Метод последовательных приближений интегральных уравнений

Видео:5. Метод последовательных приближенийСкачать

5. Метод последовательных приближений

Метод последовательных приближений интегральных уравнений

Метод последовательных приближений интегральных уравнений

Последние действия на сайте

Интегральное уравнение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Интегра́льное уравне́ние — функциональное уравнение, содержащее интегральное преобразование над неизвестной функцией. Если интегральное уравнение содержит также производные от неизвестной функции, то говорят об интегро-дифференциальном уравнении.

Видео:Интегральные уравнения Вольтерра второго рода Метод последовательных приближенийСкачать

Интегральные уравнения Вольтерра второго рода Метод последовательных приближений

Классификация интегральных уравнений

Линейные интегральные уравнения

Это интегральные уравнения, в которые неизвестная функция входит линейно:

Метод последовательных приближений интегральных уравнений

где Метод последовательных приближений интегральных уравнений— искомая функция, f(x) , Метод последовательных приближений интегральных уравнений— известные функции, λ — параметр. Функция Метод последовательных приближений интегральных уравненийназывается ядром интегрального уравнения. В зависимости от вида ядра и свободного члена линейные уравнения можно разделить еще на несколько видов.

Уравнения Фредгольма

Уравнения Фредгольма 2-го рода

Уравнения Фредгольма 2-го рода — это уравнения вида:

Метод последовательных приближений интегральных уравнений

Пределы интегрирования могут быть как конечными, так и бесконечными. Переменные удовлетворяют неравенству: Метод последовательных приближений интегральных уравнений, а ядро и свободный член должны быть непрерывными: Метод последовательных приближений интегральных уравнений, либо удовлетворять условиям:

Метод последовательных приближений интегральных уравнений

Ядра, удовлетворяющие последнему условию, называют фредгольмовыми. Если Метод последовательных приближений интегральных уравненийна Метод последовательных приближений интегральных уравнений, то уравнение называется однородным, иначе оно называется неоднородным интегральным уравнением.

Уравнения Фредгольма 1-го рода

Уравнения Фредгольма 1-го рода выглядят также, как и уравнение Фредгольма 2-го рода, только в них отсутствует часть, содержащая неизвестную функцию вне интеграла:

Метод последовательных приближений интегральных уравнений

при этом ядро и свободный член удовлетворяют условиям, сформулированным для уравнений Фредгольма 2-го рода.

Уравнения Вольтерра

Уравнения Вольтерра 2-го рода

Уравнения Вольтерра отличаются от уравнений Фредгольма тем, что один из пределов интегрирования в них является переменным:

Метод последовательных приближений интегральных уравнений

Уравнения Вольтерра 1-го рода

Также, как и для уравнений Фредгольма, в уравнениях Вольтерра 1-го рода отсутствует неизвестная функция вне интеграла:

Метод последовательных приближений интегральных уравнений

В принципе, уравнения Вольтерра можно рассматривать как частный случай уравнений Фредгольма, если переопределить ядро:

Метод последовательных приближений интегральных уравнений

Однако некоторые свойства уравнений Вольтерра не могут быть применены к уравнениям Фредгольма.

Нелинейные уравнения

Можно придумать немыслимое многообразие нелинейных уравнений, поэтому дать им полную классификацию не представляется возможным. Вот лишь их некоторые типы, имеющие большое теоретическое и прикладное значение.

Уравнения Урысона

Метод последовательных приближений интегральных уравнений

Постоянная M — это некоторое положительное число, которое заранее не всегда может быть определено.

Уравнения Гаммерштейна

Уравнения Гаммерштейна являются важным частным случаем уравнения Урысона:

Метод последовательных приближений интегральных уравнений

где Метод последовательных приближений интегральных уравнений— фредгольмово ядро.

Уравнения Ляпунова — Лихтенштейна

Именами Ляпунова — Лихтенштейна принято называть уравнения, содержащие существенно нелинейные операторы, например, уравнение вида:

Метод последовательных приближений интегральных уравнений

Нелинейное уравнение Вольтерра

Метод последовательных приближений интегральных уравнений

где функция Метод последовательных приближений интегральных уравненийнепрерывна по совокупности своих переменных.

Видео:Метод итераций (последовательных приближений)Скачать

Метод итераций (последовательных приближений)

Методы решения

Прежде, чем рассмотреть некоторые методы решения интегральных уравнений, следует заметить, что для них, как и для дифференциальных уравнений не всегда удается получить точное аналитическое решение. Выбор метода решения зависит от вида уравнения. Здесь будут рассмотрены несколько методов для решения линейных интегральных уравнений.

Преобразование Лапласа

Метод преобразования Лапласа может быть применён к интегральному уравнению, если входящий в него интеграл имеет вид свёртки двух функций:

Метод последовательных приближений интегральных уравнений

то есть, когда ядро является функцией разности двух переменных:

Метод последовательных приближений интегральных уравнений

Например, дано такое уравнение:

Метод последовательных приближений интегральных уравнений

Применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения:

Метод последовательных приближений интегральных уравнений Метод последовательных приближений интегральных уравнений

Применяя обратное преобразование Лапласа, получим:

Метод последовательных приближений интегральных уравнений

Метод последовательных приближений

Метод последовательных приближений применяется для уравнений Фредгольма 2-го рода, если выполняется условие:

Метод последовательных приближений интегральных уравнений

Это условие необходимо для сходимости ряда Лиувилля — Неймана:

Метод последовательных приближений интегральных уравнений

который и является решением уравнения. (K k f)(x) — k -ая степень интегрального оператора (Kf)(x) :

Метод последовательных приближений интегральных уравнений

Впрочем, такое решение является хорошим приближением лишь при достаточно малых | λ | .

Метод резольвент

Метод резольвент является не самым быстрым решением интегрального уравнения Фредгольма второго рода, однако иногда нельзя указать других путей решения задачи.

Если ввести следующие обозначения:

Метод последовательных приближений интегральных уравнений

то повторными ядрами ядра Метод последовательных приближений интегральных уравненийбудут ядра Метод последовательных приближений интегральных уравнений:

Метод последовательных приближений интегральных уравнений

Ряд, составленный из повторных ядер,

Метод последовательных приближений интегральных уравнений

называется резольвентой ядра Метод последовательных приближений интегральных уравненийи является регулярно сходящимся при Метод последовательных приближений интегральных уравнений, Метод последовательных приближений интегральных уравненийи вышеупомянутому условию сходимости ряда Лиувилля — Неймана. Решение интегрального уравнения представляется по формуле:

Метод последовательных приближений интегральных уравнений

Например, для интегрального уравнения

Метод последовательных приближений интегральных уравнений

повторными будут следующие ядра:

Метод последовательных приближений интегральных уравнений Метод последовательных приближений интегральных уравнений Метод последовательных приближений интегральных уравнений Метод последовательных приближений интегральных уравнений Метод последовательных приближений интегральных уравнений Метод последовательных приближений интегральных уравнений

а резольвентой — функция

Метод последовательных приближений интегральных уравнений

Тогда решение уравнения находится по формуле:

Метод последовательных приближений интегральных уравнений

Метод сведения к алгебраическому уравнению

В случае, если ядро интегрального уравнения Фредгольма является вырожденным, то есть Метод последовательных приближений интегральных уравнений, само интегральное уравнение можно свести к системе алгебраических уравнений. Действительно, в этом случае уравнение можно переписать так:

Метод последовательных приближений интегральных уравнений

где Метод последовательных приближений интегральных уравнений. Умножив предыдущее равенство на gi(x) и проинтегрировав его по x на отрезке Метод последовательных приближений интегральных уравнений, приходим к системе алгебраических уравнений для неизвестных чисел ci :

Метод последовательных приближений интегральных уравнений

где Метод последовательных приближений интегральных уравненийи Метод последовательных приближений интегральных уравнений— числовые коэффициенты.

Видео:Метод последовательного приближения или от простого к сложномуСкачать

Метод последовательного приближения или от простого к сложному

Приложения

Термин «интегральное уравнение» ввёл в 1888 году Дюбуа-Реймон, однако первые задачи с интегральными уравнениями решались и ранее. Например, в 1811 году Фурье решил задачу об обращении интеграла, которая теперь носит его имя.

Формула обращения Фурье

Задача состоит в нахождении неизвестной функции f(y) по известной функции g(x) :

Метод последовательных приближений интегральных уравнений

Фурье получил выражение для функции f(y) :

Метод последовательных приближений интегральных уравнений

Сведение задачи Коши к интегральному уравнению

К нелинейным интегральным уравнениям Вольтерра приводит задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений:

Метод последовательных приближений интегральных уравнений

В самом деле, это уравнение можно проинтегрировать по t от a до t :

Метод последовательных приближений интегральных уравнений

Решение начальной задачи для линейных дифференциальных уравнений приводит к линейным интегральным уравнениям Вольтерра 2-го рода. Этим еще в 1837 году воспользовался Лиувилль. Пусть, например, поставлена задача:

Метод последовательных приближений интегральных уравнений

Для уравнения с постоянными коэффициентами с теми же начальными условиями:

решение может быть найдено методом вариации постоянных и представлено в виде:

Метод последовательных приближений интегральных уравнений

Тогда для исходного уравнения получается:

Метод последовательных приближений интегральных уравнений

— интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода.

a,» src=»http://upload.wikimedia.org/math/3/c/c/3cca9038417f8968682c783191e3f6c7.png» /> Метод последовательных приближений интегральных уравнений

также может быть сведено к интегральному уравнению Вольтерра 2-го рода.

Задача Абеля

Исторически считается, что первой задачей, которая привела к необходимости рассмотрения интегральных уравнений, является задача Абеля. В 1823 году Абель, занимаясь обобщением задачи о таутохроне, пришёл к уравнению:

Метод последовательных приближений интегральных уравнений

где f(x) — заданная функция, а Метод последовательных приближений интегральных уравнений— искомая. Это уравнение есть частный случай линейного интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода. Уравнение Абеля интересно тем, что к нему непосредственно приводит постановка той или иной конкретной задачи механики или физики (минуя дифференциальные уравнения).

У Абеля формулировка задачи выглядела примерно так:

Материальная точка под действием силы тяжести движется в вертикальной плоскости Метод последовательных приближений интегральных уравненийпо некоторой кривой. Требуется определить эту кривую так, чтобы материальная точка, начав свое движение без начальной скорости в точке кривой с ординатой x , достигла оси Oξ за время t = f1(x) , где f1(x) — заданная функция.

Если обозначить угол между касательной к траектории и осью Oξ как β и применить законы Ньютона, можно прийти к следующему уравнению:


источники:

📸 Видео

Уравнения Фредгольма - 1Скачать

Уравнения Фредгольма - 1

Метод Пикара последовательных приближений для решения дифференциальных уравненийСкачать

Метод Пикара последовательных приближений для решения дифференциальных уравнений

Методы численного анализа - Уравнения Фредгольма и ВольтерраСкачать

Методы численного анализа - Уравнения Фредгольма и Вольтерра

Решаем диффуры методом последовательных приближенийСкачать

Решаем диффуры методом последовательных приближений

Острые диффуры, или как научиться решать методом последовательных приближенийСкачать

Острые диффуры, или как научиться решать методом последовательных приближений

Уравнения Вольтерра - 1Скачать

Уравнения Вольтерра - 1

Уравнения Вольтерра - 2Скачать

Уравнения Вольтерра - 2

Курс по ИДУ: Методы решения интегральных уравнений Вольтерра и Фредгольма | Занятие 6Скачать

Курс по ИДУ: Методы решения интегральных уравнений Вольтерра и Фредгольма | Занятие 6

Интегральные уравнения ВольтерраСкачать

Интегральные уравнения Вольтерра

Простейшие интегральные уравненияСкачать

Простейшие интегральные уравнения

8 Последовательные приближения. Метод Монте-КарлоСкачать

8 Последовательные приближения. Метод Монте-Карло

Интегральные уравнения с вырожденным ядромСкачать

Интегральные уравнения с вырожденным ядром
Поделиться или сохранить к себе: