Метод лобатто решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Видео:Метод ЭйлераСкачать

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений, Жесткие и дифференциально — алгебраические задачи, Хайрер Э., Ваннер Г., 1999

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений, Жесткие и дифференциально — алгебраические задачи, Хайрер Э., Ваннер Г., 1999.

Книга известных швейцарских специалистов по численному анализу представляет собою второй том монографии. (Первый написан в соавторстве с Нёрсеттом. Он размещён на сайте режимщиков).
В монографии обсуждаются одно- и многошаговые, явные и неявные методы. Особое внимание уделяется жёстким и алгебро-дифференциальным уравнениям, обсуждаются многочисленные способы определения и обеспечения устойчивости и точности численных алгоритмов.

В книге можно найти описание практически всех методов, используемых при расчётах переходных процессов в электроэнергетике. Но с одной оговоркой: не стала предметом пристального обсуждения специфика методов решения очень больших систем уравнений (тысячи и десятки тысяч).

От редактора перевода.
Из предисловия к первому изданию .
Предисловие ко второму изданию .
Предисловие к русскому изданию .
Глава IV. Жесткие задачи — одношаговые методы
IV.1. Примеры жестких уравнений
Системы, описывающие химические реакции .
Электрические схемы .
Диффузия
«Жесткий» стержень.
Высокочастотные колебания .
Упражнения
IV.2. Анализ устойчивости для явных методов Рунге—Кутты.
Анализ устойчивости для метода Эйлера
Явные методы Рунге—Кутты .
Экстраполяционные методы
Анализ примеров из IV. 1 .
Автоматическое обнаружение жесткости .
Устойчивость управления длиной шага .
ПИ-управление длиной шага.,
Стабилизированные явные методы Рунге—Кутты
Упражнения ,
IV.3. Функция устойчивости неявных методов Рунге—Кутты
Функция устойчивости
А -устойчивость.
L -устойчивость и Л (а)-устойчивость .
Численные результаты
Функции устойчивости порядка
Аппроксимации Паде для показательной функции .
Упражнения .
IV.4. Порядковые звезды
Введение.
Порядок и устойчивость для рациональных аппроксимаций
Устойчивость аппроксимаций Паде.
Сравнение областей устойчивости .
Рациональные аппроксимации с вещественными полюсами
«Сэндвич» с вещественными полюсами .
Аппроксимации с кратным вещественным полюсом
Упражнения .
IV.5. Конструирование неявных методов Рунге—Кутты.
Гауссовы методы .
Методы Радо !А и Радо НА
Методы Лобатто IIIA, IIIB и ШС
W -преобразование .
Конструирование неявных методов Рунге—Кутты .
Функция устойчивости .
Положительные функции
Упражнения
IV.6. Диагонально неявные методы Рунге—Кутты
Условия порядка .
Жестко точные методы ОДНРК .
Функция устойчивости .
Аппроксимации с кратным вещественным полюсом
ис Л(оо)=0
Выбор метода.
Упражнения
IV.7. Методы типа Роэенброха
Вывод метода.
Условия порядка .
Функция устойчивости .
Конструирование методов 4-го порядка
Методы высших порядков
Реализация методов типа Розенброка
«Горб»
Методы с неточной матрицей Якоби (VK-методы)
Упражнения
IV.8. Реализация неявных методов Рунге—Кутты.
Иная запись нелинейной системы
Упрощенные итерации Ньютона
Линейная система
Выбор длины шага
Неявные дифференциальные уравнения .
Программа ОДНРК .
Методы ОНРК
Упражнения
IV.9. Экстраполяционные методы.
Экстраполяция симметричных методов .
Сглаживание
Линейно неявное правило средней точки.
Неявный и линейно неявный метод Эйлера.
Реализация
Упражнения .
IV.10. Численные эксперименты
Использованные программы.
Двенадцать задач-тестов
Обсуждение результатов
Разделение и проекционные методы.
Упражнения .
IV.11. Контрактивность для линейных задач
Евклидовы нормы (теорема 4>он Неймана)
Функция роста погрешности для линейных задач .
Малые нелинейные возмущения.
Контрактивность в нормах
Исследование порогового коэффициента ,
Абсолютно монотонные функции
Упражнения .
IV.12. В устойчивость и контрактивность .
Одностороннее условие Липшица
В -устойчивость и алгебраическая устойчивость
Некоторые алгебраически устойчивые НРК методы .
А N -устойчивость
Приводимые методы Рунге—Кутты
Теорема об эквивалентности для S-неприводимых методов .
Функция роста погрешности.
Вычисление Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Решение обыкновенных дифференциальных уравнений, Жесткие и дифференциально — алгебраические задачи, Хайрер Э., Ваннер Г., 1999 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

научная статья по теме ВЛОЖЕННЫЕ СИММЕТРИЧНЫЕ НЕЯВНЫЕ ГНЕЗДОВЫЕ МЕТОДЫ РУНГЕ–КУТТЫ ТИПОВ ГАУССА И ЛОБАТТО ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЖЕСТКИХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ Математика

Цена:

Авторы работы:

Научный журнал:

Год выхода:

Видео:Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать

Текст научной статьи на тему «ВЛОЖЕННЫЕ СИММЕТРИЧНЫЕ НЕЯВНЫЕ ГНЕЗДОВЫЕ МЕТОДЫ РУНГЕ–КУТТЫ ТИПОВ ГАУССА И ЛОБАТТО ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЖЕСТКИХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ»

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 6, с. 986-1007

ВЛОЖЕННЫЕ СИММЕТРИЧНЫЕ НЕЯВНЫЕ ГНЕЗДОВЫЕ МЕТОДЫ РУНГЕ-КУТТЫ ТИПОВ ГАУССА И ЛОБАТТО ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЖЕСТКИХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ1

© 2015 г. Г. Ю. Куликов

(СЕМАТ, Institute Superior Тёетео, Universidade de Lisboa, Av. Rovisco Pais, 1049-001 Lisboa, Portugal)

e-mail: gkulikov@math.ist.utl.pt Поступила в редакцию 29.07.2014 г.

Предлагается методика построения неявных гнездовых методов Рунге—Кутты для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, которые относятся к классу мононеявных формул этого типа. Их отличительной чертой является высокая практическая эффективность, которая вытекает из сохранения размерности исходной системы дифференциальных уравнений при применении, что невозможно в неявных многостадийных формулах Рунге— Кутты общего вида. С другой стороны, неявные гнездовые методы Рунге—Кутты наследуют все наиболее важные свойства общих формул этого вида, такие как ^-устойчивость, симметрия, симплектичность в определенном смысле. Кроме того, они могут иметь достаточно высокие стадийные и классические порядки, а также обеспечивать плотную выдачу результатов интегрирования той же точности, что и порядок основного метода, без больших дополнительных затрат. Таким образом, гнездовые методы эффективны для численного интегрирования дифференциальных уравнений самых разных видов, к которым относятся жесткие и нежесткие задачи, а также гамильтоновы системы и обратимые уравнения. Настоящая статья посвящена обобщению предложенных ранее гнездовых методов, основанных на квадратурных формулах Гаусса, на методы типа Лобатто. Более того, в статье представлена единая методика построения всех таких методов. Ее работоспособность продемонстрирована на вложенных примерах неявных гнездовых формул разного порядка. Все построенные методы снабжены механизмами для оценки локальной ошибки численного интегрирования и автоматической генерации переменных сеток на отрезке интегрирования за счет выбора оптимального шага. Такие вычислительные процедуры апробированы на тестовых задачах с известным решением и исследованы в сравнении со встроенными решателями системы матричных вычислений MATLAB. Библ. 73. Фиг. 3.

Ключевые слова: численные методы, решения обыкновенных дифференциальных уравнений, неявный гнездовой метод Рунге—Кутты, вложенные формулы, методы Рунге—Кутты типов Гаусса и Лобатто, автоматический контроль точности, жесткая задача Коши, гамильтоно-вы уравнения.

Минимизация вычислительных затрат, связанных с решением линейных систем, — одно из главных средств для повышения практической эффективности неявных методов Рунге—Кутты при решении жестких дифференциальных задач Коши большой размерности

X'(t) = g(t, x(t)) , t 6[t0, tend] , t0) = / , (1.1)

где правая часть g : Rm +1 —- Rm обладает необходимой гладкостью. Здесь и далее предполагается, что система дифференциальных уравнений (1.1) имеет единственное решение на всем отрезке

Работа выполнена при финансовой поддержке португальского фонда науки и технологии (Fundagao para a Ciencia e a Tecnologia) в рамках проекта Pest-OE/MAT/UI0822/2011 и программы Investigador FCT 2013.

интегрирования [/0, ?епй]. Следует отметить, что необходимость в решении таких задач возникает естественным образом в ряде прикладных исследований (см., например, [1]—[4]), а также при использовании более сложных вычислительных процедур, включая метод стрельбы для решения краевых задач, алгоритмы калмановской фильтрации и метод прямых для дискретизации задач математической физики (см., например, [5]—[14]). Поэтому разработке эффективных вычислительных формул и программ для решения уравнений (1.1) отводится важное место в отечественной и зарубежной вычислительной математике (см., например, [14]—[26]).

Как сказано выше, тематике удешевления вычислений при численном решении жестких дифференциальных уравнений большой размерности вида (1.1) уделялось и уделяется серьезное внимание в мировой литературе, а основной подход к реализации неявных методов Рунге-Кут-ты, снижающий указанные выше вычислительные издержки, заложен еще в [27] и [28]. Главная идея этих статей состоит в учете структуры матрицы коэффициентов А /-стадийного неявного метода Рунге-Кутты (РК-метода). Напомним, что все такие методы для решения задачи (1.1) могут быть записаны следующим образом:

+ Tk£aijg(tkj, xkj), i — 1, 2. l, (1.26)

— Xk + Tk£bjg(tkj, Xkj), k — 0, 1, . K- 1, (1.2в)

где х0 = х0, а тк, как обычно, — размер к + 1-го шага численного интегрирования. Понятно, что любая РК-формула (1.2) однозначно задается вещественными коффициентами йц, Ъц и с, ¡,Ц = 1, 2, . /, которые принято оформлять в виде таблицы Бутчера

в которой A обозначает матрицу размера l х l, a, b и c есть /-мерные векторы (см., например, [20], [26]). Неявность означает, что некоторые (или все) коэффициенты в верхней треугольной части матрицы A, включая главную диагональ, отличны от нуля при любой перестановке строк и столбцов, что эквивалентно изменению порядка уравнений и переименованию неизвестных в системе (1.26). В этом случае формулы (1.26) определяют систему нелинейных уравнений, которые необходимо решать на каждом шаге метода (1.2). Тогда если дифференциальная задача имеет большую размерность, то затраты на решение соответствующих нелинейных уравнений могут быть очень значительными, так как нелинейная система (1.2б) в общем виде имеет размер l х m, где l — число стадий в РК-формуле (1.2), а m — размер исходной дифференциальной задачи (1.1). Заметим, что возникающие нелинейные задачи требуют применения того или иного итерационного метода ньютоновского типа, а значит, приводят к большим линейным системам, решение которых по тем или иным причинам может быть неприемлемо на практике. В связи с этим и возникает необходимость в оптимизации решения таких линейных задач с целью максимального сокращения вычислительных издержек.

Подход, предложенный в [27], [28], приводит к замене решения одной большой линейной системы размера l х m на последовательное решение lлинейных задач размера m, что, очевидно, менее затратно. На этом принципе основано большое число эффективных неявных формул Рунге-Кутты, которые условно можно разделить на три группы: 1) однократно диагонально-неявные методы Рунге-Кутты, т.е. ОДНРК-методы (Singly diagonally implicit Runge-Kutta methods), которые требуют, чтобы матрица коэффициентов A была нижней треугольной с ненулевыми, но одинаковыми элементами на главной диагонали (сюда же относятся и ОДНРК-формулы с первой явной стадией); 2) однократно неявные методы Рунге-Кутты (Singly implicit Runge-Kutta methods), или ОНРК-методы, которые подразумевают, что их матрица коэффициентов A имеет единственное простое вещественное собственное значение, и 3) мононеявные методы Рунге-Кутты (Mono-implicit Runge-Kutta methods), или МНРК-методы, главное достоинство которых состоит в том, что все их стадийные величины (1.2б) могут быть последовательно подставлены в формулу (1.2в) продвижения на шаг. Последнее означает, что размер нелинейной задачи, решаемой на каждом шаге МНРК-метода, совпадает с размером дифференциального уравнения (1.1) вне зави-

симости от числа стадий и порядка такого метода. Наиболее серьезным недостатком МНРК-формул является тот факт, что их матрица Якоби, необходимость вычисления которой диктуется применением метода Ньютона в силу неявности этих РК-схем, представляет собой матричный многочлен, зависящий от матрицы Якоби правой части задачи Коши для системы (1.1). Степень этого многочлена определяется и не превосходит числа стадий в МНРК-формуле (см. процитированные ниже статьи Ката и Сингхал). Таким образом, полное вычисление матрицы Якоби МНРК-мето-дов может быть очень затратным на практике, сводящим на нет все преимущества этого класса неявных РК-формул. Поэтому эффективное использование МНРК-схем возможно только на базе упрощенных итераций Ньютона со специально подобранной матрицей для аппроксимации упомянутой выше матрицы Якоби численного метода, примененного для дискретизации дифференциальных уравнений (1.1). По этой причине эффективной реализации МНРК-формул уделено пристальное внимание в мировой литературе. Уже в [29]—[31] показано, что удачную аппроксимацию для матрицы Якоби МНРК-методов следует искать в виде степенной функции от некоторой подходящей матрицы. Понятно, что в этом случае затраты на вычисление матрицы Якоби сравнимы с затратами на вычисление такой матрицы для правой части системы дифференциальных уравнений (1.1), а одна итерация упрощенного метода Ньютона заключается в последовательном решении линейных систем с одной и той же матрицей коэффициентов, размер которой совпадает с размером исходной задачи (1.1).

По каждому из перечисленных выше направлений исследований известно большое число интересных статьей, среди которых следует отметить [29]—[56]. Мы не будем подробно останавливаться на анализе этих работ, так как подобный анализ с перечислением достоинств этих групп методов и присущих им недостатков выполнен, например, в [18], [21], [26], [53]—[55]. В конце этого раздела укажем только на некоторые новые идеи, которые появились сравнительно недавно и имеют непосредственное отношение к эффективному решению жестких дифференциальных уравнений вида (1.1).

В основу важного направления в построении эффективных численных методов для решения жестких задач Коши для системы (1.1) большой размерности легла идея, заключающаяся в применении явных вычислительных формул с расширенными областями устойчивости. Этот подход был предложен В.И. Лебедевым (см. [18]) и в настоящее время приобрел достаточно большую популярность (см. [22], [57]—[68]). Его суть состоит в том, что для некоторых практических жестких дифференциальных уравнений вида (1.1) условие ^-устойчивости применяемых численных методов, которое и приводит к их неявности, является избыточным и может быть с успехом заменено на боле

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

🔍 Видео

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Часть 1Скачать

Численное решение задачи Коши методом ЭйлераСкачать

7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Видеоурок "Системы дифференциальных уравнений"Скачать

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1.Скачать

Лабораторная работа 1. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравненийСкачать

Дифференциальные уравнения. Задача Коши. Метод Эйлера.Скачать

Сеточные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.Скачать

Дифференциальное уравнение. Формула ЭйлераСкачать

9. Метод вариации произвольной постоянной ( метод Лагранжа ). Линейные дифференциальные уравнения.Скачать

3_11. Алгоритм Рунге-КуттыСкачать

Операционное исчисление. Решить неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядкаСкачать