Про уравнения - легко » Статьи

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

Обновлено
Содержание
  1. Метод рационализации. Часть 2
  2. Неравенства. Метод замены множителя (метод рационализации)
  3. 40. Алгебра Читать 0 мин.
  4. 40.691. Метод рационализации
  5. 📹 Видео

Видео:✓ Метод рационализации | Ботай со мной #014 | Борис ТрушинСкачать

✓ Метод рационализации | Ботай со мной #014 | Борис Трушин

Метод рационализации. Часть 2

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений Метод рационализации позволяет перейти от неравенства, содержащего сложные показательные, логарифмические и т.п. выражения, к равносильному ему более простому рациональному неравенству.

Хотите постичь суть метода рационализации, – придется разбираться с этим примером + показать

Давайте вспомним, как мы решали неравенство Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений0″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»20″ width=»159″ style=»vertical-align: -5px;»/> до знакомства с методом интервалов. Мы заменяли исходное неравенство совокупностью двух систем:

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений0,& &x-5>0; end &begin x+6

То есть неравенство Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений0″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»20″ width=»159″ style=»vertical-align: -5px;»/> и последняя совокупность – равносильны между собой.

Также, мы могли бы, имея в руках совокупность

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений0,& &x-5>0; end &begin x+6

заменить ее неравенством Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений0″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»20″ width=»159″ style=»vertical-align: -5px;»/>, которое в два счета решается методом интервалов

Мы вплотную подошли к методу рационализации в логарифмических неравенствах.

Метод рационализации в логарифмических неравенствах

Можно и видео посмотреть.

Здесь нет краткого решения неравенства методом рационализации, здесь подводка к методу, суть + показать

Рассмотрим неравенство Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений.

Представляем 4 в виде логарифма:

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений.

Мы имеем дело с переменным основанием у логарифма, поэтому, в зависимости от того, больше 1 или меньше 1 основание логарифма (то есть с возрастающей или убывающей функцией мы имеем дело), знак неравенства сохранится или поменяется на «Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений». Поэтому возникает совокупность (объединение) двух систем:

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений1,& &(x^2-4x)^2leq(x-3)^4; end &begin x-3

Но, ВНИМАНИЕ, эта система должна решаться с учетом ОДЗ! Я специально не стала нагружать систему ОДЗ, чтобы не затерялась главная мысль.

Смотрите, вот мы сейчас перепишем нашу систему так (перенесем в каждой строке неравенства все в левую сторону):

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений0,& &(x^2-4x)^2-(x-3)^4leq 0; end &begin x-3-1

Вам это ничто не напоминает? По аналогии с “Важно!” (см. выше) мы данную совокупность систем заменим неравенством:

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений.

Решив данное неравенство на ОДЗ мы и получим решение неравенства Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений.

Найдем сначала ОДЗ исходного неравенства (ОДЗ для логарифмов смотрим здесь):

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений0,& &x-3neq 1, & &(x^2-4x)^2>0; end» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»84″ width=»146″ style=»vertical-align: -37px;»/>

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

Решение последнего неравенства с учетом ОДЗ:

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

Ответ: Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

Метод рационализации в показательных неравенствах

Решим неравенство Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений.

Решение исходного неравенства равносильно решению неравенства

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений.

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

Ответ: Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений.

Метод рационализации в неравенствах, содержащих модуль

Работая с неравенствами типа Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений, где Метод рационализации при решении тригонометрических уравненийфункции от некоторой переменной, можем руководствоваться следующими равносильными переходами:

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

Решим неравенство Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

Перейдем к равносильному неравенству:

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

Ответ: Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений.

Здесь предлагаю посмотреть краткую сводку-таблицу к теме “Рационализация неравенств”.

А здесь предлагаю еще рассмотреть несколько примеров по теме “Рационализация неравенств”.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Метод рационализации при решении неравенств | ЕГЭ по профильной математике | Эйджей из ВебиумаСкачать

Метод рационализации при решении неравенств | ЕГЭ по профильной математике | Эйджей из Вебиума

Неравенства. Метод замены множителя (метод рационализации)

Полезный прием для решения сложных неравенств на ЕГЭ по математике – метод рационализации неравенства. Другое название — метод замены множителя. Это один из тех секретов, о которых ученику рассказывает репетитор. В учебниках о таком не написано.

Суть метода в том, чтобы от неравенства, содержащего в качестве множителей сложные показательные или логарифмические выражения, перейти к равносильному ему более простому рациональному неравенству.

Давайте для начала вспомним, что такое равносильные уравнения (или неравенства) В школьной программе этот важный вопрос почти не обсуждается. Поэтому запишем определение.

Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают.

Заметим, что внешне уравнения могут быть и не похожи друг на друга.

Например, уравнения ( x − 3) 2 = 0 и x − 3 = 0 равносильны. Число 3 является единственным решением и того, и другого.

Уравнения Метод рационализации при решении тригонометрических уравненийи Метод рационализации при решении тригонометрических уравненийтакже равносильны. Оба они не имеют решений. Другими словами, множество решений каждого из них – пусто.

Уравнения Метод рационализации при решении тригонометрических уравненийи Метод рационализации при решении тригонометрических уравненийне являются равносильными. Решением первого уравнения является только x = 5. Решения второго – два числа: x = 5 и x = 1. Получается, что возведение обеих частей уравнения в квадрат в общем случае приводит к уравнению, неравносильному исходному.

Аналогичное определение – для неравенств.

Равносильными называются неравенства, множества решений которых совпадают.
Например, неравенства 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(x-1)(x-3)%3E0″ /> и 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?%5Cfrac%3Cx-1%3E%3Cx-3%3E%3E0″ /> равносильны – ведь множества их решений совпадают. В этом легко убедиться с помощью метода интервалов.

Неравенства log_5″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?log_%3C2%3Ex%3Elog_%3C2%3E5″ /> и 5″ src=»https://latex.codecogs.com/gif.latex?x%3E&space;5″ /> также равносильны при 0″ src=»https://latex.codecogs.com/gif.latex?x%3E&space;0″ />. Заметим, что внешне эти неравенства не похожи – одно из них логарифмическое, другое алгебраическое.

Другими словами, при x > 0 неравенства 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?log_%3C2%3Ex-log_%3C2%3E5%3E0″ /> и 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?x-5%3E0″ /> имеют одинаковые решения. Если какое-либо число x > 0 является решением одного из них, то оно будет и решением второго.

А это значит, что при любом x > 0 выражение Метод рационализации при решении тригонометрических уравненийбудет иметь такой же знак, как и выражение x − 5. Следовательно, если в какое-либо сложное неравенство входит в качестве множителя выражение Метод рационализации при решении тригонометрических уравненийто при выполнении условия x > 0 его можно заменить на более простое x − 5 и получить неравенство, равносильное исходному.

Вот ключевой момент. На этом и основан метод рационализации – замены множителей, содержащих сложные логарифмические или показательные выражения, на более простые алгебраические множители.

Например, выражение вида Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений, где f и g – функции от x, a – число, можно заменить на более простое ( f − g) ( a − 1) – конечно, при условии, что f(x) > 0 и g(x) > 0. Доказательство легко провести самостоятельно.

А сейчас – самое главное: волшебная таблица, позволяющая заменять сложные логарифмические (или показательные) множители в неравенствах на более простые. Эта таблица является ключом к задаче С3. Вот увидите, она выручит вас на ЕГЭ по математике:

Сложный множительНа что заменить
log h f − log h g( h − 1) ( f − g)
log h f − 1( h − 1) ( f − h)
log h f( h − 1) ( f − 1)
h f − h g( h − 1) ( f − g)
h f − 1( h − 1) · f
f h − g h( f − g) · h
f, g — функции от x.
h — функция или число.

Конечно же, все выражения, которые содержат логарифмы, существуют при f, g, h > 0 и h ≠ 1.

Когда на ЕГЭ по математике вы применяете метод рационализации (замены множителя), — обязательно поясните, что вы им воспользовались. И не забудьте доказать соответствующую формулу. Иначе можно потерять балл.

Обратите внимание, что мы говорим о замене множителя в неравенствах вида Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений Знак здесь может быть любой: >, ≥, ≤. Правая часть обязательно должна быть равна нулю. И заменяем мы именно множитель (а не слагаемое, например). Иначе ничего не получится.

Перейдем к практике – к решению задач из вариантов ЕГЭ по математике Профильного уровня.

1. Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

ОДЗ неравенства: Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

Применим метод рационализации. В соответствии с нашей таблицей, множитель Метод рационализации при решении тригонометрических уравненийзаменим на (2 − x − 1)( x + 2 − 1). Множитель вида Метод рационализации при решении тригонометрических уравненийзаменим на ( x + 3 − 1)(3 − x − 1). Таким образом, от логарифмического неравенства мы перешли к рациональному:

Решим его методом интервалов:

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

Ответ: Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

2. Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

Заметим, что выражение Метод рационализации при решении тригонометрических уравненийположительно при x ∈ ОДЗ. Умножим обе части неравенства на это выражение.
Упростим числитель правой части неравенства:

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений
Поделим обе части неравенства на 5 x > 0:

Метод рационализации при решении тригонометрических уравненийНеравенство уже намного проще, чем исходное. Но основания степеней разные! Чтобы применить метод рационализации, нам придется представить 2 x − 1 в виде степени с основанием 3.

Метод рационализации при решении тригонометрических уравненийНеравенство примет вид:

Метод рационализации при решении тригонометрических уравненийВоспользуемся методом замены множителя. Множитель вида h f −h g можно заменить на ( h − 1) ( f − g). Да и логарифм в знаменателе можно заменить на выражение x + 1.

Метод рационализации при решении тригонометрических уравненийОценим Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений. Это необходимо сделать, чтобы правильно расставить точки на числовой прямой.

Метод рационализации при решении тригонометрических уравненийМетод рационализации при решении тригонометрических уравненийМетод рационализации при решении тригонометрических уравненийМетод рационализации при решении тригонометрических уравненийОтвет: Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

3. Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

Постараемся упростить это неравенство. Область допустимых значений

0;\ x+1neq 0. endright.» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?%5Cleft%5C%3C%5Cbegin%3Cmatrix%3E&space;x%3E0;%5C%5C&space;x+1%5Cneq&space;0.&space;%5Cend%3Cmatrix%3E%5Cright.» />Отсюда следует, что x > 0. Это хорошо, потому что при данных значениях x выражение x + 1 строго положительно, следовательно, мы можем умножить на него обе части неравенства. Да и на x 2 тоже можно умножить обе части неравенства, и тогда оно станет проще

Метод рационализации при решении тригонометрических уравненийПреобразуем числители выражений в левой и правой части и сделаем замену log2 x = t

Метод рационализации при решении тригонометрических уравненийТеперь обе части неравенства можно сократить на 5 t > 0.

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений
Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

Поскольку Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений, выражение 2 t−1 можно записать как 3 ( t−1)·log32

Метод рационализации при решении тригонометрических уравненийМетод рационализации при решении тригонометрических уравненийМетод рационализации при решении тригонометрических уравненийМетод рационализации при решении тригонометрических уравненийМетод рационализации при решении тригонометрических уравненийЗаметим, что log32 − 2 t. Решим его:

Метод рационализации при решении тригонометрических уравненийИтак, t ≥ 1 или t ≤ log32 − 2.
Вернемся к переменной x:

Метод рационализации при решении тригонометрических уравненийили Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

Ответ: Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

4. Еще одна задача из той же серии.

Метод рационализации при решении тригонометрических уравненийЗапишем ОДЗ:

Метод рационализации при решении тригонометрических уравненийУмножим обе части неравенства на 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?log%5E%3C2%3E_%3C2%3E32x%3E0″ />. Постараемся упростить числители выражений в левой и правой части.

Метод рационализации при решении тригонометрических уравненийПоделим обе части неравенства на 0.» src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?2%5E%3Clog_%3C2%3E(4x)%3E%3E0.» />

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

Метод рационализации при решении тригонометрических уравненийХорошо бы сделать замену. Пусть log2(4 x) = t. Тогда:

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

Метод рационализации при решении тригонометрических уравненийНеравенство примет вид:

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений
Мы уже знаем, как представить число 7 в виде степени числа 2: Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

Метод рационализации при решении тригонометрических уравненийПрименим метод рационализации.

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

Оценим Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

Применим в левой части неравенства формулу перехода к другому основанию

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

Метод рационализации при решении тригонометрических уравненийПоследовательно применим метод замены множителя, то есть метод рационализации.
Напомним, что множитель log h f можно заменить на ( h-1)( f-1), а множитель (log h f — 1) — на ( h — 1)( f — h).

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

Поскольку 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?(x+5)%5E%3C2%3E%3E0″ /> при x ∈ ОДЗ, а 0″ src=»https://latex.codecogs.com/png.latex?2x%5E%3C2%3E+10x+14%3E0″ /> > 0 при всех x, получим:

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

Метод рационализации при решении тригонометрических уравненийОтвет: x ∈ (-5; -3]

Посмотрим, чем поможет метод замены множителя в решении сложного показательного неравенства.

6. Решите неравенство:

Числитель дроби в левой части — однородное выражение, где каждое слагаемое имеет степень 2х. Поделим обе части неравенства на

Поскольку , поделим обе части неравенства на

Применяя метод рационализации, множитель вида заменяем на

Остается решить неравенство методом интервалов. Но как сравнить и ?

Что больше? Давайте представим как логарифм с основанием

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

7. Теперь логарифмическое неравенство. Обратите внимание, что здесь лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов. И само неравенство, которое мы упрощаем, и область его допустимых значений мы записываем в одну систему. И решаем ее.

Мы объединили в систему и область допустимых значений, и само неравенство. Применим формулу логарифма частного, учитывая, что

Используем также условия

Обратите внимание, как мы применили формулу для логарифма степени. Строго говоря,

Согласно методу замены множителя, выражение заменим

Решить ее легко.

8. А теперь неравенство с ловушкой. Мы надеемся, что вы помните — нельзя извлекать корень из неравенства.

Извлекать корень из неравенства нельзя! Можно перенести все в левую часть неравенства и разложить на множители как разность квадратов:

Применим формулы разности и суммы логарифмов, следя за областью допустимых значений. Все выражения под логарифмами в исходном неравенстве должны быть положительны.

Посмотрим на второе и третье неравенства системы. Поскольку х+5 положительно, то и выражение должно быть положительно.

Заметим, что решения неравенства — это все числа, кроме

По методу рационализации, каждый из множителей вида заменяем на

Просто равносильные преобразования. Выражение положительно всегда — так как в уравнении дискриминант отрицателен. Осталось применить метод интервалов.

Видео:МЕТОД РАЦИОНАЛИЗАЦИИ в ЕГЭ 2024 (Математика Профиль)Скачать

МЕТОД РАЦИОНАЛИЗАЦИИ в ЕГЭ 2024 (Математика Профиль)

40. Алгебра Метод рационализации при решении тригонометрических уравненийЧитать 0 мин.

Видео:10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравнений

40.691. Метод рационализации

Метод рационализации — это процедура, позволяющая в определённых случаях упростить неравенство и свести его к рациональному неравенству (которое решается методом интервалов).

Позволяет перейти от выражения f к выражению $g$, сохранив все решения.

Метод рационализации для логарифмических неравенств

Выравнивание $f$Выравнивание $g$
$log_af vee log_ag$$(a — 1)(f — g)vee 0 $

Здесь мы сравниваем значения относительно друг друга и допускаем случай, когда одно значение больше, а другое меньше и наоборот. Один из способов сравнения двух величин – это вычесть из одного другое. Если разность будет больше нуля, значит, первое число было больше. В первой скобке мы вычитаем из основания единицу. Это значит, что мы сравниваем основание с 1. Во второй скобке мы из одного под логарифмического выражения вычитаем другое, т.е. снова сравниваем их.

Пример. Решите неравенство $log_(x+2) 0 \ x^2 > 0 \ x^2 neq 1 end leftrightarrow qquad begin x > -2 \ x neq 0 \ x neq pm 1 end $

Метод рационализации при решении тригонометрических уравнений

С учетом ОДЗ получаем решение неравенства: $x in (-2; -1) cup (-1; 0)cup(0;1)cup(2; +infty)$

Ответ: $x in (-2; -1) cup (-1; 0)cup(0;1)cup(2; +infty)$

Из рассмотренного метода рационализации вытекают следствия:

Выравнивание $f$Выравнивание $g$
$(log_af — log_ag)cdot h vee 0$$(f — g)cdot h vee 0 $
$(log_fa vee log_ga)$$(f — 1)(g-1)(a -1)(g -f) vee 0 $
$(log_hf cdot log_pq) vee 0$$(h — 1)(f-1)(p -1)(q -f) vee 0 $
$displaystylefrac vee 0$$displaystylefrac

vee 0$

$ begin 12x^2-41x+35 > 0, \ 2x^2-5x+3 > 0, \ 12x^2-41x+35 neq 1, \ 2x^2-5x+3 neq 1, \ 3 — x > 0 end leftrightarrow qquad begin (x — displaystylefrac)(x — frac) > 0, \ (x — 1)(x — displaystylefrac) > 0, \ 12x^2 — 41x + 35 neq 0, \ 2x^2 — 5x + 2 neq 0, \ -x > -3 end leftrightarrow qquad begin (x — displaystylefrac)(x — frac) > 0, \ (x — 1)(x — displaystylefrac) > 0, \ (x — displaystylefrac)(x — 2) neq 0, \ (x — 2)(x — displaystylefrac) neq 0, \ x |35 — x^2|$

Решение. Воспользуемся равносильным переходом:

$(x^2 — 13x + 35)^2 > (35 — x^2)^2, \ (x^2 — 13x+35-(35-x^2))(x^2-13x+35+(35-x^2))>0, \ (x^2-13x+35-35+x^2)(x^2-13x+35+35-x^2) > 0, \ (2x^2-13x)(-13x+70) > 0, \ -13x(2x-13)(x — displaystylefrac) > 0, \ 2x(x — displaystylefrac)(x — frac) 0, x neq 1$

📹 Видео

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

Метод рационализации-1Скачать

Метод рационализации-1

МЕТОД РАЦИОНАЛИЗАЦИИ в неравенствах 🔴Скачать

МЕТОД РАЦИОНАЛИЗАЦИИ в неравенствах 🔴

Метод рационализации за 1 минуту! #математикапрофиль2023 #егэ2023 #математика #школа #fypСкачать

Метод рационализации за 1 минуту! #математикапрофиль2023 #егэ2023 #математика #школа #fyp

Метод рационализации-4Скачать

Метод рационализации-4

Метод Рационализации ЗАПРЕТИЛИ??! Оформи Рационализацию ПРАВИЛЬНО!!Скачать

Метод Рационализации ЗАПРЕТИЛИ??! Оформи Рационализацию ПРАВИЛЬНО!!

Старт Щелчка. №14 Неравенства с нуля и до ЕГЭ за 5 часов | Логарифмы, степени для №5,6,12Скачать

Старт Щелчка. №14 Неравенства с нуля и до ЕГЭ за 5 часов | Логарифмы, степени для №5,6,12

✓ Метод рационализации в ЕГЭ | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 14. Математика | Борис ТрушинСкачать

✓ Метод рационализации в ЕГЭ | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 14. Математика | Борис Трушин

Показательные неравенства Часть 3 из 3 РационализацияСкачать

Показательные неравенства Часть 3 из 3 Рационализация

Решение тригонометрических уравнений. Метод вспомогательного угла. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических уравнений. Метод вспомогательного угла. 10 класс.

Метод рационализации запретили? Разоблачение. Как не получить 0 баллов за №15 на ЕГЭ 2021?Скачать

Метод рационализации запретили? Разоблачение. Как не получить 0 баллов за №15 на ЕГЭ 2021?

Метод рационализации. ЛогарифмыСкачать

Метод рационализации. Логарифмы

Неравенства 3. Логарифмические неравенства - метод рационализации. ЕГЭ №15Скачать

Неравенства 3. Логарифмические неравенства - метод рационализации. ЕГЭ №15

ГРОБ в №13 на ЕГЭ 2021 по математике. Метод вспомогательного угла. Тригонометрия и ФСУСкачать

ГРОБ в №13 на ЕГЭ 2021 по математике. Метод вспомогательного угла. Тригонометрия и ФСУ

Метод рационализации. Неравенства с модулямиСкачать

Метод рационализации. Неравенства с модулями

МЕТОД РАЦИОНАЛИЗАЦИИ // Можно и нужно ли его использовать на ЕГЭ?Скачать

МЕТОД РАЦИОНАЛИЗАЦИИ // Можно и нужно ли его использовать на ЕГЭ?
Поделиться или сохранить к себе: