Метод простых итераций решения трансцендентных уравнений

Видео:Метод простой итерации Пример РешенияСкачать

Метод итераций

Правила ввода функции

2. Примеры
   ≡ x^2/(1+x)
   cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
   ≡ x+(x-1)^(2/3)

На рис.1а, 1б в окрестности корня |φ′(x)| 1, то процесс итерации может быть расходящимся (см. рис.2).

Видео:Решение нелинейного уравнения методом простых итераций (программа)Скачать

Достаточные условия сходимости метода итерации

Процесс нахождения нулей функции методом итераций состоит из следующих этапов:

1. Получить шаблон с омощью этого сервиса.
2. Уточнить интервалы в ячейках B2 , B3 .
3. Копировать строки итераций до требуемой точности (столбец D ).

Примечание: столбец A — номер итерации, столбец B — корень уравнения X , столбец C — значение функции F(X) , столбец D — точность eps .

Видео:Метод простых итераций пример решения нелинейных уравненийСкачать

Решение трансцендентных уравнений методом простых итераций

Исходное уравнение (3.1) преобразуем к эквивалентному уравнению:

x = (x).

(3.8)

Пусть известно начальное приближение (полученное, например, на этапе отделения корней): x = x ₀. Подставим его в правую часть (3.8) и получим новое приближение: x₁ = (x₀). Повторяя эту процедуру, будем иметь в общем виде на некотором k-м шаге:

x_k = (x_k-1) .

В качестве условия окончания вычислительного процесса можно взять выполнение неравенства: ½x_k — x_k-1½ * — истинное, искомое значение корня; x₀ — начальное приближение к корню; x₁, x₂, x₃ — оче­редные итерации.

Рис.3.8.

Рис.3.9.

При испо­ль­зовании этого метода возникает вопрос о его сходимос­ти. Дело в том, что при некоторых условиях расстояние между истинным корнем и прибли­жениями к нему может возрастать с каждой новой итерацией, как это показано на рис.3.10, 3.11.

Рис.3.10.

Рис.3.11.

Условием сходимости метода простых итераций является выполнение в окрестности искомого корня неравенства:

½ (x)½ . F(x) = 0

Þ

C . F(x) + x = x

(3.15)

Здесь C — некоторый параметр, выбираемый из условия сходимости процесса.

При использовании преобразования (3.15) условием окончания вычислительного про­­це­сса является выполнение неравенства

.

В программе необходимо указывать функцию F(x) и вводить вычисленный заранее параметрС и значение допустимой погрешности . Программа должна осуществлять не более 100 итераций. Если за 100 итераций не достигнута требуемая точность, то программа выводит сообщение об отсутствии сходимости и прекращает работу.

Видео:Метод итерацийСкачать

Практическая работа 5 по теме «Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами ( метод итераций)»

Тема: Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами ( метод итераций)

Просмотр содержимого документа
«Практическая работа 5 по теме «Решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами ( метод итераций)»»

Цель: Освоить численные методы, используемые при решении алгебраических и трансцендентных уравнений

— способы решения алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами;

— находить приближенное значение корней алгебраических и транс­цендентных уравнений;

— составлять алгоритмы и программы для нахождения приближен­ных решений алгебраических и трансцендентных уравнений.

Форма организации занятия – индивидуальная.

Итерация (лат) Повторное применение какой-либо математической операции.

Заменим уравнение F(x) = 0 равносильным уравнением х = f(x).

Пусть ξ – корень уравнения х = f(x), а х₀, полученное каким-либо способом нулевое приближение к корню ξ. Подставляя х₀ в правую часть уравнения х = f(x), получим некоторое число х₁ = f(x₀). Повторим данную процедуру с х₁ и получим х₂ = f(x₁), Повторяя описанную процедуру, получим последовательность: х₀, х₁, х₂……х_n…… , называемую итерационной последовательностью.

Геометрическая интерпретация данного алгоритма:

Итерационная последовательность может быть как сходящейся, так и расходящейся, что определяется видом функции f(x).

У сходящейся последовательности существует конечный предел.

Теорема 1: Если функция f(x) непрерывна, а последовательность х₀, х₁, х₂……х_n…… сходится, то предел последовательности х₀, х₁, х₂……х_n…… является корнем уравнения х = f(x).

x_n=f(x_n-1)

Найдем предел x_n

Условие сходимости итерационного процесса определяется теоремой о достаточном условии сходимости итерационного процесса.

Теорема 2: Пусть х = f(x) имеет единственный корень на отрезке [a,b] и выполнены условия:

f(x) определена и дифференцируема на [a,b].

Существует такое вещественное q , что для всех .

Тогда итерационная последовательность x_n=f(x_n-1) (n=1,2…..) сходится при любом начальном приближении

Оценка погрешности метода простой итерации:

Пусть x_n — приближение к истинному значению корня уравнения х = f(x).

Абсолютная ошибка приближения x_n оценивается

Отсюда можно вывести: Δ x_n

При заданной точности ответа ε итерационный процесс прекращается, если Δ x_n ≤ ε.

Метод итераций для решения уравнений типа состоит в том:

что сначала отделяется корень уравнения,

затем оно преобразуется к виду x = φ(x). с правой частью, имеющей производную по модулю меньшую, чем 1, на всем отрезке, отделяющем корень, Этот переход можно осуществить разными способами, в зависимости от вида f(x). Например, можно положить φ(x) = x + bf(x), где b = const

Процесс построения последовательности надо прервать тогда, когда два раза подряд получится одно и то же число с заданной степенью точности.

Наиболее простой критерий окончания процесса .

Пример №5. Методом итераций уточнить корень уравнения заключенный на отрезке [0; 1] с точностью ε = 0,01

Уравнение F(x)=0 приведем к виду Это можно сделать разными способами, например:

1) тогда

Определим, какой из полученных функций следует воспользоваться для вычисления последовательных приближений. Итерационный процесс сходится, если

Выберем на отрезке [0; 1] произвольную точку x₀. Пусть x₀=0,5. Тогда

Проверим условие сходимости итерационного процесса:

— расходящийся итерационный процесс;

— сходящийся итерационный процесс.

Следовательно, для вычисления последовательных приближений можно использовать только

х_к+1= . В качестве начального значения выберем середину отрезка [0; 1].

🔥 Видео

Алгоритмы С#. Метод простых итерацийСкачать

10 Численные методы решения нелинейных уравненийСкачать

Решение слау методом итераций. Метод простых итераций c++.Скачать

1 3 Решение нелинейных уравнений методом простых итерацийСкачать

Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать

Метод итераций (последовательных приближений)Скачать

Решение системы линейных уравнений методом итерацийСкачать

2.2 Итерационные методы решения СЛАУ (Якоби, Зейделя, релаксации)Скачать

8 Метод простой итерации Ручной счет Решение системы линейных уравнений СЛАУСкачать

Метод половинного деления решение нелинейного уравненияСкачать

Решение систем линейных уравнений методом простой итерации в ExcelСкачать

4.2 Решение систем нелинейных уравнений. МетодыСкачать

Метод простых итераций - PascalСкачать

Метод половинного деления. ДихотомияСкачать

Отделение корней уравнений аналитическим методом. Уточнение корней методом половинного деленияСкачать

Решение систем линейных уравнений, урок 5/5. Итерационные методыСкачать