Метод монте карло для дифференциальных уравнений

Видео:RuleOfThumb - Метод Монте-КарлоСкачать

О МЕТОДЕ МОНТЕ-КАРЛО ДЛЯ РЕШЕНИЯ БОЛЬШИХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Текст научной статьи по специальности « Математика»

Видео:Метод Монте-КарлоСкачать

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Ермаков Сергей Михайлович, Смиловицкий Максим Григорьевич

В статье рассматривается применение метода Монте-Карло к решению задачи Коши для больших систем линейных дифференциальных уравнений. В первой части статьи дается краткий обзор уже известных результатов применения метода для решения интегральных уравнений Фредгольма. В основной части статьи разбирается применение подхода к системе линейных ОДУ, которая приводится к эквивиалентной системе интегральных уравнений Вольтерра. Это позволяет снять ограничения, связанные со сходимостью мажорантного процесса. Формулируются следующие ключевые теоремы. Теорема 1 указывает требуемые условия согласования, которым должны отвечать переходная и начальная плотности распределения, инициирующие соответствующую цепь Маркова, для которой выполняется равенство между математическим ожиданием оценки и интересующим нас функционалом. Теорема 2 формулирует выражение для дисперсии оценки, в то время как теорема 3 указывает параметры цепи Маркова, минимизирующие значение дисперсии для оценки функционала. В работе приводятся доказательства всех трех теорем. В практической части предложенный метод применяется к системе линейных ОДУ, описывающих замкнутую систему массового обслуживания из десяти условных машин и семи условных рабочих. Решение приводится как для системы с постоянной матрицей коэффициентов, так и для системы с переменной матрицей, где в зависимости от времени меняется интенсивноcть выхода машин из строя. Также произведено сравнение решения методом Монте-Карло с решением методом Рунге — Кутта. Все результаты отражены в таблицах.

Видео:Что такое метод Монте-Карло (простым языком)Скачать

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Ермаков Сергей Михайлович, Смиловицкий Максим Григорьевич

Видео:Управление рисками Метод Монте КарлоСкачать

MONTE-CARLO FOR SOLVING LARGE LINEAR SYSTEMS OF ORDINARY DIffERENTIAL EQUATIONS

Monte-Carlo approach towards solving Cauchy problem for large systems of linear differential equations is being proposed in this paper. Firstly, a quick overlook of previously obtained results from applying the approach towards Fredholm-type integral equations is being made. In the main part of the paper, a similar method is being applied towards a linear system of ODE. It is transformed into an equivalent system of Volterra-type integral equations, which relaxes certain limitations being present due to necessary conditions for convergence of majorant series. The following theorems are being stated. Theorem 1 provides necessary compliance conditions that need to be imposed upon initial and transition distributions of a required Markov chain, for which an equality between estimate’s expectation and a desirable vector product would hold. Theorem 2 formulates an equation that governs estimate’s variance, while theorem 3 states a form for Markov chain parameters that minimise the variance. Proofs are given, following the statements. A system of linear ODEs that describe a closed queue made up of ten virtual machines and seven virtual service hubs is then solved using the proposed approach. Solutions are being obtained both for a system with constant coefficients and time-variable coefficients, where breakdown intensity is dependent on t. Comparison is being made between Monte-Carlo and Rungge Kutta obtained solutions. The results can be found in corresponding tables.

Видео:3.3 Определенный интеграл. Метод Монте-Карло. Часть 1.Скачать

Текст научной работы на тему «О МЕТОДЕ МОНТЕ-КАРЛО ДЛЯ РЕШЕНИЯ БОЛЬШИХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ»

УДК 519.245 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2021. Т. 8 (66). Вып. 1 МБС 65С05

О методе Монте-Карло для решения больших систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений

С. М. Ермаков, М. Г. Смиловицкий

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

Для цитирования: Ермаков С. М., Смиловицкий М. Г. О методе Монте-Карло для решения больших систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2021. Т. 8(66). Вып. 1. С. 37-48. https://doi.org/10.21638/spbu01.2021.104

В статье рассматривается применение метода Монте-Карло к решению задачи Коши для больших систем линейных дифференциальных уравнений. В первой части статьи дается краткий обзор уже известных результатов применения метода для решения интегральных уравнений Фредгольма. В основной части статьи разбирается применение подхода к системе линейных ОДУ, которая приводится к эквивиалентной системе интегральных уравнений Вольтерра. Это позволяет снять ограничения, связанные со сходимостью мажорантного процесса. Формулируются следующие ключевые теоремы. Теорема 1 указывает требуемые условия согласования, которым должны отвечать переходная и начальная плотности распределения, инициирующие соответствующую цепь Маркова, для которой выполняется равенство между математическим ожиданием оценки и интересующим нас функционалом. Теорема 2 формулирует выражение для дисперсии оценки, в то время как теорема 3 указывает параметры цепи Маркова, минимизирующие значение дисперсии для оценки функционала. В работе приводятся доказательства всех трех теорем. В практической части предложенный метод применяется к системе линейных ОДУ, описывающих замкнутую систему массового обслуживания из десяти условных машин и семи условных рабочих. Решение приводится как для системы с постоянной матрицей коэффициентов, так и для системы с переменной матрицей, где в зависимости от времени меняется интенсивность выхода машин из строя. Также произведено сравнение решения методом Монте-Карло с решением методом Рунге — Кутта. Все результаты отражены в таблицах. Ключевые слова: метод Монте-Карло, системы ОДУ, интегральное уравнение, задачи массового обслуживания, оптимальная плотность, несмещенная оценка, статистическое моделирование.

1. Введение. Метод Монте-Карло для интегральных уравнений и для больших систем линейных алгебраических уравнений достаточно подробно описан в литературе, например [1, 2], а также [3] и [4]. Иным образом дело обстоит с задачами Коши для больших систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Вместе с тем даже некоторые классы линейных систем представляют собой значительный интерес для приложения. В качестве примера можно привести задачи массового обслуживания, которые могут описываться системами с очень большим, или даже бесконечным, числом уравнений. В простейшем случае пуассоновских систем легко

(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2021

получить результат при г ^ то, а для переходного режима записать решение в аналитической форме. Для многих задач удобно использовать прямое имитационное моделирование. Во всех случаях, однако, есть задачи, где перечисленные методы очень трудоемки и практически не применимы. Так, для переходного режима уже в простейшем случае решение выражается бесконечными рядами значений бесселевых функций, а имитационное моделирование в задачах вычисления малых вероятностей может оказаться непомерно трудоемким.

Этих соображений достаточно чтобы рассмотреть отличные от имитационных методы Монте-Карло для решения системы

т = к (*щ=1, у (£) = . уп(тт, ^ (г) = ит, . ытт,

для значений г из промежутка [0, Т].

Некоторые подходы к построению алгоритмов методом Монте-Карло обсуждались ранее в работах [5] и [6]. В [5] решались стохастические дифференциальные уравнения, а в [6] рассматривался общий случай нелинейной задачи.

В данной работе рассматривается линейный случай, но с общих позиций, и достаточно полно исследуются вопросы минимизации дисперсии простейшей оценки. Приводятся численные примеры из области теории систем массового обслуживания.

Можно указать много способов приведения задачи (1) к интегральной форме, а методы Монте-Карло решения интегральных уравнений хорошо развиты. По этой причине мы напомним кратко простейшие факты относительно метода Монте-Карло для решения интегральных уравнений 2-го рода.

2. Решение интегральных уравнений Фредгольма методом Монте-

Карло. Пусть задано уравнение относительно ((х)

выполняющееся на носителе X вероятностной! меры и для множества Н функций К(х) таких, что существует интеграл ((, К) = § ((х)К(х)/(¿х). Пусть сходится метод последовательных приближений (имеется в виду сходимость по норме в некотором нормированном пространстве, см. [2, с. 272-275]):

д(х) > 0, если /(х) = 0, (6)

р(х, у) > 0, если к(х, у) = 0.

Здесь и далее подразумеваем х, у € X.

Моделируем цепь Маркова, и на ее траекториях хо ^ х ^ . ^ хт вычисляем функцию

к(хо)к(хо, х). к(хт-ххт)/(хт) р°(х0)р(х0, х1). р(хт-1хт)д(хт)’

Предполагается, что почти все траектории конечные. Это будет так, во всяком случае, если д(х) > 0.

Легко показать (см. [1, с. 94-102]), что при выполнении условий сходимости (3) и условий согласования (6) имеет место равенство

Е ,1т (хо. хт ) = (Н,ф). (8)

Для этого достаточно учесть, что плотность вероятности случайной траектории есть р0(хо)р(хо,х), . р(хт_1,хт)д(хт), и воспользоваться определением математического ожидания.

Существует ряд других оценок на траекториях процесса (5), но оценка (7) — одна из простейших в вычислительном отношении оценок, и для нее очень просто получить аналитическое выражение для дисперсии и задать цепь Маркова, удовлетворяющую (3) и (6), для которой значение дисперсии имеет минимальное значение. Эта оптимальная цепь Маркова является однородной и задается

переходной плотностью р(х, у) =-_ -,

Интересно отметить (это важно для дальнейшего), что в случае неотрицательных к, / и к оптимальное значение дисперсии оценки (8) оказывается нулем. И хотя выражения (9), определяющие оптимальную цепь Маркова, зависят от точного значения Тр, они позволяют сделать некоторые выводы относительно выбора цепи Маркова при решении реальных задач. Так, мы видим что в состав плотности р(х, у) следует включать сомножителем |к(х, у)|.

3. Решение задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Монте-Карло. Вернемся к уравнению (1). Элементы матрицы А(Ь) и вектора Р(Ь) будем предполагать ограниченными функциями Ь на вещественной оси. Отсюда следует выполнение условий Липшица для правой части (1) и, следовательно, существование и единственность решения на любом конечном промежутке [0, Т]. Тогда можем переписать (1) в форме

У(Ь) = У(0) + / ^(т)йт + [ А(т)У(т)йт (10)

Y(t) = i А(в)Е(t — 0)Y(в) de + F(t), (11)

где F(t) = Yo + ft F(r)dr, а E(x) = Л’ еСЛИ X > 0 t G [0,T]. 0 [О, если x О, если hi(t) = 0,

g(i,t) > 0, если fi(t)=0, (12)

p(i,t; j,e) > 0, если aij (в) =0,

и построить аналог оценки (7) функционала H(r)Y(r)dr для некоторого фиксированного вектора H(t) = (hi(t),hn(t)). Но далее мы замечаем, что уравнение (10) является уравнением вольтерровского типа, и мажорантный процесс

всегда сходится. Это, собственно, следует из теоремы Пикара, но может быть проверено непосредственно.

Определим скалярное произведение двух n-мерных векторов как (A, B) = aibi + . + anbn. Для построения несмещенной оценки (H,Y) единственным требованием к цепи Маркова остается выполнение условий согласования (12). Если эти условия выполнены, то алгоритм решения задачи состоит в моделировании траектории цепи

io,to ^ ii,ti ^ . ^ iT,tT

и вычислении оценки

J = _hio (¿oKo,»i ,iT (U)fiT (tT)__^^

Pi0 (to)p(io, to’, 4,ti). p(iT-i,tT-i’, iT, tT)g(iT,tT)’

to = T, для которой выполняется равенство

Оценка JT равна нулю вне симплекса to > ti > . > tT. Траектория разыгрывается внутри этого симплекса.

Эти предварительные рассмотрения приводят нас к следующим результатам:

Теорема 1. Пусть задан случайный процесс Маркова с начальной и переходной плотностями

соответственно, для которых выполнено условие согласования (12) и ‘равенство

V p(i,t;j,e)de = 1 — g(i,t), 0 Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Очевидным отличием от рассматриваемого в начале статьи классического случая является:

1) выполнение условия (16);

2) автоматическое выполнение мажорантного условия (13). При выполнении условий теоремы 1 справедлива также

Теорема 2. Дисперсия оценки (14) конечна и равна

т А%(9)Е2(Ь — 9)_ р2(Ь) где 2(4) есть решение уравнения 2(4) = ————-2(6>)сЙ? -|—а пота

ция А2%; Р; ро; p¿j; g¿ подразумевает покомпонентные операции над матрицами и векторами (операции Адамара).

Доказательство. Воспользуемся стандартным выражением для дисперсии:

Из результатов теоремы 1 мы знаем, что [Е,1Т]2 = (Н, У)2. Обратимся к выражению Ео/Т2. Возводя в квадрат, получаем выражение

(Н2 Л ,т А2а(е)Е2(г — в)„ Р2(г)

для скалярного произведения I —2 I, где 2(4) = _/0 ——Е(в)с1в-—г—гт>

или равносильную систему дифференциальных уравнений а А2 р2

В соответствии с теоремой Пикара, решение этой системы уравнений существует и единственно:

Н2 = А ГШо Г^-1 т Н2(в0)А2](в1) А23(вТ)Р^вТ) __1 -‘о -‘о

р°; Т=^о Jо Р0(ео) Р23№)’рц(ет) дг(ет)’

Очевидно, дисперсия оценки всегда конечна, и можно указать такие параметры цепи Маркова, которые обеспечат минимальное значение дисперсии оценки.

Теорема 3. Дисперсия оценки ОТ принимает минимальное значение при выборе следующих параметров цепи Маркова:

где У — решение уравнения У(4) = /0Т А <в)Е0 для всех i,j и t, то оптимальное значение дисперсии оценки JT есть нуль.

Доказательство. В данном случае очевидно, что при выполнении указанных условий

(Я,У)2 = (|Я|,У)2, и тогда в выражении (19) получаем

DJT = (|Я|,У)2 — (Я, У)2 = 0.

Заметим, что для справедливости результатов аналогичных теореме 3, зависимость вероятности поглощения от t является существенной. Поясним это на следующем простом примере. Пусть F(t) = 0, и A(t) = \aijj \ij=i не зависит от t. Тогда решение может быть записано в замкнутой форме:

Скалярное произведение (Y, H) можно вычислить с помощью метода Монте-Карло, моделируя однородную цепь Маркова р°, Р, для которой выполнены условия согласования (12), и вычисляя оценку

т _ К aip,il ■■■ aiT-l,iT УъТ

Pi0 Pia ,ii ■■■Pir-1 ,ir 3ir • T ■

Легко проверить (см., например, [6]), что при aitj > 0, у0т > 0 и hi0 > 0 нельзя выбрать цепь fP; Р, обращающую дисперсию в нуль.

Ниже приводятся некоторые примеры решения с помощью предложенного алгоритма уравнений, возникающих в теории массового обслуживания.

4. Постоянная матрица коэффициентов. Приведем иллюстративный пример. Возьмем уравнение системы массового обслуживания, описывающее замкнутую систему из M =10 условных станков, которые выходят из строя с интенсивностью Л, и S = 7 рабочих, которые чинят станки с интенсивностью ц. Пользуясь [8, с. 102], получаем следующую систему уравнений:

3/0 (t) = -10Ay0(t)+ m/7 3i(t),

31 (t) = — [9A + m/7] yi (t) + 10A yo (t) + 2m/7 /2 (t),

32 (t) = — [8A + 2^/7] /2 (t) + 9A yi (t) + 3m/7 33 (t),

3/3 (t) = — [7A + 3m/7] уз (t) + 8A /2 (t) + 4m/7 34 (t),

34 (t) = — [6 A + 4m/7] 34 (t) + 7A уз (t) + 5m/7 35 (t),

//5 (t) = — [5A + 5m/7] 35 (t) + 6A 34 (t) + 6m/7 36 (t), (24)

//6 (t) = — [4A + 6m/7] 36 (t) + 5A 35 (t) + m 37 (t),

37 (t) = — [3A + m] 37 (t) + 4A 36 (t) + m 38 (t),

38 (t) = — [2A + m] 38 (t) + 3A 37 (t) + m 39 (t),

39 (t) = — [A + m] 39 (t) + 2A 38 (t) + m 310 (t),

310(t) = -M 3io(t) + A 39(t).

В рамках данной статьи был рассмотрен конкретный пример со следующими параметрами: ^ = 0.0202 и Л = 0.02, а также ^ = 0.0202 и Л = 0.01. Такая комбинация параметров дает нам значения коэффициента зарузки (см. [8, с. 104]) Ф = 0.99 и Ф = 0.49 соответственно. При коэффициенте загрузки Ф = 0.99 имитационные методы работают плохо. Второй вариант значения коэффициента загрузки демонстрирует работоспособность предлагаемого метода в сравнении с методом Рунге — Кутта в более конвенциональных условиях. Выберем начальную позицию y0 = 1; y0 = 0, Vi = 2; T = 1.5; количество траекторий установим равным N = 1 800 000.

Для сравнения результатов вычислений используем библиотеку SciPy программного языка Python [9]. Воспользуемся рутиной scipy.integrate.ode(«dop853»), которая реализует явный алгоритм Дорманда — Принса порядка 8(5, 3) для метода Рунге — Кутта. Данный алгоритм является адаптивным алгоритмом, автоматически изменяющим шаг интегрирования в зависимости от того, попадает ли локальная ошибка в требуемое значение погрешности. Погрешность рассчитывается, исходя из формулы AbsTol + RelTol * |y step |, где AbsTol — абсолютная погрешность, RelTol — относительная погрешность, а y step — рассчитанное решение на каждом шаге (см. [10, с. 188-204]). Нами были установлены значения AbsTol = 1e-06; RelTol = 1e-04.

Для проверки точности метода Монте-Карло построим 99.7%-й доверительный интервал [—sn, sn] для оценки JT и проверим, попадает ли в него разница между полученными значениями решения. Для иллюстрации внесем в таблицу значения

s„ = _ и значения абсолютной фактической ошибки х = y(t)

Результаты вычислений приведены в табл. 1 и 2, а также в табл. 3 и 4. При построении таблиц было принято решение не округлять результаты расчетов, полученных методом Рунге — Кутта, но исключить из расчета х те yRK(t), чья значащая цифра по порядку меньше либо равна значению AbsTol. На этих местах в таблице х стоит прочерк. Нетрудно также увидеть, что значения, полученные методом Монте-Карло, в некоторых состояниях меньше или равны sn, что объясняется их близостью к нулю.

Таблица 1. Сравнение решения методом Монте-Карло и методом Рунге — Кутта при Т = 1.5, Ф = 0.99, _N = I 800 ООО_

Монте-Карло Рунге — Кутта

У0 6.584041е-06 1.425017е-05

У1 6.602467е-03 6.672860е-03

У2 7.843779е-01 7.819781е-01

УЗ 1.900002е-01 1.898743е-01

У4 2.019594е-02 2.018617е-02

УЪ 1.276377е-03 1.226557е-03

Ув 4.864802е-05 4.658389е-05

У7 3.336787е-07 1.132339е-06

У8 1.867346е-08 1.721394е-08

У9 9.384152е-11 1.49590бе-10

У10 Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

5. Ermakov S., Pogosian A. On solving stochastic differential equations. Monte Carlo Methods and Applications 25, iss. 2, 155-161 (2019). https://doi.org/10.1515/mcma-2019-2038

6. Ермаков С.М., Товстик Т. М. Метод Монте-Карло для решения систем ОДУ. Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия 6 (64), вып. 3, 411421 (2019). https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2019.306

7. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. Санкт-Петербург, Лань (2011).

8. Кофман А., Крюон Р. Массовое обслуживание: теория и приложения, пер. с франц. Москва, Мир (1965).

9. Virtanen P., Gommers R., Oliphant T. E. et al. SciPy 1.0: fundamental algorithms for scientific computing in Python. Nat. Methods 17, 261-272 (2020). https://doi.org/10.1038/s41592-019-0686-2

10. Hairer E. Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems. Springer (1993).

Статья поступила в редакцию 3 июня 2020 г.;

после доработки 27 июля 2020 г.; рекомендована в печать 17 сентября 2020 г.

Ермаков Сергей Михайлович — д-р физ.-мат. наук, проф.; sergej.ermakov@gmail.com Смиловицкий Максим Григорьевич — аспирант; smmxgr@gmail.com

Monte-Carlo for solving large linear systems of ordinary differential equations

S. M. Ermakov, M. G. Smilovitskiy

St. Petersburg State University, 7—9, Universitetskaya nab., St. Petersburg, 199034, Russian Federation

For citation: Ermakov S. M., Smilovitskiy M. G. Monte-Carlo for solving large linear systems of ordinary differential equations. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2021, vol. 8(66), issue 1, pp. 37-48. https://doi.org/10.21638/spbu01.2021.104 (In Russian)

Monte-Carlo approach towards solving Cauchy problem for large systems of linear differential equations is being proposed in this paper. Firstly, a quick overlook of previously obtained results from applying the approach towards Fredholm-type integral equations is being made. In the main part of the paper, a similar method is being applied towards a linear system of ODE. It is transformed into an equivalent system of Volterra-type integral equations, which relaxes certain limitations being present due to necessary conditions for convergence of majorant series. The following theorems are being stated. Theorem 1 provides necessary compliance conditions that need to be imposed upon initial and transition distributions of a required Markov chain, for which an equality between estimate’s expectation and a desirable vector product would hold. Theorem 2 formulates an equation that governs estimate’s variance, while theorem 3 states a form for Markov chain parameters that minimise the variance. Proofs are given, following the statements. A system of linear ODEs that describe a closed queue made up of ten virtual machines and seven virtual service hubs is then solved using the proposed approach. Solutions are being obtained both for a system with constant coefficients and time-variable coefficients, where breakdown intensity is dependent on t. Comparison is being made between Monte-Carlo and Rungge — Kutta — obtained solutions. The results can be found in corresponding tables.

Keywords: Monte-Carlo, ODE system, integral equation, queuing theory, optimal density, unbiased estimate, statistical modelling.

1. Ermakov S.M. Monte-Carlo for quantitative mathematics. St Petersburg, Nevsky Dialect Publ. (2009). (In Russian)

2. Ermakov S.M. Monte-Carlo and related topics. Moscow, Nauka Publ. (1975). (In Russian)

3. Ermakov S. M., Sipin A. S. Monte-Carlo and parametrical divisibility of algorithms. St. Petersburg, St. Petersburg Univ. Press (2014). (In Russian)

4. Ermakov S. M., Mikhailov G. A. Statistical modelling. Moscow, Nauka Publ. (1982). (In Russian)

5. Ermakov S., Pogosian A. On solving stochastic differential equations. Monte Carlo Methods and Applications 25, iss. 2, 155-161 (2019). https://doi.org/10.1515/mcma-2019-2038

6. Ermakov S. M., Tovstik T. M. Monte-Carlo method for solution of systems ODE. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy 6 (64), iss. 3, 411-421 (2019). https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2019.306 (In Russian) [Engl. transl.: Vestnik St. Petersb. Univ. Math. 52, iss. 3, 272-280 (2019). https://doi.org/10.1134/S1063454119030087].

7. Bibikov J.N. A course in ordinary differential equations. St. Petersburg, Lan’ Publ. (2011). (In Russian)

8. Kaufmann A., Cruon R. Los fenomenos de espera; teoria y aplicaciones. Continental (1966). [Russ. ed.: Massovoe obsluzhivanie: teorija i prilozhenija. Moscow, Mir Publ. (1965)].

9. Virtanen P., Gommers R., Oliphant T. E. et al. SciPy 1.0: fundamental algorithms for scientific computing in Python. Nat. Methods 17, 261-272 (2020). https://doi.org/10.1038/s41592-019-0686-2

10. Hairer E. Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems. Springer (1993).

Received: June 3, 2020 Revised: July 27, 2020 Accepted: September 17, 2020

Видео:МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО. КАК ВЫЧИСЛИТЬ ПЛОЩАДЬ КЛЕНОВОГО ЛИСТА?Скачать

Метод монте карло для дифференциальных уравнений

Вводный текст о математическом моделировании и методе Монте Карло.

СОДЕРЖАНИЕ:

ВВЕДЕНИЕ. ГРИМАЛЬДИ, НАЛОГИ И КАЗИНО

8 января 1297 года.

Франческо (Франсуа) Гримальди, по прозвищу «Хитрец», переодетый монахом, постучал в ворота крепости Монако [2] . За его спиной стояла группа рослых людей в рясах. Им открыли, отряд вошел внутрь, «монахи» выхватили спрятанные под одеяниями мечи, и с боем заняли крепость.

С этого дня ведется отсчет правления княжеской династии генуэзцев Гримальди в Монако. За более, чем 700-летнюю историю Гримальди и управляемое им государство знавали разные времена. Сейчас Монако – синоним роскоши, блеска и безусловного успеха. Но так было не всегда.

В 1815-60 гг. княжество находилось под протекторатом Сардинского королевства [3] . Не лучшие годы для Монако. Не самые богатые, сытые и благополучные. В 1848 году два города Ментон и Рокбрюн, объявили о своей независимости от Гримальди [4] . Если бы «свободолюбивые» Ментон и Рокбрюн просто ушли, то и Бог с ними. Но они, неблагодарные, хлопнули дверью, «прихватив деньги» – налоги, которые отказались платить в пользу потомков «Хитреца» Франческо.

Серьезный удар. «Мятежные» города неплохо зарабатывали на торговле оливковым маслом и фруктами. Финансовые потери Гримальди после их бегства были ощутимы. Exit по-монакски образца середины XIX века усилил и без того, мягко говоря, сложное финансовое положение правящей династии. Она находилась в шаге от банкротства.

«Кто виноват» понятно, но вот: «Что делать?»

Монако – маленький кусочек каменистого средиземноморского побережья. Ни нефти и газа (да и кому они были бы нужны в 1848 г.?), ни золота, ни алмазов. Правящий принц Флорестан I совсем загрустил. Но у него было «сокровище». Жена. Не всегда супруга может помочь мужу (тем более, целому княжеству) так, как это сделала принцесса Каролина. Но Флорестану и Монако повезло.

Принцесса Каролина, Marie Caroline Gibert de Lametz (1793-1879) [5]

Не то, чтобы Каролина была женщина с богатым приданым. Совсем нет. В прошлом французская театральная актриса. Какие деньги?

Но Каролина обладала нечто большим, чем капиталом во франках. У нее были креативность одаренного режиссера-постановщика и предприимчивость, помноженная на бульдожью деловую хватку, жесткого бизнесмена. И еще она отлично знала человеческую природу и маленькие человеческие слабости.

Идея национального спасения, выдвинутая Каролиной, умещалась в короткое слово из шести букв – «Казино», Casino.

История о том, как бывшая актриса создала с нуля, на камне и песке (буквально, это не гипербола) будущую легенду азартного бизнеса, первый номер среди игровых залов планеты, заслуживает отдельной статьи, а может быть и целого романа. Страсти вокруг Casino de Monte-Carlo, на этапе его становления бушевали нешуточные. Они вполне достойны пера Виктора Гюго и Оноре де Бальзака, великих современников-соотечественников Каролины. Жаль, что те не взялись за такой труд.

Первое казино Монте-Карло открывается 14 декабря 1856 года на Villa Bellevu. На свое теперешнее место, в здание по проекту парижского архитектора Gobineau de la Bretonnerie на Les Spelugues (англ. The Caves), оно переехало в 1863 г.

Сейчас «Монте-Карло» стало, во многом, именем нарицательным, давшим (помимо разным казино Монако) названия многим шикарным вещам, явлениям, кинокартинам и пр. Трасса Формулы-1, марки сигарет и автомобиля, культовые фильмы «Бондианы»…

А еще Монте-Карло широко известно среди математиков, физиков, экономистов и финансистов, которые могли никогда и не быть в Монако и не интересоваться его бурной историей и индустрией азарта.

Имя района карликового княжества и его казино присвоено знаменитому имитационному методу в математическом моделировании – методу Монте Карло (ММК).

1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И КЛАССИФИКАЦИЯ

Процесс познания реальности неизменно требует математики. Будь то физика, химия, молекулярная биология, новейшие методы в медицине, а также социология и экономика, все эти дисциплины, в той или иной степени, используют математический аппарат разной сложности. Взрывное развитие компьютерных технологий вооружило исследователей и мощными численными приемами.

Математический метод изучения, систематизации и прогнозирования предполагает построение математической модели. Цель – замена реального объекта его теоретической, математической моделью (матмоделью, ММ) или, другими словами, динамической системой.

Обычно, понятия «матмодель» и «динамическая система» считаются тождественными. Иногда говорят, что данная система имеет ту или иную математическую модель, применяющую свой вид матаппарата.

Связь между матмоделью и реальным объектом устанавливается с помощью цепочки гипотез, идеализаций и упрощений [6> .

Конечно, никакой ученый не сможет на 100% познать ни одно природное явление, «трудно быть Богом» [7] . Но он в силах «прокачать» оптимальную матмодель, максимально приблизив ее к реальности. И, самое главное, что требуется от любой науки, теории и методики – предсказать поведение реального объекта в будущем.

Создание и исследование математической модели получило название математического моделирования.

Формальные классификации ММ строятся по принципу дихотомии [8] .

1) Линейные и нелинейные ММ.

В линейной динамической системе отклик системы на сумму воздействий равен сумме откликов на каждое воздействие [9] . В нелинейной системе протекают процессы, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями [10] .

2) Сосредоточенные и распределенные ММ.

Динамические системы, использующие конечное число обыкновенных дифференциальных уравнений, именуются сосредоточенными или точечными. Сосредоточенным ММ присуще конечное число степеней свободы и входных данных.

Системы, моделируемые с помощью диффуравнений в частных производных, интегральных уравнений и обыкновенных уравнений с запаздывающим аргументом, называются распределенными системами. Число степеней свободы распределенной ММ бесконечно и требует бесконечное число данных для определения своего состояния.

Одна и та же матмодель в различных условиях или на разных стадиях может быть, как сосредоточенной, так и распределенной.

3) Детерминированные и стохастические ММ.

Детерминированное матмоделирование имеет место, когда протекающие в системе процессы детерминированы, другими словами, в ней исключены случайные воздействия. Напротив, стохастические динамические системы предполагают случайные, с той или иной степенью вероятности, события.

4) Статические и динамические ММ.

Статическая модель отображает объект только в конкретный момент, динамическая – на протяжении некоторого отрезка времени.

5) Дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные ММ.

Дискретные матмодели описывают процессы дискретного характера, в непрерывных – объекты (величины) изменяются непрерывно. Дискретно-непрерывные ММ представляют смешанный вариант, предусматривающий оба типа протекания явлений.

2. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Один из видов стохастических динамических моделей – имитационная ММ.

«Имитационная модель — логико-математическое описание объекта, которое может быть использовано для экспериментирования на компьютере в целях проектирования, анализа и оценки функционирования объекта» [11] .

В имитационном моделировании (simulation modeling) предмет исследования заменяется системой, над которой проводятся эксперименты для получения информации о поведении реального объекта при наборе определенных условий. Такая система многократно, возможно, тысячи и десятки тысяч раз, прогоняется на различных входных данных с помощью вычислительных машин. Набирается устойчивая статистика случайных, вероятностных состояний модели. Итог – усреднение полученных результатов.

Отработка ММ с помощью экспериментов и опытов называется имитацией. Естественное, действительное протекание процессов заменяется на их математическую симуляцию. Современный уровень компьютерных технологий позволяет все чаще и достаточно успешно заменять природу в естественных науках и финансово-экономической сфере.

Имитационное моделирование критично необходимо в тех системах, где создание аналитических, т.е. полностью связанных классической математикой, моделей невозможно или подобная аналитика приводит к неустойчивым решениям. Другой причиной использования имитационных ММ может быть их относительная дешевизна и доступность. Наконец, имитаторы незаменимы для прогнозирования поведения сложных систем во времени.

Из вышесказанного очевидно, что имитационное моделирование оптимально для алгоритмической торговли финансовыми инструментами.

Различают три вида имитационного моделирования (ИМ).

Три подхода в имитационном моделировании [11]

1) Дискретно-событийное ИМ, Discrete-event simulation, DES [12] .

Самое распространенное направление в ИМ. Основано Джеффри Гордоном (1924-1989) в 1960-х годах.

Дискретно-событийное ИМ описывает функционирование системы, как некую хронологическую цепочку событий. Каждое такое событие происходит в определенное время и фиксирует новое состояния системы. Дискретно-событийное ИМ может иметь, как детерминированный, так и стохастический характер.

Дискретно-событийная модель включает три составляющие: часы, список событий и генератор случайных чисел (ГСЧ).

Данный вид ИМ получил широкое признание в логистике, наладке технологических систем и обслуживании больших клиентских групп (ритейл и пр.).

2) Системная динамика.

Тип ИМ, в котором между параметрами системы выстраиваются графические диаграммы глобальных причинно-следственных связей во времени. Данные зависимости зашиваются в модель, которая и подвергается имитационному компьютерному моделированию. Впервые метод системной динамики был предложен в 1950-х гг. американским системологом Джеем Райтом Форрестером из Массачусетского технологического института.

Системная динамика плодотворно применяется на моделях бизнес-процессов, в частности, при маркетинговых исследованиях выводимого на рынок продукта, развитии городских агломераций, при биологических, экологических и эпидемиологических изысканиях.

3) Агентное моделирование, Agent-based model (ABM) [13] .

В известном смысле агентное моделирование – антипод системной динамики. ABM исследует динамику децентрализованных систем не по глобальным взаимосвязям, а на основании поведения ее индивидуальных «агентов», что называется «cнизу вверх».

«Агент — некая сущность, обладающая активностью, автономным поведением, может принимать решения в соответствии с некоторым набором правил, взаимодействовать с окружением, а также самостоятельно изменяться» [11] .

Правила и законы на верхнем, глобальном уровне системы представляются функциями изменения состояния ее «нижних агентов».

Отцами ABM считаются математики Джон фон Нейман и Станислав Мартин Улам, внедрившие элементы агентного моделирования еще в конце 1940-х. Однако бум ABM начался в середине 1990- гг., когда вычислительные технологии достигли требуемых мощностей.

В числе многочисленных приложений, в которых агентное моделирование достигло значительных достижений, стал рынок ценных бумаг и управление инвестиционным портфелем. Успех ABM в трейдинге и инвестициях, во многом обязан синтезу с легендарным численным методом Монте Карло.

3. ИЗ ИСТОРИИ МЕТОДА МОНТЕ КАРЛО

Рождение метода Монте Карло (ММК) относят к не очень уж и далекому 1949 году [14] . Но отдельные «эксперименты», объединенные впоследствии под «брендом» ММК, проводились и гораздо раньше (см. ниже).

В 1949-ом появляется статья упоминавшегося выше Станислава Улама и Николаса Метрополиса с коротким и емким заголовком «Метод Монте Карло». В ней описывалась математическая методика имитационного моделирования, применявшая генератор случайных чисел (ГСЧ). Лучшим естественным ГСЧ была рулетка казино. Отсюда и название статьи, и название метода.

Почему именно «Монте Карло»? Свою роль сыграли родственные связи.

Дядя Н. Метрополиса был азартным игроком и много рассказывал племяннику об игорных заведениях княжества Гримальди. Круг предпочтений племянника был далек от увлечений греческого дяди. Его привлекали математика и физика. В 1937 г. Николас заканчивает Чикагский университет, в 1941-ом получает научную степень, а с 1943 г. работает у Роберта Оппенгеймера Лос-Аламосе над созданием атомной бомбы (Манхэттенский проект) [15] .

Н. К. Метрополис (1915-1999)[15] [15]

Но о дядиных историях Метрополис не забыл, вспомнив имя святого, для «гонщиков за удачей» места, в совместной работе с Уламом.

Как ни печально это сознавать, но толчком ко многим научным открытиям середины XX века стало изобретение ядерного оружия, включая термоядерную бомбу. Не стали исключением и компьютерные технологии, численные методы и ММК. Одной из первых задач, в решении которой прорыв был обеспечен ММК, стало изучение движения нейтронов в изотропной (одинаковой по всем направлениям) среде.

4. СУТЬ МЕТОДА МОНЕТ КАРЛО НА ПРИМЕРАХ ИЗ ЗАНИМАТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

Метод Монте Карло заключается в многократном повторении изучаемого процесса посредством генератора случайных чисел (величин), ГСЧ. Массив полученных исходных данных о системе служит источником ее вероятностных характеристик.

Простейшим образцом служит расчет среднего расстояния между двумя точками в круге. С помощью ГСЧ (величин) каждый раз определяется пара случайных точек в пределах данного круга и измеряется интервал между ними. Полученные оценки усредняют. Безусловно, чем больше количество измерений, тем более точным будет результат. Общее место для ММК и любого иного имитационного метода.

Ниже приведены два доступных математических примера применения метода Монте Карло.

4.1. Французский граф, капитан и число π

В 1777 г. французским математиком, графом де Бюффоном была предложена оригинальная концепция вычисления числа π опытным путем.

Плоскость расчерчивалась параллельными прямыми, расположенными на расстоянии R друг от друга. На нее сотни раз бросалась игла длиной L. Взяв нехитрый двойной интеграл (опустим эту процедуру), граф получил следующую формулу для определения числа π:

Здесь, p – отношение числа бросков, при которых происходит пересечение иглы, хотя бы одной прямой (число пересечений), к общему числу бросков. Ошибка уменьшается при увеличении общего числа бросков. На практике, для удовлетворительного результата оно должно исчисляться сотнями.

Как развлечь (и отвлечь) пытливый ум, когда тело выздоравливает?

Некий капитан Фокс в 1864 году не знал, куда себя деть, когда он восстанавливался после ранения. Скука смертная. Как-то он наткнулся на метод Бюффона, а может быть, капитан был еще и математиком-любителем и самостоятельно вывел формулу 1. Кто знает… Глаза Фокса загорелись. Это то, что нужно. То, что его отвлечет, развлечет и позволит с пользой провести время.

И капитан начал бросать иглу.

Итоги трех попыток Фокса сведены в следующую таблицу [14] :

В попытке № 3 длина иглы L больше расстояния между прямыми R, что позволило увеличить точность эксперимента без существенного увеличения общего количества бросков иглы. Резко выросло число пересечений, так как игла за один бросок могла пересечь прямые несколько раз. В идеале, до трех раз. Вращение плоскости во второй и третьей попытках выздоравливающий капитан использовал для уменьшения системной ошибки.

Забавно, что длительный выход из физического недомогания и вызванная этим хандра, не единожды подтолкнули вперед активистов метода Монте Карло. Тот же Станислав Улам вплотную заинтересовался им, когда раскладывал пасьянсы приходя в себя после болезни. «Маленькие серые клеточки» [16] мозга математика требовали интеллектуальной пищи, и Улам задался вопросом: «Какова вероятность того, что пасьянс сложится?»

С. М. Улам (1909-1984), фото с бэйджа лаборатории Лос-Аламоса [17]

Можно было бы пойти по пути формул комбинаторики, но Улам применил теорию вероятностей и, повторив «карточный» опыт много раз, подсчитал вероятность выпадения удачных вариантов пасьянса.

Перефразированная цитата от Альберта Эйнштейна гласит: «Бог не играет в кости» [18] . Но может быть, метод Монте Карло заставляет-таки его это проделывать?

4.2. Вычисление определенного интеграла

Школьники старших классов и студенты первого курса университета или ВТУЗа при знакомстве с основами математического анализа учатся брать интегралы. Вначале неопределенные, потом определенные, затем кому повезет (или не повезет, это очень субъективно) более сложные типы: двойные, тройные, криволинейные интегралы и пр.

Взять определенный интеграл от функции f(x) на пределах от a до b:

можно двумя способами.

1) Найти первообразную функцию Ф(x), такую, что ее производная Ф′(x)=f(x) и воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница:

Просто и красиво. Как и все у Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница. Но проблема в том, что вне курса матанализа поиск конечных и точных первообразных Ф(x) для «реальных» f(x), часто не имеющих строгой аналитической записи, почти безнадежное дело. А интегралы, будь они неладны, брать надо.

2) Тут на помощь приходит геометрия и геометрическая интерпретация определенного интеграла.

Строится график функции f(x) и высчитывается площадь криволинейной области (криволинейной трапеции), ограниченной линией графика и осью Х от a до b:

Фигура разбивается на n столбиков (прямоугольников) с номерами от 0 до n-1 (можно и от 1 до n), основание (ширина) которых равна ∆х_i, а высота (длина) примерно равна f(ξ_i), где ξ_i – значение аргумента x в i-ом интервале. Площадь этих столбиков суммируем, обязательно устремляя ∆х_i→0. Если разбиение происходит на неодинаковые отрезки, то к нулю должна стремится самая большая ширина: ∆х_max→0.

Строгий предел (lim) выводит на искомый определенный интеграл:

Если график уходит в отрицательную область оси Y, то берутся модули |f(ξ_i)| или все, в конечном счете, регулируется умножением на (-1).

Метод Монте-Карло дает возможность расчета определенного интеграла несколько с другой, вероятностной (случайной) точки зрения.

Вместо равномерного разбиения отрезка [a;b], на N подотрезков (обычно одинаковой длины), ММК «набрасывает» на [a;b] N случайных точек, и получает набор аргументов u_i:от u₁ до u_N. Для каждого из них определяется значение функции f(u_i) и производится следующая оценка определенного интеграла:

Казалось бы велика разница между формулами 3 и 4! В обеих, находи значения функции внутри выбранного интервала интегрирования, формируй суммы и получай результат.

Концепция разная и, в конечном счете, трудозатраты тоже.

Для точности формулы 3 надо увеличивать и увеличивать количество подотрезков, выводя, в идеале, в область бесконечно малых значений их максимальные длины. В формуле 4 такой путь тоже приемлем, но по нему не надо идти столь уж фанатично. Дополнительно минимизировать погрешность возможно, набрасывая раз за разом, набор из одних и тех же N точек (их количество можно постепенно увеличивать) и усредняя полученные оценки определенного интеграла.

Более того, метод Монте Карло позволяет посчитать интеграл, вообще не трогая ось Х. Делается это следующим образом.

Приведем очередную картинку с графиком функции f(x):

Участник «ММК-эксперимента» отсекает область графика прямоугольником, параллелограммом или любой иной фигурой, важно, чтобы ее площадь S_par легко вычислялась. Далее, он бросает N точек уже не на ось ординат, а в выделенный прямоугольник. Подсчитывается число точек, попавших под кривую – K.

Оценка интеграла (площади S) выглядит так:

Опять же, для точности надо повышать N и делать оценку за оценкой (в том числе, и при одном и том же N) и усреднять результаты.

Таким образом, метод Монте Карло позволяет нестандартно решать знакомые задачи из школьного курса математики.

Но главное в ММК – как он помогает преодолевать сложные «взрослые» проблемы.

ПРИМЕЧАНИЯ И ССЫЛКИ

(источник – Википедия/Wikipedia или авторский комментарий, если не оговорено иное)

1. ↑ «Монте-Карло»
2. ↑ «Гримальди, Франческо»
3. ↑ «Монако
4. ↑ «Monte Carlo Casino»
5. ↑ «Marie Caroline Gibert de Lametz»
6. ↑ «Математическая модель»
7. ↑ «Трудно быть богом», повесть братьев Стругацких, 1964
8. ↑ Дихотомия – способ логического деления класса на подклассы, состоящий в том, что делимое понятие полностью делится на два взаимоисключающих понятия
9. ↑ «Линейная система»
10. ↑ «Нелинейная система»
11. ↑ «Имитационное моделирование»
12. ↑ «Дискретно-событийное моделирование»
13. ↑ «Агентное моделирование»
14. ↑ «Метод Монте Карло»
15. ↑ «Метрополис, Николас Константин»
16. ↑ Одно из любимых выражений Эркюля Пуаро, главного героя многочисленных романов Агаты Кристи
17. ↑ «Улам, Станислав»
18. ↑ «Альберт Эйнштейн», Викицитатник

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ СОКРАЩЕНИЯ

ММК – метод Монте Карло
ММ – математическая модель, коротко матмодель или модель. По тексту, обычно, то же самое, что динамическая система или коротко – система
ИМ – имитационное моделирование
ABM – Agent-based model, агентное моделирование, один из видов имитационного моделирования
ГСЧ – генератор случайных чисел (величин)
ВТУЗ – высшее техническое учебное заведение

Видео:Сергей Матвеев "Методы Монте-Карло для численного решения кинетических уравнений агрегации..."Скачать

Решение интегральных уравнений методом Монте-Карло

Южно-Российский государственный политехнический университет

NovaInfo53, с. 9-12
Опубликовано 26 октября 2016
Раздел: Физико-математические науки
Просмотров за месяц: 6
CC BY-NC

Видео:A.4.1 Вероятность. Метод Монте-Карло.Скачать

Аннотация

В статье описан статистический метод решения интегральных уравнений Фредгольма большой размерности. Предлагаемый подход позволяет расширить круг задач теории интегральных уравнений, решаемых методом Монте-Карло. Приводится пример, демонстрирующий эффективность рассматриваемого метода.

Видео:Интегрирование методом Монте КарлоСкачать

Ключевые слова

Видео:Модель Монте-Карло: применение в финансахСкачать

Текст научной работы

Метод Монте-Карло находит широкое применение в практике решения вычислительных задач, в том числе при решении интегральных уравнений 2. В то же время не все возможности данного метода используются полностью. Так при решении интегральных уравнений преимущественно используется вариант этого метода, основанный на суммировании резольвенты и использовании цепей Маркова [1]. Это обстоятельство значительно сужает класс решаемых задач, так как требуется ограничение нормы интегрального оператора единицей. В данной статье с целью восполнения отмеченного пробела рассматривается применение метода Монте-Карло в его классической форме к решению широкого круга интегральных уравнений типа Фредгольма.

Как отмечено, вариант применения метода соответствует его традиционной схеме, обычно применяющейся при вычислении определенных интегралов, но по какой-то причине недостаточно задействованной для задач с интегральными уравнениями.

Описание метода

Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма:

mu u(x) — lambda int_V K(x,y) u(y) dy = f(x), x in V

где u(x) — искомая функция, x=(x_1, dots, x_m), y=(y_1, dots, y_m)

— точки области V из m-мерного евклидова пространства, mu

— некоторые вещественные или комплексные числа, K(x,y) — ядро интегрального оператора, f(x) — свободный член.

Предположим, что известны n точек области V: y^1=(y_1^1, dots,y_m^1), dots, y^n=(y_1^n, dots, y_m^n)

, полученные из распределения с плотностью p(y), y in V

Интеграл в (1) можно приближенно вычислять при помощи традиционной схемы вычисления интегралов методом Монте-Карло [1]:

int_V K(x,y) u(y) dy approx 1/n sum_^n S_j (x), x in V

где S_j (x) = K(x,y^j) u(y^j) /p(y^j)

Перепишем (1) в эквивалентном виде:

mu u(x) — lambda/n sum_^n S_i (x) — lambda R_n (x) = f(x), x in V

— остаточный член формулы интегрирования Монте-Карло:

int_V K(x,y) u(y) dy = 1/n sum_^n S_j (x) + R_n (x)

Используем точки y^1=(y_1^1,dots,y_m^1),dots, y^n=(y_1^n,dots,y_m^n)

как узлы коллокаций в известном вычислительном методе, при помощи которого получим из (2) соответствующую СЛАУ для нахождения приближенных значений решения в рассматриваемых точках:

mu u_i — lambda/n sum_^n K(x^i,y^j)/p(y^j) u_j = f_i, i=1,dots,n

Поскольку остаточный член квадратурной суммы метода Монте-Карло с любой наперед заданной вероятностью стремится к нулю при стремлении числа узлов к бесконечности, то обоснованно предполагать, что при достаточно гладком ядре и ограниченности оператора, обратного к оператору интегрального уравнения (1), решение СЛАУ (3) сходится к точному в одной из вероятностных мер. В литературе соответствующие вопросы сходимости детально рассмотрены применительно к задаче суммирования ряда Неймана [1].

Пример применения метода

Исходные данные модельной задачи:

K(x,y)= x_1 dots x_m, y_1 dots y_m

f(x)=x_1 dots x_m + g (x_1 dots x_m) ^2; g=10

Область интегрирования — m-мерный куб

u(x)=c_0 x_1 dots x_m + g x_1 dots x_m (x_1 dots x_m + c_1)

c_0=0.5, c_1=c_0 (3/4)^m, lambda =-3^m, mu =1

Результаты трех последовательных вычислений решения при размерности области m=10 и числе узлов n=10:

• точное решение (0.02375, 0.01527, 0.00363, 0.04009, 0.04210, 0.08175, 0.00694, 0.03348, 0.03155, 0.01348);
• приближенное (0.02679, 0.01758, 0.00448, 0.04425, 0.04638, 0.08800, 0.00831, 0.03722, 0.03516, 0.01561).

Погрешность решения в норме l₁ около 11%.

На двух последующих вычислениях решения погрешность много меньше: около 1% и 0.4%.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

Читайте также

Средства стохастической подготовки обучающихся на основе информационных технологий

Инструментальная реализация прикладной математической подготовки бакалавра экономики и менеджмента

1. Синчуков А.В.

NovaInfo59, с.24-28, 13 февраля 2017 , Физико-математические науки, CC BY-NC

Видео:Аппроксимация методом Монте-Карло (APPROX)Скачать

Список литературы

1. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло в вычислительной математике (вводный курс). Санкт-Петербург: Издательство Бином. 2011. 192 с.
2. Некрасов С.А., Ткачев А.Н. Теория вероятностей и ее приложения: Учеб. пособие/ Юж.-Рос. гос. техн. ун-т. – Новочеркасск: ЮРГТУ, 2007. 148 с.
3. Некрасов С.А. Методы ускоренного статистического моделирования и их применение в электротехнических задачах/ Изв. вузов. Электромеханика. — 2008. — No 5. — С. 13 — 19. http://elibrary.ru/item.asp?id=12159957

Видео:Метод Монте-КарлоСкачать

Цитировать

Некрасов, С.А. Решение интегральных уравнений методом Монте-Карло / С.А. Некрасов. — Текст : электронный // NovaInfo, 2016. — № 53. — С. 9-12. — URL: https://novainfo.ru/article/8242 (дата обращения: 26.02.2022).

Видео:INGD2015 - JS - 30 - МЕТОД МОНТЕ КАРЛО. ЗАДАНИЕ.Скачать

Поделиться

Электронное периодическое издание зарегистрировано в Федеральной службе по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор), свидетельство о регистрации СМИ — ЭЛ № ФС77-41429 от 23.07.2010 г.

Соучредители СМИ: Долганов А.А., Майоров Е.В.

📸 Видео

12. Интегрирующий множитель. Уравнения в полных дифференциалахСкачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Вычисление числа ПИ методом Монте-КарлоСкачать

7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать