Метод прогноза и коррекции решения дифференциальных уравнений

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА

Работу выполнил студент гр.И-29 Уханов Е.В.

Кафедра “Системы и Процессы Управления”

“ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ”

Харьков 2001

ВВЕДЕНИЕ

Во многих областях науки и техники , а также отраслях наукоемкой промышленности , таких как : авиационная , космическая , химическая , энергетическая , — являются весьма распространенные задачи прогноза протекания процессов , с дальнейшей их коррекцией .

Решение такого рода задач связано с необходимостью использования численных методов , таких как : метод прогноза и коррекции , метод Адамса-Башфорта , метод Эйлера , метод Рунге-Кута , и др. При этом , стоит задача решения системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка одним из методов интегрирования , на произвольном промежутке времени . Одним из оптимальных методов дающих высокую точность результатов – является пяти точечный метод прогноза и коррекции Адамса-Башфорта . Для повышения точности метода используется трех точечный метод прогноза и коррекции с автоматическим выбором шага , что приводит к универсальному методу интегрирования систем дифференциальных уравнений произвольного вида на любом промежутке интегрирования .

Разработка программных средств реализующих расчет точного прогноза протекания процессов , является важнейшей вспомогательной научно-технической задачей .

Целью данной курсовой работы является разработка алгоритма решения систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка пяти точечным методом прогноза и коррекции Адамса-Башфорта .

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим произвольную систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка :

(1.1)

А = (1.2)

где А заданная матрица размером N x N .

— вектор с N координатами , который подлежит определению ;

N – произвольное целое число ;

заданные вектора правых частей с N координатами .

С использованием метода прогноза и коррекции Адамса-Башфорта пятого порядка , необходимо получить значения неизвестных для заданных временных интервалов . Для стартования метода необходимо использовать метод прогноза и коррекции третьего порядка с переменным шагом , на заданных временных промежутках ..

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

Метод прогноза и коррекции

Метод прогноза и коррекции относится к задачам класса Коши , а именно к численным решениям многошаговыми методами .

Рассмотрим задачу Коши :

, (2.1.1)

Подставим в (2.1.1) точное решение y(x) , и проинтегрируем это уравнение на отрезке , тогда получим :

(2.1.2)

где в последнем член предполагаем , что p(x) полином , аппроксимирующий f(x,y(x)) . Чтобы построить этот полином , предположим , что — приближения к решению в точках . Будем считать для начала , что узлы Xi расположены равномерно с шагом h . тогда fi = f(xi,yi), ( i=k,k-1,k-2,…,k-N) есть приближения к f (x,y(x)) в точках и мы в качестве P возьмем интерполяционный полином для выбора данных (xi,fi) ,

( i =k,k-1,k-2,…,k-N) . Таким образом , P – полином степени N , удовлетворяющий условиям P(xi)=fi , ( i = k,k-1,k-2,…,k-N) . В принципе , можем проинтегрировать этот полином явно , что ведет к следующему методу :

(2.1.3)

В простейшем случае , когда N=0 , полином P есть константа , равная fk , и (2.1.3) превращается в обычный метод Эйлера :

(2.1.4)

Если N=1 , то P есть линейная функция , проходящая через точки

(xk-1,fk-1) и (xk,fk) , т.е.

(2.1.5)

интегрируя этот полином от Xk до Xk+1 , получим следующий метод :

(2.1.6)

который является двухшаговым , поскольку использует информацию в двух точках xk и xk-1 . Аналогично , если N=2 , то P — есть кубический интерполяционный полином , а соответствующий метод определяется формулой :

(2.1.7)

Отметим , что метод (2.1.6) – есть метод Адамса-Башфорта второго порядка , (2.1.7) – метод Адамса-Башфорта четвертого порядка .

Для стартования метода (2.1.7) необходимы сведения о четырех предыдущих точках . Соответственно данный метод требует вычисления стартующих данных . Воспользуемся для нахождения второй точки одношаговым методом Эйлера , который имеет вид :

Таким образом , подставляя начальные условия, мы находим вторую точку . Следует заметить , что степень точности совпадает со степенью точности остальных методов , что является существенным фактором в стартовании метода прогноза и коррекции .

Ввиду того , что стартовые методы имеют более низкий порядок , в начале приходится считать с меньшим шагом и с использованием большего промежутка времени . В данном случае метод Эйлера для дальнейшего интегрирования не оправдывает себя . Для этих целей воспользуемся трехшаговым методом прогноза и коррекции с переменным шагом .

Рассуждая также , как для метода Адамса-Башфорта , который излагается в работах : [1],[2],[3] , мы мы приходим к формулам :

(2.1.8)

(2.1.9)

где h — шаг интегрирования , изменяющийся на малом промежутке времени в соответствии с условиями Рунге :

,

где в свою очередь — малое конкретное значение , при невыполнении условия которого увеличивается шаг h=h*N а — малое конкретное значение , при невыполнении условия шаг соответственно уменьшается h=h/N , где N — некоторое целое число больше единицы .

Оптимально , для вычисления новой точки , с помощью метода прогноза и коррекции , используется формула :

(2.1.10)

Таким образом, мы воспользовались простым трех шаговым методом прогноза и коррекции , для стартования метода Адамса-Башфорта . Преимущества данного метода заключаются :в его высокой точности , авто подборе шага , что во много раз повышает точность самого метода Адамса-Башфорта , и делает его оптимальным для задач такого рода .

Метод Адамса-Башфорта использует уже посчитанные значения в точке Xk и в предыдущих точках . В принципе , при построении интерполяционного полинома , мы можем использовать и точки Xk+1,Xk+2,… . Простейший случай при этом состаит в использовании точек Xk+1,Xk,…,Xk-N

и построения интерполяционного полинома степени N+1 , удовлетворяющего условиям P(Xi)=fi , (I=k+1,k,…,k-N) . При этом возникает класс методов , известных как методы Адамса-Моултона . Если N=0 , то p – линейная функция , проходящая через точки (Xk,fk) и (Xk+1,f k+1) , и соответствующий метод :

(2.1.11)

является методом Адаиса-Моултона [2] , именно им мы воспользовались в формуле (2.1.9) – коррекции спрогнозированной точки в трех шаговом методе . Если N=2 , то p – кубический полином , построенный по точкам и соответствующий метод :

(2.1.12)

является методом Адамса-Моултона четвертого порядка . В силу того , что по сути fk+1 – неизвестная , то методы Адамса-Моултона (2.1.11),(2.1.12) называют неявными . В тоже время методы Адамса-Башфорта – называют явными .

Теперь воспользовавшись явной формулой (2.1.7) , и неявной формулой (2.1.12) , используя их совместно , мы приходим к методу Адамса-Башфорта четвертого порядка :

(2.1.13)

Стоит обратить внимание , что в целом этод метод является явным . Сначало по формуле Адамса-Башфорта вычисляется значение , являющееся “прогнозом” . Затем используется для вычисления приближенного значения , которое в свою очередь используется в формуле Адамса-Моултона . Таким образом формула Адамса-Моултона “корректирует” корректирует приближение , называемое формулой Адамса-Башфорта .

Теперь рассмотрим произвольную систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка :

A =

Заданная матрица размером NxN ; — вектор с N координатами , который подлежит определению . В связи с тем , что связь между искомыми неизвестными определяется матрицей коэффициентов A , на каждом шаге по времени , необходимо решить систему относительно неизвестных скоростей , для её решения воспользуемся модифицированным методом Гаусса , который описан в разделе 2.2 .

Далее, интегрируя сначала ранее описанными методами : методом Эйлера на первом шаге , трех точечным методом прогноза и коррекции с авто подбором шага , на малом промежутке времени и с малым начальным шагом , для повышения точности стартующих методов на оставшемся промежутке времени производим интегрирование с постоянным шагом – пяти точечным методом прогноза и коррекции Адамса-Башфорта (2.1.13) , [2] , [3] .

Видео:Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Лучше всего это делать в виде дифференциальных уравнений (ДУ) или системы дифференциальных уравнений. Наиболее часто они такая задача возникает при решении проблем, связанных с моделированием кинетики химических реакций и различных явлений переноса (тепла, массы, импульса) – теплообмена, перемешивания, сушки, адсорбции, при описании движения макро- и микрочастиц.

Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) n-го порядка называется следующее уравнение, которое содержит одну или несколько производных от искомой функции y(x):

, здесь y (n) обозначает производную порядка n некоторой функции y(x), x – это независимая переменная.

В ряде случаев дифференциальное уравнение можно преобразовать к виду, в котором старшая производная выражена в явном виде. Такая форма записи называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной (при этом в правой части уравнения старшая производная отсутствует):

(6.1)

Именно такая форма записи принята в качестве стандартной при рассмотрении численных методов решения ОДУ.

Линейным дифференциальным уравнением называется уравнение, линейное относительно функции y(x) и всех ее производных.

Например, ниже приведены линейные ОДУ первого и второго порядков

Решением обыкновенного дифференциального уравнения называется такая функция y(x), которая при любых х удовлетворяет этому уравнению в определенном конечном или бесконечном интервале. Процесс решения дифференциального уравнения называют интегрированием дифференциального уравнения.

Общее решение ОДУ n -го порядка содержит n произвольных констант C₁ , C₂ , …, C_n

Это очевидно следует из того, что неопределенный интеграл равен первообразной подынтегрального выражения плюс константа интегрирования

Так как для решения ДУ n -го порядка необходимо провести n интегрирований, то в общем решении появляется n констант интегрирования.

Частное решение ОДУ получается из общего, если константам интегрирования придать некоторые значения, определив некоторые дополнительные условия, количество которых позволяет вычислить все неопределенные константы интегрирования.

Точное (аналитическое) решение (общее или частное) дифференциального уравнения подразумевает получение искомого решения (функции y(x)) в виде выражения от элементарных функций. Это возможно далеко не всегда даже для уравнений первого порядка.

Численное решение ДУ (частное) заключается в вычислении функции y(x) и ее производных в некоторых заданных точках , лежащих на определенном отрезке. То есть, фактически, решение ДУ n -го порядка вида получается в виде следующей таблицы чисел (столбец значений старшей производной вычисляется подстановкой значений в уравнение):

Например, для дифференциального уравнения первого порядка таблица решения будет представлять собой два столбца – x и y .

Множество значений абсцисс в которых определяется значение функции, называют сеткой, на которой определена функция y(x) . Сами координаты при этом называют узлами сетки. Чаще всего, для удобства, используются равномерные сетки, в которых разница между соседними узлами постоянна и называется шагом сетки или шагом интегрирования дифференциального уравнения

или , i = 1, …, N

Для определения частного решения необходимо задать дополнительные условия, которые позволят вычислить константы интегрирования. Причем таких условий должно быть ровно n . Для уравнений первого порядка – одно, для второго — 2 и т.д. В зависимости от способа их задания при решении дифференциальных уравнений существуют три типа задач:

· Задача Коши (начальная задача): Необходимо найти такое частное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет определенным начальными условиям, заданным в одной точке:

то есть, задано определенное значение независимой переменной (х₀) , и значение функции и всех ее производных вплоть до порядка (n-1) в этой точке. Эта точка (х₀) называется начальной. Например, если решается ДУ 1-го порядка, то начальные условия выражаются в виде пары чисел (x₀, y₀)

Такого рода задача встречается при решении ОДУ, которые описывают, например, кинетику химических реакций. В этом случае известны концентрации веществ в начальный момент времени (t = 0) , и необходимо найти концентрации веществ через некоторый промежуток времени (t) . В качестве примера можно так же привести задачу о теплопереносе или массопереносе (диффузии), уравнение движения материальной точки под действием сил и т.д.

· Краевая задача. В этом случае известны значения функции и (или) ее производных в более чем одной точке, например, в начальный и конечный момент времени, и необходимо найти частное решение дифференциального уравнения между этими точками. Сами дополнительные условия в этом случае называются краевыми (граничными) условиями. Естественно, что краевая задача может решаться для ОДУ не ниже 2-го порядка. Ниже приведен пример ОДУ второго порядка с граничными условиями (заданы значения функции в двух различных точках):

· Задача Штурма-Лиувиля (задача на собственные значения). Задачи этого типа похожи на краевую задачу. При их решении необходимо найти, при каких значениях какого-либо параметра решение ДУ удовлетворяет краевым условиям (собственные значения) и функции, которые являются решением ДУ при каждом значении параметра (собственные функции). Например, многие задачи квантовой механики являются задачами на собственные значения.

Численные методы решения задачи Коши ОДУ первого порядка

Рассмотрим некоторые численные методы решения задачи Коши (начальной задачи) обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Запишем данное уравнение в общем виде, разрешенном относительно производной (правая часть уравнения не зависит от первой производной):

(6.2)

Необходимо найти значения функции y в заданных точках сетки , если известны начальные значения , где есть значение функции y(x) в начальной точке x₀.

Преобразуем уравнение умножением на d x

И проинтегрируем левую и правую части между i -ым и i+ 1-ым узлами сетки.

(6.3)

Мы получили выражение для построения решения в i+1 узле интегрирования через значения x и y в i -ом узле сетки. Сложность, однако, заключается в том, что интеграл в правой части есть интеграл от неявно заданной функции, нахождение которого в аналитическом виде в общем случае невозможно. Численные методы решения ОДУ различным способом аппроксимируют (приближают) значение этого интеграла для построения формул численного интегрирования ОДУ.

Из множества разработанных для решения ОДУ первого порядка методов рассмотрим методы Эйлера, Рунге-Кутта и прогноза и коррекции. Они достаточно просты и дают начальное представление о подходах к решению данной задачи в рамках численного решения задачи Коши.

Исторически первым и наиболее простым способом численного решения задачи Коши для ОДУ первого порядка является метод Эйлера. В его основе лежит аппроксимация производной отношением конечных приращений зависимой (y) и независимой (x ) переменных между узлами равномерной сетки:

где y_i+1 это искомое значение функции в точке x_i+1 .

Если теперь преобразовать это уравнение, и учесть равномерность сетки интегрирования, то получится итерационная формула, по которой можно вычислить y_i+1 , если известно y_i в точке х_i :

(6.4)

Сравнивая формулу Эйлера с общим выражением, полученным ранее, видно, что для приближенного вычисления интеграла в (6.3) в методе Эйлера используется простейшая формула интегрирования — формула прямоугольников по левому краю отрезка.

Графическая интерпретация метода Эйлера также не представляет затруднений (см. рисунок ниже). Действительно, исходя из вида решаемого уравнения (6.2) следует, что значение есть значение производной функции y(x) в точке x=x_i — , и, таким образом, равно тангенсу угла наклона каcательной, проведенной к графику функции y(x) в точке x=x_i .

Из прямоугольного треугольника на рисунке можно найти

,

откуда и получается формула Эйлера. Таким образом, суть метода Эйлера заключается в замене функции y(x) на отрезке интегрирования прямой линией, касательной к графику в точке x=x_i . Если искомая функция сильно отличается от линейной на отрезке интегрирования, то погрешность вычисления будет значительной. Ошибка метода Эйлера прямо пропорциональна шагу интегрирования:

Процесс вычислений строится следующим образом. При заданных начальных условиях x₀ и y₀ можно вычислить

Таким образом, строится таблица значений функции y(x) с определенным шагом (h) по x на отрезке [x₀, x_N]. Ошибка в определении значения y(x_i) при этом будет тем меньше, чем меньше выбрана длина шага h (что определяется точностью формулы интегрирования).

При больших h метод Эйлера весьма неточен. Он дает все более точное приближение при уменьшении шага интегрирования. Если отрезок [x_i, x_i+1] слишком велик, то каждый участок [x_i, x_i+1] разбивается на N отрезков интегрирования и к каждому их них применяется формула Эйлера с шагом , то есть шаг интегрирования h берется меньше шага сетки, на которой определяется решение.

Используя метод Эйлера, построить приближенное решение для следующей задачи Коши:

На сетке с шагом 0,1 в интервале [0, 1] (6.5)

Данное уравнение уже записано в стандартном виде, резрешенном относительно производной искомой функции.

Поэтому, для решаемого уравнения имеем

Примем шаг интегрирования равным шагу сетки h = 0,1. При этом для каждого узла сетки будет вычислено только одно значение ( N=1 ). Для первых четырех узлов сетки вычисления будут следующими:

Полные результаты (с точностью до пятого знака после запятой) приведены в таблице 1 в третьей колонке — h =0,1 ( N =1). Во второй колонке таблицы для сравнения приведены значения, вычисленные по аналитическому решению данного уравнения .

Во второй части таблицы приведена относительная погрешность полученных решений. Видно, что при h =0,1 погрешность весьма велика, достигая 100% для первого узла x =0,1.

Таблица 1 Решение уравнения (6.5) методом Эйлера (для колонок указан шаг интегрирования и число отрезков интегрирования N между узлами сетки)

Относительные погрешности вычисленных значений функции при различных h

Уменьшим шаг интегрирования вдвое, h = 0.05, в этом случае для каждого узла сетки вычисление будет проводиться за два шага ( N =2). Так, для первого узла x =0,1 получим:

И так далее, до конца отрезка.

Из таблицы 1 (четвертая колонка, N =2) видно, что погрешность решения резко снизилась, примерно вдвое, хотя и осталась по-прежнему, значительной.

При шаге интегрирования h =0,025 для каждого узла сетки необходимо выполнить 4 вычисления по формуле Эйлера в промежуточных точках ( N =4).

(Для других узлов значения приведены в таблице 1, колонка N =4)

В таблице 1 приведены для сравнения вычисления для некоторых других значений N , вплоть до 512. Видно, что точность решения возрастает весьма медленно при уменьшении шага интегрирования, необходимо брать очень маленький шаг для достижения приемлемой точности (и, следовательно, много раз вычислять значение F(x,y)) . Поэтому метод Эйлера практически не используется в вычислительной практике.

Усовершенствованный метод Эйлера. Метод Гюна.

Точность метода Эйлера можно повысить, если воспользоваться для аппроксимации интеграла более точной формулой интегрирования – формулой трапеций.

(6.6)

Данная формула оказывается неявной относительно y_i+1 (это значение есть и в левой и в правой части выражения), то есть является уравением относительно y_i+1 , решать которое можно, например, численно, применяя какой-либо итерационный метод (в таком виде его можно рассматривать как итерационную формула метода простой итерации). Однако, можно поступить иначи и приблизительно вычислить значение функции в узле i+1 с помощью обычной формулы Эйлера:

,

которое затем использовать при вычислении по (6.6).

Таким образом получается метод Гюна или метод Эйлера с пересчетом. Для каждого узла интегрирования производится следующая цепочка вычислений

(6.7)

Благодаря более точной формуле интегрирования, погрешность метода Гюна пропорциональна уже квадрату шага интегрирования.

Подход, использованный в методе Гюна, используется для построения так называемых методов прогноза и коррекции, которые будут рассмотрены позже.

Проведем вычисления для уравения (6.5) с помощью метода Гюна.

При шаге интегрирования h =0,1 в первом узле сетки x₁ получим:

Что намного точнее значения, полученного методом Эйлера при том же шаге интегрирования. В таблице 2 ниже приведены сравнительные результаты вычислений при h = 0,1 методов Эйлера и Гюна.

Таблица 2 Решение уравнения методами Эйлера и Гюна

Отметим существенное увеличение точности вычислений метода Гюна по сравнению с методом Эйлера. Так, для узла x =0,1 относительное отклонение значения функции, определенного методом Гюна, оказывается в 30 (!) раз меньше. Такая же точность вычислений по формуле Эйлера достигается при числе отрезков интегрирования N примерно 30. Следовательно, при использовании метода Гюна при одинаковой точности вычислений понадобится примерно в 15 раз меньше времени ЭВМ, чем при использовании метода Эйлера.

Проверка устойчивости решения

Решение ОДУ в некоторой точке x_i называется устойчивым, если найденное в этой точке значение функции y_i мало изменяется при уменьшении шага интегрирования. Для проверки устойчивости, таким образом, надо провести два расчета значения (y_i) – с шагом интегрирования h и при уменьшенной (например, двое) величине шага

В качестве критерия устойчивости можно использовать малость относительного изменения полученного решения при уменьшении шага интегрирования ( ε – наперед заданная малая величина)

Такая проверка может осуществляться и для всех решений на всем интервале значений x. Если условие не выполняется, то шаг снова делится пополам и находится новое решение и т.д. до получения устойчивого решения.

Дальнейшее улучшение точности решения ОДУ первого порядка возможно за счет увеличения точности приближенного вычисления интеграла в выражении (6.3).

Мы уже видели, какое преимущество дает переход от интегрирования по формуле прямоугольников (метод Эйлера) к использованию формулы трапеций (метод Гюна) при аппроксимации этого интеграла.

Воспользовавшись хорошо зарекомендовавшей себя формулой Симпсона, можно получить еще более точную формулу для решения задачи Коши для ОДУ первого порядка — широко используемого в вычислительной практике метода Рунге-Кутты.

В формуле Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла используются значения подинтегрального выражения в трех точках. В интеграле их всего две, поэтому введем дополнительную точку в середине отрезка [ x_i+1 x_i ]

тогда можно переписать так:

Полученное выражение является неявным, так как в правой части содержатся еще не определенные значения функции y_i+h/2 и y_i+1 . Чтобы воспользоваться этой формулой, надо использовать некоторое приближение для вычисления этих значений

При использовании различных методов приближенного вычисления этих величин, получаются выражения для методов Рунге-Кутты различного порядка точности.

Алгоритм Рунге-Кутты третьего порядка — РК3 (погрешность порядка h 3 ):

(6.8)

Алгоритм Рунге-Кутты четвертого порядка- РК4 (погрешность порядка h 4 ):

(6.9)

Алгоритмы третьего и четвертого порядков требуют на каждом шаге трех и четырех вычислений функции соответственно, но являются весьма точными.

Используя алгоритм Рунге-Кутты третьего (6.8) и четвертого (6.9) порядков решить задачу (6.5) с шагом h =0.1:

Для алгоритма третьего порядка (для узла x =0.1) вычисления таковы:

Для алгоритма четвертого порядка (для узла x =0.1) вычисления таковы:

Приведем таблицу решения с шагом интегрирования h =0,1 методов Рунге-Кутты 3-го (РК3) и четвертого (РК4) порядков на интегрвале [0,1] и их относительные отклонения от точного решения.

Как видно, точность решения, полученного методом Рунге-Кутты четвертого порядка, намного превышает точность решения, полученного методом Гюна и методом Рунге-Кутты 3-го порядка (сравнте с данными Таблицы 2). При шаге h = 0,1 он позволил точно определить четыре значащие цифры решения, тогда как для достижения такой точности с помощью метода Эйлера необходимо взять h = 0,0001, что требует более тысячи (. ) вычислений функции F(x,y ). При шаге h = 0,05 точность решения в этом узле достигает шести значащих цифр.

Высокая точность, вместе с достаточной простотой реализации делает метод Рунге-Кутты четвертого порядка одним из весьма распространенных численных методов решения задачи Коши ОДУ и систем ОДУ первого порядка.

Рассмотренные ранее методы (Эйлера, Гюна, Рунге-Кутты) используют значение функции на одном предшествующем шаге, поэтому они относятся к так называемым одношаговым методам. Точность вычислений можно увеличить, если использовать при нахождении решения в некотором узле x_i информацию о значениях функции, полученных в нескольких ( k ) предыдущих узлах сетки интегрирования (x_i-1, x_i-2 … x_i-k ).

Если используются значения в k предыдущих узлах, то говорят о k-шаговом методе интегрирования уравнения. Одним из способов построения многошаговых методов заключается в следующем. По значениям функции, вычисленным в k предшествующих узлах, строится интерполяционный полином степени (k-1) — , который используется при интегрировании дифференциального уравнения по выражению (6.3). Интеграл при этом выражается через квадратурную формулу:

,

где λ_l – квадратурные коэффициенты.

Очевидно, что при k =1 в качестве частного случая получается уже известная нам формула Эйлера. Значения квадратурных коэффициентов для k от 2 до 4 приведены в таблице.

Полученное таким образом семейство формул называется явной k -шаговой схемой Адамса (методы Адамса-Башфорта).

Например, четырехшаговая явная формула Адамса может быть записана так:

Если для построения интерполяционного полинома использовать k узлов, начиная с x_i+1, то можно получить формулы интегрирования ОДУ, известные как неявные схемы Адамса (или методы Адамса-Моултона). Неявными эти формулы называются потому, что значение искомой функции в (i+1)-м узле — y_i+1 — оказывается одновременно и в левой и правой частях равенства.

Квадратурные коэффициенты для неявных методов Адамса приведены в таблице ниже.

Например, четырехшаговая неявная формула Адамса-Моултона имеет вид:

Видно, что это выражение является уравнением относительно y_i+1, так как y_i+1 встречается и в левой и правой его части. Однако обычно это уравнение не решается, а значение в правой части заменяется на рассчитанное по какой-либо явной формуле — например, формуле Адамса-Башфорта. Такой подход лежит в основе методов «прогноза-коррекции».

Достоинством многошаговых методов Адамса при решении ОДУ заключается в том, что в каждом узле рассчитывается только одно значение правой части ОДУ — функции F(x,y ). К недостаткам можно отнести невозможность старта многошагового метода из единственной начальной точки, так как для вычислений по k -шаговой формуле необходимо знание значения функции в k узлах. Поэтому приходится (k-1) решение в первых узлах x₁, x₂, …, x_k-1 получать с помощью какого-либо одношагового метода, например метода Рунге-Кутты 4–го порядка.

Другой проблемой является невозможность изменения шага в процессе решения, что легко реализуется в одношаговых методах.

Методы прогноза и коррекции

Несколько иной подход используется в многошаговых методах прогноза и коррекции. В качестве иллюстрирующего примера рассмотрим 2-х шаговый метод прогноза и коррекции.
Пусть дано ДУ для которого известно значение функции в двух соседних узлах сетки:

Сначала строится прогноз значения в (i+1) -ом узле интегрирования по какой-либо грубой формуле (при k =2 это метод Эйлера) по предудущему узлу.

Затем это значение корректируется по более точной формуле, в данном случае – по формуле трапеций (неявная формула Адамса второго порядка)

В качестве решения в узле x_i+1 берется

где E_c — ошибка коррекции

Для того чтобы начать расчет методом прогноза и коррекции, необходимо знать значения функции в двух первых узлах сетки — x₀ и x₁ — . Обычно значение в узле x₁ определяется каким-либо одношаговым методом (методом Рунге-Кутты или Гюна).

На каждом шаге построения решения методом прогноза и коррекции требуется вычислить всего одно значение функции, а одно берется из предыдущего узла сетки. Поэтому он весьма экономичен по затратам времени вычислений при достаточной точности.

Погрешность описываемого метода пропорциональна h 3 (d

Аналогичные схемы прогноза-коррекции могут быть получены сочетанием явных (прогноз) и неявных (коррекция) формул Адамса для различных k. Так, например, широко применяется четырехшаговый метод прогноза-коррекции, в котором в качестве прогноза используется 4-х шаговая формула Адамса-Башфорта, а для коррекции — 4-х шаговая формула Адамса-Моултона. Погрешность такого метода пропорциональна

С использованием алгоритма прогноза и коррекции второго порядка решить ДУ в точке x₂ = 0,2 при h = 0,1 со следующими начальными значениями:

При h = 0,1 получаем

Аналитическое решение уравнения (с точностью до 9 знака после запятой) дает значение
y (0,2) =0,018730753. Относительная погрешность составляет 0,049%.

Решение задачи Коши для систем дифференциальных уравнений 1-го порядка

Системой M дифференциальных уравнений первого порядка в общем случае можно назвать следующую совокупность Обыкновенных дифференциальных уравнений:

,

Где есть некоторые функции независимой переменной х , причем правые части уравнений не зависят от производных y_i(x) , то есть все уравнения разрешены относительно производных функций.

Начальными условиями при решения задачи Коши для такой системы будут являться значение независимой переменной и значения всех M функций при этом значении:

Все описанные ранее методы решения задачи Коши для уравнений легко обобщаются на случай решения систем ДУ первого порядка. Формулы выбранного метода применяются последовательно к каждому уравнению системы уравнений для определения значения соответствующей функции. Из первого уравнения определяется значение y _{1 i} , из второго – y _{2 i} , …, из M -го — y_Mi .

В качестве примера рассмотрим применение метода Рунге-Кутты 4-го порядка для решения системы двух ОДУ первого порядка.

Адаптируем формулу Рунге-Кутты 4-го порядка для данной системы уравнений. Из первого уравнения будем вычислять значения функции u(x), а из второго – функции v(x) (это функции, чьи производные стоят в левой части соотетствующих уравнений):

Аналогично для второго:

С учетом вышесказанного, для расчета коэффициентов k_u0 — k_u3 используем правую часть первого уравнения ( F ₁), а для коэффициентов k_v0 — k_v3 — второго ( F₂). Кроме этого, для расчета приращения функции u используем коэффициенты k_u, а для расчета приращения функции v — k_v. Таким образом, коэффициенты рассчитываются по следующим формулам:

Модель «хищник-жертва»

Примером задачи, сводимой к системе нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка, является задача «хищник — жертва» (модель Лóтки-Вольтéрры). Данная модель довольно широко применяется при описании временной зависимости объема популяций в биологических системах, при моделировании экономических и физических процессов.
Задача формулируется следующим образом. Пусть в системе в некоторый момент времени t имеются хищники (например, волки) в количестве v ( t ) и жертвы (например, зайцы) в количестве u ( t ). Модель «хищник — жертва» утверждает, что u ( t ) и v ( t ) удовлетворяют системе ОДУ первого порядка:

Где A , B , C и D – некоторые числовые константы.
Действительно, если зайцы имеют достаточно травы для питания, то скорость роста популяции будет прямо пропорциональна их числу (первое слагаемое в первом уравнении). Второе слагаемое описывает гибель зайцев при встрече с хищниками, так как вероятность их встречи равна произведению . Второе уравнение описывает изменение популяции хищников. Скорости роста популяции способствует их хорошее питание (первое слагаемое второго уравнения пропорционально вероятности встречи хищника и жертвы — ), а избыток хищников приводит к их гибели за счет голода (второе слагаемое).

Применим метод Рунге-Кутты 4-го порядка для решения полученной системы уравнений. Сравнивая решаемую систему и систему, записанную в стандартной форме, заметим, что:

Значения функций u и v находятся по уже известным формулам:

Решение задачи Коши для дифференциальных уравнений второго и более высоких порядков

Задачу Коши для ОДУ второго порядка

,

можно свести к решению системы двух ДУ первого порядка, если ввести некоторую функцию

тогда и система примет вид

при начальных условиях

Аналогично, ОДУ порядка n сведется к системе из n дифференциальных уравнений первого порядка.

Движение тела под действием пружины
Рассмотрим некоторое материальное тело массой m , которое движется по горизонтальной поверхности (в общем случае – с трением) под действием пружины.

Сила упругого сжатия (растяжения) пружины описывается законом Гука и пропорциональна смещению тела от положения равновесия пружины ( x = 0):

k – коэффициент жесткости пружины.
Сила трения направлена всегда против движения тела и пропорциональна его скорости:

с – коэффициент трения.
Баланс сил, действующих на тело в каждый момент времени можно записать так:

С учетом того, что координата тела есть функция от времени, а скорость и ускорение – это первая и вторая производная координаты во времени, соответственно, получим:

Таким образом, изменение координаты тела от времени описывается ОДУ 2-го порядка, которое в стандартном виде записывается так:

Начальными условиями в данной задачи являются значения координаты тела и его скорости в начальный момент времени (t = 0):

Как было показано, ОДУ 2-го порядка сводится к системе двух уравнений 1-го порядка подстановкой:

Окончательно система ОДУ принимает вид:

с начальными условиями

Применим метод Рунге-Кутты 4-го порядка для решения полученной системы уравнений. Правые части уравненией имеют вид:

Из первого уравнения рассчитываем значения функции x ( t ), из второго – v ( t ).

Теперь запишем соответствующие выражения для расчета коэффициентов k _x0 – k _x3 и k _v0 — k _v3.

Решение других проблем, связанных с дифференциальными уравнениями – задачи с граничными условиями и задачи на собственные значения и функции в данном курсе не рассматриваются.

Химические задачи, сводящиеся к решению ДУ

Кинетика химических реакций

для которой k₁ и k₂ k₃ — константы скорости реакций:

Решение системы из четырех ДУ зависит от начальных значений концентраций веществ

и от констант скоростей реакций k₁, k₂ и k₃ .

Видео:Метод ЭйлераСкачать

Лекции по вычислительной математике — файл n10.doc

Лекции по вычислительной математике
скачать (556.5 kb.)
Доступные файлы (11):

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

n10.doc

Глава 8. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
8.1. Введение

Во многих областях прикладной математики возникают уравнения, содержащие производную функцию одной переменной. Например, в ситуациях, где рассматривается степень изменения одной переменной по отношению к другой переменной. Такая ситуация описывается дифференциальным уравнением и встречается весьма часто.

● Обыкновенным дифференциальным уравнением называют уравнение, в которое входит функция, зависящая от одной переменной, вместе с несколькими своими производными.

(1)

В зависимости от номера старшей производной, входящей в уравнение, определяют порядок уравнения: дифференциальные уравнения первого порядка, дифференциальные второго порядка и т.д.

Решить дифференциальное уравнение – значит найти функцию, входящую в уравнение.

Различают аналитические и численные методы решения. При аналитическом решении уравнения, находят, соответственно, аналитическое выражение функции, а при численном решении – получают таблицу значений функции на некотором отрезке (в некоторой области).

Существует множество приемов для нахождения решений дифференциальных уравнений через элементарные или через специальные функции. Классические методы решения дифференциальных уравнений на практике очень часто или вообще неприменимы, либо приводят к таким сложным решениям, что затраты труда на их получение или на соответствующие расчеты превосходят все допустимые пределы. В таких случаях решить дифференциальное уравнение можно только численными методами.

Рассмотрим, что представляет собой решение дифференциального уравнения графически. Аналитическое выражение искомой функции будет содержать некоторую константу c (постоянную интегрирования), в зависимости от значения которой, интегральная кривая, соответствующая искомой функции будет смещаться вдоль оси Оу. Таким образом, графическое решение дифференциального уравнения – семейство интегральных кривых.

При различных значениях константы c, искомая функция будет принимать в одной и той же точке различные значения. В связи с этим, численное решение дифференциальных уравнений требует дополнительных условий.

Если в дополнении к дифференциальному уравнению задать значение y для некоторого значения x, то можно однозначно определить постоянную c. В зависимости от накладываемых на искомую функцию условий, различают и задачи численного решения дифференциальных уравнений: задача Коши, краевая задача.
8.2. Задача Коши

Видео:7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать

Постановка задачи

Дано дифференциальное уравнение и начальные условия . Необходимо найти функцию y(x), обращающую данное уравнение в верное равенство, и удовлетворяющую начальным условиям.

Простейшим дифференциальным уравнением является уравнение первого порядка:

(2)

Задача Коши для уравнения (2) будет звучать так: найти решение уравнения (2) в виде функции y(x), удовлетворяющей начальному условию:

(3)

Существование и единственность решения уравнения (2) обеспечиваются теоремой:

Теорема Пикара. Если функция f определена и непрерывна в некоторой области G определяемой равенствами:

(4)

и удовлетворяет в этой области условию Липшица по y: , то на некотором отрезке , где h – положительное число, существует и притом только одно решение y=y(x) уравнения (2), удовлетворяющее условию (3).

Здесь М – постоянна (константа Липшица), зависящая в общем случае от a и b. Если f(x,y) имеет ограниченную в G производную, то при можно принять .

Геометрический поиск решения уравнения (2) в виде функции y(x), удовлетворяющей условию (3) означает, что требуется найти интегральную кривую y=y(x), проходящую через заданную точку при выполнении равенства (3).

Решение уравнений высших порядков можно свести к решению системы уравнений первого порядка. Например, уравнение второго порядка можно записать в виде системы двух уравнений первого порядка:

В зависимости от представления решения, методы условно подразделяются на три основные группы:

1 Аналитические методы, применения которых дает решение дифференциального уравнения в виде аналитического выражения.

2 Графические методы, дающие приближенное решение в виде графика.

3 Численные методы, когда искомая функция получается в виде таблицы.
8.3. Метод Эйлера

Дано дифференциальное уравнение с начальным условием . Необходимо найти таблицу значений функции на отрезке методом Эйлера.

Рассмотрим графическую интерпретацию метода. Разобьем отрезок на n частей с шагом , причем шаг h должен быть достаточно малым, построим систему равноотстоящих точек . – искомая интегральная кривая. Так как уравнение представляет собой выражение производной , а геометрический смысл производной – тангенс угла наклона касательной, то вместо искомой интегральной кривой рассмотрим касательную к ней в точке . Видно, что значение y₁ можно найти, добавив к y₀ приращение ∆y=LP. LP – катет в прямоугольном треугольнике KLP, его длину можно найти по формуле . Тогда формула для нахождения y₁ примет вид: .

Пользуясь теми же рассуждениями, зная значение y₁, можно найти значения y₂, а затем и все последующие значения функции.

В общем виде формула Эйлера имеет вид:

(5)

Метод Эйлера обладает малой точностью, к тому же погрешность каждого нового шага возрастает. Наиболее удобным на практике является модификация метода Эйлера, в данном случае способ двойного счета с шагом h и с шагом . Если расхождение полученных значений не превышает допустимой погрешности, то шаг для данного этапа выбран правильно, в противном случае шаг уменьшается в два раза.

Совпадение десятичных знаков в полученных двумя способами результатах дает естественные основания считать их верными.

8.4. Метод Рунге-Кутта

Дано дифференциальное уравнение с начальным условием . Необходимо найти таблицу значений функции на отрезке методом Рунге-Кутта.

Метод Рунге-Кутта является более точным, точность достигается за счет усложнения формулы. В общем виде формула метода выглядит так же, как и в методе Эйлера: , но приращение вычисляется иначе.

Разобьем отрезок на n частей с шагом , построим систему равноотстоящих точек .

Рассмотрим числа:

(6)

Приращение ∆y_i будет равно

(7)

Следующее приближение вычисляем по формуле

(8)

Заметим, что шаг расчета можно менять при переходе от одной точки к другой. Для контроля правильности выбора шага h рекомендуется вычитать дробь

(9)

Величина ? не должна превышать нескольких сотых. В противном случае шаг h следует уменьшить. Точность метода Рунге-Кутта оценивается следующим образом: .

Вообще же метод обладает значительной точностью и широко используется при решении дифференциальных уравнений.

8.5. Метод прогноза и коррекции

В методах Эйлера и Рунге-Кутта при вычислении следующей точки (x_i+1, y_i+1) используется информация только о точке (x_i, y_i), но не о предыдущих точках. И так как эта информация не используется, а также поскольку для метода Рунге-Кутта отсутствуют достаточно простые способы оценки ошибки (погрешности), то целесообразно рассмотреть некоторые дополнительные методы решения дифференциальных уравнений.

В методах прогноза-коррекции, как ясно из названия вначале «предсказывается» значение y_i+1, а затем используется тот или иной метод для «корректировки» этого значения. После этого можно использовать формулу коррекции для вторичной «корректировки» того же значения y_i+1. Этот итерационный процесс можно повторять сколько угодно раз, но для эффективности желательно уменьшить число итераций, выбирая шаг интегрирования.

Существует целый ряд методов прогноза и коррекции – метод Адамса, метод Милна и т.д. Отличаются методы количеством точек, опираясь на которые получают последующую точку.

Рассмотрим наиболее простой метод прогноза и коррекции для решения задачи Коши первого порядка.

Дано дифференциальное уравнение с начальным условием . Необходимо найти таблицу значений функции на отрезке методом прогноза и коррекции.

Разобьем отрезок на n частей с шагом , построим систему равноотстоящих точек .

Так как для предсказания последующей точки необходимо опираться на несколько предыдущих точек, а в задаче Коши дается только одно начальное значение, то еще одно значение найдем, воспользовавшись другим методом, например, методом Рунге-Кутта, т.к. он точнее метода Эйлера. Таким образом, у нас имеются две начальные точки: (x₀, y₀) и (x₁, y₁).

Геометрически предсказание сводится к следующему:

1) В точке проводим касательную L₁.

2) Через точку проводим прямую L, параллельно L.

3) Будем полагать, что предсказанное значение будет расположено там, где прямая L пересечется с прямой .

Рассмотрим треугольник ABC. Значение можно получить, добавив к y₀ приращение . Найдем ВС: так как прямые L и L₁ параллельны, то тангенс угла наклона у них одинаковый, следовательно, .

Таким образом,

Теперь необходимо скорректировать предсказанное значение.

2) Т.к. y₂ приближенно известно, то можно вычислить наклон касательной в точке – касательная L₂.

3) Усредняем тангенсы L₁ и L₂ (биссектриса), получим прямую .

4) Через проводим прямую L, параллельную прямой , получим новое приближение: .

Вычислить это скорректированное значение можно по формуле:

Можно попытаться найти новое, еще лучшее приближение , скорректировав его еще несколько раз. Полагают, что значение функции найдено с необходимой точностью, если .

🎬 Видео

Метод Пикара последовательных приближений для решения дифференциальных уравненийСкачать

Пример 65. Решить задачу Коши (диффуры)Скачать

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

Решение дифференциальных уравнений. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Частное решение дифференциального уравнения. 11 класс.Скачать

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения с помощью формулы ДюамеляСкачать

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1.Скачать

Дифференциальные уравнения. Задача Коши. Метод Эйлера.Скачать

9. Метод вариации произвольной постоянной ( метод Лагранжа ). Линейные дифференциальные уравнения.Скачать

2.1. Метод характеристик. Задача Коши для гиперболического уравнения на плоскости.Скачать

Метод Лапласа решения ДУСкачать

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Часть 1Скачать

6. Особые решения ДУ первого порядкаСкачать