Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Метод Крамера решения систем линейных уравнений

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера 2x2Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера 2x2

Формулы Крамера

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными(дельта).

Определители Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными;

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными.

Формулы Крамера для нахождения неизвестных:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными.

Найти значения Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменнымии Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменнымивозможно только при условии, если

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными.

Этот вывод следует из следующей теоремы.

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными. (2)

Согласно теореме Крамера имеем:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Итак, решение системы (2):
Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvy

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера, при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

* Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

* Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными,

** Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

* Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

** Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными.

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной, если у неё нет ни одного решения, и совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой, а более одного – неопределённой.

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера.

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными.

На основании теоремы Крамера
Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными
………….
Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными,

где
Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными.

Решение. Находим определитель системы:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

По формулам Крамера находим:
Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными.

Решение. Находим определитель системы:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

По формулам Крамера находим:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Итак, решение системы — (2; -1; 1).

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Видео:Решение системы трех уравнений по формулам КрамераСкачать

Решение системы трех уравнений по формулам Крамера

Применить метод Крамера самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 4. Решить систему линейных уравнений:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными.

Пример 5. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными.

Видео:2 минуты на формулы Крамера ➜ Решение систем уравнений методом КрамераСкачать

2 минуты на формулы Крамера ➜ Решение систем уравнений методом Крамера

К началу страницы

Видео:Математика Без Ху!ни. Система линейных уравнений. Метод Крамера.Скачать

Математика Без Ху!ни. Система линейных уравнений. Метод Крамера.

Пройти тест по теме Системы линейных уравнений

Видео:Формулы Крамера для системы двух линейных уравненийСкачать

Формулы Крамера для системы двух линейных уравнений

Продолжаем решать системы методом Крамера вместе

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Решение. Находим определитель системы:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных — буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Пример 7. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Здесь a — некоторое вещественное число. Решение. Находим определитель системы:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Находим определители при неизвестных

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

По формулам Крамера находим:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными,

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными.

Следующий пример — на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Решение. Находим определитель системы:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Находим определители при неизвестных

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

По формулам Крамера находим:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными,

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными,

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными.

И, наконец, система четырёх уравнений с четырьмя неизвестными.

Пример 9. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными.

Внимание! Методы вычисления определителей четвёртого порядка здесь объясняться не будут. За этим — на соответствующий раздел сайта. Но небольшие комментарии будут. Решение. Находим определитель системы:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Небольшой комментарий. В первоначальном определителе из элементов второй строки были вычтены элементы четвёртой строки, из элементов третьей строки — элементы четвёртой строки, умноженной на 2, из элементов четвёртой строки — элементы первой строки, умноженной на 2. Преобразования первоначальных определителей при трёх первых неизвестных произведены по такой же схеме. Находим определители при неизвестных

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Для преобразований определителя при четвёртом неизвестном из элементов первой строки были вычтены элементы четвёртой строки.

По формулам Крамера находим:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными,

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными,

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными,

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными.

Итак, решение системы — (1; 1; -1; -1).

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Самые внимательные, наверное, заметили, что в статье не было примеров решения неопределённых систем линейных уравнений. А всё потому, что методом Крамера решить такие системы невозможно, можно лишь констатировать, что система неопределённа. Решения таких систем даёт метод Гаусса.

Видео:10. Метод Крамера решения систем линейных уравнений.Скачать

10. Метод Крамера решения систем линейных уравнений.

Метод Крамера для решения СЛАУ

В данной статье мы разберем, как найти неизвестные переменные по методу Крамера и опишем решение систем линейных уравнений.

Метод Крамера предназначен для того, чтобы решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которых число неизвестных переменных равняется числу уравнений, а определитель основной матрицы не равен нулю.

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера 4x4Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера 4x4

Метод Крамера — вывод формул

Найти решение системы линейных уравнений вида:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2 ⋮ a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

В этой системе x 1 , x 2 , . . . , x n — неизвестные переменные,

a i j , i = 1 , 2 , . . . , n ; j = 1 , 2 , . . . , n — числовые коэффициенты,

b 1 , b 2 , . . . , b n — свободные члены.

Решение такой системы линейных алгебраических уравнений — набор значений x 1 , x 2 , . . . , x n , при которых все уравнения системы становятся тождественными.

Матричный вид записи такой системы линейных уравнений:

A X = B , где A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n — основная матрица системы, в которой ее элементы — это коэффициенты при неизвестных переменных;

B = b 1 b 2 ⋮ b n — матрица-столбец свободных членов;

X = x 1 x 2 ⋮ x n — матрица-столбец неизвестных переменных.

После того как мы найдем неизвестные переменные x 1 , x 2 , . . . , x n , матрица X = x 1 x 2 ⋮ x n становится решением системы уравнений, а равенство A X = B обращается в тождество.

Метод Крамера основан на 2-х свойствах определителя матрицы:

  • Определитель квадратной матрицы A = a i j , i = 1 , 2 , . . . , n ; j = 1 , 2 , . . . , n равняется сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n = a p 1 × A p 1 + a p 2 × A p 2 + . . . + a p n × A p n = a 1 q × A 1 q + a 2 q × A 2 q + . . . + a n q × A n q

  • Сумма произведений какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы на алгебраические дополнения соответствующие элементы другой матрицы равняется нулю:

a p 1 × A p 1 + a p 2 × A p 2 + . . . + a p n × A p n = 0 a 1 q × A 1 q + a 2 q × A 2 q + . . . + a n q × A n q = 0

p = 1 , 2 , . . . , n , q = 1 , 2 , . . . , n p не равно q

Приступаем к нахождению неизвестной переменной x 1 :

  • Умножаем обе части первого уравнения системы на А 11 , обе части второго уравнения на А 21 и т.д. Таким образом, мы умножаем уравнения системы на соответствующие алгебраические дополнения 1-го столбца матрицы А :

A 11 a 11 x 1 + A 11 a 12 x 2 + . . . + A 11 a 1 n x n = A 11 b 1 A 21 a 21 x 1 + A 21 a 22 x 2 + . . . + A 21 x 2 n x n = A 21 b 2 ⋯ A n 1 a n 1 x 1 + A n 1 a n 2 x 2 + . . . + A n 1 a n n x n = A n 1 b n

  • Складываем все левые части уравнения системы, сгруппировав слагаемые при неизвестных переменных , и приравниваем получившуюся сумму к сумме всех правых частей уравнения:

x 1 ( A 11 a 11 + A 21 a 21 + . . . + A n 1 a n 1 ) + + x 2 ( A 11 a 12 + A 21 a 22 + . . . + A n 1 a n 2 ) + + . . . + + x n ( A 11 a 1 n + A 21 a 2 n + . . . + A n 1 a n n ) = = A 11 b 1 + A 21 b 2 + . . . + A n 1 b n

Если воспользоваться свойствами определителя, то получится:

А 11 а 11 + А 21 а 21 + . . . + А n 1 a n 1 = А А 11 а 12 + А 21 а 22 + . . . + А n 1 а n 2 = 0 ⋮ A 11 a 1 n + A 21 a 2 n + . . . + A n 1 a n n = 0

A 11 b 1 + A 21 b 2 + . . . + A n 1 b n = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n

Предыдущее равенство будет иметь следующий вид:

x 1 A = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n .

x 1 = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n A

Таким же образом находим все оставшиеся неизвестные переменные.

∆ = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n , ∆ x 1 = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n ,

∆ x 2 = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n , . ∆ x n = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n .

то получаются формулы для нахождения неизвестных переменных по методу Крамера:

x 1 = ∆ x 1 ∆ , x 2 = ∆ x 2 ∆ , . . . , x n = ∆ x n ∆ .

Видео:Система с тремя переменнымиСкачать

Система с тремя переменными

Алгоритм решения СЛАУ методом Крамера

  • Необходимо вычислить определитель матрицы системы и убедиться, что он не равен нулю.
  • Найти определители

∆ x 1 = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n

∆ x 2 = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n

∆ x n = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n

Эти определители являются определителями матриц, которые получены из матрицы А путем замены k -столбца на столбец свободных членов.

  • Вычислить неизвестные переменные при помощи формул:

x 1 = ∆ x 1 ∆ , x 2 = ∆ x 2 ∆ , . . . , x n = ∆ x n ∆ .

  • Выполнить проверку результатов: если все определители являются тождествами, то решение найдено верно.

Видео:Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.Скачать

Решение систем линейных алгебраических уравнений  методом Крамера.

Примеры решения СЛАУ методом Крамера

Найти решение неоднородной системы линейных уравнений методом Крамера:

3 x 1 — 2 x 2 = 5 6 2 x 1 + 3 x 2 = 2

Основная матрица представлена в виде 3 — 2 2 3 .

Мы можем вычислить ее определитель по формуле:

a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 × a 22 — a 12 × a 21 : ∆ = 3 — 2 2 3 = 3 × 3 — ( — 2 ) × 2 = 9 + 4 = 13

Записываем определители ∆ x 1 и ∆ x 2 . Заменяем 1-ый столбец основной матрицы на столбец свободных членов и получаем определитель ∆ x 1 = 5 6 — 2 2 3

По аналогии заменяем второй столбец основной матрицы на столбец свободных членов и получаем определитель:

Находим эти определители:

∆ x 1 = 5 6 — 2 2 3 = 5 6 × 3 — 2 ( — 2 ) = 5 2 + 4 = 13 2

∆ x 2 = 3 5 6 2 2 = 3 × 2 — 5 6 × 2 = 6 — 5 3 = 13 3

Находим неизвестные переменные по следующим формулам

x 1 = ∆ x 1 ∆ , x 2 = ∆ x 2 ∆

x 1 = ∆ x 1 ∆ = 13 2 13 = 1 2

x 2 = ∆ x 2 ∆ = 3 13 = 1 3

Выполняем проверку — подставляем полученные значения переменных в в исходную систему уравнений:

3 1 2 — 2 1 3 = 5 6 2 1 2 + 3 1 3 = 2 ⇔ 5 6 = 5 6 2 = 2

Оба уравнения превращаются в тождества, поэтому решение верное.

Ответ: x 1 = 1 2 , x 2 = 1 3

Поскольку некоторые элементы системы линейных уравнений могут равняться нулю, то в системе не будет соответствующих неизвестных переменных.

Найти решение 3-х нелинейных уравнений методом Крамера с 3-мя неизвестными:

2 y + x + z = — 1 — z — y + 3 x = — 1 — 2 x + 3 z + 2 y = 5

За основную матрицу нельзя брать 2 1 1 — 1 — 1 — 3 — 2 3 2 .

Необходимо привести к общему порядку все неизвестные переменные во всех уравнениях системы:

x + 2 y + z = — 1 3 x — y — z = — 1 — 2 x + 2 y + 3 z = 5

С этого момента основную матрицу хорошо видно:

1 2 1 3 — 1 — 1 — 2 2 3

Вычисляем ее определитель:

∆ = 1 2 1 3 — 1 — 1 — 2 2 3 = 1 × ( — 1 ) × 3 + 2 × ( — 1 ) ( — 2 ) + 1 × 2 × 3 — 1 ( — 1 ) ( — 2 ) — 2 × 3 × 3 — — 1 ( — 1 ) × 2 = — 11

Записываем определители и вычисляем их:

∆ x = — 1 2 1 — 1 — 1 — 1 5 2 3 = ( — 1 ) ( — 1 ) × 3 + 2 ( — 1 ) × 5 + 1 ( — 1 ) × 2 — 1 ( — 1 ) × 5 — 2 ( — 1 ) × 3 — — 1 ( — 1 ) × 2 = 0

∆ y = 1 — 1 1 3 — 1 — 1 — 2 5 3 = 1 ( — 1 ) × 3 + ( — 1 ) ( — 1 ) ( — 2 ) + 1 × 3 × 5 — 1 ( — 1 ) ( — 2 ) — ( — 1 ) — — 1 ( — 1 ) × 2 = 22

∆ z = 1 2 — 1 3 — 1 — 1 — 2 2 5 = 1 ( — 1 ) × 5 + 2 ( — 1 ) ( — 2 ) + ( — 1 ) × 3 × 2 — ( — 1 ) ( — 1 ) ( — 2 ) — 2 × 3 × 5 — — 1 ( — 1 ) × 2 = — 33

Находим неизвестные переменные по формулам:

x = ∆ x ∆ , y = ∆ y ∆ , z = ∆ z ∆ .

x = ∆ x ∆ = 0 — 11 = 0

y = ∆ y ∆ = 22 — 11 = — 2

z = ∆ z ∆ = — 33 — 11 = 3

Выполняем проверку — умножаем основную матрицу на полученное решение 0 — 2 3 :

1 2 1 3 — 1 — 1 — 2 2 3 × 0 — 2 3 = 1 × 0 + 2 ( — 2 ) + 1 × 3 3 × 0 + ( — 1 ) ( — 2 ) + ( — 1 ) × 3 ( — 2 ) × 0 + 2 ( — 2 ) + 3 × 3 = — 1 — 1 5

Результатом являются столбцы свободных членов исходной системы уравнений, следовательно, решение верное.

Ответ: x = 0 , y = — 2 , z = 3

Видео:Линейная алгебра, 8 урок, Метод КрамераСкачать

Линейная алгебра, 8 урок, Метод Крамера

Исследование и решение системы двух линейных уравнений методом Крамера

Квадратная матрица 2-го порядка и её определитель

Квадратной матрицей 2-го порядка A называется таблица из 4-х чисел вида: $$ A = begin a & b \ c & d \ end $$

В квадратной матрице 2-го порядка две строки и два столбца.

Например: $ |A| = begin 1 & -4 \ 2,5 & 3 \ end $

Определителем матрицы 2-го порядка называется число:

$$ A = begin a & b \ c & d \ end = ad-bc $$

Например: $begin 1 & -4 \ 2,5 & 3 \ end = 1cdot3-2,5cdot(-4) = 3+10 = 13$

Метод Крамера для решения системы 2-х линейных уравнений

Дана система 2-х линейных уравнений:

Определим главный определитель системы:

$$ Delta = begin a_1 & b_1 \ a_2 & b_2 \ end = a_1 b_2-a_2 b_1 $$

и вспомогательные определители:

$$ Delta_x = begin c_1 & b_1 \ c_2 & b_2 \ end = c_1 b_2-c_2 b_1, Delta_y = begin a_1 & c_1 \ a_2 & c_2 \ end = a_1 c_2-a_2 c_1 $$

Тогда решение системы:

Соотношение коэффициентов уравнений, значений определителей, расположения прямых и количества решений:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Бесконечное множество решений

Метод Крамера используется в линейной алгебре для решения систем линейных уравнений произвольного порядка $N ge 2$.

Главный определитель, вспомогательные определители и решения таких систем находятся аналогично.

Поэтому для метода Крамера несложно составить алгоритм и запрограммировать для решения прикладных задач.

Алгоритм исследования системы 2-х линейных уравнений по методу Крамера

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Примеры

Пример 1. Решите систему уравнений методом Крамера:

$$ Delta = begin 5 & -4 \ 2 & -3 \ end = 5cdot(-3)-2cdot(-4) = -15+8 =-7 $$

$$ Delta_x = begin 3 & -4 \ 4 & -3 \ end = 3cdot(-3)-4cdot(-4) = -9+16 = 7 $$

$$ Delta_y = begin 5 & 3 \ 2 & 4 \ end = 5cdot4-2cdot3 = 20-6 = 14 $$

$$ Delta = begin 4 & -3 \ 3 & -4 \ end = 4cdot(-4)-3cdot(-3) = -16+9 = -7 $$

$$ Delta_x = begin 7 & -3 \ 0 & -4 \ end = 7cdot(-4)-0cdot(-3) = -28 $$

$$ Delta_y = begin 4 & 7 \ 3 & 0 \ end = 4cdot0-3cdot7 = -21 $$

$$ Delta = begin 5 & -4 \ 2 & 3 \ end = 5cdot3-2cdot(-4) = 15+8 = 23 $$

$$ Delta_a = begin 9 & -4 \ -1 & -3 \ end = 9cdot3-(-1)cdot(-4) = 27-4 = 23 $$

$$ Delta_b = begin 5 & 9 \ 2 & -1 \ end = 5cdot(-1)-2cdot9 = -5-18 = -23 $$

$$ Delta = begin 7 & 4 \ 3 & 2 \ end = 7cdot2-3cdot4 = 14-12 = 2 $$

$$ Delta_a = begin 5 & 4 \ 1 & 2 \ end = 5cdot2-1cdot4 = 10-4 = 6 $$

$$ Delta_b = begin 7 & 5 \ 3 & 1 \ end = 7cdot1-3cdot5 = 7-15 = -8 $$

Пример 2*. При каком значении параметра a система уравнений 1) имеет одно решение; 2) не имеет решений; 3) имеет бесконечное множество решений?

$$ Delta = begin a & 5 \ 5 & a \ end = a cdot a-5cdot 5 = a^2-25 = (a-5)(a+5) $$

$$ Delta_x = begin (a+5)^2 & 5 \ a+5 & a \ end = (a+5)^2 cdot a-5cdot (a+5) = (a+5)(a(a+5)-5) = $$

$$ Delta_y = begin a & (a+5)^2 \ 5 & a+5 \ end = a cdot (a+5)-5 cdot (a+5)^2 = (a+5)(a-5(a+5) ) = $$

$$ Delta = 0, Delta_x = 10cdot45 = 450 neq 0, Delta_y = -10cdot45 = -450 neq 0 $$

прямые параллельны, решений нет.

$$ Delta = 0, Delta_x = 0, Delta_y = 0$$

прямые совпадают, решений бесконечное множество.

При $a neq pm5$ система имеет одно решение: $<left< begin x = frac \ y = frac end right.> $

Ответ: 1) $a neq pm5$; 2) a = 5; 3) a = -5

Метод Крамера онлайн

Данный онлайн калькулятор находит решение системы линейных уравнений (СЛУ) методом Крамера. Дается подробное решение. Для вычисления выбирайте количество переменных. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить.»

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:Доказательство формул Крамера для системы двух уравненийСкачать

Доказательство формул Крамера для системы двух уравнений

Метод Крамера

Метод Крамера − это метод решения квадратной системы линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы. Такая система линейных уравнений имеет единственное решение.

Пусть задана следующая система линейных уравнений:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными(1)

Заменим данную систему (1) эквивалентным ей матричным уравнением

Ax=b(2)

где A -основная матрица системы:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными(3)

а x и b − векторы столбцы:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

первый из которых нужно найти, а второй задан.

Так как мы предполагаем, что определитель Δ матрицы A отличен от нуля, то существует обратная к A матрица A -1 . Тогда умножая тождество (2) слева на обратную матрицу A -1 , получим:

A -1 Ax=A -1 b.

Учитывая, что произведение взаимно обратных матриц является единичной матрицей (A -1 A=E), получим

x=A -1 b.(4)

Обратная матрица имеет следующий вид:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными(5)

где Aij − алгебраическое дополнение матрицы A, Δ − определитель матрицы A.

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными
Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

где Δi − это определитель матрицы, полученной из матрицы A, заменой столбца i на вектор b.

Мы получили формулы Крамера:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Алгоритм решения системы линейных уравнений методом Крамера

  1. Вычислить определитель Δ основной матрицы A.
  2. Замена столбца 1 матрицы A на вектор свободных членов b.
  3. Вычисление определителя Δ1 полученной матрицы A1.
  4. Вычислить переменную x11/Δ.
  5. Повторить шаги 2−4 для столбцов 2, 3, . n матрицы A.

Видео:Метод Крамера для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в ExcelСкачать

Метод Крамера для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в Excel

Примеры решения СЛУ методом Крамера

Пример 1. Решить следующую систему линейных уравнений методом Крамера:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Запишем ее в матричной форме: Ax=b, где

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными.

Вычислим определитель основной матрицы A:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменнымиМетод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменнымиМетод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменнымиМетод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными.

Заменим столбец 1 матрицы A на вектор столбец b:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными.

Вычислим определитель матрицы A1:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменнымиМетод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменнымиМетод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменнымиМетод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными.

Заменим столбец 2 матрицы A на вектор столбец b:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными.

Вычислим определитель матрицы A2:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменнымиМетод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменнымиМетод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменнымиМетод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными.

Заменим столбец 3 матрицы A на вектор столбец b:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными.

Вычислим определитель матрицы A3:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменнымиМетод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменнымиМетод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменнымиМетод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными.

Решение системы линейных уравнений вычисляется так:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными
Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменнымиМетод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменнымиМетод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Пример 2. Решить следующую систему линейных уравнений методом Крамера:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Запишем ее в матричной форме: Ax=b, где

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Найдем определитель матрицы A. Для вычисления определителя матрицы, приведем матрицу к верхнему треугольному виду.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строки 2,3,4 со строкой 1, умноженной на -1/4,-3/4,-2/4 соответственно:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 2. Для этого меняем местами строки 2 и 4. При этом меняется знак определителя на «−».

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строки 3,4 со строкой 2, умноженной на -26/76,2/76 соответственно:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 3. Для этого меняем местами строки 3 и 4. При этом меняется знак определителя на «+».

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Исключим элементы 3-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строку 4 со строкой 3, умноженной на -817/1159:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Мы привели матрицу к верхнему треугольному виду. Определитель матрицы равен произведению всех элементов главной диагонали:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Заменим столбец 1 матрицы A на вектор столбец b:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Для вычисления определителя матрицы A1, приведем матрицу к верхнему треугольному виду, аналогично вышеизложенной процедуре. Получим следующую матрицу:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Определитель матрицы равен произведению всех элементов главной диагонали:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Заменяем столбец 2 матрицы A на вектор столбец b, приводим матрицу к верхнему треугольному виду и вычисляем определитель матрицы:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменнымиМетод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными
Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Заменяем столбец 3 матрицы A на вектор столбец b, приводим матрицу к верхнему треугольному виду и вычисляем определитель матрицы:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменнымиМетод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными
Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Заменяем столбец 4 матрицы A на вектор столбец b, приводим матрицу к верхнему треугольному виду и вычисляем определитель матрицы:

Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменнымиМетод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными
Метод крамера при решении систем линейных уравнений с двумя переменными

Решение системы линейных уравнений вычисляется так:

💡 Видео

Метод Крамера Пример РешенияСкачать

Метод Крамера Пример Решения

Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса

6 способов в одном видеоСкачать

6 способов в одном видео

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.

Решение систем линейных уравнений, урок 2/5. Метод Крамера (метод определителей)Скачать

Решение систем линейных уравнений, урок 2/5. Метод  Крамера (метод определителей)
Поделиться или сохранить к себе: