Метод решения уравнений математической физики использующий дискретизацию всех независимых переменных (3 видео)

Методы математической физики (стр. 2 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5

(1.97)

(1.98)

. (1.99)

В результате нормировки все переменные системы (1.97) – (1.99) безразмерные и имеют сравнимые по порядку величины диапазоны значений. Все постоянные коэффициенты ФСУ сокращаются.

Содержание

Базисы переменных
Лекция №6. ГРАНИЧНЫЕ И НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
Граничные условия
Начальные условия
Лекция №7. МЕТОДЫ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Конечно-разностные сетки
Метод преобразования Лапласа
📹 Видео

Базисы переменных

Искомыми функциями при решении системы (1.97) – (1.99) являются зависимости потенциала j = j(x, y, z, t), концентраций электронов n = n(x, y, z, t) и дырок p = p(x, y, z, t) от координат и времени. В условии задачи дожны быть заданы распределения по координатам концентраций доноров ND = ND (x, y, z) и акцепторов NA = NA (x, y, z), а также модели подвижностей mn = mn (x, y, z, t),
mp = mp (x, y, z, t) и суммы скоростей генерации и рекомбинации R = R (x, y, z, t).

Множество искомых функций системы уравнений принято называть базисом переменных. В данном случае система (1.97) – (1.99) записана для базиса переменных <n, p, j> [2, 4].

Важно отметить, что при необходимости система уравнений может быть приведена к другому базису переменных. В случае ФСУ такая необходимость, как правило, связана с резким уменьшением скорости сходимости или, иными словами, с увеличением числа итераций в процессе численного решения, например при моделировании полупроводниковых приборов в режимах, характеризующихся высокими плотностями токов.

При решении фундаментальной системы уравнений широко используют три базиса переменных:

— <n, p, j> – концентрации электронов, дырок и электрический потенциал;

— <jn, jp, j> – квазиуровни Ферми для электронов, дырок и электрический потенциал;

— <Фn, Фp, j> – экспоненты квазиуровней Ферми для электронов, дырок и электрический потенциал.

Переход к иному базису переменных осуществляется с использованием выражений, связывающих переменные различных базисов [4]:

; (1.100)

; (1.101)

; (1.102)

[5]. (1.103)

Подставляя выражения (1.100), (1.101) в систему (1.97) – (1.99), получим ФСУ в частных производных в базисе <jn, jp, j>:

(1.104)

(1.105)

. (1.106)

В операторной форме система (1.104) – (1.106) будет иметь вид

(1.107)

(1.108)

. (1.109)

Подставляя выражения (1.102), (1.103) в систему (1.104) – (1.106), получим ФСУ в частных производных в базисе <Фn, Фp, j>:

(1.110)

(1.111)

. (1.112)

В операторной форме система (1.110) – (1.112) будет иметь вид

(1.113)

(1.114)

. (1.115)

Видео:2.1. Метод характеристик. Задача Коши для гиперболического уравнения на плоскости.Скачать

Лекция №6. ГРАНИЧНЫЕ И НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ

Из курса высшей математики известно, что дифференциальные уравнения, как правило, имеют бесконечное множество решений. Это связано с появлением в процессе интегрирования констант, при любых значениях которых решение удовлетворяет исходному уравнению [7].

Решение задач матфизики связано с нахождением зависимостей от координат и времени определенных физических величин, которые, безусловно, должны удовлетворять требованиям однозначности[6], конечности[7] и непрерывности [7]. Иными словами, любая задача матфизики предполагает поиск единственного решения (если оно вообще существует). Поэтому математическая формулировка физической задачи должна помимо основных уравнений (дифференциальных уравнений в частных производных), описывающих искомые функции внутри рассматриваемой области, включать дополнительные уравнения (дифференциальные или алгебраические), описывающие искомые функции на границах рассматриваемой области в любой момент времени и во всех внутренних точках области в начальный момент времени. Эти дополнительные уравнения называют соответственно граничными и начальными условиями задачи.

Граничные условия

Предположим, необходимо решить определенную задачу, описываемую уравнениями матфизики, для некоторой области Q. Тогда для нахождения единственного решения необходимо задать граничные условия (ГУ), т. е. выразить искомые переменные на границе W области Q некоторыми уравнениями.

Если область Q представляет собой некоторый объем в трехмерном пространстве, то граница W будет представлять собой замкнутую поверхность в этом пространстве, ограничивающую заданный объем. Если область Q представляет собой некоторую поверхность в двухмерном пространстве, то граница W будет представлять собой замкнутый контур в этом пространстве, ограничивающий заданную поверхность. И, наконец, если область Q представляет собой некоторый отрезок в одномерном пространстве, то граница W будет представлять собой две точки на границах заданного отрезка.

По виду уравнений, задающих ГУ, различают граничные условия первого рода (условия Дирихле), второго рода (условия Неймана) и третьего рода [1].

Граничные условия первого рода, или краевая задача Дирихле, имеют вид

при , (2.1)

где u(x, t) – искомая функция; g(x, t) – некоторая заданная на границе W функция; x – координаты граничной точки в пространстве (например, для трехмерного пространства x = (x, y, z)), t – время.

Если иметь в виду задачу теплопроводности, то ГУ первого рода задают температуру на границе W. В задаче о распределении электростатического поля в непроводящей среде ГУ первого рода задают электрический потенциал на границе W и т. д.

Граничные условия второго рода, или краевая задача Неймана, имеют вид

при , (2.2)

где n – внутренняя нормаль к границе W.

Иными словами, условия Неймана задают поток на границе, точнее, проекцию вектора потока на внутреннюю нормаль к границе. Например, в задачах теплопроводности ГУ второго рода задают тепловой поток, в задаче о распределении электростатического поля в непроводящей среде – проекцию вектора напряженности электрического поля на нормаль к границе и т. д.

Граничные условия третьего рода являются более общим случаем краевых задач Дирихле и Неймана и имеют вид

при , (2.3)

где h(x, t), r(x, t) – некоторые функции координат и времени.

Например, в тепловых задачах ГУ третьего рода используют для задания на границе конвективного и излучательного теплообмена.

В соответствии с законом Ньютона, плотность теплового потока, отводимого в газовую или жидкую среду (или подводимого из нее) посредством конвекции с поверхности твердого тела в единицу времени, определяется выражением

, (2.4)

где a – коэффициент конвективного теплообмена; T – температура поверхности твердого тела; T0 – температура окружающей среды [8].

Применяя для плотности теплового потока вдоль нормали к границе закон Фурье (1.6) и приравнивая правые части уравнений (2.4) и (1.6), получим

; (2.5)

, (2.6)

т. е. граничные условия третьего рода (см. выражение (2.3)).

В соответствии с законом Стефана – Больцмана, плотность теплового потока, отводимого посредством излучения с поверхности твердого тела в единицу времени, определяется выражением

, (2.7)

где с0 – коэффициент лучеиспускания абсолютно черного тела[8]; e – относительная излучательная способность, или степень черноты тела[9] [8].

Применяя для плотности теплового потока вдоль нормали к границе закон Фурье (1.6) и приравнивая правые части уравнений (2.7) и (1.6), получим условия третьего рода в виде

; (2.8)

. (2.9)

В уравнениях (2.4) – (2.9) температура является функцией координат
T = T(x, y, z) для точек, принадлежащих поверхности тела W.

Следует отметить, что количество граничных условий для каждой переменной определяется максимальным порядком производных по координатам в дифференциальных уравнениях [6]: для уравнений первого порядка – одно ГУ, для уравнений второго порядка – два, для уравнений третьего порядка – три ГУ и т. д.

Начальные условия

Для нахождения единственного решения в задачах, описывающих нестационарные, т. е. изменяющиеся во времени физические процессы, помимо граничных необходимо задавать еще и начальные условия, определяющие значения переменных или их градиентов во всех точках рассматриваемой области Q в начальный момент времени:

при ; (2.10)

при ; (2.11)

при , (2.12)

где u(x, 0) – искомая функция в начальный момент времени; x(x), d(x), s(x) – некоторые функции координат.

Аналогично граничным условиям, количество начальных условий для каждой переменной определяется максимальным порядком производной по времени в дифференциальных уравнениях [6].

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Лекция №7. МЕТОДЫ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

К сожалению, аналитическое решение уравнений математической физики возможно лишь для весьма ограниченного круга задач. В большинстве случаев решение дифференциальных уравнений в частных производных возможно только с использованием численных итерационных методов [1 – 7].

Суть данных методов состоит в дискретизации дифференциальных уравнений, т. е. представлении всех или части производных в виде приближенных выражений (конечных разностей или конечных элементов), что позволяет преобразовать дифференциальные уравнения в системы алгебраических уравнений. Для этого рассматриваемая область Q покрывается координатной сеткой, а все переменные заменяются сеточными функциями. Иными словами, значения переменных исследуются не для всего бесконечного множества точек области Q, а лишь для некоторого конечного подмножества G. Причем при решении нестационарных задач помимо координатной сетки вводится сетка времени.

Число алгебраических уравнений в полученной системе (размерность дискретной задачи) определяется произведением числа точек координатной сетки на количество независимых переменных в исходных дифференциальных уравнениях.

Выбор метода решения полученной системы алгебраических уравнений определяется ее размерностью и характером (линейный или нелинейный). Для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) широко используют метод исключения Гаусса, метод LU-разложения и др. [3]. Для решения систем нелинейных алгебраических уравнений и линейных систем больших размерностей используют итерационные методы Якоби, Зейделя, Ньютона – Рафсона и др. [1, 3].

Метод конечных разностей предполагает дискретизацию дифференциальных уравнений на так называемых прямоугольных координатных сетках, т. е. на сетках, элементарные ячейки которых представляют собой прямоугольники для двух измерений или параллелепипеды для трех измерений.

Конечно-разностные сетки

Рассмотрим одномерную область Q, представляющую собой отрезок [0, s]. Разобьем этот отрезок точками xi = ih, i = 0, 1, 2, …, n на n равных частей длины h = s/n каждая. Множество точек G = <xi = ih | i = 0, 1, 2, …, n> называется равномерной одномерной координатной сеткой, а число h – шагом сетки [1].

Видео:Уравнение колебаний струны. Метод разделения переменных. Метод ФурьеСкачать

Метод преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа широко используется для решения задач Коши для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений (операторный метод). Это позволяет перейти от дифференциальных уравнений для искомых функций к алгебраическим уравнениям относительно их образов.

Аналогичный подход можно применять и при решении краевых задач для линейных уравнений с частными производными. В результате такие задачи удается привести либо к краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений, либо, при многократном (по каждой из независимых переменных) применении преобразования, — к алгебраическим уравнениям для изображения (образа) искомой функции. Затем с помощью обратного преобразования Лапласа от этого образа переходят к решению исходной задачи.

Определение и основные свойства преобразования Лапласа представлены в пп. П5.1 и П. 5.2.

Рассмотрим сначала применение операторного метода к решению краевых задач для уравнений в частных производных первого порядка.

Пример 8.9. С помощью однократного преобразования Лапласа решить краевую задачу:

Пример 8.10. Решить задачу из примера 8.9 с помощью двукратного преобразования Лапласа.

Аналогичным образом преобразование Лапласа применяется при решении краевых задач для уравнений с частными производными второго порядка.

Пример 8.11. Решить краевую задачу

применяя преобразование Лапласа один раз.

Кроме того, иЛх, t)=— , и 2cosx= , , см. п. П5.2. По-

этому после преобразования уравнение (8.27) принимает вид

Итак, в результате однократного преобразования Лапласа мы пришли к обыкновенному дифференциальному уравнению с аргументом t, в котором переменную р будем рассматривать как параметр.

Общее решение U(p, t) уравнения (8.36) можно представить как сумму общего решения U_Q(p, t) соответствующего однородного уравнения и частного решения U_H(p, t) неоднородного уравнения: