Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для решения СЛАУ методом простой итерации в онлайн режиме (см. пример решения). Для проверки решения генерируется шаблон в Excel .
- Шаг №1
- Шаг №2
- Видеоинструкция
Рассмотрим достаточные условия сходимости итерационной последовательности <xn>.
Практически, для применения метода итерации систему линейных уравнений удобно «погрузить» в одну из трёх следующих метрик:
(3.4)
Для того, чтобы отображение F, заданное в метрическом пространстве соотношениями (3.2), было сжимающим, достаточно выполнение одного из следующих условий:
а) в пространстве с метрикой ρ1: , т. е. максимальная из сумм модулей коэффициентов в правой части системы (3.2), взятых по строкам, должна быть меньше единицы.
б) в пространстве с метрикой ρ2: , т. е. максимальная из сумм модулей коэффициентов в правой части системы (3.2), взятых по столбцам, должна быть меньше единицы.
в) в пространстве с метрикой ρ3: , т. е. сумма квадратов при неизвестных в правой части системы (3.2) должна быть меньше единицы
Пример . Вычислить два приближения методом простой итерации. Оценить погрешность второго приближения. В качестве начального приближения выбрать x 0 =(0; 0; 0).
Так как диагональные элементы системы являются преобладающими, то приведем систему к нормальному виду:
Последовательные приближения будем искать по формулам:
Получаем:
x 1 =(-1.9022; 0.4889; 2.1456), x 2 =(-1.1720; 0.6315; 1.2389).
Для оценки погрешности в метрике ρ1 вычисляем коэффициент μ .
Вычисляем погрешность:
При большом числе неизвестных схема метода Гаусса, дающая точное решение, становится весьма сложной. В этом случае для решения СЛАУ иногда удобнее пользоваться методом простой итерации.
Видео:Метод простой итерации Пример РешенияСкачать
Метод итераций для системы уравнений в Excel
Для вычисления точности epsilon .
Итерация №1: =ABS(B7)-ABS(B6);=ABS(C7)-ABS(C6);=ABS(D7)-ABS(D6)
Итерация №2: =ABS(B8)-ABS(B7);=ABS(C8)-ABS(C7);=ABS(D8)-ABS(D7)
Скачать шаблон решения.
Видео:8 Метод простой итерации Ручной счет Решение системы линейных уравнений СЛАУСкачать
Метод итераций (метод последовательных приближений)
Отыскание корней функциональных уравнений методом итераций (последовательных приближений).
Метод итераций (метод последовательных приближений) применяется для отыскания корней функциональных уравнений вида
Собственно, сам метод применяется очень просто — выбирается некоторое начальное приближение и строится итерационная последовательность вида
При определенных условиях эта итерационная последовательность сходится к корню уравнения и поэтому ее элементы могут быть взяты за приближенные значения этого корня. Если операция, задаваемая функцией F, удовлетворяет этим условия, то эта операция называется сжатием. Теорию могу порекомендовать посмотреть здесь
Калькулятор ниже просто выполняет итеративное вычисление x по заданной формуле и останавливается, когда достигнута необходимая точность, то есть значения, полученные двумя последовательными итерациями, отличаются на величину, меньшую заданной.
Кстати сказать, в качестве примера взята функция
,
которая на самом деле является итерационной функцией для вычисления квадратного корня числа а, первым алгоритмом для приближенного вычисления квадратного корня, известным из истории. Его еще называют «вавилонским методом», так как его применяли еще в древнем Вавилоне, или «методом Герона», так как греческий математик Герон был первым, кто явно описал этот способ.
Видео:Метод простых итераций пример решения нелинейных уравненийСкачать
Метод Ньютона онлайн
Данный онлайн калькулятор находит корень уравнения приближённо. В основе алгоритма его работы лежит метод Ньютона. Чтобы начать работу, необходимо ввести исходные данные своей задачи.
Методом Ньютона, найти корень (
максимальное кол-во итераций:
критерий останова вычислений:
Метод Ньютона является численным, т.е. корень уравнения находится приближенно. При этом можно заранее задать точность его нахождения.
Пусть нам дано уравнение
Формула для поиска корня уравнения выглядит следующим образом:
и — приближённые значения корня уравнения на -ой и ( )-ой итерациях соответственно, — значение функции в точке , — значение производной функции в точке .
Как видно, для того чтобы начать работу необходимо задать точку — начальное приближение для корня уравнения . От выбора точки зависит сойдётся ли алгоритм к решению или нет. Сходимость метода квадратичная, но она резко ухудшается если мы ищем кратный корень уравнения, т.е. если и одновременно , где — кратный корень уравнения .
Вычисления по приведённой выше формуле можно продолжать до бесконечности, соответственно на практике необходим некоторый критерий, который будет определять нужно ли нам продолжать вычисления или нет. Как правило, используется критерий останова вычислений на основе приращения или же на основе близости функции к нулю в некоторой точке .
Критерий останова вычислений на основе приращения задаётся следующей формулой:
т.е. различие (по модулю) между двумя последовательными приближениями к корню уравнения ( и ) должны быть меньше, некоторой наперёд заданной величины .
Критерий останова вычислений на основе близости функции к нулю определяется следующей формулой:
т.е. отличие (по модулю) между функцией в некоторой точке и нулём меньше .
В тоже время, если последовательность к корню не сходится, то критерии останова не сработают и процесс поиска корня будет продолжаться бесконечно. Чтобы предотвратить такую ситуацию, на практике вычисления прекращают после некоторого, заданного количества итераций.
На рисунке ниже приведена геометрическая интерпретация процесса поиска корня уравнения методом Ньютона.
В точке мы строим касательную к графику функции . Уравнение касательной в этой точке имеет вид:
Находим точку пересечения полученной касательной с осью абсцисс, т.е. рассматриваем точку с координатами . Подставляя координаты указанной точки в уравнение касательной, получаем следующее соотношение:
Из данного уравнения находим :
Продолжая данный процесс, получим формулу метода Ньютона, приведенную выше. Из-за того, что на каждой итерации фактически происходит построение касательной, метод Ньютона также иногда называют методом касательных.
Видео:Метод итерацийСкачать
Другие полезные разделы:
Видео:1 3 Решение нелинейных уравнений методом простых итерацийСкачать
Оставить свой комментарий:
Мы в социальных сетях:
Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме
🎥 Видео
2.2 Итерационные методы решения СЛАУ (Якоби, Зейделя, релаксации)Скачать
Решение систем линейных уравнений методом простой итерации в ExcelСкачать
Решение нелинейного уравнения методом простых итераций (программа)Скачать
5 Метод простой итерации Calc Excel Решение системы линейных уравнений СЛАУСкачать
4 Метод простой итерации Mathcad Решение системы линейных уравнений СЛАУСкачать
Решение систем линейных уравнений, урок 5/5. Итерационные методыСкачать
Решение слау методом итераций. Метод простых итераций c++.Скачать
Алгоритмы С#. Метод простых итерацийСкачать
Метод итерацийСкачать
Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать
10 Численные методы решения нелинейных уравненийСкачать
Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать
Решение нелинейного уравнения методом простых итерацийСкачать
Метод Зейделя Пример РешенияСкачать
Метод простых итераций - PascalСкачать
