Метод милна для решения дифференциальных уравнений

Занятие № 22. Метод Милна четвертого порядка

Цель — ознакомить студентов с методом Милна четвертого порядка решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Рассмотрим еще один широко известный метод прогноза и коррекции — метод Милна.

Для вывода первой формулы Милна (т.е. формулы предска­зания) проинтегрируем данное уравнение (1) на промежутке [xi-3, xi+1] и в полученном интегральном равенстве

Метод милна для решения дифференциальных уравнений(26)

подынтегральную функцию f(x,у(х)) заменим первым интерпо­ляционным многочленом Ньютона Р3(х), построенным по четы­рем узлам Метод милна для решения дифференциальных уравненийс предполагающимися уже извест­ными приближенными значениями

Метод милна для решения дифференциальных уравнений

Тогда, после замены переменной Метод милна для решения дифференциальных уравненийна основании (26) имеем:

Метод милна для решения дифференциальных уравнений

Отсюда, выразив конечные разности через значения функции, получаем первую формулу Милна (предсказания)

Метод милна для решения дифференциальных уравнений(27)

которую, очевидно, следует отнести к экстраполяционным.

Главный член локальной погрешности формулы (27) на­ходим интегрированием следующего (первого из неучтенных) слагаемого интерполяционного многочлена Ньютона. Именно:

Метод милна для решения дифференциальных уравнений

Считая четвертые разности примерно одинаковыми, опустим ин­декс у функции f в записи Метод милна для решения дифференциальных уравненийв результате получаем сле­дующее приближенное представление решения в точке xi+1 :

Метод милна для решения дифференциальных уравнений(28)

Вывод второй формулы Милна более прост. Проинтегрируем уравнение (1) теперь на промежутке [xi-1, xi+1] и в полученном равенстве

Метод милна для решения дифференциальных уравнений

применим к интегралу простейшую формулу Симпсона. Имеем

Метод милна для решения дифференциальных уравнений(29)

Отбрасывая здесь остаточный член и заменяя значения решения y(xi-1) и y(xi😉 известными приближенными значениями yi-1 и yi, а стоящее в правой части под знаком функции f неизвест­ное значение у(хi+1) тем значением Метод милна для решения дифференциальных уравненийкоторое получается в результате вычислений по явной первой формуле Милна (27), приходим ко второй формуле Милна (уточнения)

Метод милна для решения дифференциальных уравнений(30)

Для вывода приближенной оценки шаговой погрешности воспользуемся приближенным равенством Метод милна для решения дифференциальных уравненийгде Метод милна для решения дифференциальных уравненийтак же, как и в (28), — условная запись практически по­стоянных четвертых разностей. Исходя из точного равенст­ва (29), локальную погрешность получаемого с помощью формулы (30) (возможно, с итерационной обработкой, см. за­мечание) приближенного значения yi+1 можно приближенно охарактеризовать величиной Метод милна для решения дифференциальных уравнений, т.е.

Метод милна для решения дифференциальных уравнений(31)

Сравнение (28) и (31) дает:

Метод милна для решения дифференциальных уравнений

Метод милна для решения дифференциальных уравнений(32)

Таким образом, при численном интегрировании начальной задачи (1)-(2) методом Милна четвертого порядка, опреде­ленным формулами (27) и (30), на каждом i-м шаге следует вычислять величину

Метод милна для решения дифференциальных уравнений

и сравнивать ее модуль с величиной ε > 0 допустимой шаговой погрешности. Если Метод милна для решения дифференциальных уравненийто за у(хi+1) принимается получен­ное по второй формуле Милна значение уi+1 (или его уточненное значение Метод милна для решения дифференциальных уравнений); иначе шаг должен быть уменьшен.

Фигурирующая в приближенном равенстве (32) постоянная 1/29 примерно вдвое меньше постоянной 19/270≈1/14 в аналогичном равенстве (24) для предиктор-корректорного метода Адамса четвертого порядка (22), что характеризует метод Милна как несколько более точный при одинаковых вычисли­тельных затратах.

Приложение 1

Полиномы Лежандра являются специальными функциями, которые применяются при решении многих теоретических и прикладных задач. Полином Лежандра n-й степени можно определить с помощью производной n-го порядка следующим образом:

Метод милна для решения дифференциальных уравнений(1)

где z — комплексная переменная.

В данном учебном пособии рассматриваются и используются полиномы Лежандра для действительного аргумента x, лежащего в интервале x∈[-1, 1].

Видео:19. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные диф уравнения 2-го порядкаСкачать

19. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные диф уравнения 2-го порядка

С помощью определения (1) легко получить явные выражения полиномов Лежандра действительного аргумента низших степеней:

Метод милна для решения дифференциальных уравнений(2)

Графики перечисленных полиномов приведены на рис.1.

Все полиномы Лежандра Pn(x) имеют следующие граничные значения:

Метод милна для решения дифференциальных уравнений(3)

Нетрудно убедиться, что полиномы Лежандра четной степени являются четными функциями и наоборот.

Важным для практических применений является свойство ортогональности полиномов Лежандра:

Метод милна для решения дифференциальных уравнений(4)

где Qk(x) — любой полином степени k, меньшей n (k

1. Метод милна для решения дифференциальных уравнений

2. Метод милна для решения дифференциальных уравнений

3. Метод милна для решения дифференциальных уравнений

4. Метод милна для решения дифференциальных уравненийМетод милна для решения дифференциальных уравнений

5. Метод милна для решения дифференциальных уравнений

6. Метод милна для решения дифференциальных уравнений

7. Метод милна для решения дифференциальных уравнений

8. Метод милна для решения дифференциальных уравнений

9. Метод милна для решения дифференциальных уравнений

10. Метод милна для решения дифференциальных уравнений

2. Ознакомьтесь с методами приближенного вычисления корней уравнений. Найдите один действительный корень уравнения с точностью 10 -5 . В ходе решения осуществить следующие шаги:

2.1. Отделить корень уравнения.

2.2. Вычислить с помощью программы значение отдельного корня методами: деление отрезка пополам, хорд, касательных, комбинированным методом, методом итераций. При использовании метода простых итераций найти решение при разных начальных приближениях. Результаты вычислений занести в таблицу.

Вариант задания выбрать из табл. 1.1.

Метод милна для решения дифференциальных уравнений

3. Найдите действительный корень уравнения с точностью 10 -4 , на интервале [a,b]. На первом этапе решения методом деления пополам, уменьшать интервал, содержащий корень, до тех пор, пока его длина не станет меньше 0,2. Потом, применить один из «более» быстрых методов.

Метод милна для решения дифференциальных уравнений Метод милна для решения дифференциальных уравнений
Метод милна для решения дифференциальных уравнений Метод милна для решения дифференциальных уравнений
Метод милна для решения дифференциальных уравнений Метод милна для решения дифференциальных уравнений
Метод милна для решения дифференциальных уравнений Метод милна для решения дифференциальных уравнений
Метод милна для решения дифференциальных уравнений Метод милна для решения дифференциальных уравнений
Метод милна для решения дифференциальных уравнений Метод милна для решения дифференциальных уравнений
Метод милна для решения дифференциальных уравнений Метод милна для решения дифференциальных уравнений
Метод милна для решения дифференциальных уравнений Метод милна для решения дифференциальных уравнений
Метод милна для решения дифференциальных уравнений Метод милна для решения дифференциальных уравнений
Метод милна для решения дифференциальных уравнений Метод милна для решения дифференциальных уравнений

Отчет должен содержать:

1. График исследуемой функции с интервалами отделения корней.

2. Таблицы пошаговых расчетов корня уравнения.

3. Обоснованное заключение о преимуществах и недостатках использования исследованных методов решения применительно к заданному уравнению (для задания 1).

4. Используя схему Гаусса (схема единственного деления и схема полного выбора) решить систему уравнений

Метод милна для решения дифференциальных уравнений

Метод милна для решения дифференциальных уравнений

5. Решить систему уравнений двумя способами — методом итераций и методом Зейделя. Продолжать итерации до тех пор, пока точность приближенного решения не станет меньше 0,01.

Метод милна для решения дифференциальных уравнений

Метод милна для решения дифференциальных уравнений

Индивидуальное задание №2.

Видео:7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать

7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.

1. Функция y=f(x) задана таблицей значений:

Метод милна для решения дифференциальных уравнений

Указания. Для вариантов 10 — 12 значения аргумента x предварительно перевес­ти из градусов в радианы.

Даны контрольные значения аргумента x1=12; x2=26; x3=42.

a) Написать подходящие для приближенного вычисления значений y1=f(x1), y2=f(x2), y3=f(x3) интерполяционные многочлены Лагранжа первой и второй степени. Получить эти значения.

b) Составить алгоритм и написать программу на языке высокого уровня, реали­зующую схему Эйткена вычисления с максимально возможной точностью значения y=f(x) в произвольной точке x промежутка Метод милна для решения дифференциальных уравненийПользуясь этим алгоритмом, вычислить приближенные зна­чения Метод милна для решения дифференциальных уравнений

c) Сделать анализ результатов заданий 1, 2.

2. Для заданной таблично функции построить все возможные интерполяционные многочлены Ньютона максимальной степени, пригодные для определения значения функции в указанных промежуточных точках Метод милна для решения дифференциальных уравненийДля всех вариантов Метод милна для решения дифференциальных уравнений

Метод милна для решения дифференциальных уравнений

3. Вычислить значения данной функции и ее прозводной с помощью интерполяционного полинома Лагранжа Ln(x). В качестве узлов интерполяции взять:

1) равномерно распределенные точки на отрезке [a; b];

2) чебышевский набор узлов на отрезке [a; b].

При табулировании функции вычислять ряд с точностью 10 -6 .

Метод милна для решения дифференциальных уравнений

Метод милна для решения дифференциальных уравнений

Метод милна для решения дифференциальных уравнений

Замечание. При вычислении ряда Метод милна для решения дифференциальных уравненийучесть, что каждый последующий член ряда an+1 получается из предыдущего члена an умножением на величину qn, т.е. Метод милна для решения дифференциальных уравненийЭто позволит избежать переполнения при вычислении факториалов.

4. Найти приближенные значения функции при данных промежуточных значениях аргумента с помощью кубического сплайна и визуализируйте результаты сплайн-интерполяции.

Метод милна для решения дифференциальных уравнений

Метод милна для решения дифференциальных уравнений

Отчет должен содержать:

ü постановку задачи и исходные данные;

ü описание методов решения;

ü графики, полученных интерполяционных многочленов;

ü листинг программы.

Индивидуальное задание №3

1. Используя данные таблицы 1, вычислить производную указанной функции в точке х (точка х не является узлом таблицы)

Видео:Метод ЭйлераСкачать

Метод Эйлера

2. Используя данные таблицы 1, вычислить производную указанной функции в точке х (точка х – узел таблицы)

Таблица 1.

ВариантЗадание 1.Задание 2.
Таблица №хТаблица №хИспользуемая формула
3.02 (взять 5 последних значений)5,3Лагранжа
3.53 (взять 4 последних значения)6,7Лагранжа
2.52,6Ньютона
5.8-3,2Ньютона
3.12,3Ньютона
3.92,1Ньютона
3.34 (взять 5 первых значений)-0,8Лагранжа
6.05 (взять 4 первых значения)3,8Лагранжа
3.22 (взять 5 первых значений)2,9Лагранжа
5.31,6Ньютона
3.93,4Ньютона
7.25 (взять 4 первых значения)Лагранжа
4.46,2Ньютона
3.63 (взять 5 последних значений)4,5Лагранжа
2.24 (взять 5 последних значений)Лагранжа
6.83,7Ньютона
3.45,6Ньютона
3.74 (взять 4 последних значения)6,4Лагранжа
1.85 (взять 5 первых значений)7,4Лагранжа
7.64,5Ньютона
Таблица 2.

xf(x)=1/x·lgx+x 2
1,31,7776
2,14,5634
2,98,5694
3,713,8436
4,520,3952
5,328,2267
6,137,3387
Таблица 3.

xf(x)=ln2,3x-0,8/x
1,20,3486
2,31,3180
3,41,8214
4,52,1592
5,62,4128
6,72,6156
7,82,7845
Таблица 4.

Xf(x)=2,1·sin0,37x
-3,2-1,9449
-0,8-0,6126
1,61,1718
2,0913
6,41,4673
8,8-0,2397
11,2-1,7698
Таблица 5.

xf(x)=1,7 Метод милна для решения дифференциальных уравнений-cos(0,4-0,7x)
2,62,1874
3,83,2888
3,9061
6,23,8209
7,43,2452
8,62,6949
9,82,6535

3. Вычислить значения интеграла, используя квадратурные формулы:

· Гаусса с двумя узлами.

Интеграл вычислить с точностью ε=10 -6 . Точность вычисления интеграла определяется сравнением результатов при различном числе разбиений отрезка интегрирования. Именно, точность ε считается достигнутой, если

Метод милна для решения дифференциальных уравнений

здесь Метод милна для решения дифференциальных уравнений— значение составной квадратурной формулы при разбиении отрезка на N частей.

Отчет должен содержать:

· постановку задачи и исходные данные,

· описание методов решения и расчетные формулы,

· таблицы значений интегралов с указанием числа разбиений, потребовавшихся для достижения заданной точности,

1. Метод милна для решения дифференциальных уравнений2. Метод милна для решения дифференциальных уравнений3. Метод милна для решения дифференциальных уравнений4. Метод милна для решения дифференциальных уравнений

5. Метод милна для решения дифференциальных уравнений6. Метод милна для решения дифференциальных уравнений7. Метод милна для решения дифференциальных уравнений8. Метод милна для решения дифференциальных уравнений

9. Метод милна для решения дифференциальных уравнений10. Метод милна для решения дифференциальных уравнений11. Метод милна для решения дифференциальных уравнений12. Метод милна для решения дифференциальных уравнений

13. Метод милна для решения дифференциальных уравнений14. Метод милна для решения дифференциальных уравнений15. Метод милна для решения дифференциальных уравнений16. Метод милна для решения дифференциальных уравнений

17. Метод милна для решения дифференциальных уравнений18. Метод милна для решения дифференциальных уравнений19. Метод милна для решения дифференциальных уравнений20. Метод милна для решения дифференциальных уравнений

Литература

1. Бахвалов Н. С. Численные методы: учеб. пособие для вузов/ Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. — 4-е изд.; Гриф МО. — Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. — 636 с. — (Классический университетский учебник). — Библиогр.: с. 624-628. — Предм. указ.: с. 629-632.

2. Вержбицкий В. М. Численные методы: Линейная алгебра и нелинейные уравнения: учеб. пособие для вузов / В. М. Вержбицкий. — 2-е изд., испр.; Гриф МО. — Москва: ОНИКС 21 век, 2005. — 431 с.: ил. — Библиогр.: с. 419-424. — Предм. указ. с. 425-429.

3. Демидович Б. П. Численные методы анализа: приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения: учеб. пособие / Б. П. Демидович, В. А. Марон, Э. З. Шувалова; под ред. Б. П. Демидовича. — Изд. 4-е, стер. — Санкт-Петербург: Лань, 2008. — 400 с. — (Классическая учебная литература по математике). — Библиогр. в конце гл.

4. Киреев В. И. Численные методы в примерах и задачах: учеб. пособие для вузов/ В. И. Киреев, А. В. Пантелеев. — Изд. 2-е, стер.; Гриф УМО. — Москва: Высш. шк., 2006. — 480 с.: ил. — (Прикладная математика для ВТУЗов). — Библиогр.: с. 477-480 .

5. Пантина И. В. Вычислительная математика [Электронный ресурс] учебник для вузов/ И. В. Пантина, А. В. Синчуков. — 2-е изд., перераб. и доп. — Москва: Синергия, 2012. — 175 с.

6. Пирумов У. Г. Численные методы: учеб. пособие для вузов/ У. Г. Пирумов. — 2-е изд., испр. и доп.; гриф МО. — Москва: Дрофа, 2003. — 221 с.: ил. — (Высшее образование). — Библиогр.: с. 216. — Имен. указ.: с. 217.

7. Срочко В. А. Численные методы: курс лекций / В. А. Срочко. — Гриф УМО. — Санкт-Петербург [и др.]: Лань, 2010. — 202 с. — Библиогр.: с. 200.

8. Турчак Л. И. Основы численных методов: учеб. пособие / Л. И. Турчак, П. В. Плотников. — Изд. 2-е, перераб. и доп.; Гриф МО. — Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 300 с.: ил. — Библиогр.: с. 290-292. — Прил.: с. 286-289. — Предм. указ.: с. 293-300.

Видео:Практика 1 ИзоклиныСкачать

Практика 1  Изоклины

9. Шевцов Г. С. Численные методы линейной алгебры: учеб. пособие для мат. напр. и спец. / Г. С. Шевцов, О. Г. Крюкова, Б. И. Мызникова. — Гриф УМО. — Москва: Финансы и статистика: ИНФРА-М, 2008. — 479 с. — (Финансы и статистика). — Библиогр.: с. 473-474. — Предм. указ.: с. 475-479.


источники:

📺 Видео

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравнения

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

9. Метод вариации произвольной постоянной ( метод Лагранжа ). Линейные дифференциальные уравнения.Скачать

9. Метод вариации произвольной постоянной ( метод Лагранжа ). Линейные дифференциальные уравнения.

Численное решение задачи Коши методом ЭйлераСкачать

Численное решение задачи Коши методом Эйлера

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Видеоурок "Системы дифференциальных уравнений"Скачать

Видеоурок "Системы дифференциальных уравнений"

Математика без Ху!ни. Линейное неоднородное уравнение 1 порядка. Метод вариации постоянной.Скачать

Математика без Ху!ни. Линейное неоднородное уравнение 1 порядка. Метод вариации постоянной.

Сеточные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.Скачать

Сеточные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.

Дифференциальные уравнения. Задача Коши. Метод Эйлера.Скачать

Дифференциальные уравнения. Задача Коши. Метод Эйлера.

Видеоурок "Нахождение частных решений по виду правой части"Скачать

Видеоурок "Нахождение частных решений по виду правой части"

12. Интегрирующий множитель. Уравнения в полных дифференциалахСкачать

12. Интегрирующий множитель. Уравнения в полных дифференциалах

Метод Лагранжа & Метод Бернулли ★ Решение линейных неоднородных дифференциальных уравненийСкачать

Метод Лагранжа & Метод Бернулли ★ Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений
Поделиться или сохранить к себе: