Метод прогонки для решения дифференциальных уравнений второго порядка код

Видео:VB.net - СЛАУ Метод прогонкиСкачать

метод трехточечной прогонки

Видео:Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать

Программа, тестирующая метод трехточечной прогонки для «Решения краевой задачи дифференциального уравнения 2-го порядка» с помощью разностной схемы

p,q – задаются с клавиатуры коэффициенты
f(x) – заданная функция

Выбрать схему сеточной аппроксимации и решить систему сеточных уравнений методом трехточечной прогонки.

Основой численных методов решения краевых задач — является замена исходной системы уравнений ее сеточной аппроксимацией. В случае интегро-дифференциальных уравнений такая аппроксимация обычно строится с помощью разностных схем.

Не вдаваясь особо в теорию,
формулы для первой и второй производных в разностных схемах выглядят так:

— характеризует скорость изменения функции

— характеризует кривизну графика функции

Разностных схем можно построить множество (дело вкуса) и все они будут давать приближенный результат решения дифференциального уравнения. А степень приближения, т.е. качество решения — зависит как раз от выбранной схемы и характера функции. Кому-то поможет опыт, кому-то везение…

Вот, я останавливаюсь на следующей схеме сеточной аппроксимации для заданного уравнения

где i=1,2,…,K-1 (т.к. в узлах i=0 и i=K результат функции известен – краевые условия заданы!)
K- будет задаваться на форме (количество узлов сетки, будет определять шаг интегрирования)

Тестирование метода трехточечной прогонки я решил продемонстрировать на примере 3 функций (разумеется, сначала брал решение, потом его дифференцировал и получал F(x))

F(x) = — p*(6*x^2)+q*(x^4)/2+C); //решением будет y(x)= (x^4)/2 +C
F(x)= — p*(-1/x^2)+q*(ln(x)+C); //решением будет y(x)= ln(x)+C
F(x):= — p*(-Cos(x))+q*(Cos(x)+C); //решением будет y(x)= Cos(x)+C

Поскольку я знаю формулы решения, то могу строить теоретически правильные графики для сравнения.

Расcчитав коэффициенты
a:= (q/12-p/h/h);
b:= (10*q/12+2*p/h/h);
c:=a; // (q/12-p/h/h);

для каждых последовательных трех узлов сетки можно записать

a*Yi+1 + b*Yi +c*Yi-1= F(xi+1,xi,xi-1)

Отличаться будут только первое и последние уравнения (т.к. там краевые условия заданы)
Первое : b*Yi +c*Yi-1= F(xi+1,xi,xi-1) — a*Y0
Последнее: a*Yi+1 + b*Yi = F(xi+1,xi,xi-1) — c*Yk

Получилась такая разряженная матрица (в пустых клетках, конечно, нули).

Сначала в массив y[i] помещаем значения F(xi+1,xi,xi-1) как вектор свободных членов…

Далее, методом трехточечной прогонки (преобразованиями Гаусса) приводим эту матрицу к единичной, и в результате в векторе-столбце F(x) , а значит и в массиве y[i] получаем искомые у(х[i]) для каждого узла сетки.

Полученный массив остается вывести на график и в текстовое окно результата.

Ну, и сравнить с эталонной функцией…

Вот как классно совпадает график рассчитанный с теоретическим (точным)…

Приобретайте код и тестируйте на своих функциях…
Или я могу ваши функции поместить в код…

Видео:6-5. Алгоритм прогонкиСкачать

Метод прогонки для решения дифференциальных уравнений второго порядка код

Pers.narod.ru. Алгоритмы. Краевая задача для дифференциального уравнения 2 порядка

Вот здесь уже есть немало примеров на реализацию численных методов в Excel.

Однако, решать в Excel краевую задачу для дифференциального уравнения второго порядка, по-моему, извращение. Гораздо проще написать программку на Паскале, чем мы сейчас и займёмся. Но сначала немного теории, только самые нужные формулы.

Для дифференциального уравнения второго порядка

поставлена краевая задача:
Здесь u(t) —искомое решение, A, B — краевые условия,заданные функции коэффициентов. Введем на отрезке [a,b] разностную сетку (t₀, t₁, t₂, . t_M,), t_i=a+τ*i, i=0,1. M, τ=(b-a)/M, M – параметр задачи (число шагов сетки). Заменим уравнение разностной схемой

Собирая коэффициенты при y_i, y_i+1 , y_i-1, получим следующую СЛАУ на вектор неизвестных (y₀, y₁, y₂, . y_M):

Система решается методом прогонки, в котором решение отыскивается в виде y_i=α_i+1y_i+1+β_i+1, i=0,1,…,M-1. Алгоритм состоит из следующих шагов.

2. Следующие прогоночные коэффициенты a_i, b_i определяются по рекурентным формулам (прямой ход метода прогонки с трёхдиагональной матрицей):
α_i+1=, β _i+1= i=1,2. M-1.

3. Для определения решения на правой границе отрезка воспользуемся последним уравнением системы (l₁+l₂/τ) y_M — l₂y_M-1 /τ=B и соотношением y_M-1=α_M y_M + β_M, откуда y_M определяется как решение системы двух линейных алгебраических уравнений.

4. Обратный ход метода прогонки для определения решения.

Теперь напишем программу решения краевой задачи для ОДУ второго порядка с помощью конечно-разностного метода. Это программа будет тестовой, то есть, содержит функцию yt(t) , определяющую точное решение.

Уравнение:

Программа для заданного константой M будет выдавать на экран таблицу со столбцами
i t_i y_i u(t_i) |u(t_i)-y_i|,
также по последнему столбцу определяется максимальная погрешность.

Метод показывает первый порядок аппроксимации, то есть, при увеличении числа узлов в 2 раза точность решения также повышается примерно в 2 раза. Возможно, здесь чуть-чуть иначе вычисляются α₁ и β₁ , но с посчитанной ниже задачей в Excel совпало.

Используя эту программу, можно решить и другую аналогичную краевую задачу, изменив в нашей программке всего несколько строчек. Например, такую:
Уравнение , интервал [1.1,1.4], краевое условие при t=a имеет вид u-2u ′ =-1, краевое условие при t=b имеет вид u=4. Вроде бы, должно получиться так:

Ниже то же самое посчитано в Excel для 10, 20 и 40 узлов сетки, в файле серым фоном обозначены ячейки с формулами и константами, которые являются входными данными, жёлтым — формулы, которые считаются иначе, чем соседние формулы выше и/или ниже.

odu2.xls (56 Кб, Excel XP/2003)

Видео:ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентамиСкачать

Численные методы решения краевых задач

Видео:Методы решения нелинейных краевых задач для ОДУСкачать

Постановка задачи и основные положения

Рассмотрим двухточечные краевые задачи, часто встречающиеся в приложениях, например, при решении задач вариационного исчисления, оптимального управления, механики жидкости и газа и др. Пусть дано обыкновенное дифференциальное уравнение

и краевые условия

где [math]F bigl(x,y,y’,ldots,y^bigr);

j=overline[/math] — функции указанных аргументов, заданные в некоторой области их изменения; [math]L[/math] и [math](n-L)[/math] — число условий на левом и правом концах отрезка [math][a,b][/math] соответственно. Общее количество условий равно порядку дифференциального уравнения. Требуется найти функцию [math]y=y(x)[/math] , которая на отрезке [math][a,b][/math] удовлетворяет уравнению (7.1), а на концах отрезка — краевым условиям (7.2).

Если уравнения (7.1),(7.2) линейны относительно искомой функции и ее производных, то краевая задача называется линейной.

Для простоты ограничимся частным случаем линейной краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка [math](n=2)[/math] , которая наиболее часто ставится в вычислительной практике и записывается в виде

(Omega equiv [a,b]),[/math]

где [math]p(x),, q(x),, f(x)in C_2[a,b][/math] — заданные функции, а [math]alpha_0,,alpha_1,, beta_0,, beta_1,,A,,B[/math] — заданные числа, 0,

j=0;1[/math] . Требуется найти функцию [math]y(x)[/math] , удовлетворяющую уравнению (7.3) и краевым условиям (7.4). Краевые условия при [math]alpha_ne0,

j=0;1[/math] , задают линейную связь между значениями искомого решения и его производной на концах отрезка [math][a,b][/math] .

В простейшем случае, когда [math]beta_0=0,

beta_1=0[/math] , краевые условия задают на концах отрезка [math][a,b][/math] только значения функции [math]y(a),,y(b)[/math] . Такие функциональные условия называют краевыми условиями первого рода. В этом случае краевая задача называется первой краевой задачей.

В случае, когда [math]alpha_0=0,

alpha_1=0[/math] , т.е. на концах отрезка заданы только значения производных, краевые условия являются дифференциальными. Такие краевые условия называют условиями второго рода или «мягкими». Последнее название обусловлено тем, что они определяют на концах отрезка [math][a,b][/math] всего лишь наклоны интегральных кривых, а не значения функции [math]y(x)[/math] . В этом случае задача (7.3),(7.4) называется второй краевой задачей.

В общем случае, когда [math]alpha_0[/math] и (или) [math]alpha_1;

beta_0[/math] и (или) [math]beta_1[/math] не равны нулю, краевые условия носят функционально-дифференциальный характер и называются условиями третьего рода. Тогда задача (7.3),(7.4) называется третьей краевой задачей.

Например, условия [math]y(a)=A,

y(b)=B[/math] являются условиями первого рода. Геометрически это означает, что при решении первой краевой задачи требуется найти интегральную кривую уравнения (7.3), проходящую через данные точки [math](a,A),, (b,B)[/math] (рис. 7.1,а). Условия [math]y'(a)=A,, y'(b)=B[/math] являются условиями второго рода. Геометрически вторая краевая задача сводится к отысканию интегральной кривой уравнения, пересекающей прямые [math]x=a,

x=b[/math] под заданными углами [math]alpha,,beta[/math] , где [math]operatornamealpha=A,

operatornamebeta=B[/math] (рис. 7.1,6). Условия [math]y'(a)=A,

y(b)=B[/math] являются частным случаем краевых условий третьего рода, так как [math]alpha_0=0,

beta_1=0[/math] . Геометрически данная краевая задача сводится к отысканию интегральной кривой уравнения, проходящей через точку [math](b,B)[/math] и пересекающей прямую [math]x=a[/math] под данным углом [math]alpha[/math] , где [math]operatornamealpha= A[/math] (рис. 7.1,в).

В общем случае краевая задача может:

а) иметь единственное решение;

б) не иметь решений;

в) иметь несколько или бесконечно много решений.

Утверждение 7.1 (о существовании и единственности решения краевой задачи (7.3),(7.4)). Для того чтобы существовало единственное решение краевой задачи (7.3),(7.4), необходимо и достаточно, чтобы однородная краевая задача

имела только тривиальное решение [math]y(x)equiv0[/math] .

Пример 7.1. Найти аналитическое решение следующих краевых задач:

0 leqslant x leqslant frac,

y! left(fracright)-y’! left(fracright)=2[/math] (третья краевая задача);

0 leqslant x leqslant 1,

y(1)=0[/math] (первая краевая задача).

Воспользуемся известной методикой отыскания общих решений дифференциальных уравнений. Подставив в них заданные краевые условия, получим аналитические решения данных краевых задач.

1. Найдем общее решение однородного уравнения [math]y»+y=0[/math] , одинакового для обеих рассматриваемых задач. Так как характеристическое уравнение [math]lambda^2+1=0[/math] имеет комплексные сопряженные корни [math]lambda_=pm i= alphapm beta i[/math] [math](alpha=0,

beta=1)[/math] , то общее решение будет

2. Частные решения неоднородных уравнений находятся методом подбора. Подставляя [math]y_<text>(x)=C[/math] в уравнение [math]y»+y=1[/math] , а [math]y_<text>(x)=Dx[/math] в уравнение [math]y»+y=-x[/math] , получаем [math]C=1,

D=-1[/math] . Поэтому [math]y_<text>(x)=1[/math] в случае «а», [math]y_<text>(x)=-x[/math] в случае «б».

3. Найдем общее решение неоднородного уравнения как сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

а) [math]y(x)=C_1cos x+C_2sin x+1[/math] ; б) [math]y(x)=C_1cos x+C_2sin x-x[/math] .

4. Определим значения произвольных постоянных из краевых условий третьего рода (случай «а») и первого рода (случай «б»):

а) найдем [math]y'(x)=-C_1sin x+C_2cos x[/math] . Тогда

Отсюда [math]C_1=1[/math] и [math]y(x)=1+cos x[/math] — решение краевой задачи «а»;

б) общее решение [math]y(x)=C_1cos x+C_2sin x-x[/math] и, следовательно, [math]y(0)=C_1=0,

y(1)=C_1cos1+ C_2sin1-1=0[/math] , отсюда [math]C_2= frac[/math] и [math]y(x)=frac-x[/math] — решение краевой задачи «б». Таким образом, решение краевой задачи представляет собой такое частное решение, которое удовлетворяет краевым условиям.

Рассмотренный метод нахождения аналитического решения краевых задач применим для ограниченного класса задач. Поэтому в вычислительной практике используются численные и приближенно-аналитические методы, позволяющие найти приближенное решение краевых задач, точные аналитические решения которых не могут быть найдены.

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Метод сеток

Рассмотрим линейную краевую задачу с краевыми условиями первого рода (первую краевую задачу):

где [math]p(x),q(x),f(x)in C_2[a,b][/math] — заданные функции; [math]A,,B[/math] — заданные числа.

Очевидно, любой отрезок [math][a,b][/math] , на котором ищется решение краевой задачи, можно привести к отрезку [math][0;1][/math] с помощью линейного преобразования [math]widetilde= frac[/math] . Действительно, тогда новая переменная [math]widetildein [0;1][/math] . В результате без ограничения общности краевая задача (7.5) может быть решена сначала на отрезке [math][0;1][/math] , а затем это решение с помощью преобразования [math]x=a+(b-a)cdot widetilde[/math] может быть записано на отрезке [math][a,b][/math] . То же относится и к исследованию свойств полученного решения.

Утверждение 7.2 (о единственности решения краевой задачи (7.5)). Если функции [math]p(x),q(x),f(x)[/math] принадлежат классу [math]C_2[a,b],

q(x) geqslant 0[/math] на [math][0;1][/math] , то краевая задача (7.5) имеет единственное решение [math]y(x)in C_4[0;1][/math] .

Для решения задачи (7.5) применим метод сеток, получаемый путем аппроксимации первой и второй производных. Введем равномерную сетку (где [math]n[/math] — число отрезков разбиения)

Функции [math]p(x),q(x),f(x)[/math] заменяются их проекциями на сетку [math]Omega_n[/math] , то есть [math]p(x)to p(x_)=p_i,[/math] [math]q(x)to q(x_)=q_i,[/math] [math]f(x)to f(x_)= f_i,[/math] . Вместо точного решения [math]y(x)[/math] отыскивается некоторое приближение [math]widehat_= widehat(x_)approx y(x_),

i=overline[/math] . Первая и вторая производные аппроксимируются на трехточечном шаблоне [math](x_,x_,x_)[/math] по формулам второго порядка (5.10),(5.14):

Краевые условия для этой задачи аппроксимируются точно, т.е. [math]y(a)[/math] и [math]y(b)[/math] заменяются на [math]widehat_[/math] и [math]widehat_[/math] . После замены от дифференциальной задачи (7.5) переходим к разностной схеме:

представляющей собой систему алгебраических уравнений трехдиагонального вида:

delta_=f_[/math] . Здесь система (7.6) записана для внутренних узлов сетки [math]Omega_n[/math] . Она является трехдиагональной системой линейных алгебраических уравнений и решается методом прогонки.

1. Изложенный метод сеток допускает обобщение. Например, его можно применять для решения нелинейной краевой задачи:

где [math]F(x,y)[/math] — нелинейная по [math]y[/math] функция (в общем случае, который здесь не рассматривается, функция [math]F[/math] зависит также и от [math]y'[/math] ).

Рассуждая аналогично рассмотренному выше способу, перейдем к разностной задаче:

В силу нелинейности правой части полученная алгебраическая система является нелинейной и для ее решения нельзя использовать метод прогонки в том виде, в каком он изложен для линейной задачи. Поэтому для ее решения используем метод простых итераций, с помощью которого при фиксированном [math]k[/math] (номер итерации) система алгебраических уравнений (7.8) превращается в линейную, так как величины, входящие в правую часть системы, известны из предыдущей итерации. Действительно, для k-й итерации получается система (которая решается на каждой итерации методом прогонки)

Можно показать, что итерации сходятся при выполнении условия [math]q=frac(x_n-x_0)^2M_1 [math]M_1=max_left|fracright|[/math] с линейной скоростью.

2. Краевые условия второго и третьего рода в задаче, аналогичной (7.5), могут быть аппроксимированы несколькими способами.

Первый способ. Использование аппроксимационных формул (5.4) первого порядка

В силу первого порядка этих аппроксимаций метод сеток в этом случае также будет иметь первый порядок аппроксимации.

Второй способ. Применение формулы Тейлора и ее преобразование с использованием дифференциального уравнения. Таким способом может быть достигнут второй порядок аппроксимации.

Третий способ. Применение левосторонней (5.8) и правосторонней (5.9) формул, аппроксимирующих производные со вторым порядком:

3. Порядок аппроксимации схемы определяется минимальным порядком аппроксимации дифференциального уравнения и краевых условий.

Видео:7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать

Алгоритм применения метода сеток

1. Задать сетку [math]Omega_n[/math] на отрезке [math][a,b][/math] или сформировать ее из условий достижения требуемой точности.

2. Используя аппроксимационные формулы (5.10),(5.14) и один из трех способов аппроксимации краевых условий (в случае, если они второго или третьего рода), перейти от исходной дифференциальной задачи к системе алгебраических уравнений (разностной схеме), неизвестными в которой являются величины, «близкие» к решению краевой задачи в узлах сетки.

3. Найти решение разностной задачи путем решения трехдиагональной системы уравнений и таким образом определить приближенное решение краевой задачи.

Пример 7.2. Найти приближенное решение краевой задачи [math]y»+y=1,

0 leqslant x leqslant frac,[/math] [math]y'(0)=0,[/math] [math]y! left(fracright)-y’! left(fracright)=2[/math] при [math]n=3[/math] , используя первый способ аппроксимации краевых условий. Записать разностные схемы для второго и третьего способов при произвольном [math]n[/math] .

В поставленной задаче

Для решения задачи воспользуемся методикой.

1. Так как [math]n=3[/math] , то сетка имеет вид [math]Omega_3=[/math] , где [math]x_=ih,

y! left(fracright)=y_1,[/math] [math]y! left(fracright)=y_2,[/math] [math]y! left(fracright)=y_3[/math] . Будем искать приближенные значения [math]widehat_0,widehat_1, widehat_2, widehat_3[/math] . Проекции функций [math]p(x), q(x), f(x)[/math] на сетку имеют вид [math]p_=0,

2. Составим разностную схему. Согласно (7.6), для внутренних узлов сетки получаем

i=1;2[/math] или [math]widehat_-(2-h^2)widehat_+ widehat_=h^2,

Применим первый способ аппроксимации краевых условий. По формуле (5.4) с учетом условия [math]y'(0)=0[/math] на левом конце имеем

На правом конце [math]y! left(fracright)=y_3,

y’! left(fracright)=y’_3[/math] , и по второй из формул (7.9) [math]widehat,’_= frac<widehat_-widehat_>[/math] . Тогда краевое условие [math]y! left(fracright)-y’! left(fracright)=2[/math] аппроксимируется выражением

В результате получаем разностную схему первого порядка аппроксимации (трехдиагональную систему линейных алгебраических уравнений)

Сравнивая первое уравнение этой системы с рекуррентным соотношением [math]widehat_= P_cdot widehat_+ Q_[/math] метода прогонки, характеризующим обратный ход, получаем [math]P_0=1,

После этого вычисляются все последующие прогоночные коэффициенты по формулам:

Здесь [math]alpha_,beta_,gamma_[/math] соответствуют коэффициентам левой части полученной алгебраической системы, а [math]delta_[/math] — правой части.

Далее выполняется обратный ход: [math]widehat_=Q_3,

widehat_= P_2widehat_+ Q_2,

widehat_= P_1widehat_+ Q_1[/math] .

Результаты решения краевой задачи приведены в табл. 7.1, в которой последний столбец соответствует точному решению [math]y(x)=1+cos x[/math] , найденному в примере 7.1.

7.1>>\hline i& alpha_& beta_& gamma_& delta_& P_& Q_& widehat_& y(x) \hline 0& 0&-1,!0000&-1& 0,!00000& 1,!00000& 0& 1,!8648& 2,!0000\hline 1& 1& 1,!72584& 1& 0,!27415& 1,!37771&-0,!37770& 1,!8648& 1,!8666\hline 2& 1& 1,!72584& 1& 0,!27415& 2,!87240&-1,!87242& 1,!6277& 1,!5000\hline 3& 1& 0,!47640&-& 1,!04200&-& 1,!21853& 1,!21853& 1,!0000\hline end[/math]

В силу того, что краевые условия аппроксимированы с первым порядком относительно [math]h[/math] , в данном случае получена разностная схема первого порядка, так как порядок аппроксимации схемы определяется минимальным порядком аппроксимации дифференциального уравнения и краевых условий.

Воспользуемся вторым способом аппроксимации краевых условий для построения разностной схемы второго порядка аппроксимации. Разложим [math]y(x)[/math] в точке [math]x=x_1[/math] относительно точки [math]x_0[/math] по формуле Тейлора:

Выразим из этого соотношения [math]y'(x_0)[/math] и подставим в него вместо [math]y»(x_0)[/math] выражение [math]y»(x_0)=1-y(x_0)=1-y_0[/math] , определяемое исходным дифференциальным уравнением:

Как показывает это соотношение, дифференциальное условие на левой границе аппроксимируется на двухточечном шаблоне [math](x_0,x_1)[/math] со вторым порядком аппроксимации двухточечным алгебраическим уравнением:

Аналогично получается двухточечное алгебраическое уравнение при / [math]i=n-1[/math] и [math]i=n[/math] . Разложение [math]y(x)[/math] в точке [math]x=x_[/math] относительно точки [math]x_n[/math] по формуле Тейлора имеет вид

Выражая отсюда [math]y'(x_n)[/math] с учетом связи [math]y»(x_n)=1-y(x_n)=1-y_n[/math] , следующей из исходного дифференциального уравнения, получаем

Подставим это выражение в граничное условие:

Таким образом, система линейных алгебраических уравнений в окончательном виде записывается следующим образом:

Эта трехдиагональная система, отличающаяся от полученной первым способом только первым и последним уравнениями, решается численно методом прогонки.

Применим третий способ аппроксимации краевых условий для построения разностной схемы второго порядка. Так, для крайней левой точки используется левосторонняя формула (5.8):

Тогда получается трехточечное алгебраическое уравнение:

Аппроксимация производной [math]y’! left(fracright)[/math] в крайней правой точке по правосторонней формуле [math]widehat,’_= frac bigl(widehat_-4widehat_+ 3widehat_bigr)[/math] приводит к трехточечному алгебраическому уравнению:

Тогда в этом случае получается следующая система линейных алгебраических уравнений:

Здесь [math]widehat_[/math] в первом уравнении и [math]widehat_[/math] в последнем нарушают ее трехдиагональный характер. В этом случае система приводится к трехдиагональному виду путем исключения [math]widehat_[/math] и [math]widehat_[/math] из первых двух и последних двух уравнений системы и после этого решается методом прогонки.

Видео:Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Методы минимизации невязки

Описываемые здесь методы относятся к приближенно-аналитическим и могут применяться при решении достаточно широкого класса задач. На основе одного из приближенно-аналитических методов (метода Галеркина) строится метод конечных элементов, излагаемый в разд. 7.5.

Рассмотрим линейную краевую задачу (7.3),(7.4). Ее решение будем искать в виде

где [math]varphi_0(x), varphi_1(x), ldots, varphi_m(x)[/math] — элементы заданной системы функций; [math]a_1,ldots,a_m[/math] — неопределенные коэффициенты. Заданная система функций называется базисной, и ее элементы должны удовлетворять условиям:

а) [math]varphi_(x)in C_2[a,b],

б) при любом конечном [math]m[/math] функции [math]varphi_1(x), ldots, varphi_m(x)[/math] линейно независимы на отрезке [math][a,b][/math] ;

в) [math]varphi_0(x)[/math] удовлетворяет краевым условиям (7.4)

г) [math]varphi_1(x), ldots, varphi_m(x)[/math] удовлетворяют условиям

называется невязкой . Она равна разности левой и правой частей уравнения (7.3), образующейся при подстановке [math]widehat_(x)[/math] вместо [math]y(x)[/math] в дифференциальное уравнение, и характеризует степень отклонения функции [math]widehat_(x)[/math] от точного решения краевой задачи. Если при некоторых значениях коэффициентов [math]a_1,ldots,a_m[/math] невязка тождественно равна нулю на отрезке [math][a,b][/math] , а именно

то функция [math]widehat_(x)[/math] совпадает с точным решением краевой задачи (7.3),(7.4), так как удовлетворяются и уравнение, и краевые условия.

Однако при решении краевых задач, как правило, не удается получить невязку тождественно равной нулю. Поэтому ставится задача: вычислить коэффициенты [math]a_1,ldots,a_m[/math] таким образом, чтобы невязка в каком-либо смысле стала меньшей. Полученные в результате коэффициенты определяют приближенное решение (7.11).

Выражение для невязки [math]varepsilon(x; a_1,ldots, a_m)[/math] с учетом (7.11) удобно записывать в следующей эквивалентной форме:

где [math]Lwidehat_equiv widehat,»_(x)+ p(x)widehat,’_(x)-q(x) widehat_(x),

L[/math] — линейный оператор задачи (7.3),(7.4) (выполняются равенства [math]L(y+z)= Ly+Lz,[/math] [math]L(Cy)=Ccdot Ly[/math] для любых [math]y,,z[/math] и постоянной [math]C[/math] ).

Рассмотрим различные методы, минимизирующие невязку .

А. Метод коллокации. На интервале [math](a,b)[/math] задаются т точек [math]x_1,ldots, x_n[/math] (точек коллокации) и требуется, чтобы в каждой из них невязка (7.14) обращалась в нуль:

С учетом (7.16) эта система принимает вид

Если полученная система [math]m[/math] линейных уравнений совместна, то из нее определяются коэффициенты [math]a_1,ldots, a_m[/math] , которые затем подставляются в (7.11).

Б. Метод наименьших квадратов (непрерывный вариант). Неизвестные коэффициенты [math]a_1,ldots, a_m[/math] должны обеспечивать минимум интеграла от квадрата невязки:

Для решения задачи применяются необходимые условия безусловного экстремум:

Подставляя (7.16) в (7.19), получаем систему [math]m[/math] линейных алгебраических уравнений для нахождения коэффициентов [math]a_1,ldots, a_mcolon[/math]

В. Метод наименьших квадратов (дискретный вариант). Неизвестные коэффициенты [math]a_1,ldots,a_m[/math] должны обеспечивать минимум суммы квадратов значений невязки в заданном наборе точек [math]x_1,ldots,x_n;

n geqslant m[/math] , то есть [math]x_in (a,b),

Для решения задачи применяются необходимые условия безусловного экстремума

Отсюда следует система [math]m[/math] линейных уравнений для нахождения коэффициентов [math]a_1,ldots,a_m[/math] , которая по форме записи совпадает с (7.20), но скалярное произведение определяется по формуле [math]textstyle<(f,g)= sumlimits_^ f(x_)g(x_)>[/math] .

Замечание. При [math]n=m[/math] результаты, полученные точечным методом наименьших квадратов и методом коллокации, совпадают. В этом случае точки [math]x_1,ldots, x_n[/math] являются точками коллокации.

Г. Метод моментов (взвешенных невязок). Неизвестные коэффициенты ах. ат находятся из условия равенства нулю /и моментов невязки:

j=overline[/math] — функции, удовлетворяющие условиям:

б) функции [math]psi_(x)[/math] являются элементами системы степеней [math]x[/math] или системы тригонометрических функций.

j=overline[/math] называются весовыми, а условие (7.22) является условием ортогональности невязки к весовым функциям.

Д. Метод Галсркина. Он является частным случаем метода моментов, когда в качестве весовых функций используются базисные. Коэффициенты [math]a_1,ldots,a_m[/math] находятся из условия ортогональности функций базисной системы [math]varphi_1(x),ldots, varphi_(x)[/math] к невязке:

Отсюда следует система [math]m[/math] линейных уравнений для нахождения коэффициентов:

Известно, что при достаточно большом [math]m[/math] условие (7.23) обеспечивает малость невязки в среднем.

Видео:Метод Гаусса решения СЛАУ. Метод прогонки. Итерационные методы. Численные методы. Лекция №3Скачать

Алгоритм применения методов минимизации невязки

1. В выражении (7.11) выбрать систему базисных функций, задать число [math]m[/math] в зависимости от требуемой точности.

2. Найти коэффициенты [math]a_1,ldots,a_m[/math] путем решения одной из систем алгебраических уравнений (7.18),(7.20),(7.24) в зависимости от выбранного метода.

3. Выписать приближенное решение краевой задачи по формуле (7.11).

Пример 7.3. Найти приближенное решение краевой задачи [math]y»+y=-x,

0 leqslant x leqslant 1,[/math] [math]y(0)=0,

y(1)=0[/math] методом коллокации, интегральным методом наименьших квадратов, методом Галеркина

В поставленной задаче

Точное решение найдено в примере 7.1.

Воспользуемся сначала методом коллокации.

1. Зададим [math]m=2[/math] и будем искать решение в виде

где [math]varphi_0(x)equiv0[/math] (эта функция удовлетворяет каждому из краевых условий, т.е. [math]varphi_0(0)=0,

varphi_0(1)=0[/math] ), функции [math]varphi_1(x)= x(1-x),

varphi_2(x)= x^2(1-x)[/math] . Функции [math]varphi_1(x),, varphi_2(x)[/math] линейно независимые, дважды непрерывно дифференцируемые и удовлетворяют условию (7.13). Действительно,

Таким образом, решение краевой задачи ищется в форме

2. Так как [math]m=2[/math] и [math]varphi_0(x)equiv 0[/math] , то система (7.18) имеет вид

Выберем узлы коллокации: [math]x_1=1!!not<phantom>,4,

Таким образом, имеем линейную систему относительно [math]a_1[/math] и [math]a_2colon[/math]

3. Приближенное решение задачи: [math]widehat_2(x)= frac(42+40x)[/math] .

Решим теперь задачу методом наименьших квадратов (см. непрерывный вариант).

1. Решение краевой задачи ищется в форме [math]widehat_2(x)= a_1cdot x(1-x)+ a_2cdot x^2(1-x)[/math] .

2. Так как [math]f(x)=-x,

varphi_0(x)equiv 0[/math] , то система (7.20) имеет вид

Итак, имеем линейную систему относительно [math]a_1[/math] и [math]a_2colon[/math]

Приближенное решение задачи: [math]widehat_2(x)=0,!1875419x(1-x)+ 0,!1694707x^2(1-x).[/math] .

Решим задачу методом Галеркина.

1. Пусть сначала [math]m=1[/math] . Решение ищется в форме [math]widehat_1(x)= a_1cdot x(1-x)[/math] .

2. Тогда система (7.24) преобразуется к виду

Так как [math]varphi_1(x)= x(1-x),

Lvarphi_1(x)= varphi»_1(x)+ varphi_1(x)=-2+x(1-x)[/math] , получаем

После вычисления интегралов имеем уравнение [math]-frac,a_1=-frac[/math] , откуда [math]a_1=frac[/math] .

3. Приближенное решение краевой задачи: [math]widehat_1(x)=frac,x(1-x)[/math] . Пусть теперь [math]m=2[/math] .

1. Решение краевой задачи ищется в форме [math]widehat_2(x)=a_1cdot x(1-x)+ a_2cdot x^2(1-x)[/math] .

2. Тогда система (7.24) имеет вид

Вычисляя интегралы, находим

3. Приближенное решение краевой задачи: [math]widehat_2(x)= x(1-x)! left(frac+ frac,xright)[/math] .

Сопоставим полученные решения с точным (табл. 7.2).

7.2>>\hline x& y_<text>& y_<text>& y_<text>& text \hline 0,!25& 0,!045& 0,!04311& 0,!0440& 0,!044014 \hline 0,!50& 0,!071& 0,!06807& 0,!0698& 0,!069747 \hline 0,!75& 0,!062& 0,!05899& 0,!0600& 0,!060050 \hline end[/math]

Очевидно, метод Галеркина дал более точный результат.

Пример 7.4. Найти приближенное решение краевой задачи [math]y»+2xy’-2y=2x^2,

0 leqslant x leqslant 1,[/math] [math]y'(0)=-2,

y(1)+y'(1)=0[/math] методом Галеркина.

В поставленной задаче

1. Зададим [math]m=2[/math] и подберем функции [math]varphi_0(x),, varphi_1(x),, varphi_2(x)[/math] , используя систему [math]1,x,x^2,ldots[/math] . Функция [math]varphi_0(x)[/math] должна удовлетворять условиям (7.12):

Пусть [math]varphi_0(x)=b+cx[/math] , где [math]b,,c[/math] — неопределенные коэффициенты. Тогда

Отсюда [math]b=4[/math] и [math]varphi_0(x)=4-2x[/math] .

Функции [math]varphi_1(x),, varphi_2(x)[/math] должны удовлетворять условиям (7.13):

Первое условие выполняется для функций вида [math]varphi_= x^+b_[/math] . Значения [math]b_[/math] находятся из второго условия [math]1+b_+j+1=0[/math] , откуда [math]b_=-j-2[/math] . Тогда получаем [math]varphi_1(x)=x^2-3,

Таким образом, решение краевой задачи ищется в форме

2. Тогда система (7.24) имеет вид

3. Приближенное решение краевой задачи [math]widehat_2(x)= x^2-2x+1[/math] .

Видео:Сеточные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.Скачать

Методы сведения краевой задачи к задаче Коши

Метод стрельбы. Суть этого метода заключается в сведении решения краевой задачи к многократному решению задачи Коши. Принцип построения метода стрельбы рассмотрим на примере нелинейной краевой задачи:

где [math]f(x,y,y’)[/math] — нелинейная функция, обусловливающая нелинейность дифференциального уравнения (7.25).

При введении новой переменой [math]z=y'[/math] уравнение (7.25) записывается в нормальной форме Коши, а краевые условия видоизменяются:

где [math]eta=y'(a)=operatornamealpha[/math] — параметр, равный тангенсу угла наклона интегральной кривой в точке [math]x=a[/math] . Угол [math]alpha[/math] (параметр [math]eta[/math] ) в процессе многократного решения краевой задачи должен принять такое значение, чтобы интегральная кривая «попала в цель», т.е. в точку [math](b,B)[/math] (рис.7.2 ,а). В общем случае полученное при некотором значении [math]eta[/math] решение [math]y(x,eta)[/math] не будет удовлетворять условию [math]y(b,eta)=B[/math] на правом конце отрезка.

Следовательно, требуется найти такое значение параметра [math]eta[/math] , чтобы оно было корнем нелинейного уравнения [math]Phi(eta)= y(b,n)-B=0[/math] . Для решения этого уравнения, как правило, используются методы половинного деления или секущих. В случае использования метода половинного деления сначала делают «пробные» выстрелы при выбранных наугад или в соответствии с некоторым алгоритмом значениях [math]eta[/math] до тех пор, пока среди значений [math]Phi(eta)[/math] не окажется двух противоположных по знаку. Им соответствует начальный интервал неопределенности, который далее последовательно сокращается путем деления пополам. При применении метода секущих используется формула

где [math]eta^,,eta^[/math] — начальные значения параметра, [math]k[/math] — номер итерации. Итерации прекращаются при выполнении условия окончания [math]bigl|Phi(eta^)bigr| leqslant varepsilon[/math] или [math]bigl|eta^-eta^bigr| leqslant varepsilon[/math] с некоторым положительным [math]varepsilon[/math] , характеризующим точность решения задачи.

Замечание. Точность решения краевой задачи зависит не только от точности определения параметра [math]eta[/math] , но также и от точности решения соответствующей задачи Коши. Поэтому одновременно с уточнением параметра [math]eta[/math] рекомендуется уменьшать шаг при решении задачи Коши, либо выбирать более точный метод.

Рассмотрим применение метода стрельбы для решения линейной краевой задачи (7.3),(7.4):

🎥 Видео

14. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядкаСкачать

19. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные диф уравнения 2-го порядкаСкачать

16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Видеоурок "Нахождение частных решений по виду правой части"Скачать

Задача Коши для ЛНДУ II п. (e^x)Скачать

Дифференциальные уравнения, 8 урок, Линейные дифференциальные уравнения с const коэф-ами 2 порядкаСкачать

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать