Метод прогонки для решения краевой задачи для линейного уравнения второго порядка

Видео:2.1 Точные методы решения СЛАУ (Крамера, Гаусса, Жордана, прогонки)Скачать

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Прокуратова О. Н., Пышьева А. В.

В данной статье рассмотрена тема: « метод прогонки решения краевой задачи для ОДУ 2-го порядка». На примере решения определенной задачи, было рассмотрено применение формул этого метода, а так же для получения более точного ответа мы реализовали ее на языке программирования Pascal.

Видео:VB.net - СЛАУ Метод прогонкиСкачать

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Прокуратова О. Н., Пышьева А. В.

Видео:Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Текст научной работы на тему «Метод прогонки решения краевой задачи для ОДУ второго порядка»

И сейчас приезжают на эту атомную станцию много гостей посмотреть, ведь теперь там музей. Первая АЭС проработала верой и правдой целых 48 лет!

Пройдут годы и на земле в разных странах появятся сотни АЭС огромной мощности, но все они, как Волга из родника, берут начало на русской земле недалеко от Москвы, в известном всему миру городе Обнинске, где впервые разбуженный атом толкнул лопатки турбины и дал электрический ток.

Первая в мире АЭС стала исследовательской базой для создания ядерных энергетических установок новых поколений, даже для подводных лодок и космических аппаратов.

Вот такая получилась у нас сказка — сказка, в которой нет ни слова выдумки: все чудеса — настоящие, приключения — на самом деле опасны, а герои — жили и живут среди нас.

Тут и сказочке конец, а кто слушал — молодец!

МЕТОД ПРОГОНКИ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА

© Прокуратова О.Н.*, Пышьева А.В.Ф

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, г. Елец

В данной статье рассмотрена тема: «метод прогонки решения краевой задачи для ОДУ 2-го порядка». На примере решения определенной задачи, было рассмотрено применение формул этого метода, а так же для получения более точного ответа мы реализовали ее на языке программирования Pascal.

Ключевые слова метод прогонки, краевая задача, прямой ход, граничные условия, коэффициенты.

Рассмотрим краевую задачу для ОДУ 2-го порядка вида:

y»+p(x)y’+q(x)y = f (x), a Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Видео:ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентамиСкачать

дифференциального уравнения второго порядка методом прогонки

Пусть на отрезке требуется найти решение дифференциального уравнения:

, (1)

удовлетворяющее следующим краевым условиям:

;	(2) ;

Численное решение задачи состоит в нахождении приближенных значений искомого решения в точках . Для этого разобьем отрезок на равных частей с шагом . Полагая и вводя обозначения , , для внутренних точек отрезка , вместо дифференциального уравнения (1)–(2) получаем систему конечноразностных уравнений:

После соответствующих преобразований будем иметь

, , (3)

.

Полученная система имеет линейных уравнений с неизвестными. Решим эту систему методом прогонки.

Решая уравнение (3) относительно , будем иметь

.

Предположим, что из этого уравнения исключена неизвестная . Тогда это уравнение примет вид

, (4)

где – некоторые коэффициенты.

Отсюда . Подставляя это выражение в (3), получим и, следовательно,

. (5)

Сравнивая формулы (4) и (5), получим для определения рекуррентные формулы:

.

Определим :

.

Из формулы (4) при имеем

. (6)

, . (7)

На основании формул (6) и (7) последовательно определяются коэффициенты до включительно (прямой ход). Обратный ход начинается с определения . Решая систему

,

и по формуле (4) последовательно находим .

Для простейших краевых условий формулы для упрощаются. Полагая получим .

Отсюда .

Пример. Методом прогонки решить краевую задачу:

.

Решение. Пусть .

;

;

; ;

.

Найденные значения записываем в первых двух строках таблицы. Используя известное значение , вычислим и запишем в таблицу. Для значения в последней строке даны значения точного решения .

	-0,498	-0,662	-0,878	-0,890	-0,900
	0,001	0,002	0,004	0,008	0,012
	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
	-0,025	-0,049	-0,072	-0,078	-0,081
	-0,015	-0,029	-0,041	-0,050	-0,057

	-0,908	-0,915	-0,921	-0,926
	0,16	0,022	0,028	0,035
	0,6	0,7	0,8	0,9
	-0,078	-0,070	-0,055	-0,032
	-0,058	-0,054	-0,044	-0,026

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. 4

1.1. Постановка задачи. 4

1.2. Основные этапы отыскания решения. 4

1.3. Метод половинного деления. 5

1.4. Метод простой итерации. 7

1.5. Метод Ньютона (метод касательных). 13

1.6. Видоизменённый метод Ньютона. 15

1.7. Метод хорд. 15

1.8. Комбинированный метод. 17

2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. 8

2.1. Постановка задачи. 18

2.2. Метод простой итерации. 19

2.3. Метод Зейделя. 23

3. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. 26

3.1. Постановка задачи. 26

Метод Ньютона для системы нелинейных уравнений. 26

Метод итерации для нелинейной системы уравнений. 30

3.4. Метод скорейшего спуска решения нелинейных систем. 32

3.5. Метод скорейшего спуска для случая линейной системы. 35

4. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ. 37

4. 1. Метод наименьших квадратов. 37

4.2. Построение интерполяционных многочленов. 41

5. Вычисление собственных значений матрицы Методом Данилевского. 50

6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.
МЕТОД СИМПСОНА (МЕТОД ПАРАБОЛ). 54

7. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 57

7.1. Постановка задачи Коши. 57

7.2. Метод Эйлера. 59

7.3. Модифицированные методы Эйлера. 61

7.4. Метод Рунге – Кутта. 64

7.5. Решение краевой задачи для линейного дифференциального
уравнения второго порядка методом прогонки. 65

Дата добавления: 2015-04-04 ; просмотров: 7 ; Нарушение авторских прав

Видео:Методы решения нелинейных краевых задач для ОДУСкачать

Краевые задачи

Для однозначного определения неизвестной функции ( u(x) ) уравнение (1) дополняется двумя граничными условиями на концах отрезка ( [0, l] ). Задаваться может функция ( u(x) ) (граничное условие первого рода), поток ( w(x) = −k(x) frac (x) ) (граничное условие второго рода) или же их линейная комбинация (граничное условие третьего рода): $$ begin tag u(0) = mu_1, quad u(l) = mu_2, end $$ $$ begin tag −k(0) frac (0) = mu_1, quad k(l) frac (l) = mu_2 end $$ $$ begin tag −k(0) frac (0) + sigma_1 u(0) = mu_1, quad k(l) frac (l) + sigma_2 u(l) = mu_2. end $$

Эллиптические уравнения второго порядка, прототипом которых является уравнение (1), используются при моделирование многих физико-механических процессов.

Кроме того,могут рассматриваться задачи с несамосопряженным оператором, когда, например, $$ begin tag — frac left( k(x) frac right) + v(x) frac + q(x) u = f(x), quad 0 —>

Видео:19. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные диф уравнения 2-го порядкаСкачать

Город-экран

Видео:Метод Гаусса решения СЛАУ. Метод прогонки. Итерационные методы. Численные методы. Лекция №3Скачать

Краевая задача для дифференциального уравнения 2 порядка

Большинство численных методов решения краевых задач разработано для уравнений второго порядка. Такие функциональные условия называют краевыми условиями первого рода. В этом случае краевая задача называется первой краевой задачей. Теперь напишем программу решения краевой задачи для ОДУ второго порядка с помощью конечно-разностного метода. Пример 7.2. Найти приближенное решение краевой задачи y»+y=1,

0 leqslant x leqslant frac,y'(0)=0,y!

4. Обратный ход метода прогонки для определения решения. Это программа будет тестовой, то есть, содержит функцию yt(t), определяющую точное решение. Используя эту программу, можно решить и другую аналогичную краевую задачу, изменив в нашей программке всего несколько строчек. Задача о нахождении собственных значений.

Видео:6-5. Алгоритм прогонкиСкачать

§ 6. Метод прогонки решения краевых задач для уравнений в частных производных

Задача о разложении по собственным функциям. Метод стрельбы(пристрелки). Решается задача Коши, у которой одно из начальных условий совпадает с краевым условием, а второе зависит от параметра. Значение параметра подбирается так, чтобы решение удовлетворяло второму краевому условия.

Видео:Вычислительные методы алгебры - Метод прогонкиСкачать

5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Решение внутренней задачи Неймана определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Теперь решение находится просто. Одно из заданного в на левом граничном условии с нулевым вторым( скажем значение функции задано, а производная не задана). Второе решение исходит из начальных условий равенства нулю значения функции и единичного значения производной.

Я слышала о методе прогонки. Не подскажите где ее найти и схему решения.Спасибо. Не зря математики разработали методы стрельбы и прогонки и для этого класса тоже. Хотелось бы видеть в каких задачах их можно применять. Для физики такой вид уравнений не очень естественен, поскольку дифференциальный оператор несимметричен.

Дивергентность важна для другого — для общих свойств уравнения: она позволяет перевести краевую задачу на вариационный язык, что делает численное решение более осмысленным.

Было бы нерационально решать такую систему «в лоб», для неё есть экономичный метод прогонки. Ну а мы реализуем его и конечно-разностный метод в целом при помощи MathCAD. Как и при решении задачи Коши, возвращаем матрицу из 2 столбцов, первый из которых — значения ti в узлах сетки, второй — вычисленные значения yi дискретной функции.

Останется вызвать обе функции и сравнить, что получилось, взяв норму разности векторов точного и приближённого решения. Общее количество условий равно порядку дифференциального уравнения. Условия y'(a)=A,

y(b)=B являются частным случаем краевых условий третьего рода, так как alpha_0=0,

Видео:Кобельков Г. М. - Численные методы. Часть 2 - Краевые задачи для дифф-ых уравнений 2-го порядкаСкачать

Численные методы решения задачи Коши для ОДУ первого порядка

Подставляя y_<text>(x)=C в уравнение y»+y=1, а y_<text>(x)=Dx в уравнение y»+y=-x, получаем C=1,

D=-1. То же относится и к исследованию свойств полученного решения. Вместо точного решения y(x) отыскивается некоторое приближение widehat_= widehat(x_)approx y(x_),

Она является трехдиагональной системой линейных алгебраических уравнений и решается методом прогонки. 1. Изложенный метод сеток допускает обобщение. F(x,y) — нелинейная по y функция (в общем случае, который здесь не рассматривается, функция F зависит также и от y’). В силу нелинейности правой части полученная алгебраическая система является нелинейной и для ее решения нельзя использовать метод прогонки в том виде, в каком он изложен для линейной задачи.

Какие известные алгоритмы есть для численное решения дифференциальных уравнений второго порядка. Для решения задачи (7.5) применим метод сеток, получаемый путем аппроксимации первой и второй производных. 2. Частные решения неоднородных уравнений находятся методом подбора. 7.3),(7.4), так как удовлетворяются и уравнение, и краевые условия. Если уравнения (7.1),(7.2) линейны относительно искомой функции и ее производных, то краевая задача называется линейной.

💥 Видео

7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать

2.1. Метод характеристик. Задача Коши для гиперболического уравнения на плоскости.Скачать

Видеоурок "Нахождение частных решений по виду правой части"Скачать

8 Метод простой итерации Ручной счет Решение системы линейных уравнений СЛАУСкачать

Numerically Solve Boundary Value Problems: The Shooting Method with Python (Part 1)Скачать

Разностные методы решения краевых задач для ОДУ 2 порядка. Разностная производная. Метод стрельбыСкачать

Дифференциальные уравнения | задача Штурма - Лиувилля | классические краевые задачи | 1Скачать

№142. Концы отрезка отстоят от плоскости α на расстояниях 1 см и 4 см. Найдите расстояниеСкачать

Пример 65. Решить задачу Коши (диффуры)Скачать

Метод ЭйлераСкачать