Метод ложных положений в решении уравнений (3 видео)

Метод ложного положения.
проект по алгебре (7 класс) на тему

Исследовательская работа по алгебре.

Содержание

Скачать:
Предварительный просмотр:
Районная научно- практическая конференция «Надежда губернии»
Главная > Реферат
доклад «Решение задач из арифметикиЛ.Ф.Магницкого»
Оглавление
Основная часть: ………………………………………..4
Введение.
Заключение.
🎦 Видео

Видео:Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать

Скачать:

Вложение	Размер
metod_lozhnogo_polozheniya_efremova_nastya.doc	538.5 КБ

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Предварительный просмотр:

МОУ «Средняя общеобразовательная школа №8» г.о. Саранск

Метод ложных положений при решении задач уравнений

ученица 7 «А» класса

Глава 1. Из истории метода двух ложных положений………………………..5

Глава 2. Применение метода двух ложных положений при решении задач из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого……………………………………………….9

2.1 Л.Ф. Магницкий – автор первого печатного учебника математики в России………………………………………………………………………….….9

2.2 Решение задач из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого методом двух ложных положений……………………………………………………………….……….10

2.3 Сравнительный анализ старинного и современного способов решения некоторых задач…………………………………………………………. … . ….17

Список литературы …………………………………………. 22

Данная работа посвящена «правилу двух ложных положений» и его применению к решению задач в «Арифметике» Л. Ф. Магницкого.

«Правило двух ошибок» или правильнее «правило двух ложных положений» было известно и сформулировано задолго до Леонтия Филипповича Магницкого. Некоторые книги «Математики в девяти книгах» (древнекитайского математического сочинения, которое представляет собой сборник трудов китайских математиков X – II вв. до н. э.) сводятся к решению линейных уравнений. Седьмая книга под названием «Избыток – Недостаток» как раз таки посвящена задачам, решаемым по этому правилу. Это правило попало впоследствии в арабские и западноевропейские руководства. Интересно знать, что европейцы считали это правило индийским, хотя до сих пор его не удалось обнаружить в подлинниках. Скорее всего, математики мусульманских стран заимствовали это правило из китайских рукописей.

В Российской империи этим правилом активно занимался и развивал его Л. Ф. Магницкий, русский математик, педагог, преподаватель математики в Школе математических и навигацких наук в Москве (с 1701 по 1739 годы). Л. Ф. Магницкий в 1703 году составил первую в России учебную энциклопедию по математике под заглавием «Арифметика, сиречь наука числителная с разных диалектов на славенский язык переведеная и во едино собрана, и на две книги разделена» тиражом 2400 экземпляров. Как учебник эта книга более полувека употреблялась в школах благодаря научно-методическим и литературным достоинствам. Основные положения этого правила и задачи на него Л. Ф. Магницкий изложил как раз там.

познакомиться с методом ложного положения и правилом двух ложных положений и выяснить их применение при решении задач.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

Изучить литературу по данному вопросу;
Выяснить историю метода;
Применить данное правило к решению задач из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого и решить эти же задачи современным способом;
Сравнить старинные и современные способы решения задач.

Работа состоит из введения, основной части, которая в свою очередь состоит из двух глав, и заключения.

В работе были использованы восемь источников. Наиболее ценными оказались «Старинные занимательные задачи» С. Н. Олехника и «История математики в школе» Г. И. Глейзера.

Глава 1. Из истории метода двух ложных положений

История алгебры уходит своими корнями в древние времена. Задачи, связанные с уравнениями, решались ещё в Древнем Египте и Вавилоне. Теория уравнений интересовала и интересует математиков всех времён и народов.

Существуют две разновидности правила ложных положений: правило одного ложного положения и правило двух ложных положений .

Правило одного ложного положения — это простейший метод решения линейных уравнений. Он был известен с древних времен. У индусов он назывался как ishta karman , у западноевропейцев он назывался regula falsi simplicis positionis . Способ состоял в замене неизвестного произвольно взятым числом и в следующем за тем определении истинной величины неизвестного на основании пропорциональности, существующей между ним, его произвольным значением и соответствующими результатами указываемых условиями задачи вычислений. Употребление этого правила встречается уже в Папирусе Ринда (древнеегипетском учебном руководстве по арифметике и геометрии периода Среднего царства, переписанном примерно в 1650 году до н. э. писцом по имени Ахмес).

Ахмéс (ок. 2000 до н.э.) — египетский жрец и писец, составитель первого дошедшего до нас руководства по арифметике и геометрии (папируса Ринда).

Математический папирус Ахмеса — древнеегипетское учебное руководство по арифметике и геометрии периода Среднего царства, переписанное около 1650 до н. э. писцом по имени Ахмес на свиток папируса длиной 5,25 м. и шириной 33 см.

Математический папирус Ахмеса (также известен как Rhind Mathematical Papyrus (RMP) — папирус Ринда или папирус Райнда) — древнеегипетское учебное руководство по арифметике и геометрии периода XII династии Среднего царства (1985—1795 гг. до н. э.), переписанное в 33 год правления царя Апопи (ок. 1650 до н. э.) писцом по имени Ахмес на свиток папируса высотой 32 см и шириной 199,5 см. Отдельные исследователи предполагают, что папирус времен XII династии мог быть составлен на основании ещё более древнего текста III тысячелетия до н. э. Язык: среднеегипетский, письменность: иератическое письмо.

Папирус Ахмеса был обнаружен в 1858 году в Фивах и часто называется папирусом Ринда (Райнда) по имени его первого владельца. В 1887 году папирус был расшифрован, переведён и издан Г. Робинсоном и К. Шьютом (London, The British Museum Press, 1987). Ныне большая часть рукописи находится в Британском музее (EA 10057, комната 90) в Лондоне, а вторая часть — в Нью-Йорке.

В Древнем Египте и Вавилоне использовался метод ложного положения (“фальшивое правило”)

Уравнение первой степени с одним неизвестным можно привести всегда к виду ах + Ь = с, в котором а, Ь, с — целые числа. По правилам арифметических действий ах = с — b,

Если Ь > с, то с — b число отрицательное. Отрицательные числа были египтянам и многим другим более поздним народам неизвестны (равноправно с положительными числами их стали употреблять в математике только в семнадцатом веке).

Для решения задач, которые мы теперь решаем уравнениями первой степени, был изобретен метод ложного положения.

В папирусе Ахмеса 15 задач решается этим методом. Решение первой из них позволяет понять, как рассуждал автор.

Египтяне имели особый знак для обозначения неизвестного числа, который до недавнего прошлого читали “хау” и переводили словом “куча” (“куча” или “неизвестное количество” единиц). Теперь читают немного менее неточно: “ага”.

Задача № 24 сборника Ахмеса:

“Куча. Ее седьмая часть (‘подразумевается: “дают в сумме”) 19. Найти кучу”.

Запись задачи нашими знаками:

Решение Ахмеса может быть представлено в наших символах в следующих четырех столбцах:

Во многих задачах в начале или в конце встречаются слова: “Делай как делается”, другими словами: “Делай, как люди делают”.

Смысл решения Ахмеса легко понять.

Делается предположение, что. куча есть 7; тогда ее часть есть 1. Это записано в первом столбце.

Во втором столбце записано, что при предположении х=7 куча и ее часть дали бы 8 вместо 19. Удвоение предположения дает 16. Автор, в уме очевидно, прикидывает, что дальше удваивать предположение нельзя, так как тогда получится больше 19. Он записывает 16, ставит перед числом две точки для обозначения удвоения первоначального предположения и отмечает значком (у нас — звездочкой) результат; для получения в сумме 19 первоначальное предположение надо умножить -на 2 с некоторым добавлением, так как для получения точного результата, 19, не хватает еще 19—16=3. Ахмес находит от 8, получает 4. Так как это больше нехватки 3, то на предположение умножить нельзя. Но от 8 есть 2, от восьми 1. Ахмес видит, что и первоначального результата дают точно те 3 единицы, которых не хватало. Отметив и значками, Ахмес убедился, что первоначальное предположение для кучи (7) надо помножить на

Умножение числа 7 на смешанное число Ахмес заменяет умножением смешанного числа на 7. В третьем столбце выписаны: часть искомой кучи есть , удвоенное это число: и учетверенное: . Сумма этих трех чисел, равная числу , есть произведение первоначального предположения 7 на .

Итак, куча равна .

В последнем столбце Ахмес делает проверку, складывая полученное значение для кучи и его части . В сумме получается 19, и решение заканчивается обычным для автора заключением: “Будет хорошо”.

Способ решения, примененный Ахмесом, называется методом одного ложного положения. При помощи этого метода решаются уравнения вида ах == b. Его применяли как египтяне, так и вавилоняне.

У разных народов применялся метод двух ложных положений. Арабами этот метод был механизирован и получил ту форму, в которой он перешел в учебники европейских народов, в том числе в “Арифметику” Магницкого. Магницкий называет способ решения “фальшивым правилом” и пишет о части своей книги, излагающей этот метод:

Зело бо хитра есть сия часть,

Яко можеши ею все класть (вычислить. — И . Д.)

Не токмо что есть во гражданстве,

Но и высших наук в пространстве,

Яже числятся в сфере неба,

Якоже мудрым есть потреба.

Содержание стихов Магницкого можно вкратце передать так: эта часть арифметики весьма хитрая. При помощи ее можно вычислить не только то, что понадобится в житейской практике, но она решает и вопросы “высшие”, которые встают перед “мудрыми”.

Магницкий пользуется “фальшивым правилом” в форме, какую ему придали арабы, называя его “арифметикой двух ошибок” или “методой весов”.

Правило двух ложных положений было изобретено индусами, однако, скорее всего, было позаимствовано у китайских ученых. От индусов оно перешло к арабам, которые доставили ему очень распространенное применение как в собственной математической литературе под именем «правила чашек весов» , так и в литературе Европы. Вот так звучало правило: «Рисуй весы и пиши над точкой опоры результат, который получается после указанных в задаче действий над неизвестным числом. Оба ложных положения пиши над чашками весов, погрешности «больше» пиши под весами, «меньше» — над весами. Ложные положения и погрешности умножить накрест. Бери разности произведений, если погрешности находятся по одну сторону от весов, бери их суммы, если погрешности стоят по разные стороны».

Пример оформления решения для «правила чашек весов»

Из западноевропейских арифметических положений оно перешло в русские арифметические рукописи XVIII в., в «Арифметику» Леонтия Филипповича Магницкого и в учебники XVIII и даже начала XIX вв. Как и арабы, русские ввели в обращение только правило двух ложных положений, о величестве и могуществе которого имели очень большое представление.

В настоящее время это правило практически не используется и представляет интерес только для историков математики.

Вывод: правило распространялось и использовалось в мире на протяжении тридцати веков. Многие ученые из разных стран приняли в этом участие: древнекитайские, египетские, индийские, арабские, европейские, русские.

Глава 2. Применение метода двух ложных положений при решении задач из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого

2.1 Л.Ф. Магницкий – автор первого печатного учебника математики в России

14-го января 1701 года последовал указ Петра Великого об открытии Математико-Навигацкой школы. Учителями Школы были назначены приглашенные ещё в 1698 году англичане: для «науки математической» — Андрей Фарварсон, для «науки навигацкой» — Стефан Гвин и Ричард Грейс. В помощь названным учителям вскоре был приглашен и Л.Ф. Магницкий. В этом учебном заведении преподавались такие науки, как арифметика, геометрия, тригонометрия, с практическими приложениями их к геодезии и мореплаванию, навигация и часть астрономии. Из этих предметов на долю Магницкого приходилась, вероятно, главным образом арифметика. Для обучения нужны были новые учебники. По распоряжению Петра Великого в это время Л. Ф. Магницкий напечатал свою знаменитую книгу – первый печатный учебник по математике в истории России. Высокую оценку деятельности Магницкого давали его современники и потомки. В. К. Тредиаковский – русский поэт, ученый-филолог, писал: «Магницкий Леонтий муж, сведущий славянского языка… добросовестный и нельстивый человек, первый Российский арифметик и геометр; первый издатель и учитель в России арифметики и геометрии.

Что же представляет собой «Арифметика» Л. Ф. Магницкого? Профессор П.Н. Берков называет «Арифметику» «одним из важнейших явлений книгопечатной деятельности Петровского времени». И действительно, этот учебник явился определенной вехой, толчком для последующего развития математики в России.

Один из экземпляров «Арифметики…» в 1725 году попал к юному М. В. Ломоносову, который хранил эту книгу до конца своей жизни.

Исследователи до сих пор не имеют общего мнения о том, по каким руководствам Магницкий составил свою «Арифметику». Некоторые считают, что был использован рукописный и печатный материал более раннего времени, который Леонтий Филиппович тщательно отобрал, существенно обработал, составив новый, оригинальный труд с учетом знаний и запросов русского читателя. Магницкий впервые ввел термины:

Заменил устаревшие слова «тьма» и «легион» словами:

Вывод: являясь связующим звеном между русской математической литературой XVII и XVIII веков, «Арифметика» Магницкого послужила проводником новых математических сведений в широкое русское грамотное общество, совершенно не имевшихся в существовавших до нее рукописях. Для своего времени эта книга представляла собой серьезный и ценный труд.

2.2 Решение задач из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого методом двух ложных положений.

Теперь попробуем решить задачи методом двух ложных положений из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого.

В задачах подобного типа возможны три варианта решения в соответствии с правилом двух ложных положений:

результат двух вычислений оказывается больше данного числа,
результат одного из вычислений больше, а другого – меньше данного,
результат двух вычислений оказывается меньше данного числа.

Если оба результата вычислений больше или меньше данного числа, нужно делить разность произведений на разность ошибок.

Если же один из результатов окажется меньше данного числа, а другой больше, то искомое число можно найти, разделив сумму произведений на сумму разностей.

Задача 1. Найти такое число, что если к нему добавить третью часть и от полученной суммы отнять её шестую часть, то будет 100.

I возможность (результат двух вычислений оказывается больше данного числа)

1. Предположим, что неизвестное число есть 144.

Проделаем с ним описанные в задаче операции:

• 144 = 48, 144 + 48 = 192

• 192 = 32, 192 – 32 = 160

Вывод: не угадали, результат вычисленный больше 100.

2. Предположим, что неизвестное число есть 108.

Проделаем с ним описанные в задаче операции:

• 108 = 36, 108 + 36 = 144

• 144 = 24, 144 – 24 = 120

Вывод: не угадали, результат вычислений больше 100.

3. По результатам двух неудачных попыток можно найти искомое число.

Вычисляем, на сколько мы ошиблись:

1 случай: 2 случай:

160 – 100 = 60 120 – 100 = 20

144 60

Разделим разность произведений на разность ошибок:

6480 – 2880 = 3600

Значит, искомое число равно 90.

II возможность (результат одного из вычислений больше, а другого – меньше данного)

Предположим, что это число есть 72.

Проделаем с ним описанные в задаче операции:

• 72 = 24 72 + 24 = 96

• 96 = 16 96 – 16 = 80

Не угадали, результат вычислений меньше 100.

Предположим, что это число есть 99.

Проделаем с ним описанные в задаче операции:

• 99 = 33 99 + 33 = 132

• 132 = 22 132 – 22 = 110

Не угадали, результат вычислений больше 100.

Вычисляем, насколько мы ошиблись:

100 – 80 = 20 110 – 100 = 10

72 20

72 • 10 = 720 99 • 20 = 1980

III возможность ( результат двух вычислений оказывается больше данного числа)

Предположим, что это число есть 81.

Проделаем с ним описанные в задаче операции:

• 81 = 27 81 + 27 = 108

• 108 = 18 108 – 18 = 90

Не угадали, результат вычислений меньше 100.

Предположим, что это число есть 72.

Проделаем с ним описанные в задаче операции:

• 72 = 24 72 + 24 = 96

• 96 = 16 96 – 16 = 80

Не угадали, результат вычислений меньше 100.

Вычислим, насколько мы ошиблись:

90 – 100 = -10 80 – 100 = -20

81 -10

81 • (-20) = -1620 72 • (-10) = -720

Разность произведений разделим на разность ошибок:

Ответ: искомое число равно 90

Задача №2 «Ответ учителя»

Спросил некто учителя: «Скажи, сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына». Учитель ответил: «Если придет ещё столько же, сколько имею, и полстолько и четверть столько и твой сын, тогда будет у меня 100 учеников». Сколько учеников было у учителя?

Предположим, что учеников было 24.

Проделаем описанные в задаче операции:

24 + 24 + 12 + 6 + 1 = 67 учеников

Не угадали, результат вычислений меньше 100

Предположим, что учеников было 32.

Проделаем описанные в задаче операции:

32 + 32 + 16 + 8 + 1 = 89 учеников

Не угадали, результат вычислений меньше 100

Вычислим, насколько мы ошиблись:

100 – 67 = 33 100 – 89 = 11

24 33

24 • 11 = 264 32• 33 = 1056

Разделим разность результатов на разность ошибок:

1056 – 264 = 792 33 – 11 = 22

Ответ: 36 учеников

Задача 3. «Сколько куплено сукна?»

Купил некто сукно трех сортов, а всего 106 аршин. Первого купил на 12 аршин больше, чем второго, а второго на 9 аршин больше, чем третьего. Сколько сукна каждого сорта было куплено?

Предположим, что сукна первого сорта куплено 32 аршина. Тогда второго – 20 аршина, а третьего – 9. Всего куплено
32 +20 + 11 = 63 аршина.

Не угадали, результат вычислений меньше 106.

Предположим, что сукна первого сорта куплено 50 аршин. Тогда второго – 38, а третьего – 29. Всего куплено 50 + 38 + 29 = 117 аршин.

Не угадали, результат вычислений больше 106

Вычислим, насколько мы ошиблись:

106 – 63 = 43 117 – 106 = 11

32 43

32 • 11 = 352 50 • 43 = 2150

Сумму произведений разделим на сумму разностей:

2150 + 352 = 2502 43 + 11 = 54

Значит, сукна второго сорта 46 — 12 = 34 , а сукна третьего сорта 34 — 9 = 25 .

Ответ: первого сорта 46 аршина, второго сорта 34 , третьего сорта 25 .

Задача 4. «Покупка коровы»

Два человека хотят купить корову. Говорит первый второму: «Если ты дашь мне твоих денег, то я один смогу заплатить цену». А второй отвечает первому: «Дай мне твоих денег, тогда и я заплачу за нее цену». Сколько у каждого из них денег, если корова стоит 24 рубля?

Предположим, что у первого было 12 рублей. Тогда второй должен дать ему 24 – 12 = 12 рублей, что составляет от его денег. Значит у второго человека было 18 рублей. После того как первый даст ему своих денег, у него будет 27 рублей, что на три рубля больше.

Не угадали, результат вычислений больше 24

Предположим, что у первого человека 20 рублей. Тогда у второго человека 6 рублей. После того как первый даст ему своих денег, у него будет 21 рубль.

Не угадали, результат вычислений меньше 24.

Вычислим, насколько мы ошиблись:

27 – 24 = 3 24 – 21 = 3

20 3

Разделим сумму произведений на сумму разностей:

20 • 3 = 60 12 • 3 = 36

60 + 36 = 96 3 + 3 = 6

Значит, у первого было 16 рублей, а у второго • (24 – 16) = 12 рублей.

Ответ: у первого было 16 рублей, а у второго – 12 рублей.

Задача 5. «Беседа»

Три человека беседуют. Первый, обращаясь к двум другим, говорит: «Если бы я взял из ваших денег по половине, то у меня было бы 17 рублей». Второй же, обращаясь к первому и третьему, сказал, что если бы они дали ему по одной трети своих денег, то у него также стало бы 17 рублей. На что третий ответил, что если бы они дали ему одну четвертую своих денег, то у него стало бы 17 рублей. Сколько денег имеет каждый?

Предположим, что у первого из беседующих было 8 рублей. Тогда половина суммы денег второго и третьего равна 17 – 8 = 9, то есть у второго и третьего человека вместе в 18 рублей, а всего вместе денег у них 18 + 8 = 26 рублей. После того как первый и третий собеседники дадут второму имеющихся у них денег, у второго станет от 26 и ещё своих денег. Таким образом, у второго человека • (17 — ) = рублей. Тогда у третьего 26 – 8 — = . Если теперь первый и второй дадут третьему человеку по имеющихся у них денег, то у того станет + • (8 + ) = , что на рублей меньше, чем должно быть.

Не угадали, результат вычислений меньше 17.

Предположим, что у первого из беседующих было 6 рублей. Значит, у второго должно быть рублей, а у третьего рублей. После того как первый и второй дадут деньги третьему человеку, у него станет

+ • ( 6 + ) = , что на меньше, чем должно быть.

Не угадали, результат вычислений меньше 17.

Разделим разность произведений на разность ошибок:

Значит, у первого из беседующих было 5 рублей. Тогда у второго было 11, а у третьего 13 рублей.

Ответ: у первого беседующего было 5 рублей, у второго – 11 рублей, у третьего – 13 рублей.

Сравнительный анализ старинного и современного способов решения некоторых задач.

Проведем сравнительный анализ решений задач из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого методом двух ложных положений и современным способом.

Сначала решим задачи из пункта 2.2 современными способами.

Пусть x – искомое число. Тогда его треть равна . Сумма числа с его третей частью равна x + = . После вычитания из полученной суммы шестой части получим – • = — = , что по условию задачи равно 100. Решаем уравнение, получаем x = 90. Значит, искомое число равно 90.

Ответ: искомое число равно 90

Вывод: для решения данной задачи потребовалось умение решать линейные уравнения с дробными коэффициентами. Это уровень пятого и шестого классов современной школы.

Задача 2 . Спросил некто учителя: «Скажи, сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына». Учитель ответил: «Если придет ещё столько же, сколько имею, и полстолько и четверть столько и твой сын, тогда будет у меня 100 учеников». Сколько учеников было у учителя?

Пусть x – число учеников. Тогда x + x + x + x + 1 = 100.

Ответ: 36 учеников.

Задача 3. Купил некто сукно трех сортов, а всего 106 аршин. Первого купил на 12 аршин больше, чем второго, а второго на 9 аршин больше, чем третьего. Сколько сукна каждого сорта было куплено?

Пусть x — количество аршин первого сорта. Тогда

x + x – 12 + x – 21 = 106

Следовательно, второго сорта было 46 — 12 = 34 аршин, а третьего было 34 — 9 = 25 аршин.

Ответ: первого сорта 46 аршина, второго сорта 34 , третьего сорта 25 .

Вывод: для решения данной задачи потребовалось умение решать линейные уравнения и действия со смешанными числами. Это уровень пятого и шестого классов современной школы.

Задача 4. Два человека хотят купить корову. Говорит первый второму: «Если ты дашь мне твоих денег, то я один смогу заплатить цену». А второй отвечает первому: «Дай мне твоих денег, тогда и я заплачу за нее цену». Сколько у каждого из них денег, если корова стоит 24 рубля?

Пусть x – количество денег у первого человека, а y – количество денег у второго человека. Составим систему уравнений:

Следовательно, у второго человека было 12 рублей, а у первого человека было 24 – 8 = 16 рублей.

Ответ: у первого было 16 рублей, а у второго – 12 рублей.

Вывод: для решения данной задачи потребовались умения: составить и решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными с дробными коэффициентами. Это уровень восьмого и девятого классов современный школы.

Задача 5. Три человека беседуют. Первый, обращаясь к двум другим, говорит: «Если бы я взял из ваших денег по половине, то у меня было бы 17 рублей». Второй же, обращаясь к первому и третьему, сказал, что если бы они дали ему по одной трети своих денег, то у него также стало бы 17 рублей. На что третий ответил, что если бы они дали ему одну четвертую своих денег, то у него стало бы 17 рублей. Сколько денег имеет каждый?

Пусть x – количество денег у первого человека, y – количество денег у второго человека, z – количество денег у третьего человека. Составим систему уравнений:

Значит, у третьего человека было 13 рублей, у первого человека было 5 рублей, у второго человека было 34 – 10 – 13 = 11 рублей.

Ответ: у первого беседующего было 5 рублей, у второго – 11 рублей, у третьего – 13 рублей.

Вывод: для решения данной задачи потребовались умения: составить и решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными с дробными коэффициентами. Это уровень девятого класса современной школы.

Вывод к главе : при использовании метода двух ложных положений для решения текстовых задач возможны три случая. При этом нужно пользоваться четким алгоритмом. Решая задачи данным методом, получали длинные и громоздкие вычисления. На мой взгляд, современный способ гораздо проще и удобнее метода двух ложных положений. Решения задач получаются короткими и однозначными, хотя при этом необходимы знания математики с пятого по девятый классы включительно современной школы.

Видео:329. Метод ложного положенияСкачать

Районная научно- практическая конференция «Надежда губернии»

Главная > Реферат

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №3 г.Ртищево Саратовская область».

Боброва Наталья Сергеевна, учитель математики

РАЙОННАЯ НАУЧНО- ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

« Старинные задачи через века и страны »

Автор: Балберова Анастасия

Учащаяся 7 класса,

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №3 г.Ртищево»

Руководитель: Боброва Наталья Сергеевна,

г. Ртищево, 2012 г.

Способы решения текстовых задач

1. Правило ложного положения……………………………………………. …4

3. Старинный способ решения задач на сплавы и смеси……………………. 7

Список используемой литературы …………………………………………. 10

Увлечение математикой часто начинается с размышлений над какой-то особенно понравившейся задачей. Она может встретиться и на школьном уроке, и на занятии математического кружка, и в журнале или книжке. А меня очень заинтересовали старинные задачи, с которыми мы столкнулись на уроке математики. И я решили узнать о них больше. Старинные задачи пришли к нам из глубины веков, от наших предков. Разные народы нашей планеты придумывали их, оттачивали условия и логику заданий. Они неизбежно остроумны и занимательны, в них собраны замечательные находки многих поколений.

Старинные задачи позволяют не только развить смекалку и сообразительность, но и окунуться в атмосферу патриархальности, почувствовать прикосновение других эпох, порадоваться пришедшему решению точно так же, как когда-то, быть может, радовались наши предки. Наши предки умели думать и решать задачи. Очень многие сказки воспевают смекалку и скорость мышления, благодаря которым герои обретают счастье. Такие качества, как сообразительность, оригинальность слова и дела, уникальность и мастерство всегда были и будут в цене. Конечно, задач и головоломок за века было придумано неисчислимое множество, и я специально отобрала лучшие из них.

Еще в древние века математика занимала основное место в умах ученых и благодаря сохранившимся рукописям у нас есть возможность проследить за развитием математической мысли и возможность прорешать старинные задачи и сравнить их решение с современным решением.

Цель исследования: выявление роли и места старинных задач в современном мире, рассмотрение различных способов решения старинных задач.

исследовать решение старинных задач методом перебора;

исследовать метод решения старинных задач «правило ложного положения»

исследовать старинный способ решения задач на сплавы и смеси.

Способы решения текстовых задач

Недостаточно лишь понять задачу, необходимо желание решить ее.

Без сильного желания решить трудную задачу невозможно,

Но при наличии такового – возможно. Где есть желание, найдется путь!

Правило ложного положения.

Самой глубокой древности и до XIX в руководствах по арифметике занимал очень видное место так называемый метод ложного положения или метод предположений. Долгое время этот метод заменял применение уравнений первой степени при решении задач, приводимых к этим уравнениям. Сущность метода «ложного положения» в том, что неизвестной величине дают произвольное значение, пользуясь которым вычисляют значение одной из данных величин, устанавливают ошибку. Так как в задачах, решаемых этим способом, данная величина, значение которой определяется через значение неизвестной, есть линейная функция неизвестной, то приращение этой величины пропорционально приращению неизвестной. Пользуясь этим, исправляют значение неизвестной.

Способ ложного положения — древний способ, применявшийся при решении задач, приводящихся к уравнениям первой степени, еще египтянами в древности. Этот способ рассматривался и в старинном русском учебнике Л.Ф. Магницкого под названием «Фальшивое правило». Этот способ полезно знать, он дает возможность решить арифметически многие задачи.

Задача 1: Летела стая гусей, а навстречу ей один гусь. «Здравствуйте, 100 гусей»,- говорит он, а вожак стаи отвечает: «Нас не 100 гусей. Если бы нас было столько, сколько теперь, да ещё столько, да ещё пол столько, да ещё четверть столько, да ещё ты, гусь, то нас было бы ровно 100гусей».

Сегодня бы школьник прочтя такую задачу, сразу же составит уравнение и, если хорошо умеет справляться с дробями, найдет из него, что х=36. Но в Древнем Египте про то, что неизвестные числа можно обозначать буквами, а потом работать с ними как известными величинами, и не подозревали. С дробями у них тоже были сложности. Однако, египтяне придумали метод решения задач, который назвали «методом кучи» (по-египетски – «аха»).

Прочтя задачу про гусей, египетский писец Ахмес сказал бы: «считай с четырех». Это значило: «Считай, что в стае было четыре гуся». Тогда простой подсчет показывает , что столько, да еще столько, да еще полстолька, да еще четверть столько дают 4+4+2+1, то есть 11 гусей, а нужно получить не 11, а 99 гусей (100–1). Так как 99:11=9, то надо взятое вначале число 4 умножить на 9. Тогда получится правильный ответ 36.

Поскольку вначале делается предположение, что число гусей равнялось четырем, этот способ называют теперь «Правилом ложного положения»

Приведем решение задачи способом ложного положения, или «фальшивым правилом». Из книги Магницкого:

Задача 2: Спросил некто учителя: «Сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына». Учитель ответил: «Если придет еще столько же учеников сколько имею, и полстолька и четвертая часть и твой сын, тогда будет у меня учеников 100». Спрашивается, сколько было у учителя учеников?

Магницкий дает такой способ решения.

1). Делаем первое предположение: учеников было 24.

Тогда по смыслу задачи к этому числу надо прибавить «столько, полстолька, четверть столька и 1», то есть имели бы:

24+24+12+6+1=67, то есть на 100—67=33 меньше (чем требовалось по условию задачи), в этом случае число 33 называем «первым отклонением».

2. Делаем второе предположение: учеников было 32, тогда имели бы:

32+32+16+8+1=89, то есть на 100—89=11 меньше это «второе отклонение».

На случай, если при обоих предположениях получилось меньше, дается правило: помножить первое предположение на второе отклонение, а второе предположение на первое отклонение, отнять от большего произведения меньшее и разность разделить на разность отклонений: .

Учеников было 36.

Таким же правилом надо руководствоваться, если при обоих предположениях получилось больше, чем полагается по условию. Например:

Первое предположение: 52, тогда имеем 52+52+26+13+1=144.

Получили на 144–100=44 больше (первое отклонение).

Второе предположение: 40, имеем: 40+40+20+10+1=111.

Получили на 111–100=11 больше (второе отклонение).

Если при одном предположении получим больше, а при другом меньше, чем требуется по условию задачи, то нужно при указанных выше вычислениях брать не разности, а суммы.

При помощи самых начальных сведений алгебры эти правила легко обосновываются.

Как Вы уже знаете, существуют задачи, для которых доказано отсутствие общего алгоритма решения (например, задача о разрешимости Диофантова множества). В то же время, можно сказать, что, если бы мы обладали бесконечным запасом времени и соответствующими ресурсами, то мы могли бы найти решение любой задачи. Здесь имеется в виду не конструирование нового знания на основании имеющегося (вывод новых теорем из аксиом и уже выведенных теорем), а, прежде всего, «тупой» перебор вариантов.

Еще в XVII столетии великий Лейбниц пытался раскрыть тайну «Всеобщего Искусства Изобретения». Он утверждал, что одной из двух частей этого искусства является комбинаторика — перебор постепенно усложняющихся комбинаций исходных данных. Второй частью является эвристика — свойство догадки человека. И сейчас вторая часть Искусства Изобретения все еще остается нераскрытой. На языке нашего времени эта часть — модель мышления человека, включающая в себя процессы генерации эвристик (догадок, изобретений, открытий).

Однако прежде чем перейти к рассмотрению улучшенных переборных алгоритмов (улучшенных потому, что для простого перебора у нас в запасе нет вечности), я бы отметила еще один универсальный метод ускорения перебора — быстрое отсечение ложных (или вероятно ложных, что и используется большинством алгоритмов) ветвей перебора.

Задача 2: В клетке находятся кролики и фазаны. Всего 6 голов и 20 ног. Сколько кроликов и сколько фазанов было в клетке?

— Если бы был 1 кролик, а фазанов – 5, то ног у них было бы 14 и т. д.

Видео:Метод простых итераций пример решения нелинейных уравненийСкачать

доклад «Решение задач из арифметикиЛ.Ф.Магницкого»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Решение задач из учебника Магницкого «Арифметика» методом 2-х ложных положений

ученик 9 класса «А»

МБОУ СОШ №15 г. Кузнецка

Руководитель – учитель математики Прошина Н. В.

Видео:11 класс, 27 урок, Общие методы решения уравненийСкачать

Основная часть: ………………………………………..4

История метода 2-х ложных положений…….4

Решение задач методом 2-х ложных положений из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого……………7

Современный способ решения задач…………9

Сравнительный анализ современного и старинного методов…………………………………………..10

Видео:Метод хордСкачать

Введение.

Магницкий Леонтий Филиппович (а при рождении Теляшин; 9 (19) июня 1669 – 19 (30) октября 1739) – русский математик, педагог, преподаватель математики в Школе математических и навигацких наук в Москве, а также автор первого в России учебного справочника по математике.

С самого детства Леонтий Филиппович удивлял всех своим умом и своей грамотностью. В 1685—1694 гг. учится в Славяно-греко-латинской академии, где математика не преподавалась. Видимо, он самостоятельно приобрёл столь глубокие математические познания.

На протяжение всей его жизни кто бы ему не встречался, все удивлялись его умственному развитию. Так при встрече с Петром I он произвёл на царя настолько сильное впечатление своими широкими познаниями, что правитель даже дал ему новую фамилию Магницкий «в сравнении того, как магнит привлекает к себе железо, так он природными и самообразованными способностями своими обратил внимание на себя».

Уже в возрасте 32-х лет по распоряжению Петра I Леонтий Филиппович был назначен преподавателем в школе «математических и навигацких, то есть мореходных хитростно наук учения», расположившейся в здании Сухаревской башни. Поначалу он был всего лишь помощником учителя математики, но уже вскоре и сам преподавал арифметику, вероятно, геометрию и тригонометрию. Также ему поручили написать учебник по математике и кораблевождению.

И Леонтий Филиппович Магницкий издает «Арифметику». Труд Леонтия Филипповича не был переводным, аналогов учебника в то время не существовало. Учебник содержит более 600 страниц и включает в себя как самые начала — таблицу сложения и умножения десятичных чисел, так и приложения математики к навигационным наукам.

В 1703 году вышло первое русское печатное руководство под длинным заглавием «Арифметика, сиречь наука числительная, с разных диалектов на словенский язык переведённая и во едино собрана и на две книги разделена…Сочинися сия книга чрез труды Леонтия Магницкого». В книге были сведения из механики, физики, гидравлики, метеорологии, навигации, корабельного дела и пр., то есть научный материал, который имел исключительное значение для всего русского народа, в том числе для поморов и М.В. Ломоносова.

В книге строго и последовательно проводилась одна форма изложения: каждое новое правило начиналось с простого примера, затем давалась его общая формулировка и, наконец, оно закреплялось большим количеством задач, преимущественно практического содержания. К каждому действию присоединялось правило проверки — «поведение». Магницкий впервые ввел термины: «множитель», «делитель», «произведение» и «извлечение из корня»; заменил устаревшие слова «тьма» и «легион» словами: «миллион», «биллион», «триллион», «квадриллион».

Великий русский ученый М. В. Ломоносов называл «Арифметику» Магницкого «вратами своей учености».

Мне показался очень интересным способ, называемый методом 2-х ложных положений, который также был изложен Л.Ф. Магницким в своём труде.

История метода ложных положений. Существуют две разновидности правила ложных положений: правило одного ложного положения и правило двух ложных положений .

Правило одного ложного положения — это простейший метод решения линейных уравнений. Он был известен с древних времен. Способ состоял в замене неизвестного числа произвольно взятым числом и в следующем за тем определении истинной величины неизвестного на основании пропорциональности, существующей между ним, его произвольным значением и соответствующими результатами указываемых условиями задачи вычислений. Употребление этого правила встречается уже в Папирусе Ринда (древнеегипетском учебном руководстве по арифметике и геометрии периода Среднего царства, переписанном примерно в 1650 году до н. э. писцом по имени Ахмес).

Правило двух ложных положений было изобретено индусами, однако, скорее всего, было позаимствовано у китайских ученых. От индусов оно перешло к арабам, которые доставили ему очень распространенное применение как в собственной математической литературе под именем «правила чашек весов» , так и в литературе Европы. Вот так звучало правило: «Рисуй весы и пиши над точкой опоры результат, который получается после указанных в задаче действий над неизвестным числом. Оба ложных положения пиши над чашками весов, погрешности «больше» пиши под весами, «меньше» — над весами. Ложные положения и погрешности умножить накрест. Бери разности произведений, если погрешности находятся по одну сторону от весов, бери их суммы, если погрешности стоят по разные стороны». Из западноевропейских арифметических положений оно перешло в русские арифметические рукописи XVIII в., в «Арифметику» Леонтия Филипповича Магницкого и в учебники XVIII и даже начала XIX вв.. Как и арабы, русские ввели в обращение только правило двух ложных положений, о величестве и могуществе которого имели очень большое представление.

Долгое время этот метод заменял применение уравнений первой степени при решении задач, приводимых к этим уравнениям. Л.Ф. Магницкий называет раздел своей «Арифметики», трактующей этот вопрос «О правилах фальшивых или гадательных».

Пример расположения вычислений при применении «фальшивого правила» у Л. Ф. Магницкого: «Спросил некто учителя: «Сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать тебе в ученики моего сына». Учитель ответил: «Если придёт учеников столько же, сколько имею, и полстолька, и четвёртая часть, и твой сын, тогда учеников у меня будет сто». Удивившись ответу, спрашиватель отошёл и стал изыскивать посредством сей науки так:

«Через второе фальшивое правило» 792 : 22 = 36 – толико бяше в том училище учеников».

В первом столбце подсчитывается, что при первом предположении (учеников было 24), мы получим всего 67, менее чем 100 на 33. Во втором столбце таким же образом находится, что при втором предположении (учеников было 32), получается 89, меньше 100 на 11.

Л. Ф. Магницкий пишет: «Через второе фальшивое правило», т. е. имеем тот случай, когда оба положения дали «меньше». В середине он выписывает оба положения и оба отклонения. Тут же крестом указывает, какое число на какое надо умножить, и выполняется умножение: 32 × 33 = 1056 и 24 × 11 = 264. Затем находится разница первого и второго произведений 1056 – 264 = 292, и указывается, что по «второму фальшивому правилу» надо найти разность отклонений 33 – 11 = 22. После способом вычерчивания выполняется деление 792 : 22 = 36 – «толико бяше в том училище учеников».

По методу «весов» решение располагалось бы так. Даём 3 решения при следующих положениях:

Решение задач методом 2-х ложных положений. Л.Ф. Магницкий записывает в своей «Арифметике» это правило так: «Возьми неизвестное число, какое ты хочешь, назови его » первое положение » и поступай согласно условию задачи. Если оно подходит к условию, то это и есть неизвестное, но если оно отклоняется в ту или другую сторону, назови разницу первым отклонением . Тогда возьми другое число и назови вторым положением ; если оно не удовлетворяет условию, то даст второе отклонение . После этого умножай первое положение на второе отклонение и назови произведение первым результатом; затем второе положение умножай на первое отклонение и это есть второй результат. Если оба отклонения в одно и тоже время больше или оба меньше, дели разность двух результатов на разность двух отклонении; если дело обстоит иначе, дели сумму двух результатов на сумму отклонений; частное и есть искомое число».

Правило двух ложных положений стало важной вехой в развитии арифметики как науки. В принципе, оно могло бы использоваться и сейчас, но слишком громоздко и неудобно. Оно распространялось и использовалось в мире на протяжении тридцати веков.

Итак, перейдём к решению задач из «Арифметики» Магницкого методом 2-х ложных положений. В своей работе я рассмотрел 2 возможных случая решения задачи этим методом.

Задача. Найти такое число, что если к нему добавить третью часть и от полученной суммы отнять её шестую часть, то будет 100.

I способ (метод 2-х ложных положений) .

1 случай (результат 2-х вычислений больше данного числа) .

а) Предположим, что неизвестное число есть 126, и проделаем с ним описанные в задаче операции:

1/3 × 126 = 42, 126 + 42 = 168

1/6 × 168 = 28, 168 – 28 = 140

неверно, полученный результат больше 100 .

б) Предположим, что неизвестное число есть 108, и проделаем с ним описанные в задаче операции:

1/3 × 108 = 36, 108 + 36 = 144

1/6× 144 = 24, 144 – 24 = 120

неверно, полученный результат больше 100 .

в) По результатам двух неудачных попыток можно найти искомое число.

Вычисляем, на сколько мы ошиблись:

1 случай: 2 случай:

140 – 100 = 40 120 – 100 = 20

Проведём следующие вычисления:

Разделим разность произведений на разность ошибок:

4320 – 2520 = 1800

1800 : 20 = 90 – искомое число.

2 случай (результат одного вычисления больше данного числа, а результат другого – меньше).

а) Предположим, что это число есть 81, и проделаем с ним описанные в задаче операции:

1/3 × 81 = 27 81 + 27 = 108

1/6 × 108 = 18 108 – 18 = 90

неверно, полученный результат меньше 100 .

б) Предположим, что это число есть 99, и проделаем с ним описанные в задаче операции:

1/3 × 99 = 33 99 + 33 = 132

1/6 ×132 = 22 132 – 22 = 110

Неверно, полученный результат больше 100 .

в) Вычисляем, на сколько мы ошиблись:

100 – 90 = 10 110 – 100 = 10

Произведём следующие вычисления:

Разделим сумму произведений на сумму ошибок:

1800 : 20 = 90 – искомое число.

Пусть x – искомое число. Тогда его треть равна х / ₃ . Сумма числа с его третей частью равна 4х / ₃ . После вычитания из полученной суммы шестой части получим 4х / ₃ – 1 / ₆ × 4х / ₃ = 10х / ₉ , что по условию задачи равно 100. Получаем уравнение:

х = 90 – искомое число.

Ответ: 90 – искомое число.

Сравнительная характеристика старинного и современного способов. Для того чтобы решить эту задачу современным способом, надо знать как найти дробь от числа, правила сложения и вычитания дробей, умение решать линейное уравнение. Современный способ решения имеет преимущество над старинным в том, что в нём нет громоздких, трудно запоминающихся правил решения. Но в старинных задачах есть интересное условие, необычный язык, форма изложения, различные единицы измерения. Всё это вызывает интерес к их решению, стимулирует желание их решить, воспитывает волевые качества личности, трудолюбие и терпение.

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Заключение.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что великое пособие по математике Л. Ф. Магницкого «Арифметика» действительно уникально и увлекательно, а задачи, изложенные в нём, имеют практическую и прикладную направленность, решаются алгебраическим и арифметическим способами. Метод двух ложных положений достаточно громоздкий, требует знания четкого алгоритма действий, но на мой взгляд он интересен и я с удовольствием его изучил.

Необходимо ещё раз отметить, что подобного рода задачи встречаются нам на протяжении всей жизни, на каждом шагу.

И хотелось бы закончить словами Л. Ф. Магницкого, что находятся на обороте титульного листа «Арифметики»:

«Арифметике любезно учися,
В ней разных правил и штук придержися,
Ибо в гражданстве к делам есть потребно.
И пути в небе решит, и на мори,
Еще на войне полезно, и в поли. »

Смысл всего стихотворения таков: математика дает человеку возможность рассчитывать и соображать свои поступки в разных обстоятельствах.