у(х). Для уменьшения погрешности метода интегрирования дифференциального уравнения необходимо учитывать большее количество членов ряда. Однако при этом возникает необходимость аппроксимации производных от правых частей дифференциального уравнения.

Основная идея методов Рунге-Кутты заключается в том, что производные аппроксимируются через значения функции Дх, у) в точках на интервале [х₍₎, х₀+л], которые выбираются из условия наибольшей близости алгоритма к ряду Тейлора. В зависимости от старшей степени h, с которой учитываются члены ряда, построены вычислительные схемы Рунге-Кутты разных порядков точности.

Так, например, общая форма записи метода Рунге-Кутты второго порядка следующая:

где

Решение ОДУ, полученное по этой схеме, имеет погрешность 0(1г).

Для параметра а наиболее часто используют значения

Рассмотрим первый вариант метода Рунге-Кутты второго порядка.

При а = 0,5 формула (8.19) примет вид:

Формулу (8.20) можно представить в виде следующей схемы:

Это метод Рунге-Кутты второго порядка (1-й вариант), или исправленный метод Эйлера.

Геометрически процесс нахождения точки Х,у можно проследить по рис. 8.4. По методу Эйлера находится точка x₍₎+h, yo+h — /о, лежащая на прямой Г,. В этой точке снова вычисляется тангенс угла наклона касательной (прямая L,). Усреднение двух тангенсов дает прямую L. Проводим через точку л’«,_у₀ прямую L, параллельную L. Точка, в которой прямая L пересечется с ординатой х=х_]=х₀+h,u будет искомой точкой Х,у.

Тангенс угла наклона прямой L и L равен

Уравнение прямой L запишется в виде:

тогда в точке с учетом (8.22) получим решение:

Формула описывает метод Рунгс-Кутты второго порядка при а = 0,5.

В случае второго варианта метода Рунгс-Кутты второго порядка принимают

Тогда формула (8.19) примет вид:

Представим формулу (8.25) в виде схемы:

Эго метод Рунге-Кутты второго порядка (2-й вариант), или модифицированный метод Эйлера.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию метода Рунге-Кутты при а = 1 (рис. 8.5).

Через точку х₀, у₀ проводим касательную (прямая L,) с тангенсом угла наклона, равным

По методу Эйлера в точке х=х₀ + h/2 находится приближенное решение ОДУ

В точке Р определяется тангенс угла наклона касательной (прямая L*) интегральной кривой:

где

Проводим через точку х₀, у₀ прямую, параллельную L

(прямая L₀). Пересечение этой прямой с ординатой х=х₀ + h и дает искомую точку Х,у. Уравнение прямой L₀ можно записать в виде:

Тогда с учетом (8.28) в точке х=х₀ + h получим решение:

Формула (8.30) описывает метод Рунге-Кутты второго порядка при а = 1.

Видео:Методы численного анализа - Метод Рунге-Кутта для ОДУ 2 порядкаСкачать

Численное решение математических моделей объектов заданных системами дифференциальных уравнений

Введение:

При математическом моделировании ряда технических устройств используются системы дифференциальных нелинейных уравнений. Такие модели используются не только в технике, они находят применение в экономике, химии, биологии, медицине, управлении.

Исследование функционирования таких устройств требуют решения указанных систем уравнений. Поскольку основная часть таких уравнений являются нелинейными и нестационарными, часто невозможно получить их аналитическое решение.

Возникает необходимость использовать численные методы, наиболее известным из которых является метод Рунге — Кутты [1]. Что касается Python, то в публикациях по численным методам, например [2,3], данных по применение Рунге — Кутты крайне мало, а по его модификации — методу Рунге-Кутта-Фельберга вообще нет.

В настоящее время, благодаря простому интерфейсу, наибольшее распространение в Python имеет функцию odeint из модуля scipy.integrate. Вторая функция ode из этого модуля реализует несколько методов, в том числе и упомянутый пятиранговый метод Рунге-Кутта-Фельберга, но, вследствие универсальности, имеет ограниченное быстродействие.

Целью настоящей публикации является сравнительный анализ перечисленных средств численного решения систем дифференциальных уравнений с модифицированным автором под Python методом Рунге-Кутта-Фельберга. В публикации так же приведены решения по краевым задачам для систем дифференциальных уравнений (СДУ).

Краткие теоретические и фактические данные по рассматриваемым методам и программным средствам для численного решения СДУ

Для одного дифференциального уравнения n – го порядка, задача Коши состоит в нахождении функции, удовлетворяющей равенству:

и начальным условиям

Перед решением эта задача должна быть переписана в виде следующей СДУ

(1)

с начальными условиями

Модуль имеет две функции ode() и odeint(), предназначенные для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка с начальными условиями в одной точке (задача Коши). Функция ode() более универсальная, а функция odeint() (ODE integrator) имеет более простой интерфейс и хорошо решает большинство задач.

Функция odeint() имеет три обязательных аргумента и много опций. Она имеет следующий формат odeint(func, y0, t[,args=(), . ]) Аргумент func – это имя Python функции двух переменных, первой из которых является список y=[y1,y2. yn], а второй – имя независимой переменной.

Функция func должна возвращать список из n значений функций при заданном значении независимого аргумента t. Фактически функция func(y,t) реализует вычисление правых частей системы (1).

Второй аргумент y0 функции odeint() является массивом (или списком) начальных значений при t=t0.

Третий аргумент является массивом моментов времени, в которые вы хотите получить решение задачи. При этом первый элемент этого массива рассматривается как t0.

Функция odeint() возвращает массив размера len(t) x len(y0). Функция odeint() имеет много опций, управляющих ее работой. Опции rtol (относительная погрешность) и atol (абсолютная погрешность) определяют погрешность вычислений ei для каждого значения yi по формуле

Они могут быть векторами или скалярами. По умолчанию

Вторая функция модуля scipy.integrate, которая предназначена для решения дифференциальных уравнений и систем, называется ode(). Она создает объект ОДУ (тип scipy.integrate._ode.ode). Имея ссылку на такой объект, для решения дифференциальных уравнений следует использовать его методы. Аналогично функции odeint(), функция ode(func) предполагает приведение задачи к системе дифференциальных уравнений вида (1) и использовании ее функции правых частей.

Отличие только в том, что функция правых частей func(t,y) первым аргументом принимает независимую переменную, а вторым – список значений искомых функций. Например, следующая последовательность инструкций создает объект ODE, представляющий задачу Коши.

При построении численных алгоритмов будем считать, что решение этой дифференциальной задачи существует, оно единственно и обладает необходимыми свойствами гладкости.

При численном решении задачи Коши

(2)

(3)

по известному решению в точке t =0 необходимо найти из уравнения (3) решение при других t. При численном решении задачи (2),(3) будем использовать равномерную, для простоты, сетку по переменной t с шагом т > 0.

Приближенное решение задачи (2), (3) в точке обозначим . Метод сходится в точке если при . Метод имеет р-й порядок точности, если , р > 0 при . Простейшая разностная схема для приближенного решения задачи (2),(3) есть

(4)

При имеем явный метод и в этом случае разностная схема аппроксимирует уравнение (2) с первым порядком. Симметричная схема в (4) имеет второй порядок аппроксимации. Эта схема относится к классу неявных — для определения приближенного решения на новом слое необходимо решать нелинейную задачу.

Явные схемы второго и более высокого порядка аппроксимации удобно строить, ориентируясь на метод предиктор-корректор. На этапе предиктора (предсказания) используется явная схема

(5)

а на этапе корректора (уточнения) — схема

В одношаговых методах Рунге—Кутта идеи предиктора-корректора реализуются наиболее полно. Этот метод записывается в общем виде:

(6),

Формула (6) основана на s вычислениях функции f и называется s-стадийной. Если при имеем явный метод Рунге—Кутта. Если при j>1 и то определяется неявно из уравнения:

(7)

О таком методе Рунге—Кутта говорят как о диагонально-неявном. Параметры определяют вариант метода Рунге—Кутта. Используется следующее представление метода (таблица Бутчера)

Одним из наиболее распространенных является явный метод Рунге—Кутта четвертого порядка

(8)

Метод Рунге—Кутта— Фельберга

Привожу значение расчётных коэффициентов метода

(9)

С учётом(9) общее решение имеет вид:

(10)

Это решение обеспечивает пятый порядок точности, остаётся его адаптировать к Python.

Вычислительный эксперимент по определению абсолютной погрешности численного решения нелинейного дифференциального уравнения с использованием обеих функций def odein(),def oden() модуля scipy.integrate и адаптированного к Python методов Рунге—Кутта и Рунге—Кутта— Фельберга

Адаптированные к Python методы Рунге—Кутта и Рунге—Кутта— Фельберга имеют меньшую абсолютную, чем решение с применением функции odeint, но большую, чем с использованием функции edu. Необходимо провести исследование быстродействия.

Численный эксперимент по сравнению быстродействия численного решения СДУ при использовании функции ode с атрибутом dopri5 (метод Рунге – Кутты 5 порядка) и с использованием адаптированного к Python метода Рунге—Кутта— Фельберга

Сравнительный анализ проведём на примере модельной задачи, приведенной в [2]. Чтобы не повторять источник, приведу постановку и решение модельной задачи из [2].

Решим задачу Коши, описывающую движение тела, брошенного с начальной скоростью v0 под углом α к горизонту в предположении, что сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости. В векторной форме уравнение движения имеет вид

где – радиус вектор движущегося тела, – вектор скорости тела, – коэффициент сопротивления, вектор силы веса тела массы m, g – ускорение свободного падения.

Особенность этой задачи состоит в том, что движение заканчивается в заранее неизвестный момент времени, когда тело падает на землю. Если обозначить , то в координатной форме мы имеем систему уравнений:

К системе следует добавить начальные условия: (h начальная высота), . Положим . Тогда соответствующая система ОДУ 1 – го порядка примет вид:

Для модельной задачи положим . Опуская довольно обширное описание программы, приведу только листинг из комментариев к которому, думаю, будет ясен принцип её работы. В программу добавлен отсчёт времени работы для сравнительного анализа.

Flight time = 1.2316 Distance = 5.9829 Height =1.8542
Flight time = 1.1016 Distance = 4.3830 Height =1.5088
Flight time = 1.0197 Distance = 3.5265 Height =1.2912
Flight time = 0.9068 Distance = 2.5842 Height =1.0240
Время на модельную задачу: 0.454787

Для реализации средствами Python численного решения СДУ без использования специальных модулей, мною была предложена и исследована следующая функция:

def increment(f, t, y, tau
k1=tau*f(t,y)
k2=tau*f(t+(1/4)*tau,y+(1/4)*k1)
k3 =tau *f(t+(3/8)*tau,y+(3/32)*k1+(9/32)*k2)
k4=tau*f(t+(12/13)*tau,y+(1932/2197)*k1-(7200/2197)*k2+(7296/2197)*k3)
k5=tau*f(t+tau,y+(439/216)*k1-8*k2+(3680/513)*k3 -(845/4104)*k4)
k6=tau*f(t+(1/2)*tau,y-(8/27)*k1+2*k2-(3544/2565)*k3 +(1859/4104)*k4-(11/40)*k5)
return (16/135)*k1+(6656/12825)*k3+(28561/56430)*k4-(9/50)*k5+(2/55)*k6

Функция increment(f, t, y, tau) обеспечивает пятый порядок численного метода решения. Остальные особенности программы можно посмотреть в следующем листинге:

Время на модельную задачу: 0.259927

Предложенная программная реализация модельной задачи без использования специальных модулей имеет почти в двое большее быстродействие, чем с функцией ode, однако нельзя забывать, что ode имеет более высокую точность численного решения и возможности выбора метода решения.

Решение краевой задачи с поточно разделёнными краевыми условиями

Приведем пример некоторой конкретной краевой задачи с поточно разделенными краевыми условиями:

(11)

Для решения задачи (11) используем следующий алгоритм:

1. Решаем первые три неоднородные уравнения системы (11) с начальными условиями

Введем обозначение для решения задачи Коши:

2. Решаем первые три однородные уравнения системы (11) с начальными условиями

Введем обозначение для решения задачи Коши:

3. Решаем первые три однородные уравнения системы (11) с начальными условиями

Введем обозначение для решения задачи Коши:

4. Общее решение краевой задачи (11) при помощи решений задач Коши записывается в виде линейной комбинации решений:

где p2, p3 — некоторые неизвестные параметры.

5. Для определения параметров p2, p3, используем краевые условия последних двух уравнений (11), то есть условия при x = b. Подставляя, получим систему линейных уравнений относительно неизвестных p2, p3:
(12)
Решая (12), получим соотношения для p2, p3.

По приведенному алгоритму с применением метода Рунге—Кутта—Фельберга получим следующую программу:

y0[0]= 0.0
y1[0]= 1.0
y2[0]= 0.7156448588231397
y3[0]= 1.324566562303714
y0[N-1]= 0.9900000000000007
y1[N-1]= 0.1747719838716767
y2[N-1]= 0.8
y3[N-1]= 0.5000000000000001
Время на модельную задачу: 0.070878

Вывод

Разработанная мною программа отличается от приведенной в [3] меньшей погрешностью, что подтверждает приведенный в начале статьи сравнительный анализ функции odeint с реализованным на Python метода Рунге—Кутта—Фельберга.

3. Н.М. Полякова, Е.В. Ширяева Python 3. Создание графического интерфейса пользователя (на примере решения методом пристрелки краевой задачи для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений). Ростов-на-Дону 2017.

Видео:6.1 Численные методы решения задачи Коши для ОДУСкачать

Метод Рунге-Кутта решения диф. уравнений и их систем.

Метод позволяет решать системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка следующего вида:

которые имеют решение:

где t — независимая переменная (например, время); X, Y и т.д. — искомые функции (зависимые от t переменные). Функции f, g и т.д. — заданы. Также предполагаются заданными и начальные условия, т.е. значения искомых функций в начальный момент.

Одно диф. уравнение — частный случай системы с одним элементом. Поэтому, далее речь пойдет для определенности о системе уравнений.

Метод может быть полезен и для решения диф. уравнений высшего (второго и т.д.) порядка, т.к. они могут быть представлены системой диф. уравнений первого порядка.

Метод Рунге-Кутта заключается в рекурентном применении следующих формул:

Реализация Метода Рунге-Кутта на Delphi может выглядеть так (привожу полностью модуль):

Модуль полностью работоспособен. Возвращаемое функцией Runge_Kutt значение — код ошибки. Вы можете дополнить список ошибок по своему усмотрению. Рассчитанные функции системы помещаются в массив Res. Чтобы не загромождать код, в модуле опущены проверки (типа блоков try). Рекомендую их добавить по своему усмотрению.

Ниже приводится описание функции Runge_Kutt и типов, использующихся в модуле.

• FunArray — вектор функций (правых частей уравнений системы);
• First, Last — начальная и конечная точки расчетного интервала;
• Steps — число шагов по расчетному интервалу;
• InitArray — вектор начальных значений
• var Res — матрица результатов включая независимую переменную.

В модуле описаны типы:

Функция возвращает коды ошибок:

• 0 — нет ошибок;
• 100 — число уравнений не равно числу начальных условий.

Решение содержится в переменной-матрице Res. Первый индекс матрицы относится к переменной (0 — независимая переменная, 1 — первая зависимая и т.д.), второй — к номеру расчетной точки (0 — начальная точка).

Рассмотрим один пример использования модуля. Создадим новое приложение и подключим к нему модуль. На форме приложения разместим кнопку Button1 и область текста Memo1. Поместим в приложение две функции и обработчик нажатия кнопки:

Нажатие кнопки приведет к расчету точек системы, которые будут выведены в текстовую область.

Модуль с примером и справкой можно скачать бесплатно по адресу RK.zip (ZIP, 15,3Kb) (русский вариант). Английский вариант (условно-бесплатный) можно скачать по адресу RK_Eng.zip (ZIP, 23.4Kb)

Видео:3_11. Алгоритм Рунге-КуттыСкачать

Ссылки

• http://sadovoya.narod.ru/RK.zip (русский вариант).
• http://sintreseng.narod.ru/RK_Eng.zip (английский, условно-бесплатный вариант)

Видео:6.4 Явные методы Рунге-КуттыСкачать

Оставить комментарий

Видео:Метод ЭйлераСкачать

Комментарии

Скачала по Вашей ссылке русский вариант, изменила для своей системы диф. уравнений, но при запуске выдаёт ошибку :
Project Ex.exe raised exception class EOverflow with message ‘ Floating point overflow ‘
Помогите, пожалуйста .

Вот изменённый мною модуль:

unit Unit1;
interface
uses
SysUtils, Forms, StdCtrls, Controls, Classes, Dialogs, Math;
type
TForm1 = class(TForm)
Memo1: TMemo;
rk_But: TButton;
procedure rk_ButClick(Sender: TObject);
private

public

end;
var
Form1: TForm1;
pn,k,ro,Pzv: Extended;

implementation
uses rk_method, Windows;

procedure Syst (var t: TFloat; var X: TFloatVector;
var RP: TFloatVector);
const
fdr1=0.503;
fdr2=0.503;
fdr3=0.196;
W1=179.8928;
W2=3773.8568;
W3=2504.1203;
b1=55.9203;
b2=98.6;
b3=98.6;
Ls1=3.78;
Ls2=9;
Ls3=15.3;
Svidj2=1352.438;
Svidj3=1352.438;
my=0.62;
vk=30;
m=1.2;
L1=30.969;
L2=42.131;
delta1=0;

begin
pn:=2.5*Power(10,4);
k:=6*Power(10,-7);
ro:=8.5*Power(10,-7);
Pzv:=3.919*Power(10,7);

RP[0] := (1/(k*W1))*(my*fdr1*sqrt(2/ro)*sqrt(Abs(pn-X[0]))-my*fdr2*sqrt(2/ro)*sqrt(Abs(X[0]-X[1]))-(delta1*delta1*delta1*b1)/(12*ro*vk*Ls1)*X[0]); // dp1/dt
RP[1] := (1/(k*W2))*(my*fdr2*sqrt(2/ro)*sqrt(Abs(X[0]-X[1]))-my*fdr3*sqrt(2/ro)*sqrt(Abs(X[1]-X[2]))-(X[4]*X[4]*X[4]*b2)/(12*ro*vk*Ls2)*X[1]); // dp2/dt
RP[2] := (1/(k*W3))*(my*fdr3*sqrt(2/ro)*sqrt(Abs(X[1]-X[2]))-(X[6]*X[6]*X[6]*b3)/(12*ro*vk*Ls3)*X[2]); // dp3/dt;
RP[3] := (((Svidj2*X[1]*(L1+L2))/L1)-Pzv)*(2/m); // dv2/dt
RP[4] := X[3]; // d delta2/dt
RP[5] := (((Svidj3*X[2]*(L1+L2))/L2)-Pzv)*(2/m); // dv3/dt
RP[6] := X[5]; // d delta3/dt
end;

procedure TForm1.rk_ButClick(Sender: TObject);
var
I, t1, t2: Cardinal;
tOut, InitConds: TFloatVector;
XOuts: TFloatMatrix;
Points: Cardinal;
First, Last: TFloat;
StepsFact: Cardinal;
Count: Word;
begin
Memo1.Clear;
First := 0.0;
Last := 10.0;
Count:= 7;
Points:=10+1; //11 points for output
StepsFact:=1000000; //all steps inside function = 10*StepsFact

try
SetLength(InitConds, Count);
InitConds[0]:=0.0; //x0(0)=0
InitConds[1]:=0.0; //x1(0)=0
InitConds[2]:=0.0; //x2(0)=0
InitConds[3]:=0.0; //x3(0)=0
InitConds[4]:=0.0; //x4(0)=0
InitConds[5]:=0.0; //x5(0)=0
InitConds[6]:=0.0; //x6(0)=0

SetLength(tOut, Points);
SetLength(XOuts, Count, Points);
except
ShowMessage(‘Out of memory. ‘);
exit;
end;

Видео:Решение ОДУ: метод Рунге КуттаСкачать

Метод рунге кутта для системы дифференциальных уравнений второго порядка

Системой дифференциальных уравнений называется система вида

где x — независимый аргумент,

y_i — зависимая функция, ,

Функции y_i(x), при подстановке которой система уравнений обращается в тождество, называется решением системой дифференциальных уравнений.

Численные методы решения систем дифференциальных уравнений.

Модифицированный метод Эйлера.

Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

Функция y(x), при подстановке которой уравнение обращается в тождество, называется решением дифференциального уравнения.

Численно ищется частное решение уравнения (2), которое удовлетворяет заданным начальным условиям, то есть решается задача Коши.

Для численного решения дифференциальное уравнение второго порядка преобразуется в систему двух дифференциальных уравнений первого порядка и приводится к машинному виду (3). Для этого вводится новая неизвестная функция , слева в каждом уравнении системы оставляют только первые производные неизвестных функций, а в правых частях производных быть не должно

.

(3)

Функция f₂(x, y₁, y) в систему (3) введена формально для того, чтобы методы, которые будут показаны ниже, могли быть использованы для решения произвольной системы дифференциальных уравнений первого порядка. Рассмотрим несколько численных методов решения системы (3). Расчетные зависимости для i+1 шага интегрирования имеют следующий вид. Для решения системы из n уравнений расчетные формулы приведены выше. Для решения системы из двух уравнений расчетные формулы удобно записать без двойных индексов в следующем виде:

Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

где h — шаг интегрирования. Начальные условия при численном интегрировании учитываются на нулевом шаге: i=0, x=x₀, y₁=y₁₀, y=y₀.

Контрольное задание по зачетной работе.

Колебания с одной степенью свободы

Цель. Изучение численных методов решения дифференциальных уравнений второго порядка и систем дифференциальных уравнений первого порядка.

Задание. Численно и аналитически найти:

1. закон движения материальной точки на пружинке х(t),
2. закон изменения силы тока I(t) в колебательном контуре (RLC — цепи) для заданных в табл.1,2 режимов. Построить графики искомых функций.

Свободные незатухающие колебания

Затухающее колебательное движение

Предельное апериодическое движение

Вынужденное колебание без сопротивления

Вынужденное колебание без сопротивления, явление резонанса

Вынужденное колебание с линейным сопротивлением

Вынужденное колебание с линейным сопротивлением, явление резонанса

📸 Видео

Метод Рунге Кутты 2 и 4 порядковСкачать

Интегрирование систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта 4-ог порядка в Arduino IDE.Скачать

Видеоурок "Системы дифференциальных уравнений"Скачать

Численные методы решения ДУ: метод Рунге-КуттаСкачать

04 Метод Рунге-Кутты 4-го порядкаСкачать

Решение ОДУ методом Рунге-Кутта 4 порядка (программа)Скачать

Решение ОДУ методом Рунге КуттаСкачать

Численное решение задачи Коши методом ЭйлераСкачать

Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать

Программируем метод Рунге-Кутта 4 порядкаСкачать

Численные методы. Лекция 10: метод Эйлера, методы Рунге-КуттыСкачать

4a. Методы Рунге-КуттаСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать