Метод равносильных преобразований для решения иррациональных уравнений (3 видео)

Равносильные переходы в иррациональных уравнениях

Здесь вы найдете алгоритмы равносильных переходов в иррациональных уравнениях.

Напомним, что два уравнения называются равносильными (эквивалентными) , если множество всех корней первого уравнения совпадает с множеством всех корней второго уравнения.

Подробный разбор примеров смотрите здесь.

или, что тоже самое + показать

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Равносильные переходы при решении иррациональных уравненийСкачать

Метод равносильных преобразований для решения иррациональных уравнений

1. Уравнение вида $$ sqrt = g(x) $$

Решение: Решением уравнения $$ sqrt = g(x) $$ будет решение равносильной системы $$ left< begin g(x) ge 0; \ f(x) = g^2 (x). \ end right.$$

2. Уравнение вида $$ sqrt cdot g(x) = 0$$

Решение: Решением уравнения $$ sqrt cdot g(x) = 0$$ будет решение равносильной совокупности систем $$ left< begin f(x) = 0; \ g(x) — ,определена. \ end right. $$ или $$ left< begin g(x) = 0; \ f(x) ge 0. \ end right. $$

3. Уравнение вида $$ sqrt = sqrt $$

Решение: Решением уравнения $$ sqrt = sqrt $$ будет решение одной из равносильных систем $$ left< begin f(x) = g(x); \ f(x) ge 0. \ end right.$$ или $$ left< begin f(x) = g(x); \ g(x) ge 0. \ end right. $$

4. Уравнение вида $$ sqrt cdot sqrt = 0$$

Решение: Решением уравнения $$ sqrt cdot sqrt = 0$$ будет решение равносильной совокупности систем $$ left< begin f(x) = 0; \ g(x) ge 0. \ end right.$$ или $$ left< begin g(x) = 0; \ f(x) ge 0. \ end right.$$

5. Уравнение вида $$ sqrt[3]<> + sqrt[3]<> = sqrt[3]<>$$

Решение: Решением уравнения $$ sqrt[3]<> + sqrt[3]<> = sqrt[3]<>$$ будет решение равносильной совокупности систем $$ left< begin f(x) = 0; \ f;и;g, — ,определены. \ end right. $$ или $$ left< begin g(x) = 0; \ f;и;g, — ,определены. \ end right. $$ или $$ left< begin f(x) + g(x) = 0; \ f;и;g, — ,определены. \ end right.$$.

6. Уравнение вида $$ sqrt[n]<> + sqrt[n]<> = g(x)$$

Решение: Решение уравнения $$ sqrt[n]<> + sqrt[n]<> = g(x)$$ после замены переменных $$ left< begin sqrt[n]<> = h,,, ge 0; \ sqrt[n]<> = t,,, ge 0. \ end right. $$ сводится к решению системы алгебраических уравнений $$ left< begin h + t = g(x); \ h^n + t^n = a + b. \ end right.$$.

7. Уравнение вида $$ sqrt pm sqrt = b$$

Решение: Решение уравнения $$ sqrt pm sqrt = b$$ сводится к решению иррационального уравнения вида $$ sqrt = frac<><> $$.

Видео:Как решать иррациональные уравнения. Методы решения иррациональных уравнений. (часть 1).Скачать

Способы решения иррациональных уравнений

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Способы решения иррациональных уравнений

Выполнила: Егорова Ольга,

Раздел 1. Методы решения иррациональных уравнений…………………………………6

1.1 Решение иррациональных уравнений части С……….….….……………………21

Раздел 2.Индивидуальные задания……………………………………………. ………. 24

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать. Одним из этих видов являются иррациональные уравнения.

Уравнение, содержащее неизвестное (либо рациональное алгебраическое выражение от неизвестного) под знаком радикала, называют иррациональным уравнением. В элементарной математике решения иррациональных уравнений отыскивается в множестве действительных чисел.

Всякое иррациональное уравнение с помощью элементарных алгебраических операций (умножение, деление, возведение в целую степень обеих частей уравнения) может быть сведено к рациональному алгебраическому уравнению. При этом следует иметь в виду, что полученное рациональное алгебраическое уравнение может оказаться неэквивалентным исходному иррациональному уравнению, а именно может содержать «лишние» корни, которые не будут корнями исходного иррационального уравнения. Поэтому, найдя корни полученного рационального алгебраического уравнения, необходимо проверить, а будут ли все корни рационального уравнения корнями иррационального уравнения.

В общем случае трудно указать какой-либо универсальный метод решения любого иррационального уравнения, так как желательно, чтобы в результате преобразований исходного иррационального уравнения получилось не просто какое-то рациональное алгебраическое уравнение, среди корней которого будут и корни данного иррационального уравнения, а рациональное алгебраическое уравнение образованное из многочленов как можно меньшей степени. Желание получить то рациональное алгебраическое уравнение, образованное из многочленов как можно меньшей степени, вполне естественно, так как нахождение всех корней рационального алгебраического уравнения само по себе может оказаться довольно трудной задачей, решить которую полностью мы можем лишь в весьма ограниченном числе случаев.

Виды иррациональных уравнений

Решение иррациональных уравнений четной степени всегда вызывает больше проблем, чем решение иррациональных уравнений нечетной степени. При решении иррациональных уравнений нечетной степени изменение ОДЗ не происходит. Поэтому ниже будут рассматриваться иррациональные уравнения, степень которых является четной. Существует два вида иррациональных уравнений:

2..

Рассмотрим первый из них.

ОДЗ уравнения: f(x) ≥ 0. В ОДЗ левая часть уравнения всегда неотрицательна – поэтому решение может существовать только тогда, когда g(x) ≥ 0. В этом случае обе части уравнения неотрицательны, и возведение в степень 2n дает равносильное уравнение. Мы получаем, что

Обратим внимание на то, что при этом ОДЗ выполняется автоматически, и его можно не писать, а условие g(x) ≥ 0 необходимо проверять.

Примечание: Это очень важное условие равносильности. Во-первых, оно освобождает учащегося от необходимости исследовать, а после нахождения решений проверять условие f(x) ≥ 0 – неотрицательности подкоренного выражения. Во-вторых, акцентирует внимание на проверке условия g(x) ≥ 0 – неотрицательности правой части. Ведь после возведения в квадрат решается уравнение т. е. решаются сразу два уравнения (но на разных промежутках числовой оси!):

1. — там, где g(x) ≥ 0 и

2. — там, где g(x) ≤ 0.

Между тем многие, по школьной привычке находить ОДЗ, поступают при решении таких уравнений ровно наоборот:

а) проверяют, после нахождения решений, условие f(x) ≥ 0 (которое автоматически выполнено), делают при этом арифметические ошибки и получают неверный результат;

б) игнорируют условие g(x) ≥ 0 — и опять ответ может оказаться неверным.

Примечание: Условие равносильности особенно полезно при решении тригонометрических уравнений, в которых нахождение ОДЗ связано с решение тригонометрических неравенств, что гораздо сложнее, чем решение тригонометрических уравнений. Проверку в тригонометрических уравнениях даже условия g(x) ≥ 0 не всегда просто сделать.

Рассмотрим второй вид иррациональных уравнений.

. Пусть задано уравнение . Его ОДЗ:

В ОДЗ обе части неотрицательны, и возведение в квадрат дает равносильное уравнение f(x) = g(x). Поэтому в ОДЗ или

При таком способе решения достаточно проверить неотрицательность одной из функций – можно выбрать более простую.

Раздел 1. Методы решения иррациональных уравнений

1 метод. Освобождение от радикалов путем последовательного возведения обеих частей уравнения в соответствующую натуральную степень

Наиболее часто применяемым методом решения иррациональных уравнений является метод освобождения от радикалов путем последовательного возведения обеих частей уравнения в соответствующую натуральную степень. При этом следует иметь в виду, что при возведении обеих частей уравнения в нечетную степень полученное уравнение, эквивалентное исходному, а при возведении обеих частей уравнения в четную степень полученное уравнение будет, вообще говоря, неэквивалентным исходному уравнению. В этом легко убедиться, возведя обе части уравнения в любую четную степень. В результате этой операции получается уравнение , множество решений которого представляет собой объединение множеств решений: и . Однако, несмотря на этот недостаток, именно процедура возведения обеих частей уравнения в некоторую (часто четную) степень является самой распространенной процедурой сведения иррационального уравнения к рациональному уравнению.

, где — некоторые многочлены. В силу определения операции извлечения корня в множестве действительных чисел допустимые значения неизвестного определяются условиями . Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим уравнение .

После повторного возведения в квадрат уравнение превращается в алгебраическое уравнение .

Так как обе части 1 уравнения возводились в квадрат, может оказаться, что не все корни 2 уравнения будет являться решениями исходного уравнения, необходима проверка корней.

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим уравнение 5х + 1 = х -1, т. е. уравнение х2 – 7х = 0, являющееся следствием исходного уравнения. Найдем его корни: х1 = 0 и х2 = 7. Подставим найденные числа в исходное уравнение. Пусть х = 0. Тогда левая часть уравнения равна 1, а правая -1. Поскольку 1 ≠ -1, то х = 0 не является корнем исходного уравнения. Пусть х = 7. тогда исходное уравнение обращается в верное числовое тождество 6 = 6. поэтому х = 7 – единственный корень данного уравнения.

Возводя обе части уравнения в куб, получим

Учитывая, что получим уравнение, которое является следствием исходного:(Последнее уравнение может иметь корни, которые, вообще говоря, не являются корнями уравнения ).

Возводим обе части этого уравнения в куб: . Перепишем уравнение в виде х3 – х2 = 0 ↔ х1 = 0, х2 = 1. проверкой устанавливаем, что х1 = 0 – посторонний корень уравнения (-2 ≠ 1), а х2 = 1 удовлетворяет исходному уравнению.

2 метод. Замена смежной системой условий

При решении иррациональных уравнений, содержащих радикалы четного порядка, в ответах могут появится посторонние корни, выявить которые не всегда просто. Чтобы легче было выявить и отбросить посторонние корни, в ходе решений иррациональных уравнений его сразу же заменяют смежной системой условий. Дополнительные неравенства в системе фактически учитывают ОДЗ решаемого уравнения. Можно находить ОДЗ отдельно и учитывать его позднее, однако предпочтительнее применять именно смешанные системы условий: меньше опасность что-то забыть, не учесть в процессе решения уравнения. Поэтому в некоторых случаях рациональнее использовать способ перехода к смешанным системам.

Решить уравнение:

Данное уравнение равносильно системе

Ответ: — единственный корень уравнения.

Решить уравнение:

Данное уравнение равносильно системе

Ответ: уравнение решений не имеет.

3 метод. Использование свойств корня n-ой степени

При решении иррациональных уравнений используются свойства корня n-ой степени. Арифметическим корнем n-й степени из числа а называют неотрицательное число, n-я степень числа которого равна а. Если n – четное(2n), то а ≥ 0, в противном случае корень не существует. Если n – нечетное(2n+1), то а – любое и = — . Функции являются возрастающими.

Свойства корня n-й степени для любого натурального n: Пусть f и g — некоторые функции, Тогда:

Применяя любую из этих формул, формально (без учета указанных ограничений), следует иметь ввиду, что ОДЗ левой и правой частей каждой из них могут быть различными. Например, выражение определено при f ≥ 0 и g ≥ 0, а выражение — как при f ≥ 0 и g ≥ 0, так и при f ≤ 0 и g ≤ 0.

Для каждой из формул 1-5 (без учета указанных ограничений) ОДЗ правой ее части может быть шире ОДЗ левой. Отсюда следует, что преобразования уравнения с формальным использованием формул 1-5 «слева — направо» (как они написаны) приводят к уравнению, являющемуся следствием исходного. В этом случае могут появится посторонние корни исходного уравнения, поэтому обязательным этапом в решении исходного уравнения является проверка.

Преобразования уравнений с формальным использованием формул 1-5 «справа – налево» недопустимы, так как возможно суждение ОДЗ исходного уравнения, а следовательно, и потеря корней.

Решить иррациональное уравнение:

Используя формулы 4 и 5, получим уравнение,

являющееся следствием исходного. Решение этого уравнения сводится к решению совокупности уравнений .

Из первого уравнения этой совокупности находим . Из второго следует, что откуда находим . Таким образом корнями данного уравнения могут быть только числа (-1) и (-2). Проверка показывает, что оба найденных корня удовлетворяют данному уравнению.

Решите уравнение: .

Решение: на основании тождеств первое слагаемое заменить на . Заметить, что как сумма двух неотрицательных чисел левой части. «Снять» модуль и после приведения подобных членов решить уравнение. Так как , то получаем уравнение . Так как и , то и . Поэтому и, значит, . Так как , то и поэтому

4 метод. Введения новых переменных

Другим примером решения иррациональных уравнений является способ введения новых переменных, относительно которых получается либо более простое иррациональное уравнение, либо рациональное уравнение.

Решение иррациональных уравнений путем замены уравнения его следствием (с последующей проверкой корней) можно проводить следующим образом:

1. Найти ОДЗ исходного уравнения.

2. Перейти от уравнения к его следствию.

3. Найти корни полученного уравнения.

4. Проверить, являются ли найденные корни корнями исходного уравнения.

Проверка состоит в следующем:

А) проверяется принадлежность каждого найденного корня ОДЗ исходного уравнения. Те корни, которые не принадлежат ОДЗ, являются посторонними для исходного уравнения.

Б) для каждого корня, входящего в ОДЗ исходного уравнения, проверяется, имеют ли одинаковые знаки левая и правая части каждого из уравнений, возникающих в процессе решения исходного уравнения и возводимых в четную степень. Те корни, для которых части какого-либо возводимого в четную степень уравнения имеют разные знаки, являются посторонними для исходного уравнения.

В) только те корни, которые принадлежат ОДЗ исходного уравнения и для которых обе части каждого из уравнений, возникающих в процессе решения исходного уравнения и возводимых в четную степень, имеют одинаковые знаки, проверяются непосредственной подстановкой в исходное уравнение.

Такой метод решения с указанным способом проверки позволяет избежать громоздких вычислений в случае непосредственной подстановки каждого из найденных корней последнего уравнения в исходное.

Решить иррациональное уравнение:

Множество допустимых значений этого уравнения:

Положив , после подстановки получим уравнение

или эквивалентное ему уравнение

которое можно рассматривать как квадратное уравнение относительно. Решая это уравнение, получим

Следовательно, множество решений исходного иррационального уравнения представляет собой объединение множеств решений следующих двух уравнений:

, .

Возведя обе части каждого из этих уравнений в куб, получим два рациональных алгебраических уравнения:

, .

Решая эти уравнения, находим, что данное иррациональное уравнение имеет единственный корень х = 2 (проверка не требуется, так как все преобразования равносильны).

Решить иррациональное уравнение:

Обозначим 2×2 + 5x – 2 = t. Тогда исходное уравнение примет вид . Возведя обе части полученного уравнения в квадрат и приведя подобные члены, получим уравнение , являющееся следствием предыдущего. Из него находим t = 16.

Возвращаясь к неизвестному х, получим уравнение 2×2 + 5x – 2 = 16, являющееся следствием исходного. Проверкой убеждаемся, что его корни х1 = 2 и х2 = — 9/2 являются корнями исходного уравнения.

Ответ: х1 = 2, х2 = -9/2.

5 метод. Тождественное преобразование уравнения

При решении иррациональных уравнений не следует начинать решение уравнение с возведения обеих частей уравнений в натуральную степень, пытаясь свести решение иррационального уравнения к решению рационального алгебраического уравнения. Сначала необходимо посмотреть, нельзя ли сделать какое-нибудь тождественное преобразование уравнения, которое может существенно упростить его решение.

Множество допустимых значений данного уравнения:. Сделаем следующие преобразования данного уравнения:

Разделим данное уравнение на .

Далее, записывая уравнение в виде

, получим:

При а =0 уравнение решений иметь не будет; при уравнение может быть записано в виде

;

при данное уравнение решений не имеет, так как при любом х, принадлежащем множеству допустимых значений уравнения, выражение, стоящее в левой части уравнения, положительно;

при уравнение имеет решение

Принимая во внимание, что множество допустимых решений уравнения определяется условием , получаем окончательно:

При решением этого иррационального уравнения будет .

При всех остальных значениях х уравнение решений не имеет, т. е. множество его решений – пустое множество.

Ответ: При решением уравнения будет . При всех остальных значениях х уравнение решений не имеет.

Решить иррациональное уравнение: .

Решим данное уравнение с помощью тождественных преобразований:

Решение квадратного уравнения системы дает два корня: х1 = 1 и х2 = 4. первый из полученных корней не удовлетворяет неравенству системы, поэтому х = 4.

1) Проведение тождественных преобразований позволяет обходиться без проверки.

2) Неравенство х – 3 ≥0 относится к тождественным преобразованиям, а не к области определения уравнения.

3) В левой части уравнения стоит убывающая функция, а в правой части этого уравнения расположена возрастающая функция. Графики убывающей и возрастающей функций в пересечении их областей определения могут иметь не больше одной общей точки. Очевидно, что в нашем случае х = 4 является абсциссой точки пересечения графиков.

6 метод. Использование области определения функций при решении уравнений

Этот метод наиболее результативен при решении уравнений, в состав которых входят функции в этом случае нужно перенести все члены уравнения в левую часть, рассмотреть функцию и найти ее область определения (f). При этом если Ø, то уравнение решений не имеет, если , то действительные решения данного уравнения находятся среди чисел ; необходимо проверить, какие из них являются решениями данного уравнения; если , то нужно проверить верно ли уравнение на концах промежутка, причем, если а 0, то необходима проверка на промежутках (а;0) и [0;b).

Решить иррациональное уравнение:

Найдем область определения уравнения:

Возведем обе части уравнения в квадрат:

Повторное возведение в квадрат дает: Корни квадратного уравнения . Заметим, что решение исходного уравнения дает два корня, входящих в область определения. Проверка из-за громоздкости корней оказывается гораздо сложнее нахождения самих корней уравнения. Вместе с тем в левой части решаемого уравнения стоит сумма двух возрастающих функций, т. е. функция возрастающая. Она может принимать х ≥ 0,5 значение, равное 4, единственный раз, поскольку при ч = 0,5 левая часть уравнения имеет значение , а с ростом х значение функции возрастает. Очевидно, что х1 не является корней уравнения, так как первый радикал левой части уравнения уже больше 10, а второй радикал положителен.

Ответ:

Решить иррациональное уравнение:

. Рассмотрим функцию и найдем ее область определения D(f): .

Проверим, являются ли эти значения корнями данного уравнения: если х = 1, то и равенство неверно, х = 1 не является корнем уравнения; если, то является корнем данного уравнения.

7 метод. Использование области значений функций при решении уравнений (метод оценки)

Наиболее результативным данный метод является при решении уравнений, в состав которых входят функции, области значений которых ограничены, а именно: .

При каких значениях а уравнение имеет хотя бы один корень.

Рассмотрим функции

Так как , то данное уравнение равносильно системе

Решая первое уравнение системы, получим

Подставим найденное решение во второе уравнение системы

Отсюда следует, что при , данная система уравнений, а значит, и данное уравнение имеет хотя бы один корен.

Ответ: х =

Найдите наименьшее целое значение функции.

Выражаем подкоренное выражение через cos2 x: Находим множество значений подкоренного выражения: так как cos2 x принимает все значения от 0 до 1, то принимает все значения от 1 до 4. Находим множество Е(у) значений функции и выбираем из него наименьшее целое число: принимает все значения от 1 до 2, и Е(у) = [2.5;5]. Наименьшее целое число в Е(у) равно 3.

8 метод. Применение производной при решении иррациональных уравнений

Чаще всего при решении уравнений с помощью метода применения производной используется метод оценки.

Решите уравнение: (1)

Решение: Так как , уравнение (1) можно преобразовать к виду , или (2). Рассмотрим функцию . Это нечетная функция, так как . Поэтому уравнение (2) можно последовательно преобразовать так как: , так как — нечетная функция. Далее, при всех и, следовательно, возрастает. Поэтому уравнение равносильно уравнению , имеющему корень , являющимся корнем исходного уравнения.

Ответ:

Решить иррациональное уравнение:

Область определения функции есть отрезок [2;4]. Найдем наибольшее и наименьшее значение значения этой функции на отрезке [2;4]. Для этого найдем производную функции f(x):

Значение производной обращается в 0 при . Найдем значения функции f(x) на концах отрезка [2;4] и в точке : Значит, Но и, следовательно, равенство возможно лишь при условии откуда . Проверка показывает, что число 3 – корень данного уравнения.

9 метод. Функциональный

На экзаменах иногда предлагают решить уравнения, которые можно записать в виде , где — это некоторая функция.

Например, некоторые уравнения: 1) 2) . Действительно, в первом случае , во втором случае . Поэтому решать иррациональные уравнения с помощью следующего утверждения: если функция строго возрастает на множестве Х и для любого , то уравнения и т. д. равносильны на множестве Х .

Решить иррациональное уравнение: (1)

Функция строго возрастает на множестве R, и для любого . Тогда на основании вышеизложенного утверждения уравнение (1) равносильно уравнению А это уравнение, в сою очередь, равносильно уравнению которое имеет единственный корень Следовательно, и равносильное ему уравнение (1) также имеет единственный корень

Решить иррациональное уравнение: (1)

В силу определения квадратного корня получаем, что если уравнение (1) имеет корни, то они принадлежат множеству Поэтому далее будем рассматривать уравнение (1) на этом множестве. На нем уравнение (1) можно переписать в виде

. (2)

Рассмотрим функцию на множестве Х. Ясно, что строго возрастает на этом множестве для любого . Уравнение (2) можно записать в виде , поэтому на основании известного уже нам утверждения уравнение (2) равносильно на множестве Х уравнению которое имеет единственный корень Следовательно, и равносильное ему на множестве Х уравнение (1) имеет единственный корень

Ответ:

10 метод. Графический

При решении иррациональных уравнений иногда полезно рассмотреть эскиз графиков их правой и левой частей в одной и той же системе координат. Тогда этот эскиз графиков поможет выяснить, на какие множества надо разбить числовую ось, чтобы на каждом из них решение уравнения было очевидно.

При каких значениях a найдутся вещественные x и y, удовлетворяющие уравнению

Решение: Данное уравнение равносильно смешанной системе

Длина отрезка PK равна поэтому окружность, заданная уравнением, и полуплоскость, заданная неравенством, имеют общие точки, если радиус окружности, равный будет больше или равен OP, т. е. . Отсюда найдем a,

Ответ:

Решить графически уравнение:

Для графического решения, преобразуем уравнение к виду:

Теперь ясно, что надо построить графики функций и .

Графиком функции является ветвь параболы, направленная.

влево вдоль оси OX, с вершиной в точке (25; 0).

Построение графика функции можно выполнить в несколько этапов:

1) построить график функции , которым является ветвь параболы, направленная вдоль оси OX вправо, лежащая выше оси OX, с вершиной в точке ;

2) эту ветвь надо перенести параллельно самой себе вдоль оси OY на 2 единицы вниз, тогда получим график функции ;

3) полученную кривую, надо симметрично отразить в оси OX, тогда получится график функции . Графики не имеют точек пересечения, значит, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

1.1 Решение иррациональных уравнений части С

Для решения иррациональных уравнений , т. е. уравнений части С Единого Государственного Экзамена нужно использовать несколько методов сразу.

Решите уравнение:

Решение: Если

Ответ: , , .

Найдите наименьшее целое значение функции .

Решение: . Так как принимает все значения от 0 до 1, то принимает все значения от 1 до 4. Значит, принимает все значения от 1 до 2, и . Наименьшее целое число в равно 3.

Найдите множество значений функции: .

Решение: Так как .

Поэтому .

Так как — убывающая и непрерывная функция, то и.

Следовательно,

Ответ:

При каком целом положительном х значение выражения

ближе всего к -0,7?

1) Преобразовываем выражение к максимально простому виду (к функции y = y(x)).

2) Функцию y = y(x) исследовать на монотонность и найти целые положительные числа, ближайшие к корню уравнения y(x) = -0,7.

3) Произвести отбор среди найденных целых положительных чисел.

1) ОДЗ выражения есть множество По условию х > 0, поэтому можно считать, что При х = 5 знаменатель второго сомножителя обращается в нуль. Значит, x > 5.