Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1) .
Существует три способа решения этого уравнения:
Рассмотрим решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Лагранжа.
- Метод вариации постоянной (Лагранжа)
- Шаг 1 Решение однородного уравнения
- Шаг 2 Заменим постоянную C на функцию
- Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Лагранжа
- Примеры на метод вариации произвольной постоянной
- Метод вариации произвольной постоянной решения линейных неоднородных уравнений
- 🌟 Видео
Видео:7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать
Метод вариации постоянной (Лагранжа)
В методе вариации постоянной мы решаем уравнение в два этапа. На первом этапе мы упрощаем исходное уравнение и решаем однородное уравнение. На втором этапе мы заменим постоянную интегрирования, полученную на первой стадии решения, на функцию. После чего ищем общее решение исходного уравнения.
Шаг 1 Решение однородного уравнения
Ищем решение однородного уравнения:
Это уравнение с разделяющимися переменными
Разделяем переменные — умножаем на dx , делим на y :
Интегрируем:
Интеграл по y — табличный:
Тогда
Потенцируем:
Заменим постоянную e C на C и уберем знак модуля, что сводится к умножению на постоянную ±1 , которую включим в C :
Шаг 2 Заменим постоянную C на функцию
Теперь заменим постоянную C на функцию от x :
C → u ( x )
То есть, будем искать решение исходного уравнения (1) в виде:
(2)
Находим производную.
По правилу дифференцирования сложной функции:
.
По правилу дифференцирования произведения:
.
Подставляем в исходное уравнение (1):
(1) ;
.
Два члена сокращаются:
;
.
Интегрируем:
.
Подставляем в (2):
.
В результате получаем общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка:
.
Видео:9. Метод вариации произвольной постоянной ( метод Лагранжа ). Линейные дифференциальные уравнения.Скачать
Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Лагранжа
Решаем однородное уравнение:
Разделяем переменные:
Умножим на :
Интегрируем:
Интегралы табличные:
Потенцируем:
Заменим постоянную e C на C и убираем знаки модуля:
Отсюда:
Заменим постоянную C на функцию от x :
C → u ( x )
Находим производную:
.
Подставляем в исходное уравнение:
;
;
Или:
;
.
Интегрируем:
;
Решение уравнения:
.
Общее решение уравнения:
.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 27-07-2012 Изменено: 01-03-2015
Видео:Математика без Ху!ни. Линейное неоднородное уравнение 1 порядка. Метод вариации постоянной.Скачать
Примеры на метод вариации произвольной постоянной
Метод вариации произвольной постоянной, или метод Лагранжа — еще один способ решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка и уравнения Бернулли.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка — это уравнения вида y’+p(x)y=q(x). Если в правой части стоит нуль: y’+p(x)y=0, то это — линейное однородное уравнение 1го порядка. Соответственно, уравнение с ненулевой правой частью, y’+p(x)y=q(x), — неоднородное линейное уравнение 1го порядка.
Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) состоит в следующем:
1) Ищем общее решение однородного уравнения y’+p(x)y=0: y=y*.
2) В общем решении С считаем не константой, а функцией от икса: С=С(x). Находим производную общего решения (y*)’ и в первоначальное условие подставляем полученное выражение для y* и (y*)’. Из полученного уравнения находим функцию С(x).
3) В общее решение однородного уравнения вместо С подставляем найденное выражение С(x).
Рассмотрим примеры на метод вариации произвольной постоянной. Возьмем те же задания, что и в примерах решения линейных дифференциальных уравнений методом Бернулли , сравним ход решения и убедимся, что полученные ответы совпадают.
1) y’=3x-y/x
Перепишем уравнение в стандартном виде (в отличие от метода Бернулли, где форма записи нам нужна была только для того, чтобы увидеть, что уравнение — линейное).
y’+y/x=3x (I). Теперь действуем по плану.
1) Решаем однородное уравнение y’+y/x=0. Это уравнение с разделяющимися переменными. Представляем y’=dy/dx, подставляем: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на xy≠0: dy/y=-dx/x. Интегрируем:
2) В полученном общем решении однородного уравнения будем считать С не константой, а функцией от x: С=С(x). Отсюда
Полученные выражения подставляем в условие (I):
Интегрируем обе части уравнения:
здесь С — уже некоторая новая константа.
3) В общее решение однородного уравнения y=C/x, где мы считали С=С(x), то есть y=C(x)/x, вместо С(x) подставляем найденное выражение x³+C: y=(x³+C)/x или y=x²+C/x. Получили такой же ответ, как и при решении методом Бернулли.
2) y’+y=cosx.
Здесь уравнение уже записано в стандартном виде, преобразовывать не надо.
1) Решаем однородное линейное уравнение y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Интегрируем:
Чтобы получить более удобную форму записи, экспоненту в степени С примем за новую С:
Это преобразование выполнили, чтобы удобнее было находить производную.
2) В полученном общем решении линейного однородного уравнения считаем С не константой, а функцией от x: С=С(x). При этом условии
Полученные выражения y и y’ подставляем в условие:
Умножим обе части уравнения на
Интегрируем обе части уравнения по формуле интегрирования по частям, получаем:
Здесь С уже не функция, а обычная константа.
3) В общее решение однородного уравнения
подставляем найденную функцию С(x):
Получили такой же ответ, как и при решении методом Бернулли.
Метод вариации произвольной постоянной применим и для решения уравнений Бернулли .
y’x+y=-xy².
Приводим уравнение к стандартному виду: y’+y/x=-y² (II).
1) Решаем однородное уравнение y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Умножаем обе части уравнения на dx и делим на y: dy/y=-dx/x. Теперь интегрируем:
2) В полученном общем решении будем считать С не константой, а некоторой функций от x. При этом условии
Подставляем полученные выражения в условие (II):
Получили уравнение с разделяющимися переменными относительно С и x:
Здесь С — уже обычная константа. В процессе интегрирования писали вместо С(x) просто С, чтобы не перегружать запись. А в конце вернулись к С(x), чтобы не путать С(x) с новой С.
3) В общее решение однородного уравнения y=C(x)/x подставляем найденную функцию С(x):
Получили такой же ответ, что и при решении способом Бернулли.
Примеры для самопроверки:
1) Решаем однородное уравнение y’-2y=0. y’=dy/dx, отсюда dy/dx=2y, умножаем обе части уравнения на dx, делим на y и интегрируем:
Отсюда находим y:
2) В полученном решении С будем считать не константой, а функцией от x: C=C(x). Тогда
Выражения для y и y’ подставляем в условие (для краткости будем питать С вместо С(x) и С’ вместо C'(x)):
Для нахождения интеграла в правой части применяем формулу интегрирования по частям:
Теперь подставляем u, du и v в формулу:
3) Теперь подставляем в решение однородного
Отсюда получаем решение неоднородного уравнения:
2. Поделив обе части данного уравнения на x, приходим к уравнению
Это — уравнение Бернулли.
1) Решаем однородное уравнение y’+2y/x=0,
2) В этом решении заменяем константу С на функцию от x С(x), тогда
(для удобства пишем вместо С(x) просто С, но помним, что С здесь — функция от x). Теперь подставляем выражения для y и y’ в условие:
Интегрируем обе части уравнения:
Если ввести обозначение 3С1=С, то получим
3) В условие y=C(x)/x² подставляем найденное С(x):
Видео:Метод Бернулли. Метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной). Линейное дифуравнение 1 порядкаСкачать
Метод вариации произвольной постоянной решения линейных неоднородных уравнений
Пример №1 . Найдём общее решение уравнения y» + 4y’ + 3y = 9e -3 x . Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y» + 4y’ + 3y = 0. Корни его характеристического уравнения r 2 + 4r + 3 = 0 равны -1 и -3. Поэтому фундаментальная система решений однородного уравнения состоит из функций y1 = e — x и y2 = e -3 x . Решение неоднородного уравнения ищем в виде y = C1(x)e — x + C2(x)e -3 x . Для нахождения производных C’1, C’2 составляем систему уравнений (8)
C′1·e -x +C′2·e -3x =0
-C′1·e -x -3C′2·e -3x =9e -3x
решая которую, находим , Интегрируя полученные функции, имеем
Окончательно получим
Пример №2 . Решить линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3
Решение:
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 — 4·1·8 = 4
Корни характеристического уравнения: r1 = 4, r2 = 2
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1=e 4x , y2=e 2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид: y =C1·e 4x +C2·e 2x
Поиск частного решения методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C’i составляем систему уравнений:
C′1·e 4x +C′2·e 2x =0
C′1(4e 4x ) + C′2(2e 2x ) = 4/(2+e -2x )
Выразим C’1 из первого уравнения:
C’1 = -c2e -2x
и подставим во второе. В итоге получаем:
C’1 = 2/(e 2x +2e 4x )
C’2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x )
Интегрируем полученные функции C’i:
C1 = 2ln(e -2x +2) — e -2x + C * 1
C2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2
Поскольку y =C1·e 4x +C2·e 2x , то записываем полученные выражения в виде:
C1 = (2ln(e -2x +2) — e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) — e 2x + C * 1 e 4x
C2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) — e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
или
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) — e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x
Найдем частное решение при условии:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3
Подставляя x = 0, в найденное уравнение, получим:
y(0) = 2 ln(3) — 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) — 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Находим первую производную от полученного общего решения:
y’ = 2e 2x (2C1 e 2x + C2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Подставляя x = 0, получим:
y’(0) = 2(2C1 + C2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C1 + 2C2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
Получаем систему из двух уравнений:
3 ln(3) — 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C1 + 2C2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
или
C * 1 + C * 2 = 2
4C1 + 2C2 = 4
или
C * 1 + C * 2 = 2
2C1 + C2 = 2
Откуда: C1 = 0, C * 2 = 2
Частное решение запишется как:
y = 2e 4x ·ln(e -2x +2) — e 2x + e 2x ·ln(2e 2x +1) – 2x·e 2x + 2·e 2x
🌟 Видео
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка (1-x^2)*y'-xy=1Скачать
Дифференциальные уравнения, 4 урок, Линейные дифференциальные уравнения первого порядкаСкачать
Метод Лагранжа. Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка.Скачать
Метод Лагранжа & Метод Бернулли ★ Решение линейных неоднородных дифференциальных уравненийСкачать
19. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные диф уравнения 2-го порядкаСкачать
Решите уравнение ★ y'-2y=e^(2x) ★ Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядкаСкачать
Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка: метод Бернулии, метод ЛагранжаСкачать
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Метод Лагранжа. (ч.1)Скачать
13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать
Поле направлений дифференциального уравнения первого порядкаСкачать
10. Уравнения БернуллиСкачать
Линейное дифференциальное уравнение Коши-ЭйлераСкачать
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать
Уравнение Бернулли Метод БернуллиСкачать
Линейные ДУ первого порядкаСкачать