Метод рационализации для уравнений с модулем (8 видео)

40. Алгебра Читать 0 мин.

Содержание

40.691. Метод рационализации
Метод рационализации. Часть 2
Метод рационализации при решении логарифмических неравенств с переменным основанием
📽️ Видео

Видео:✓ Метод рационализации | Ботай со мной #014 | Борис ТрушинСкачать

40.691. Метод рационализации

Метод рационализации — это процедура, позволяющая в определённых случаях упростить неравенство и свести его к рациональному неравенству (которое решается методом интервалов).

Позволяет перейти от выражения f к выражению $g$, сохранив все решения.

Метод рационализации для логарифмических неравенств

Выравнивание $f$	Выравнивание $g$
$log_af vee log_ag$	$(a — 1)(f — g)vee 0 $

Здесь мы сравниваем значения относительно друг друга и допускаем случай, когда одно значение больше, а другое меньше и наоборот. Один из способов сравнения двух величин – это вычесть из одного другое. Если разность будет больше нуля, значит, первое число было больше. В первой скобке мы вычитаем из основания единицу. Это значит, что мы сравниваем основание с 1. Во второй скобке мы из одного под логарифмического выражения вычитаем другое, т.е. снова сравниваем их.

Пример. Решите неравенство $log_(x+2) 0 \ x^2 > 0 \ x^2 neq 1 end leftrightarrow qquad begin x > -2 \ x neq 0 \ x neq pm 1 end $

С учетом ОДЗ получаем решение неравенства: $x in (-2; -1) cup (-1; 0)cup(0;1)cup(2; +infty)$

Ответ: $x in (-2; -1) cup (-1; 0)cup(0;1)cup(2; +infty)$

Из рассмотренного метода рационализации вытекают следствия:

Выравнивание $f$	Выравнивание $g$
$(log_af — log_ag)cdot h vee 0$	$(f — g)cdot h vee 0 $
$(log_fa vee log_ga)$	$(f — 1)(g-1)(a -1)(g -f) vee 0 $
$(log_hf cdot log_pq) vee 0$	$(h — 1)(f-1)(p -1)(q -f) vee 0 $
$displaystylefrac vee 0$	$displaystylefrac vee 0$

$ begin 12x^2-41x+35 > 0, \ 2x^2-5x+3 > 0, \ 12x^2-41x+35 neq 1, \ 2x^2-5x+3 neq 1, \ 3 — x > 0 end leftrightarrow qquad begin (x — displaystylefrac)(x — frac) > 0, \ (x — 1)(x — displaystylefrac) > 0, \ 12x^2 — 41x + 35 neq 0, \ 2x^2 — 5x + 2 neq 0, \ -x > -3 end leftrightarrow qquad begin (x — displaystylefrac)(x — frac) > 0, \ (x — 1)(x — displaystylefrac) > 0, \ (x — displaystylefrac)(x — 2) neq 0, \ (x — 2)(x — displaystylefrac) neq 0, \ x |35 — x^2|$

Решение. Воспользуемся равносильным переходом:

$(x^2 — 13x + 35)^2 > (35 — x^2)^2, \ (x^2 — 13x+35-(35-x^2))(x^2-13x+35+(35-x^2))>0, \ (x^2-13x+35-35+x^2)(x^2-13x+35+35-x^2) > 0, \ (2x^2-13x)(-13x+70) > 0, \ -13x(2x-13)(x — displaystylefrac) > 0, \ 2x(x — displaystylefrac)(x — frac) 0, x neq 1$

Видео:Метод рационализации. Неравенства с модулямиСкачать

Метод рационализации. Часть 2

Метод рационализации позволяет перейти от неравенства, содержащего сложные показательные, логарифмические и т.п. выражения, к равносильному ему более простому рациональному неравенству.

Хотите постичь суть метода рационализации, – придется разбираться с этим примером + показать

Давайте вспомним, как мы решали неравенство 0″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»20″ width=»159″ style=»vertical-align: -5px;»/> до знакомства с методом интервалов. Мы заменяли исходное неравенство совокупностью двух систем:

0,& &x-5>0; end &begin x+6

То есть неравенство 0″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»20″ width=»159″ style=»vertical-align: -5px;»/> и последняя совокупность – равносильны между собой.

Также, мы могли бы, имея в руках совокупность

0,& &x-5>0; end &begin x+6

заменить ее неравенством 0″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»20″ width=»159″ style=»vertical-align: -5px;»/>, которое в два счета решается методом интервалов

Мы вплотную подошли к методу рационализации в логарифмических неравенствах.

Метод рационализации в логарифмических неравенствах

Можно и видео посмотреть.

Здесь нет краткого решения неравенства методом рационализации, здесь подводка к методу, суть + показать

Рассмотрим неравенство .

Представляем 4 в виде логарифма:

Мы имеем дело с переменным основанием у логарифма, поэтому, в зависимости от того, больше 1 или меньше 1 основание логарифма (то есть с возрастающей или убывающей функцией мы имеем дело), знак неравенства сохранится или поменяется на «». Поэтому возникает совокупность (объединение) двух систем:

1,& &(x^2-4x)^2leq(x-3)^4; end &begin x-3

Но, ВНИМАНИЕ, эта система должна решаться с учетом ОДЗ! Я специально не стала нагружать систему ОДЗ, чтобы не затерялась главная мысль.

Смотрите, вот мы сейчас перепишем нашу систему так (перенесем в каждой строке неравенства все в левую сторону):

0,& &(x^2-4x)^2-(x-3)^4leq 0; end &begin x-3-1

Вам это ничто не напоминает? По аналогии с “Важно!” (см. выше) мы данную совокупность систем заменим неравенством:

Решив данное неравенство на ОДЗ мы и получим решение неравенства .

Найдем сначала ОДЗ исходного неравенства (ОДЗ для логарифмов смотрим здесь):

0,& &x-3neq 1, & &(x^2-4x)^2>0; end» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»84″ width=»146″ style=»vertical-align: -37px;»/>

Решение последнего неравенства с учетом ОДЗ:

Ответ:

Метод рационализации в показательных неравенствах

Решим неравенство .

Решение исходного неравенства равносильно решению неравенства

Ответ: .

Метод рационализации в неравенствах, содержащих модуль

Работая с неравенствами типа , где функции от некоторой переменной, можем руководствоваться следующими равносильными переходами:

Решим неравенство

Перейдем к равносильному неравенству:

Ответ: .

Здесь предлагаю посмотреть краткую сводку-таблицу к теме “Рационализация неравенств”.

А здесь предлагаю еще рассмотреть несколько примеров по теме “Рационализация неравенств”.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Неравенства с модулем | Математика | TutorOnlineСкачать

Метод рационализации при решении логарифмических неравенств с переменным основанием

Разделы: Математика

Практика проверки экзаменационных работ показывает, что наибольшую сложность для школьников представляет решение трансцендентных неравенств, особенно, логарифмических неравенств с переменным основанием. Поэтому предлагаемый вашему вниманию конспект урока представляет изложение метода рационализации (другие названия – метод декомпозиции (Моденов В.П.), метод замены множителей (Голубев В.И.)), позволяющего свести сложные логарифмические, показательные, комбинированные неравенства к системе более простых рациональных неравенств. Как правило, метод интервалов применительно к рациональным неравенствам к моменту изучения темы «Решение логарифмических неравенств» хорошо усвоен и отработан. Поэтому учащиеся с большим интересом и энтузиазмом воспринимают те методы, которые позволяют им упростить решение, сделать его короче и, в конечном итоге, сэкономить время на ЕГЭ для решения других заданий.

Цели урока:

Образовательная: актуализация опорных знаний при решении логарифмических неравенств; введение нового способа решения неравенств; совершенствование навыков решения
Развивающая: развитие математического кругозора, математической речи, аналитического мышления
Воспитательная: воспитание аккуратности и самоконтроля.

1. Организационный момент. Приветствие. Постановка целей урока.

2. Подготовительный этап:

3. Проверка домашнего задания (№11.81*а[1])

При решении неравенства

Вам пришлось воспользоваться следующей схемой решения логарифмических неравенств с переменным основанием:

Т.е. надо рассмотреть 2 случая: основание больше 1 или основание меньше 1.

4. Объяснение нового материала

Если посмотреть на эти формулы внимательно, то можно заметить, что знак разности g(x) – h(x) совпадает со знаком разности log_f(x)g(x) – log_f(x)h(x) в случае возрастающей функции (f(x) > 1, т.е. f(x) – 1 > 0) и противоположен знаку разности log_f(x)g(x) – log_f(x)h(x) в случае убывающей функции (0 4.03.2014