Метод рунге кутта 4 порядка для системы дифференциальных уравнений в excel

Видео:Решение ОДУ: метод Рунге КуттаСкачать

Решение ОДУ: метод Рунге Кутта

Рунге-Кутта VBA EXCEL

Видео:Решение ОДУ методом Рунге-Кутта 4 порядка (программа)Скачать

Решение ОДУ методом Рунге-Кутта 4 порядка (программа)

Решение дифференциальных уравнений первого порядка
методом Рунге-Кутта.

Данный проект VBA позволяет решать дифференциальные уравнения первого порядка одним из численных методов, а именно, методом Рунге-Кутта.

Исходные данные:

  • границы интервала a и b;
  • шаг интегрирования h;
  • начальное значение для решения y(a), позволяющее правильно определить константу…

вводятся в соответствующие ячейки столбца «J».

И самое главное (самая ответственная часть) необходимо без ошибок ввести формулу в ячейку «D3». Эта формула получается из заданного уравнения и представляет функцию, являющуюся производной от решения. Ее параметрами может быть как только х (т.е. ячейка «D4»), так и х совместно с у (т.е. ячейкой «D5»). На рисунке показан пример ввода формулы для заданного уравнения…
В ячейки «D4» и «D5» вводить ничего не нужно… Туда значения будет подставлять макрос…

Если не удалось запустить видео, воспользуйтесь этой ссылкой . видео на YouTube

Метод рунге кутта 4 порядка для системы дифференциальных уравнений в excel

После этого остается нажать кнопку «Решить» и … если Вы не забыли включить макросы, то увидите, быстро меняющиеся текущие значения в ячейках столбца «D», а после окончания цикла расчета значений у, произойдет изменение графиков.

Графики должны быть построены на заданном Вами интервале (на рисунке от -0,4 до 1,25)…
В каждой точке, где производная (график синего цвета) пересекает ось , функция решения(красная) должна иметь экстремум (максимум или минимум)…
Если терпением Вы не отличаетесь, то не задавайте очень длинный интервал и/или очень мелкий шаг…

Подсказка:
Собственно, процедура заполнения массивов х и у по методу Рунге-Кутта будет выглядеть так:
(при этом глобальная переменная D3formula предварительно инициализируется: D3formula = Range(«D3»).Formula)

Private Function func(x As Double, y As Double) As Double ‘производная
Dim f As String
‘функция вычисляется по формуле, введенной пользователем в ячейку D3 (гед D4 — это x, D5 — это y)
f = Replace(D3formula, «D4», CStr(x))
f = Replace(f, «D5», CStr(y))
Range(«D3»).FormulaLocal = f
func = Range(«D3»)
End Function

Sub MethodRungeKutta()
‘вспомогательные переменные
Dim k1 As Double, k2 As Double, k3 As Double, k4 As Double
Dim i As Integer

For i = 1 To n ‘нулевые значения уже есть

x(i) = x(0) + i * h
k1 = func(x(i — 1), y(i — 1))
k2 = func(x(i — 1) + h / 2, y(i — 1) + k1 * h / 2)
k3 = func(x(i — 1) + h / 2, y(i — 1) + k2 * h / 2)
k4 = func(x(i), y(i — 1) + k3 * h)

y(i) = y(i — 1) + h / 6 * (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) ‘значения вычисляются
p(i — 1) = k1 ‘сохранение в массив для графика

Чтобы на диаграмме отобразились рассчитанные графики, производится заполнение соответствующих диапазонов в столбцах «AA-AB-AC»… Можете сравнить результаты с этим табличным вариантом.

Видео:Численные методы решения ДУ: метод Рунге-КуттаСкачать

Численные методы решения ДУ: метод Рунге-Кутта

Обзор методов решения в Excel

Введение

Уравнение Метод рунге кутта 4 порядка для системы дифференциальных уравнений в excel Метод рунге кутта 4 порядка для системы дифференциальных уравнений в excelназывается обыкновенным дифференциальным n-го порядка, если F определена и непрерывна в некоторой области Метод рунге кутта 4 порядка для системы дифференциальных уравнений в excelи, во всяком случае, зависит от Метод рунге кутта 4 порядка для системы дифференциальных уравнений в excel. Его решением является любая функция u(x), которая этому уравнению удовлетворяет при всех x в определённом конечном или бесконечном интервале. Дифференциальное уравнение, разрешенное относительно старшей производной имеет вид Метод рунге кутта 4 порядка для системы дифференциальных уравнений в excel

Решением этого уравнения на интервале I=[a,b] называется функция u(x).

Решить дифференциальное уравнение у / =f(x,y) численным методом — это значит для заданной последовательности аргументов х0, х1…, хn и числа у0, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у1, у2,…, уn, что уi=F(xi)(i=1,2,…, n) и F(x0)=y0.

Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции y=F(x) (3) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h=xk-xk-1 называется шагом интегрирования.

Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

Метод Эйлера для обыкновенных дифференциальных уравнений используется для решений многих задач естествознания в качестве математической модели. Например задачи электродинамики системы взаимодействующих тел (в модели материальных точек), задачи химической кинетики, электрических цепей. Ряд важных уравнений в частных производных в случаях, допускающих разделение переменных, приводит к задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений – это, как правило, краевые задачи (задачи о собственных колебаниях упругих балок и пластин, определение спектра собственных значений энергии частицы в сферически симметричных полях и многое другое)

Обзор методов решения в Excel

1.1 Метод Рунге-Кутта четвертого порядка для решения уравнения первого порядка

Идея Рунге-Кута состоит в том, чтобы использовать метод неопределённых коэффициентов. Наиболее употребительным методом Рунге-Кутта решения уравнения первого порядка y’ = F(x,y) (1) является метод четвертого порядка, в котором вычисления производятся по формуле:

yk+1 = yk +(k1 +2k2 +2k3 +k4 )/6, (2)

k1 = Fk h = F(xk , yk )h

Рассмотрим задачу Коши для уравнений первого порядка на отрезке [a,b]:

Метод рунге кутта 4 порядка для системы дифференциальных уравнений в excel, Метод рунге кутта 4 порядка для системы дифференциальных уравнений в excel(4)

Разобьём промежуток [a,b] на N частей Метод рунге кутта 4 порядка для системы дифференциальных уравнений в excel. Обозначим , где u(x) –точное решение задачи Коши, и через Метод рунге кутта 4 порядка для системы дифференциальных уравнений в excelзначения приближенного решения в точках Метод рунге кутта 4 порядка для системы дифференциальных уравнений в excel. Существует 2 типа численных схем :

1. явные: Метод рунге кутта 4 порядка для системы дифференциальных уравнений в excel) (5)

2. неявные: Метод рунге кутта 4 порядка для системы дифференциальных уравнений в excel(6)

Здесь F некоторая функция, связывающая приближения. В явных схемах приближенное значение Метод рунге кутта 4 порядка для системы дифференциальных уравнений в excelв точке Метод рунге кутта 4 порядка для системы дифференциальных уравнений в excelопределяется через некоторое число k уже определённых приближенных значений. В неявных схемах Метод рунге кутта 4 порядка для системы дифференциальных уравнений в excelопределяется не рекурентным способом, как в явных схемах, а для его определения возникает уравнение, поскольку равенство (6) представляет из себя именно уравнение на Метод рунге кутта 4 порядка для системы дифференциальных уравнений в excel. Явные схемы проще, однако зачастую неявные схемы предпочтительнее

1.3 Метод Эйлера

Решить дифференциальное уравнение у / =f(x,y) численным методом — это значит для заданной последовательности аргументов х0, х1…, хn и числа у0, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у1, у2,…, уn, что

Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции У=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h=xk-xk-1 называется шагом интегрирования.

Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка (7) с начальным условием

Требуется найти решение уравнения (7) на отрезке [а,b].

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей и получим последовательность х0, х1, х2,…, хn, где xi=x0+ih (i=0,1,…, n), а h=(b-a)/n-шаг интегрирования.

В методе Эйлера приближенные значения у(хi)»yi вычисляются последовательно по формулам уi+hf(xi, yi) (i=0,1,2…).

При этом искомая интегральная кривая у=у(х), проходящая через точку М00, у0), заменяется ломаной М0М1М2… с вершинами Мi(xi, yi) (i=0,1,2,…); каждое звено МiMi+1 этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения (7), которая проходит через точку Мi. Если правая часть уравнения (7) в некотором прямоугольнике R<|x-x0|£a, |y-y0|£b>удовлетворяет условиям:

|df/dx|=|df/dx+f(df/dy)| £ M (M=const),

то имеет место следующая оценка погрешности:

где у(хn)-значение точного решения уравнения (7) при х=хn, а уn— приближенное значение, полученное на n-ом шаге.

Формула (13) имеет в основном теоретическое применение. На практике иногда оказывается более удобным двойной просчет: сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагом h/2. Погрешность более точного значения уn * оценивается формулой

Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.

1.4 Модифицированный метод Эйлера

Рассмотрим дифференциальное уравнение (7) y / =f(x,y) с начальным условием y(x0)=y0. Разобьем наш участок интегрирования на n равных частей. На малом участ интегральную кривую заменим прямой линией.

Метод рунге кутта 4 порядка для системы дифференциальных уравнений в excel

Рисунок 1 Метод Эйлера в графическом виде

Получаем точку Мккк). Через Мк проводим касательную:

Получаем точку Nk / . В этой точке строим следующую касательную:

Из точки Мк проводим прямую с угловым коэффициентом αк и определяем точку пересечения этой прямой с прямой Хк1. Получаем точку Мк / . В качестве ук+1 принимаем ординату точки Мк / . Тогда:

(14)-рекурентные формулы метода Эйлера.

Сначала вычисляют вспомогательные значения искомой функции ук+1/2 в точках хк+1/2, затем находят значение правой части уравнения (11) в средней точке y / k+1/2=f(xk+1/2, yk+1/2) и определяют ук+1.

Для оценки погрешности в точке хк проводят вычисления ук с шагом h, затем с шагом 2h и берут 1/3 разницы этих значений:

где у(х)-точное решение дифференциального уравнения.

Таким образом, методом Эйлера можно решать уравнения любых порядков. Например, чтобы решить уравнение второго порядка y // =f(y / ,y,x) c начальными условиями y / (x0)=y / 0, y(x0)=y0, выполняется замена

Тем самым преобразуются начальные условия

1.5 Практическая часть

Здесь решается уравнение dy/dx = 2x-y+x 2 на интервале [0,2], начальное значение y(0)=0, для оценки точности задано также точное решение в виде функции u(x)=x 2 . Оценка погрешности делается в нормеL1, как и принято в данном случае

Видео:Метод ЭйлераСкачать

Метод Эйлера

Методы решения дифференциальных уравнений

Видео:4a. Методы Рунге-КуттаСкачать

4a. Методы Рунге-Кутта

Метод Эйлера

  • 1. При разложении функции в ряд Тейлора, отбрасываются производные 2-го и более порядков. Получаем: yn+1=yn+h*y'(xn),y'(x)=f(x,y).
  • 2. Можно вывести формулу, рекуррентную методу Эйлера: yn+1=yn+h*y'(xn,yn).
  • 3. Ошибкой метода имеет порядок h 2

Метод рунге кутта 4 порядка для системы дифференциальных уравнений в excel

Рисунок 3.1.1 — Метод Эйлера в MS Excel в режиме отображения значений

Метод рунге кутта 4 порядка для системы дифференциальных уравнений в excel

Рисунок 3.1.2 — Метод Эйлера в MS Excel в режиме отображения формул

Видео:6.4 Явные методы Рунге-КуттыСкачать

6.4 Явные методы Рунге-Кутты

Модифицированный метод Эйлера

  • 1. Сначала по методу Эйлера вычисляется значение функции в следующей точке, которое используется для вычисления приближённого значения производной в конце интервала.
  • 2. Вычислив среднее между производной и ее значением в начале интервала найдем более точное значение по формуле: yi+1+1=yi+1/2h(f(xi;yi)+f(xi+1;yi+1)).
  • 3. Ошибкой метода составляет величина, равная h 2

Метод рунге кутта 4 порядка для системы дифференциальных уравнений в excel

Рисунок 3.2.1 — Модифицированный метод Эйлера в MS Excel в режиме отображения значений

Метод рунге кутта 4 порядка для системы дифференциальных уравнений в excel

Рисунок 3.2.2 — Модифицированный метод Эйлера в MS Excel в режиме отображения формул

Видео:Программируем метод Рунге-Кутта 4 порядкаСкачать

Программируем метод Рунге-Кутта 4 порядка

Метод Рунге-Кутта

  • 1. Для повышения тонности вычисления значения функции требуется проведение дополнительных вычислений внутри интервала h, т.е. между xi и xi+1.
  • 2. Этот метод даёт набор формул для расчета координат внутренних точек, требуемых для достижения точности. Для решения используется формула:

Метод рунге кутта 4 порядка для системы дифференциальных уравнений в excel

3. Ошибкой метода составляет величина, равная h 4

Метод рунге кутта 4 порядка для системы дифференциальных уравнений в excel

Рисунок 3.3.1 — Метод Рунге-Кутта в MS Excel в режиме отображения значений

Метод рунге кутта 4 порядка для системы дифференциальных уравнений в excel

Рисунок 3.3.2 — Метод Рунде-Кутта в MS Excel в режиме отображения формул

Метод рунге кутта 4 порядка для системы дифференциальных уравнений в excel

Рисунок 3.3.3 — График с четырьмя кривыми

📽️ Видео

6.1 Численные методы решения задачи Коши для ОДУСкачать

6.1 Численные методы решения задачи Коши для ОДУ

Runge kutta method by excelСкачать

Runge kutta method by excel

Интегрирование систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта 4-ог порядка в Arduino IDE.Скачать

Интегрирование систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта 4-ог порядка в Arduino IDE.

Решение ОДУ 1 го порядка в ExcelСкачать

Решение ОДУ 1 го порядка в Excel

Решение ОДУ методом Рунге КуттаСкачать

Решение ОДУ методом Рунге Кутта

3_11. Алгоритм Рунге-КуттыСкачать

3_11. Алгоритм Рунге-Кутты

Методы численного анализа - Метод Рунге-Кутта для ОДУ 2 порядкаСкачать

Методы численного анализа - Метод Рунге-Кутта для ОДУ 2 порядка

Программируем метод Рунге-Кутта 4 порядкаСкачать

Программируем метод Рунге-Кутта 4 порядка

Метод Эйлера. Метод Рунге-Кутта. Классический метод Рунге-Кутта 4 порядка точности. Лекция №9Скачать

Метод Эйлера. Метод Рунге-Кутта. Классический метод Рунге-Кутта 4 порядка точности. Лекция №9

04 Метод Рунге-Кутты 4-го порядкаСкачать

04 Метод Рунге-Кутты 4-го порядка

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений в ExcelСкачать

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений в Excel

Численное решение задачи Коши методом ЭйлераСкачать

Численное решение задачи Коши методом Эйлера

Метод Рунге Кутты 2 и 4 порядковСкачать

Метод Рунге Кутты 2 и 4 порядков
Поделиться или сохранить к себе: