В более общем случае мы имеем не одно уравнение (1), а систему нелинейных уравнений $$ begin tag f_i(x_1, x_2, ldots, x_n) = 0, quad i = 1, 2, ldots n. end $$ Обозначим через ( mathbf = (x_1, x_2, ldots, x_n) ) вектор неизвестных и определим вектор-функцию ( mathbf(mathbf) = (f_1(mathbf), f_2(mathbf), ldots, f_n(mathbf)) ). Тогда система (2) записывается в виде $$ begin tag mathbf(mathbf) = 0. end $$ Частным случаем (3) является уравнение (1) (( n = 1 )). Второй пример (3) — система линейных алгебраических уравнений, когда ( mathbf (mathbf) = A mathbf — mathbf ).
Видео:МЗЭ 2021 Лекция 11 Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравненийСкачать
Метод Ньютона
Видео:Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать
Решение нелинейных уравнений
При итерационном решении уравнений (1), (3) задается некоторое начальное приближение, достаточно близкое к искомому решению ( x^* ). В одношаговых итерационных методах новое приближение ( x_ ) определяется по предыдущему приближению ( x_k ). Говорят, что итерационный метод сходится с линейной скоростью, если ( x_ — x^* = O(x_k — x^*) ) и итерационный метод имеет квадратичную сходимость, если ( x_ — x^* = O(x_k — x^*)^2 ).
В итерационном методе Ньютона (методе касательных) для нового приближения имеем $$ begin tag x_ = x_k + frac, quad k = 0, 1, ldots, end $$
Вычисления по (4) проводятся до тех пор, пока ( f(x_k) ) не станет близким к нулю. Более точно, до тех пор, пока ( |f_(x_k)| > varepsilon ), где ( varepsilon ) — малая величина.
Простейшая реализация метода Ньютона может выглядеть следующим образом:
Чтобы найти корень уравнения ( x^2 = 9 ) необходимо реализовать функции
Данная функция хорошо работает для приведенного примера. Однако, в общем случае могут возникать некоторые ошибки, которые нужно отлавливать. Например: пусть нужно решить уравнение ( tanh(x) = 0 ), точное решение которого ( x = 0 ). Если ( |x_0| leq 1.08 ), то метод сходится за шесть итераций.
Теперь зададим ( x_0 ) близким к ( 1.09 ). Возникнет переполнение
Возникнет деление на ноль, так как для ( x_7 = -126055892892.66042 ) значение ( tanh(x_7) ) при машинном округлении равно ( 1.0 ) и поэтому ( f^prime(x_7) = 1 — tanh(x_7)^2 ) становится равной нулю в знаменателе.
Проблема заключается в том, что при таком начальном приближении метод Ньютона расходится.
Еще один недостаток функции naive_Newton заключается в том, что функция f(x) вызывается в два раза больше, чем необходимо.
Учитывая выше сказанное реализуем функцию с учетом следующего:
- обрабатывать деление на ноль
- задавать максимальное число итераций в случае расходимости метода
- убрать лишний вызов функции f(x)
Метод Ньютона сходится быстро, если начальное приближение близко к решению. Выбор начального приближение влияет не только на скорость сходимости, но и на сходимость вообще. Т.е. при неправильном выборе начального приближения метод Ньютона может расходиться. Неплохой стратегией в случае, когда начальное приближение далеко от точного решения, может быть использование нескольких итераций по методу бисекций, а затем использовать метод Ньютона.
При реализации метода Ньютона нужно знать аналитическое выражение для производной ( f^prime(x) ). Python содержит пакет SymPy, который можно использовать для создания функции dfdx . Для нашей задачи это можно реализовать следующим образом:
Видео:Методы численного анализа - Метод Ньютона, секущих для решения систем нелинейных уравненийСкачать
Решение нелинейных систем
Идея метода Ньютона для приближенного решения системы (2) заключается в следующем: имея некоторое приближение ( pmb^ ), мы находим следующее приближение ( pmb^ ), аппроксимируя ( pmb(pmb^) ) линейным оператором и решая систему линейных алгебраических уравнений. Аппроксимируем нелинейную задачу ( pmb(pmb^) = 0 ) линейной $$ begin tag pmb(pmb^) + pmb(pmb^)(pmb^ — pmb^) = 0, end $$ где ( pmb(pmb^) ) — матрица Якоби (якобиан): $$ pmb(pmb^) = begin frac<partial f_1(pmb^)> & frac<partial f_1(pmb^)> & ldots & frac<partial f_1(pmb^)> \ frac<partial f_2(pmb^)> & frac<partial f_2(pmb^)> & ldots & frac<partial f_2(pmb^)> \ vdots & vdots & ldots & vdots \ frac<partial f_n(pmb^)> & frac<partial f_n(pmb^)> & ldots & frac<partial f_n(pmb^)> \ end $$ Уравнение (5) является линейной системой с матрицей коэффициентов ( pmb ) и вектором правой части ( -pmb(pmb^) ). Систему можно переписать в виде $$ pmb(pmb^)pmb = — pmb(pmb^), $$ где ( pmb = pmb^ — pmb^ ).
Таким образом, ( k )-я итерация метода Ньютона состоит из двух стадий:
1. Решается система линейных уравнений (СЛАУ) ( pmb(pmb^)pmb = -pmb(pmb^) ) относительно ( pmb ).
2. Находится значение вектора на следующей итерации ( pmb^ = pmb^ + pmb ).
Для решения СЛАУ можно использовать приближенные методы. Можно также использовать метод Гаусса. Пакет numpy содержит модуль linalg , основанный на известной библиотеке LAPACK, в которой реализованы методы линейной алгебры. Инструкция x = numpy.linalg.solve(A, b) решает систему ( Ax = b ) методом Гаусса, реализованным в библиотеке LAPACK.
Когда система нелинейных уравнений возникает при решении задач для нелинейных уравнений в частных производных, матрица Якоби часто бывает разреженной. В этом случае целесообразно использовать специальные методы для разреженных матриц или итерационные методы.
Можно также воспользоваться методами, реализованными для систем линейных уравнений.
Видео:Метод Ньютона | Лучший момент из фильма Двадцать одно 21Скачать
Программа для метода Ньютона-Рафсона
Если задана функция f (x) с плавающим числом x и начальное предположение для корня, найдите корень функции в интервале. Здесь f (x) представляет алгебраическое или трансцендентное уравнение.
Для простоты мы предположили, что производная функции также предоставляется в качестве входных данных.
Пример:
Мы обсудили ниже методы, чтобы найти root в множестве 1 и множестве 2
Комплект 1: метод деления пополам
Набор 2: метод ложного положения
Сравнение с двумя вышеуказанными методами:
- В предыдущих методах нам дали интервал. Здесь нам требуется начальная угадать значение root.
- Два предыдущих метода гарантированно сходятся, Ньютон Рахсон может не сходиться в некоторых случаях.
- Метод Ньютона-Рафсона требует производной. Некоторые функции могут быть трудны для
невозможно дифференцировать. - Для многих задач метод Ньютона-Рафсона сходится быстрее, чем два вышеуказанных метода.
- Кроме того, он может идентифицировать повторяющиеся корни, так как он не ищет изменения знака f (x) в явном виде
Формула:
Начиная с начального предположения x 1 , метод Ньютона-Рафсона использует приведенную ниже формулу для нахождения следующего значения x, то есть x n + 1 из предыдущего значения x n .
Алгоритм:
Ввод: начальный x, func (x), производнаяFunc (x)
Вывод: Root of Func ()
- Вычислить значения func (x) и DeriveFunc (x) для заданного начального x
- Вычислить h: h = func (x) / производныйFunc (x)
- Хотя h больше допустимой ошибки ε
- h = func (x) / производнаяFunc (x)
- х = х — ч
Ниже приведена реализация вышеуказанного алгоритма.
// C ++ программа для реализации метода Ньютона Рафсона для
// решение уравнений
#include
#define EPSILON 0.001
using namespace std;
// Пример функции, решение которой определяется с помощью
// Метод деления пополам. Функция х ^ 3 — х ^ 2 + 2
double func( double x)
return x*x*x — x*x + 2;
// Производная от вышеуказанной функции, которая равна 3 * x ^ x — 2 * x
double derivFunc( double x)
// Функция поиска корня
void newtonRaphson( double x)
double h = func(x) / derivFunc(x);
while ( abs (h) >= EPSILON)
// x (i + 1) = x (i) — f (x) / f ‘(x)
cout «The value of the root is : «
// Программа драйвера для тестирования выше
double x0 = -20; // Предполагаемые начальные значения
// Java-программа для реализации
// Метод Ньютона Рафсона для решения
// уравнения
static final double EPSILON = 0.001 ;
// Пример функции, решение которой
// определяется методом деления пополам.
// Функция x ^ 3 — x ^ 2 + 2
static double func( double x)
return x * x * x — x * x + 2 ;
// Производная от вышеуказанной функции
// который равен 3 * x ^ x — 2 * x
static double derivFunc( double x)
return 3 * x * x — 2 * x;
// Функция поиска корня
static void newtonRaphson( double x)
double h = func(x) / derivFunc(x);
while (Math.abs(h) >= EPSILON)
h = func(x) / derivFunc(x);
// x (i + 1) = x (i) — f (x) / f ‘(x)
System.out.print( «The value of the»
+ Math.round(x * 100.0 ) / 100.0 );
public static void main (String[] args)
// Предполагаемые начальные значения
// Этот код предоставлен Anant Agarwal.
# Python3 код для реализации Ньютона
# Рафсон Метод решения уравнений
# Пример функции, решение которой
# определяется методом деления пополам.
# Функция x ^ 3 — x ^ 2 + 2
return x * x * x — x * x + 2
# Производная вышеуказанной функции
# 3 * x ^ x — 2 * x
def derivFunc( x ):
return 3 * x * x — 2 * x
# Функция поиска рута
def newtonRaphson( x ):
h = func(x) / derivFunc(x)
while abs (h) > = 0.0001 :
h = func(x) / derivFunc(x)
# x (i + 1) = x (i) — f (x) / f ‘(x)
print ( «The value of the root is : » ,
# Программа драйвера для тестирования выше
x0 = — 20 # Предполагаемые начальные значения
# Этот код предоставлен «Sharad_Bhardwaj»
// C # программа для реализации
// Метод Ньютона Рафсона для решения
// уравнения
static double EPSILON = 0.001;
// Пример функции, решение которой
// определяется методом деления пополам.
// Функция x ^ 3 — x ^ 2 + 2
static double func( double x)
return x * x * x — x * x + 2;
// Производная от вышеуказанной функции
// который равен 3 * x ^ x — 2 * x
static double derivFunc( double x)
return 3 * x * x — 2 * x;
// Функция поиска корня
static void newtonRaphson( double x)
double h = func(x) / derivFunc(x);
while (Math.Abs(h) >= EPSILON)
h = func(x) / derivFunc(x);
// x (i + 1) = x (i) — f (x) / f ‘(x)
Console.Write( «The value of the»
+ Math.Round(x * 100.0) / 100.0);
public static void Main ()
// Предполагаемые начальные значения
// Этот код предоставлен нитин митталь
// PHP программа для реализации
// метода Ньютона Рафсона для
// решение уравнений
// Пример функции, чья
// решение определено
// используя метод деления пополам.
// Функция x ^ 3 — x ^ 2 + 2
function func( $x )
// Производная от вышеупомянутого
// функция 3 * x ^ x — 2 * x
function derivFunc( $x )
// Функция для
// найти корень
function newtonRaphson( $x )
$h = func( $x ) / derivFunc( $x );
while ( abs ( $h ) >= $EPSILON )
$h = func( $x ) / derivFunc( $x );
echo «The value of the » .
$x0 = -20; // Предполагаемые начальные значения
// Этот код предоставлен ajit
?>
Выход:
Как это работает?
Идея состоит в том, чтобы нарисовать линию, касательную к f (x) в точке x 1 . Точка, где касательная линия пересекает ось х, должна быть более точной оценкой корня, чем х 1 . Назовите эту точку х 2 . Вычислите f (x 2 ) и нарисуйте линию, касательную в x 2 .
Мы знаем, что наклон прямой от (x 1 , f (x 1 )) до (x 2 , 0) равен f ‘(x 1 )), где f’ представляет производную от f.
Альтернативное объяснение с использованием серии Тейлора:
Примечания:
- Мы обычно использовали этот метод для улучшения результата, полученного либо методом деления пополам, либо методом ложного положения.
- Вавилонский метод для квадратного корня получен из метода Ньютона-Рафсона.
Эта статья предоставлена Абхираджем Смитом . Пожалуйста, напишите комментарии, если вы обнаружите что-то неправильное, или вы хотите поделиться дополнительной информацией по обсуждаемой теме
Видео:4.2 Решение систем нелинейных уравнений. МетодыСкачать
Метод Ньютона
Инструкция . Введите выражение F(x) , нажмите Далее . Полученное решение сохраняется в файле Word . Также создается шаблон решения в Excel .
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
- Оформление Word
Правила ввода функции, заданной в явном виде
- Примеры правильного написания F(x) :
- 10•x•e 2x = 10*x*exp(2*x)
- x•e -x +cos(3x) = x*exp(-x)+cos(3*x)
- x 3 -x 2 +3 = x^3-x^2+3
- Выражение 0.9*x=sin(x)+1 необходимо преобразовать к виду: sin(x)+1-0.9*x . Аналогично, x^2-7=5-3x к виду x^2+3x-12 .
Пусть дано уравнение f(x)=0 , где f(x) определено и непрерывно в некотором конечном или бесконечном интервале a ≤ x ≤ b . Всякое значение ξ, обращающее функцию f(x) в нуль, то есть такое, что f(ξ)=0 называется корнем уравнения или нулем функции f(x) . Число ξ называется корнем k -ой кратности, если при x = ξ вместе с функцией f(x) обращаются в нуль ее производные до (k-1) порядка включительно: f(ξ)=f’(ξ)= … =f k-1 (ξ) = 0 . Однократный корень называется простым.
Приближенное нахождение корней уравнения складывается из двух этапов:- Отделение корней, то есть установление интервалов [αi,βi] , в которых содержится один корень уравнения.
- f(a)•f(b) , т.е. значения функции на его концах имеют противоположные знаки.
- f’(x) сохраняет постоянный знак, т.е. функция монотонна (эти два условия достаточны, но НЕ необходимы) для единственности корня на искомом отрезке).
- f”(x) сохраняет постоянный знак, т.е. функция выпукла вверх, либо – вниз.
- Уточнение приближенных корней, то есть доведение их до заданной точности.
Видео:Методы решения систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона. Численные методы. Лекция 14Скачать
Геометрическая интерпретация метода Ньютона (метод касательных)
Критерий завершения итерационного процесса имеет вид
🔥 Видео
Метод касательных (метод Ньютона)Скачать
Алгоритмы С#. Метод Ньютона для решения систем уравненийСкачать
Метод простых итераций пример решения нелинейных уравненийСкачать
10 Численные методы решения нелинейных уравненийСкачать
Java урок - 8.1 Класс Math и тригонометрические методыСкачать
Решение нелинейного уравнения методом Ньютона (касательных) (программа)Скачать
15 Метод Ньютона (Метод касательных) Ручной счет Численные методы решения нелинейного уравненияСкачать
Java урок - 7.1.1 Вызов метода и тип возвратаСкачать
Метод Ньютона для решения нелинйеных уравнений в MS ExcelСкачать
Уроки Java с нуля / #5 – Данные от пользователя. Математические действияСкачать
Алгоритмы. Нахождение корней уравнения методом хордСкачать
Метод Ньютона (Метод касательных)Скачать
Уроки по Java. Переопределение методовСкачать
Алгоритмы. Нахождение корней уравнений методом деления отрезка пополам.Скачать
