Метод ритца для дифференциальных уравнений

Метод Ритца

Содержание:

Метод ритца для дифференциальных уравнений Метод ритца для дифференциальных уравнений

Метод ритца для дифференциальных уравнений

Метод ритца для дифференциальных уравнений

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

Сведя краевую задачу к вариационной, будем решать последнюю. Эффективным прямым методом поиска экстремума функционалов является метод Ритца. Суть его в следующем: пусть функция, доставляющая экстремум исследуемому функционалу J(y), а система функций такова, что функция у* представима в виде Рассмотрим конечный отрезок этого ряда6* и вспомогательную задачу поиска экстремума функции N переменных.

Метод Ритца задаваемой соотношением

Последняя задача может быть решена стандартными методами — численными или аналитическими. Определив значения коэффициентов у,, за решение исследуемой вариационной задачи примем функцию 6> При бол ъших значениях N мало отличающийся При некоторых дополнительных предположениях относительно коэффициентов уравнения можно доказать, что так полученное решение сходится к точному при N -* 00. При конечных значениях Репивация метода Ритца для линейных краевых задач.

Как мы убедились выше, в случае линейных краевых задач функционал (3) имеет специфическую структуру он является квадратичным. В этой ситуации эффективным способом решения конечномерной экстремальной задачи является исследование системы необходимых условий экстремума которая оказывается системой линейных уравнений относительно неизвестных у; . При практической реализации метода важное значение имеет выбор функций.

Во-первых, функции должны быть подобраны так, чтобы их линейная комбинация удовлетворяла граничным условиям при любых N и yj, во-вторых они должны «правильно» отражать характер поведения искомого решения. Первое требование обычно удовлетворяется включением в систему функций функции , удовлетворяющей заданным граничным условиям так, чтобы все прочие удовлетворяли нулевым граничным условиям8′.

Что касается второго требования, то оно носит несколько мистический характер.

Имеется в виду, что функции долкны подбираться с использованием априорной информации о решении и так, чтобы приемлемая точность приближения искомого решения достигалась при относительно малом числе слагаемых. Удачный выбор этих функций позволяет получатьоггносительноточное решение с малыми вычислительными затратами. При неудачном выборе функций ipj(x) приходится брать большие значения N, что приводит к необходимости решения систем высоких порядков, а это обстоятельство, в свою очередь, повышает трудоемкость процедуры решения.

Видео:Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать

Решение системы дифференциальных уравнений методом Эйлера

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 1 (одночленная аппроксимации):

Рассмотрим задачу тонное решение которой дается функцией у = sin х. Эта задача описывает необходимое условие минимума функционала Полагая будем искать решение задачи минимизации в виде Заметим, что при всех значениях N и любых у, функция y.v(x) удовлетворяет граничным условиям.

Ограничиваясь первым слагаемым, получаем и Коэффициент yj найдем из условия

= 0, которое приводит к уравнению Метод Ритца что дает значение и выражение для искомого приближения На рис. 2 приведены эскизы точного и приближенного решений. Максимальная разница между найденным приближмч+м и точным решением равна 0,019, что составляет около 4 %.

Таким образом, вполне допустимая

для большинства практических целей точность достигнута уже при Точность метола Ритца для задачи Поясним, в чем тут дело. Точное решение плохо аппроксимируется многочленами низкой степени — для достижения приемлемой точности требуется многочлен, степень которого не ниже третьей, и чтобы в рассматриваемой ситуации добиться более высокой степени точности, нужно взять еще по крайней мере пару слагаемых. Пример 2 (несколько слагаемых).

Видео:7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать

7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.

В задаче очень похожей на предыдущую, одним слагаемым уже нельзя достичь хорошей точности аппроксимации решения. Положим ЛГ = 3 Система уравнений метода Ритца примет вид откуда для коэффициентов у получим и искомое решение запишется в виде Метод Ритца в то время как точное решение дается формулой Графики точного решения и решения, полученного по методу Ритца, приведены на рис.3. ис.3. Точность метола Ритца для задачи

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ Метод ритца для дифференциальных уравненийМетод ритца для дифференциальных уравнений

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.


источники:

💡 Видео

14. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядкаСкачать

14. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Операторный метод решения дифференциальных уравнений | Решение задачСкачать

Операторный метод решения дифференциальных уравнений | Решение задач

9. Метод вариации произвольной постоянной ( метод Лагранжа ). Линейные дифференциальные уравнения.Скачать

9. Метод вариации произвольной постоянной ( метод Лагранжа ). Линейные дифференциальные уравнения.

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравнения

Метод Лагранжа & Метод Бернулли ★ Решение линейных неоднородных дифференциальных уравненийСкачать

Метод Лагранжа & Метод Бернулли ★ Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1.Скачать

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1.

Операционное исчисление. Решить неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядкаСкачать

Операционное исчисление. Решить неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядка

Дифференциальные уравнения, 5 урок, Уравнение БернуллиСкачать

Дифференциальные уравнения, 5 урок, Уравнение Бернулли

Дифференциальные уравнения. Задача Коши. Метод Эйлера.Скачать

Дифференциальные уравнения. Задача Коши. Метод Эйлера.

Системы дифференциальных уравнений. Метод исключенияСкачать

Системы дифференциальных уравнений. Метод исключения
Поделиться или сохранить к себе: