Метод решения систем уравнений второй степени с двумя переменными

п.1. Метод подстановки

Вариант 1
Шаг 1. Из одного уравнения выразить y через x: y(x).
Шаг 2. Подставить полученное выражение во второе уравнение и найти x.
Шаг 3. Подставить найденный x в y(x) и найти y.
Шаг 4. Записать полученные пары решений. Работа завершена.

Вариант 2
Шаг 1. Из одного уравнения выразить x через y: x(y).
Шаг 2. Подставить полученное выражение во второе уравнение и найти y.
Шаг 3. Подставить найденный y в x(y) и найти x.
Шаг 4. Записать полученные пары решений. Работа завершена.

п.2. Метод сложения

п.3. Метод замены переменных

Иногда удобно ввести новые переменные и решить систему для них.
А затем, вернуться к исходным переменным и найти их значения.

п.4. Графический метод

Графический метод подробно рассмотрен в §15 данного справочника.

п.5. Примеры

Пример 1. Решите систему уравнений:
а) ( left< begin mathrm & \ mathrm & endright. )
Решаем методом подстановки: ( left< begin mathrm & \ mathrm & endright. )
Для нижнего уравнения: ( mathrm )
Подставляем в верхнее уравнение: ( mathrm )

б) ( left< begin mathrm & \ mathrm & endright. )
Замена переменных: ( left< begin mathrm & \ mathrm & endright. )
Выразим (x 2 + y 2 ) через a и b:
x 2 + y 2 = (x 2 + y 2 + 2xy) – 2xy = (x + y) 2 – 2xy = a 2 – 2b
Подставляем: ( left< begin mathrm & \ mathrm & endright.Rightarrow left< begin mathrm & \ mathrm & endright. )
Решаем нижнее уравнение: 2b 2 – 9b + 10 = 0 $$ mathrm< D=9^2-4cdot 2cdot 10=1, b=frac> = left[begin mathrm & \ mathrm & endright. $$ Возвращаемся к исходным переменным: ( left[begin left<begin mathrm & \ mathrm & endright.& \ left<begin mathrm & \ mathrm & endright. endright. )

Видео:Алгебра 9 класс (Урок№29 - Приёмы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными.)Скачать

Метод решения систем уравнений второй степени с двумя переменными

Система уравнений второй степени. Способы решения

Система уравнений второй степени – это система уравнений, в которой есть хотя бы одно уравнение второй степени.

Систему из двух уравнений, в которой одно уравнение второй степени, а второе уравнение первой степени, решают следующим образом:

1) в уравнении первой степени одну переменную выражают через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, благодаря чему получается уравнение с одной переменной;

3) решают получившееся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

Пример : Решим систему уравнений

1) Второе уравнение является уравнением первой степени. В ней выражаем переменную x через y:

2) в первом уравнении вместо x подставляем полученное выражение 1 – 2y:

Раскрываем скобки и упрощаем:

Приравниваем уравнение к нулю и решаем получившееся квадратное уравнение:

3) Решив квадратное уравнение, найдем его корни:

4) Осталось найти значения x. Для этого в одно из двух уравнений системы просто подставляем значение y. Второе уравнение проще, поэтому выберем его.
Итак, подставляем значения y в уравнение x + 2y = 1 и получаем:
1) х + 2(-0,125) = 1
х – 0,25 = 1
х = 1 + 0,25
х₁ = 1,25.

Способы решения системы уравнений с двумя уравнениями второй степени.

1. Замена системы уравнений равносильной совокупностью двух систем.

Пример : Решим систему уравнений

Здесь нет уравнений первой степени, поэтому решать их вроде бы сложнее. Но в первом уравнении многочлен можно разложить на линейные множители и применить метод группировки:

(Пояснение-напоминание: x – 3y встречается в выражении дважды и является общим множителем в многочлене (x – 3y)(x + 3y) – 1(x – 3y). По правилу группировки, мы умножили его на сумму вторых множителей и получили равносильное уравнение).

В результате наша система уравнений обретает иной вид:

Первое уравнение равно нулю только в том случае, если x – 3y = 0 или x + 3y – 1 = 0.

Значит, нашу систему уравнений мы можем записать в виде двух систем следующего вида:

Мы получили две системы, где первые уравнения являются уравнениями первой степени. Мы уже можем легко решить их. Понятно, что решив их и объединив затем множество решений этих двух систем, мы получим множество решений исходной системы. Говоря иначе, данная система равносильна совокупности двух систем уравнений.

Итак, решаем эти две системы уравнений. Очевидно, что здесь мы применим метод подстановки, подробно изложенный в предыдущем разделе.

Обратимся сначала к первой системе.
В уравнении первой степени выразим х через у:

Подставим это значение во второе уравнение и преобразим его в квадратное уравнение:

Как решается квадратное – см.раздел «Квадратное уравнение». Здесь мы сразу напишем ответ:

Теперь подставим полученные значения у в первое уравнение первой системы и решим его:

Итак, у нас есть первые ответы:

Переходим ко второй системе. Не будем производить вычисления – их порядок точно такой же, что и в случае с уравнениями первой системы. Поэтому сразу напишем результаты вычислений:

Таким образом, исходная система уравнений решена.

1 1
(–3 — ; –1 — ), (3; 1), (2,5; –0,5), (–2; 1).
2 6

2. Решение способом сложения.

Пример 2 : Решим систему уравнений

Второе уравнение умножим на 3:

Зачем мы умножили уравнение на 3? Благодаря этому мы получили равносильное уравнение с числом -3y, которое встречается и в первом уравнении, но с противоположным знаком. Это поможет нам буквально при следующем шаге получить упрощенное уравнение (они будут взаимно сокращены).

Сложим почленно левые и правые части первого уравнения системы и нашего нового уравнения:

Сводим подобные члены и получаем уравнение следующего вида:

Упростим уравнение еще, для этого сокращаем обе части уравнения на 5 и получаем:

Приравняем уравнение к нулю:

Это уравнение можно представить в виде x(x – 2y) = 0.

Здесь мы получаем ситуацию, с которой уже сталкивались в предыдущем примере: уравнение верно только в том случае, если x = 0 или x – 2y = 0.

Значит, исходную систему опять-таки можно заменить равносильной ей совокупностью двух систем:

Обратите внимание: во второй системе уравнение x – 2y = 0 мы преобразовали в x = 2y.

Итак, в первой системе мы уже знаем значение x. Это ноль. То есть x₁ = 0. Легко вычислить и значение y: это тоже ноль. Таким образом, первая система имеет единственное решение: (0; 0).

Решив вторую систему, мы увидим, что она имеет два решения: (0; 0) и (–1; –0,5).

Таким образом, исходная система имеет следующие решения: (0; 0) и (–1; –0,5).

3. Решение методом подстановки.

Этот метод был применен в начале раздела. Здесь мы выделяем его в качестве одного из способов решения. Приведем еще один пример.

Пример . Решить систему уравнений

│х + у = 9
│у 2 + х = 29

Первое уравнение проще, поэтому выразим в нем х через у:

Теперь произведем подстановку. Подставим это значение х во второе уравнение, получим квадратное уравнение и решим его:

у 2 + 9 – у = 29
у 2 – у – 20 = 0

D = b 2 – 4ас = 1 – 4 · 1 · (–20) = 81

Осталось найти значения х. Первое уравнение проще, поэтому им и воспользуемся:

1) х + 5 = 9
х = 9 – 5
х₁ = 4

2) х – 4 = 9
х = 9 + 4
х₂ = 13

Видео:Решение систем уравнений второй степени. Алгебра, 9 классСкачать

Пособие для учащихся «Некоторые приемы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными»
методическая разработка по алгебре (9 класс) на тему

В данной статье представлен материал, который поможет ученикам расширить знания о решении систем уравнений второй степени с двумя переменными и научиться решать особые виды систем уравнений.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Скачать:

Видео:Решение систем уравнений второй степени | Алгебра 9 класс #19 | ИнфоурокСкачать

Предварительный просмотр:

учитель математики ГБОУ «Школа № 329» г. Москва

кандидат педагогических наук

Готовимся к ОГЭ

Пособие для учащихся «Некоторые приемы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными»

Известны два основных метода решения систем уравнений с двумя переменными: метод подстановки и метод сложения. Но не всякую систему уравнений можно решить, используя эти методы, существуют некоторые особые виды систем уравнений.

Можно выделить три таких вида систем уравнений и обозначить принципы их решения.

1-й вид. Системы, в которых одно из уравнений представлено в виде

f ( x ) · g ( x ) = 0

Принцип решения: переход к совокупности двух систем

2-й вид. Системы, в которых встречается однородное уравнение.

Принцип решения: деление однородного уравнения на одну из переменных в квадрате и решение полученного квадратного уравнения

2-й вид. Симметрические системы уравнений.

Принцип решения: введение новых переменных

Рассмотрим примеры решения выделенных видов систем уравнений:

Пример1. Решить систему уравнений

Эту систему можно решить двумя способами:

1) путем преобразований прийти к системе, в которой одно из уравнений представляется в виде: f ( x ) · g ( x ) = 0;

2) воспользоваться методом сложения и выразить одну переменную через другую.

Проанализировав условие системы, мы видим, что второй способ в данном случае – более простой.

Умножим первое уравнение системы на –3 и сложим почленно левые и правые части уравнений.

Подставим полученное выражение в первое уравнение системы.

Решением исходной системы является пара чисел: (2; 3), (–2; –3).

Пример 2. Решить систему уравнений

Метод замены переменной.

Обозначим буквой t и решим первое уравнение системы относительно новой переменной:

12 t 2 – 25 t + 12 = 0;

D = 625 – 576 = 49;

Получаем, что исходная система уравнений равносильна совокупности двух систем:

Решив полученные системы уравнений, получим решение исходной системы: (–4; –3), (4; 3).

Пример 3. Решить систему уравнений

Обозначим: х + у = U

х 2 + у 2 = ( х + у ) 2 – 2 ху = U 2 – 2 V.

Значит, исходная система равносильна совокупности двух систем:

Решив полученные системы уравнений, получим решение исходной системы:

Ответ: (–3; –4), (–4; –3), (3; 4), (4; 3).

Существуют системы уравнений, которые не относятся ни к одному из выделенных видов. Покажем, как они могут быть решены.

Пример 4. Решить систему уравнений

Разделим почленно правые и левые части первого уравнения на второе:

Значит, исходная система уравнений равносильна следующей системе:

Решив полученные системы уравнений, получим решение системы:

Пример 5. Решить систему уравнений

Вычтем из второго уравнения первое.

4 х ( х – у ) – 4 х ( х + у ) = 32;

4 х ( х – у – х – у ) = 32;

Значит, исходная система уравнений равносильна следующей системе:

Пусть х 2 = а , тогда получим:

4 а 2 – 65 а + 16 = 0

D = 65 2 – 16 · 16 = (65 – 16) (65 + 16) = 49 · 81

Решив полученные системы уравнений, получим решение исходной системы:

О т в е т: (4; –1), (–4; 1), .

Видео:Решение систем уравнений второй степениСкачать

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

графическое решение систем уравнений второй степени с двумя переменными

Разработка урока алгебры в 9 классе с применением ИКТ. частично-поисковым методом.

Некоторые приемы решения систем уравнения второй степени с двумя переменами.

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важно.

Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными

Цель урока: формирование навыков решения систем уравнений второй степени, сознательного выбора способа решения системы, развитие потребности в нахождении рациональных способов решения систем.

Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными

пезентация к уроку.

Технологическая карта урока «Решение систем уравнений второй степени с двумя неизвестными»

Разработка урока «Решение систем уравнений второй степени с двумя неизвестными»Алгебра 9 кл.

Открытый урок алгебры в 9 классе по теме: « Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными».

Открытый урок алгебры в 9 классе по теме: « Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными».

Технологическая карта урока алгебры в 9 классе по теме: «Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными. Графический способ решения систем уравнений»

1. Разработка технологической карты урока алгебры в 9 классе по теме: «Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными. Графический способ решения систем уравнений.2. Технологическая .

🎬 Видео

Математика | Система уравнений на желтую звездочку (feat Золотой Медалист по бегу)Скачать

Приёмы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными | Алгебра 9 класс #23 | ИнфоурокСкачать

9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать

Решение задач с помощью систем уравнений второй степени. Алгебра, 9 классСкачать

Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Алгебра 9 класс (Урок№25 - Решение систем уравнений второй степени.)Скачать

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать

Графический способ решения систем уравнений. Алгебра, 9 классСкачать

Алгебра 9 класс. Решение систем уравнений через подстановку.Скачать

Решение систем уравнений. Методом подстановки. Выразить YСкачать

Системы уравнений с двумя переменными. Алгебра 9 классСкачать

Алгебра Система уравнений Метод замены переменной № 6.22 9 классСкачать

ПОСМОТРИ это видео, если хочешь решить систему линейных уравнений! Метод ПодстановкиСкачать

Система уравнений. Метод алгебраического сложенияСкачать