Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Метод Лагранжа (вариации постоянной). Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1) .
Существует три способа решения этого уравнения:

Рассмотрим решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Лагранжа.

Видео:7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать

7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.

Метод вариации постоянной (Лагранжа)

В методе вариации постоянной мы решаем уравнение в два этапа. На первом этапе мы упрощаем исходное уравнение и решаем однородное уравнение. На втором этапе мы заменим постоянную интегрирования, полученную на первой стадии решения, на функцию. После чего ищем общее решение исходного уравнения.

Шаг 1 Решение однородного уравнения

Ищем решение однородного уравнения:

Это уравнение с разделяющимися переменными

Разделяем переменные — умножаем на dx , делим на y :

Интегрируем:

Интеграл по y — табличный:

Тогда

Потенцируем:

Заменим постоянную e C на C и уберем знак модуля, что сводится к умножению на постоянную ±1 , которую включим в C :

Шаг 2 Заменим постоянную C на функцию

Теперь заменим постоянную C на функцию от x :
C → u ( x )
То есть, будем искать решение исходного уравнения (1) в виде:
(2)
Находим производную.

По правилу дифференцирования сложной функции:
.
По правилу дифференцирования произведения:

.
Подставляем в исходное уравнение (1):
(1) ;

.
Два члена сокращаются:
;
.
Интегрируем:
.
Подставляем в (2):
.
В результате получаем общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка:
.

Видео:9. Метод вариации произвольной постоянной ( метод Лагранжа ). Линейные дифференциальные уравнения.Скачать

9. Метод вариации произвольной постоянной ( метод Лагранжа ). Линейные дифференциальные уравнения.

Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Лагранжа

Решаем однородное уравнение:

Разделяем переменные:

Умножим на :

Интегрируем:

Интегралы табличные:

Потенцируем:

Заменим постоянную e C на C и убираем знаки модуля:

Отсюда:

Заменим постоянную C на функцию от x :
C → u ( x )

Находим производную:
.
Подставляем в исходное уравнение:
;
;
Или:
;
.
Интегрируем:
;
Решение уравнения:
.

Общее решение уравнения:
.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 27-07-2012 Изменено: 01-03-2015

Видео:Математика без Ху!ни. Линейное неоднородное уравнение 1 порядка. Метод вариации постоянной.Скачать

Математика без Ху!ни. Линейное неоднородное уравнение 1 порядка. Метод вариации постоянной.

Примеры на метод вариации произвольной постоянной

Метод вариации произвольной постоянной, или метод Лагранжа — еще один способ решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка и уравнения Бернулли.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка — это уравнения вида y’+p(x)y=q(x). Если в правой части стоит нуль: y’+p(x)y=0, то это — линейное однородное уравнение 1го порядка. Соответственно, уравнение с ненулевой правой частью, y’+p(x)y=q(x), — неоднородное линейное уравнение 1го порядка.

Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) состоит в следующем:

1) Ищем общее решение однородного уравнения y’+p(x)y=0: y=y*.

2) В общем решении С считаем не константой, а функцией от икса: С=С(x). Находим производную общего решения (y*)’ и в первоначальное условие подставляем полученное выражение для y* и (y*)’. Из полученного уравнения находим функцию С(x).

3) В общее решение однородного уравнения вместо С подставляем найденное выражение С(x).

Рассмотрим примеры на метод вариации произвольной постоянной. Возьмем те же задания, что и в примерах решения линейных дифференциальных уравнений методом Бернулли , сравним ход решения и убедимся, что полученные ответы совпадают.

1) y’=3x-y/x

Перепишем уравнение в стандартном виде (в отличие от метода Бернулли, где форма записи нам нужна была только для того, чтобы увидеть, что уравнение — линейное).

y’+y/x=3x (I). Теперь действуем по плану.

1) Решаем однородное уравнение y’+y/x=0. Это уравнение с разделяющимися переменными. Представляем y’=dy/dx, подставляем: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на xy≠0: dy/y=-dx/x. Интегрируем:

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

2) В полученном общем решении однородного уравнения будем считать С не константой, а функцией от x: С=С(x). Отсюда

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Полученные выражения подставляем в условие (I):

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Интегрируем обе части уравнения:

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

здесь С — уже некоторая новая константа.

3) В общее решение однородного уравнения y=C/x, где мы считали С=С(x), то есть y=C(x)/x, вместо С(x) подставляем найденное выражение x³+C: y=(x³+C)/x или y=x²+C/x. Получили такой же ответ, как и при решении методом Бернулли.

2) y’+y=cosx.

Здесь уравнение уже записано в стандартном виде, преобразовывать не надо.

1) Решаем однородное линейное уравнение y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Интегрируем:

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Чтобы получить более удобную форму записи, экспоненту в степени С примем за новую С:

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Это преобразование выполнили, чтобы удобнее было находить производную.

2) В полученном общем решении линейного однородного уравнения считаем С не константой, а функцией от x: С=С(x). При этом условии

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Полученные выражения y и y’ подставляем в условие:

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Умножим обе части уравнения на

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Интегрируем обе части уравнения по формуле интегрирования по частям, получаем:

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Здесь С уже не функция, а обычная константа.

3) В общее решение однородного уравнения

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

подставляем найденную функцию С(x):

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Получили такой же ответ, как и при решении методом Бернулли.

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Метод вариации произвольной постоянной применим и для решения уравнений Бернулли .

y’x+y=-xy².

Приводим уравнение к стандартному виду: y’+y/x=-y² (II).

1) Решаем однородное уравнение y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Умножаем обе части уравнения на dx и делим на y: dy/y=-dx/x. Теперь интегрируем:

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

2) В полученном общем решении будем считать С не константой, а некоторой функций от x. При этом условии

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Подставляем полученные выражения в условие (II):

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Получили уравнение с разделяющимися переменными относительно С и x:

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Здесь С — уже обычная константа. В процессе интегрирования писали вместо С(x) просто С, чтобы не перегружать запись. А в конце вернулись к С(x), чтобы не путать С(x) с новой С.

3) В общее решение однородного уравнения y=C(x)/x подставляем найденную функцию С(x):

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Получили такой же ответ, что и при решении способом Бернулли.

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Примеры для самопроверки:

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

1) Решаем однородное уравнение y’-2y=0. y’=dy/dx, отсюда dy/dx=2y, умножаем обе части уравнения на dx, делим на y и интегрируем:

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Отсюда находим y:

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

2) В полученном решении С будем считать не константой, а функцией от x: C=C(x). Тогда

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Выражения для y и y’ подставляем в условие (для краткости будем питать С вместо С(x) и С’ вместо C'(x)):

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Для нахождения интеграла в правой части применяем формулу интегрирования по частям:

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Теперь подставляем u, du и v в формулу:

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

3) Теперь подставляем в решение однородного

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Отсюда получаем решение неоднородного уравнения:

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

2. Поделив обе части данного уравнения на x, приходим к уравнению

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Это — уравнение Бернулли.

1) Решаем однородное уравнение y’+2y/x=0,

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

2) В этом решении заменяем константу С на функцию от x С(x), тогда

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

(для удобства пишем вместо С(x) просто С, но помним, что С здесь — функция от x). Теперь подставляем выражения для y и y’ в условие:

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Интегрируем обе части уравнения:

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Если ввести обозначение 3С1=С, то получим

Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

3) В условие y=C(x)/x² подставляем найденное С(x):

Видео:Метод Бернулли. Метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной). Линейное дифуравнение 1 порядкаСкачать

Метод Бернулли. Метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной). Линейное дифуравнение 1 порядка

Метод вариации произвольной постоянной решения линейных неоднородных уравнений

Пример №1 . Найдём общее решение уравнения y» + 4y’ + 3y = 9e -3 x . Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y» + 4y’ + 3y = 0. Корни его характеристического уравнения r 2 + 4r + 3 = 0 равны -1 и -3. Поэтому фундаментальная система решений однородного уравнения состоит из функций y1 = e — x и y2 = e -3 x . Решение неоднородного уравнения ищем в виде y = C1(x)e — x + C2(x)e -3 x . Для нахождения производных C’1, C’2 составляем систему уравнений (8)
C′1·e -x +C′2·e -3x =0
-C′1·e -x -3C′2·e -3x =9e -3x
решая которую, находим Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка, Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядкаИнтегрируя полученные функции, имеем Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка
Окончательно получим Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Пример №2 . Решить линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных:
Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Решение:
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 — 4·1·8 = 4
Метод лагранжа для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка
Корни характеристического уравнения: r1 = 4, r2 = 2
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1=e 4x , y2=e 2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид: y =C1·e 4x +C2·e 2x
Поиск частного решения методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C’i составляем систему уравнений:
C′1·e 4x +C′2·e 2x =0
C′1(4e 4x ) + C′2(2e 2x ) = 4/(2+e -2x )
Выразим C’1 из первого уравнения:
C’1 = -c2e -2x
и подставим во второе. В итоге получаем:
C’1 = 2/(e 2x +2e 4x )
C’2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x )
Интегрируем полученные функции C’i:
C1 = 2ln(e -2x +2) — e -2x + C * 1
C2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Поскольку y =C1·e 4x +C2·e 2x , то записываем полученные выражения в виде:
C1 = (2ln(e -2x +2) — e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) — e 2x + C * 1 e 4x
C2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) — e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
или
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) — e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Найдем частное решение при условии:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Подставляя x = 0, в найденное уравнение, получим:
y(0) = 2 ln(3) — 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) — 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Находим первую производную от полученного общего решения:
y’ = 2e 2x (2C1 e 2x + C2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Подставляя x = 0, получим:
y’(0) = 2(2C1 + C2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C1 + 2C2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Получаем систему из двух уравнений:
3 ln(3) — 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C1 + 2C2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
или
C * 1 + C * 2 = 2
4C1 + 2C2 = 4
или
C * 1 + C * 2 = 2
2C1 + C2 = 2
Откуда: C1 = 0, C * 2 = 2
Частное решение запишется как:
y = 2e 4x ·ln(e -2x +2) — e 2x + e 2x ·ln(2e 2x +1) – 2x·e 2x + 2·e 2x

🌟 Видео

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка (1-x^2)*y'-xy=1Скачать

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка (1-x^2)*y'-xy=1

Дифференциальные уравнения, 4 урок, Линейные дифференциальные уравнения первого порядкаСкачать

Дифференциальные уравнения, 4 урок, Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Метод Лагранжа. Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка.Скачать

Метод Лагранжа. Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка.

Метод Лагранжа & Метод Бернулли ★ Решение линейных неоднородных дифференциальных уравненийСкачать

Метод Лагранжа & Метод Бернулли ★ Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений

19. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные диф уравнения 2-го порядкаСкачать

19. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные диф уравнения 2-го порядка

Решите уравнение ★ y'-2y=e^(2x) ★ Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядкаСкачать

Решите уравнение ★ y'-2y=e^(2x) ★ Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка

Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка: метод Бернулии, метод ЛагранжаСкачать

Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка: метод Бернулии, метод Лагранжа

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Метод Лагранжа. (ч.1)Скачать

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Метод Лагранжа. (ч.1)

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?

Поле направлений дифференциального уравнения первого порядкаСкачать

Поле направлений дифференциального уравнения первого порядка

10. Уравнения БернуллиСкачать

10. Уравнения Бернулли

Линейное дифференциальное уравнение Коши-ЭйлераСкачать

Линейное дифференциальное уравнение Коши-Эйлера

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение Бернулли Метод БернуллиСкачать

Уравнение Бернулли  Метод Бернулли

Линейные ДУ первого порядкаСкачать

Линейные ДУ первого порядка
Поделиться или сохранить к себе: