Метод конформных отображений уравнения мат физики

Видео:Конформные отображения с помощью линейной функцииСкачать

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Видео:Уравнение колебаний струны. Метод разделения переменных. Метод ФурьеСкачать

Глава 3. Конформные отображения

Видео:3.2 Решение уравнений гиперболического типа методом характеристикСкачать

Геометрический смысл аргумента и модуля производной функции комплексного переменного

Пусть дана аналитическая в области $D$ функция $f(z)$. Возьмем точку $z_0in D$, пусть производная функции в этой точке не равна нулю $$f'(z_0)ne0.$$

Функция $w=f(z)$ отображает область $D$ на плоскости z на множество $E$ в плоскости $w$.

Точке $z_0in D$ соответствует точка $w_0=f(z_0)in E$.

Аргумент $arg f'(z_0)$ есть угол поворота касательной к любой кривой, проведенной через точку $z_0$ при ее отображении с помощью функции $w=f(z)$ на плоскость $w$.

Модуль $|f'(z_0)|$ можно рассматривать как величину масштаба в точке $z_0$ при отображении $w$. Если $|f'(z_0 )|>1$, то происходит растяжение бесконечно малого элемента, выходящего из точки $z_0$. Если $|f'(z_0 )| 0rightarrow |w| 0) rightarrow w_0=0. $$

Функция $w=z^n$ отображает расширенную комплексную плоскость $z$ на расширенную комплексную плоскость $w$.

Не является конформным при $z=0$, так как $$w’=n,z^ =0 ,, mbox z=0.$$

Не является однолистной, так как всякая точка $w$, отличная от $w=0$ и $w=infty$, имеет $n$ различных прообразов. Для однолистности отображения следует брать на плоскости $z$ лишь сектор вида $$kcdotdisplaystylefracleqslant mbox,zleqslant(k+1)cdotdisplaystylefrac,,, kin mathbb Z_.$$

Исследуем поведение функции около точки $z=0$. При помощи степенной функции $$ w=z^n $$ угол с вершиной в начале координат плоскости $z$ отображается в угол с вершиной в начале координат плоскости $w$ c раствором в $n$ раз большим: $$ z=rho e^,, rightarrow ,, w = z^n=rho^n e^. $$ Отображение будет взаимно однозначным, если раствор угла на плоскости $w$ будет не более $2pi$.

Найти в какую область преобразуется квадрат $$ 0le xle 1,quad 0le yle 1 $$ функцией $w=z^2+z-1$.

Решение. Выделим вещественную и мнимую части: $$ begin u=x^2-y^2+x-1, v=2xy+y. end $$

Определим образы участков границ данного квадрата: begin OA:quadleft<begin y=0, 0le xle1 endright.quadhboxquad left<begin u=x^2+x-1, v=0. endright. end это отрезок вещественной оси $-1le ule 1$. begin AB:quadleft<begin x=1, 0le yle1 endright.quadhboxquad left<begin u=1-dfrac9, 0le vle3 endright.hskip17.5pt end это часть параболы в первом квадранте.

Образы отрезков $BC$ и $CO$ также являются дугами парабол: beginlabel BC:quad u=frac14big(v^2-9big),quad 1le vle 3, end beginlabel CO:quad u=-1-v^2,quad 0le vle1. end Так как точка $z=displaystylefrac12(1+i)$ переходит в точку $w=i-displaystylefrac12$, то внутренность квадрата переходит во внутренность криволинейного четырехугольника.

Ответ: Внутренность квадрата переходит во внутренность криволинейного четырехугольника.

Радикал

Рассмотрим функцию begin w=sqrt[n], end обратную степенной функции $z=w^n$.

Примем, что $$w=infty mbox z=infty.$$

Во всех точках расширенной плоскости $z$, кроме точек $z=0$ и $z=infty$ (где эта функция соответственно равна $w=0$ и $w=infty)$, эта функция $n$-значна и все ее $n$ различных значений для каждого фиксированного $z=re^$ (не равные 0 и $infty$) дает формула: $$ w=sqrt[n]cdot e^ <itfrac> =sqrt[n]cdot e^ <itfrac>cdot e^<itfrac>quadhbox quad k=0,1,dots,n-1. $$

Через $w_k$ обозначим множество всех точек $w$, соответствующих данному фиксированному значению $k$. В результате получим $n$ функций $w_k$, $k=0,2,dots,n-1$, называемых ветвями многозначной функции $w=sqrt[n]$. $$ w_k= sqrt[n]cdot e^ <itfrac>cdot e^<itfrac>quadhbox quad k=0,1,dots,n-1. $$

Рассмотрим какую-нибудь ветвь $w_k$ функции и заставим точку $z$ описать в плоскости какую-нибудь замкнутую кривую.

Если эта кривая не содержит внутри себя точку $z=0$ (сплошная кривая на рисунке), то непрерывно изменяющийся аргумент точки $z$ вернется к прежнему значению с возвращением точки $z$ в исходное положение. В силу этого и ветвь $w_k$ радикала останется прежней (т.е. мы вернемся к прежнему значению корня в исходной точке).

Картина изменится, если кривая $l$ будет содержать внутри себя точку $z=0$ (пунктирная кривая на рисунке). В этом случае после полного обхода кривой $l$ аргумент точки $z$ в исходном положении увеличится на $pm 2pi k$ (в зависимости от того, совершается ли обход кривой против или по часовой стрелки), в силу чего мы от значения $w_k$ корня в исходной точке перейдем либо к значению $$ w_kcdot e^<itfrac>=w_,$$ либо к значению $$ w_kcdot e^<-itfrac>=w_. $$

Повторяя обход вокруг начала координат в том или ином направлении достаточное количество раз, мы можем перейти от исходной ветви $w_k$ радикала к любой другой ветви. Очевидно, что после $n$ обходов начала координат в одном направлении мы возвращаемся к исходной ветви радикала.

Точка, обладающая тем свойством, что обход вокруг нее переводит от одной ветви многозначной функции к другой ветви, называется точкой разветвления этой функции. Таким образом, точка $z=0$ будет точкой разветвления функции $w=sqrt[n]$.

Из сказанного следует, что мы можем выделить $n$ однозначных ветвей $w_k$ функции $w=sqrt[n]$ только в такой области $D$, которая не содержит ни одной замкнутой кривой, заключающей внутри себя точку $z=0$.

Расширенная плоскость $z$ с любым разрезом от точки $z=0$ до точки $z=infty$ и, в частности, с разрезом вдоль положительной части вещественной оси (левая часть рисунка) не содержит ни одной замкнутой кривой, обходящей точку $z=0$. На ней можно выделить $n$ однозначных ветвей $w_k$, $k=0,1,dots,n-1$, радикала, принимающих каждая одно из значений $sqrt[n]$.

Эти ветви будут однолистно отображать расширенную плоскость $z$ с разрезом вдоль положительной части вещественной оси на секторы $$ kfracn 0$.

Логарифмическая функция

Логарифмическая функция обратна показательной, бесконечнозначна, все ее значения вычисляются по формуле $$ w=mboxz=mbox|z|+imboxz=mbox|z|+i(mboxz+2pi k),quad k=0,pm1,pm2,dots . $$ Дополнительно примем, что $w=infty$ при $z=0$ и $z=infty$.

Обозначив через $w_k$ множество всех точек $w$, соответствующих данному фиксированному значению $k$, получим бесконечное множество функций, которые называются ветвями многозначной функции $w=mboxz$ $$ w_k= mbox|z|+imboxz=mbox|z|+i(mboxz+2pi k),quad k=0,pm1,pm2,dots . $$

Бесконечнозначность логарифма связана с бесконечнозначностью его мнимой части $mboxz$. Поэтому область не должна допускать обхода начала координат по непрерывной кривой, так как при таком обходе значение $mboxz$ изменяется на $2pi$. Область указанного типа будет сектором концентрического кольца: $$ 0 0, 0 1$.

Для того чтобы лучше представить себе рассматриваемое отображение, положим $$ z=re^,quad w=u+iv $$ и произведя соответствующие замены в функции Жуковског и отделив вещественные и мнимые части, получим два вещественных равенства, зависящие от двух параметров $$ u=frac12left(r+frac1rright)cosvarphi,quad v=frac12left(r-frac1rright)sinvarphi. $$

Рассмотрим две упомянутые выше области $|z| 1$.

В области $|z| 0$ функция Жуковского отобразит на нижнюю полуплоскость $mathfrak w 0$.

Рассмотрим теперь в области $|z|>1$ окружности $|z|=r$, где $1 1$ на всю плоскость $w$ с разрезом вдоль вещественной оси от точки $w=-1$ до точки $w=1$. При этом верхний полукруг отображается на верхнюю полуплоскость, а нижний полукруг — на нижнюю полуплоскость.

Обратная к функции Жуковского функция $$ w=z+sqrt $$ двузначна, что обусловлено двузначностью квадратного корня. Каждую точку $z$ она отображает в две точки $w_1$ и $w_2$, связанные условием $w_1w_2=1$. Легко показать, что точки $z=-1$ и $z=1$ будут точками разветвления этой функции. Таким образом, в любой области, не содержащей замкнутых кривых, обходящих лишь одну из этих точек, можно выделить две однозначные ветви обратной функции. Этому условию, в частности, удовлетворяет вся плоскость $z$ с разрезом вдоль отрезка $[-1,1]$ вещественной оси. Ветви обратной функции однолистно отображают плоскость $z$ с указанным разрезом либо на круг $|w| 1$ и аналитичны.

Тригонометрические функции

Теорема Римана. Основные принципы конформных отображений

Теорема 1 (Римана).

Всякую односвязную область $D$ комплексной плоскости $z$, граница которой состоит более чем из одной точки, можно конформно отобразить на внутренность единичного круга $|w| tfkp/chapter3.txt · Последние изменения: 2022/01/13 22:15 — nvr

Конформные отображения

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Преобразования

Преобразования, наделенные таким свойством, позволяют успешно решать задачи аэро- и гидродинамики, теории упругости, теории полей различной природы и многие другие. Мы ограничимся преобразованиями плоских областей. Непрерывное отображение го = /(г) плоской области в область на плоскости называется конформным в точке , если в этой точке оно обладает свойствами постоянства растяжения и сохранения углов.

Открытые области и называются конформно эквивапентными,если существует взаимнооднозначное отображение одной из этих областей на другую, конформное в каждой точке. Теорема Римана. Любые две плоские открытые односвязные области, границы которых состоят более чем из одной точки, конформно эквивалентны. Основной проблемой при решении конкретных задач является построение по заданным плоским областям явного взаимно однозначного конформного отображения одной из них на другую.

Один изспособоврешенияэтой проблемы в плоском случае — привлечение аппарата теории функций комплексного переменного. Какужеотмечалось выше, однолистная аналитическаяфункция с отличной от нуля производной осуществляет конформное отображение своей области задания на ее образ. При построении конформных отображений весьма полезно следующее правило. Принцип соответствия границ.

Пусть в односвязной области Я) комплексной плоскости z, ограниченной контуром 7, задана однозначная аналитическая функция w = f(z), непрерывная в замыкании 9) и отражающая контур 7 на некоторый контур 7′ комплексной п/юскости w. Если при этом сохраняется направления обхода контура, то функция w — f(z) осуществляет конформное отображение области комплексной плоскости z на область З1 комплексной плоскости w, ограниченную контуром 7′ (рис. 1).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Цель настоящего параграфа состоит в том, чтобы, используя найденные ранее области однолистности основных элементарных фуннций комплексного переменного, научиться строить конформные отображения открытых одно-связных плосжх областей, часто встречающихся в приложениях, надвестан- КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ дартныс области — верхнюю полуплоскость и единичный круг (рис. 2). Для более эффективного использо- Рис.2 вания приводимой ниже таблицы полезны некоторые простейшие преобразования комплексной плоскости.

Преобразования плоскости

Преобразования плоскости, осуществляющие: 1. параллельный перенос (сдвиг на заданное комплексное число а) (рис. 3), Рис.3 2. поворот (на заданный угол 3. растяжение (fc > 1) ил и сжатие (рис. 5). Тем самым, преобразование вида 0 любой круг можно сделать единичным кругом с центром в нуле (рис. 6), любую полуплоскость можосделать верхней полуплоскостью, любой отрезок прямой можно преобразовать в отрезок [0, 1) вещественной оси (рис. 7), любой луч — в положительный луч вещественной оси (рис. 8). б) Рис. 6 растяжение (им) О перенос в) поворот перенос рас гяжение Рис. 7 перенос поворот Рис.8 в) б) В) 4.

переводящее три различные точки z, zi, z3 в три различныеточт плоскости (рис.9). Рассмотрим пример, показывающий, как пользоваться приведенной ниже табли- цей.

Пример с решением:

Отобразить круг с разрезом по радиусу (рис. 10) взаимно однозначно и конформно на единичный круг с центром в нуле. 4 А. Применяя простейшие преобразования плоскости, приведем заданную область к области, имеющейся в таблице. 1. Переместим центр заданного круга в нулевую точку (см. рис. 11): .

Имеем: круг с разрезом 2. Повернем полученный круг по часовой стрелке на угол (см. рис. 12) . Имеем: круг с разрезом arg 3. Сожмем круг в три раза (см. рис. 13) Имеем: круг с разрезом Таким образом, исходная область приводится к имеющейся в таблице при помощи следующего преобразования Б. 1. Указанная область — круг с разрезом — приведена в таблице под № 30. Функция Жуковского КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ преобразует эту область в плоскость с разрезом по отрезку [-1, 5] вещественной оси (рис. 14). 2. Указанная область приведена в таблице под № 22.

Применяя дробно-линейное преобразование преобразуем эту область в плоасость с разрезом по лучу [0, +оо) вещественной оси (рис. 15).

3. Указанная область приведена в таблице под № 6. Извлекая квадратный корень преобразуем эту область в верхнюю полуплоскость Im z6 > 0 (рис. 16). 4. Указанная область приведона в таблице под Ng 11. Применяя дробно- линейное преобразование преобразуем эту область в единичный круге центром в нуле Последовательно выражая z* через z^-i, получим взаимно однозначное и конформное преобразование заданного на комплексной плоскости г круга с разрезом по радиусу на единичный круг комплексной плоек ости tr. р- Конформное отображение заданными областями определяется неоднозначно.

Пример с решением:

Отобразить полукруг (рис.18) взаимно однозначно и конформно на верхнюю полуплоскость Im w > 0. . Дробно-линейное отображение преобразует заданный полукруг в прямой угол 2. Указанная область приведена в таблице под Ne 4 (п = 2). Возводя в квадрат Б. Заданная область приведена в таблице за No 9. Искомое преобразование имеет вид чю- Оба отображения w -заданный полукруг в верхнюю полуплоскость переводит взаимно однозначно и конформно Организация таблицы и правила пользования ею.

Как будет показано в конце параграфа, такая стандартизация удобна для практического использования. Часто приводится только преобразование, сводящее заданную область к ранее рассмотренной. В этом случае дается ссылка на преобразование, переводящее полученную область в стандартную (единичный круг с центром в нуле или верхнюю полуплоскость). Основные элементарные функции.

Таблица Плоскость с разрезом по действительному лучу [О, Плоскость с разрезами Плоскость с разрезом по действительному лучу [0, +ю[ Плоскость с разрезом по отрезку 10, 1] Плоскость с разрезом по действительному лучу (0, +«>( Плоскость с разрезами по действительным лучам J -оо, 0] и (I, +оо[ Плоскость с разрезом по действительному лучу [0, +«>( Плоскость с разрезом по отрезку lu. zi] Плоскость с разрезом по отрезку (О, 1J № 21 1лоскость с разрезами ю лучам, лежащим ia прямой, проходящей через ачало координат по действительным лучам ]-«ю, 0] и (1.

Плоскость с разрезом по действительному лучу (0, +во( Плоскость с разрезом по дуге окружности Ixl — 1, lm z > О Плоскость с разрезом по дуге окруж ности III — I, Re z > О Плоскость с разрезом по действительн ому лучу (0, Плоскость с разрезом no дуге окруж ности Плоскость с разрезом по действительному лучу [С, + со [ № 25 Полуплоскость с разрезами Полуплоскость l с разрезом по отрезку [0, />

Плоскость с разрезом по действительному лучу [ — I, Полуплоскость с разрезом по отрезку Полуплоскость Im г > О с разрезами по отрезку [0, oi) и мнимому лучу №28 Полуплоскость с разрезом по ду| е окружности по действительным лучам |- по действительным лучам 1 — оо, -Л2] с разрезом по мнимому лучу Круг с разрезами Круг 1 с разрезом по отрезку (1/2, 1J №30 Плоскость с разрезом по отрезку <-1, 5/4] Круг Izl с разрезами по отрезкам (-1. -1/2] и (1/2, 1] № 31

Плоскость с разрезами по отрезиам I -5/4, 5/4] Круг Ijl симметричными разрезами по мнимой оси Круг lie с симметричными разрезами по действительной оси Внешность круга с разрезами Внешность единичного круга I с разрезом по отрезку [1, 2J №33 Внешность единичного круга с разрезом по отрезкам 1-2, -1] и 11, 2) №34 Плоскость с разрезом по отрезку [ -1, 5/4] Плоскость с разрезом по отрезку I — 5/4, 3/4] w = e’^z Внешность единичного круга Izl > 1 с разрезами по отрезкам, являющимися продолжениями его диаметра Внешность единичного круга Iwl > 1 с разрезами по отрезкам, лежащим на действительной оси Полуируг с разрезами -г2

Nfc 36 Круг Iwl с разрезом по отрезку [ -1/4, 1] Полукруг , с разрезом по отрезку (0, i/2) Полукруг , с разрезом по отрезку [//2, /) Круг с разрезами по отрезкам № 37 Полукруг с разрезами по отрезкам [0. al) и [Ы. /). где N? 38 Круг с разрезами по отрезкам 1-1. — угол с разрезами Угол с разрезом по действительному лучу Ах» г — т/4 с началом в точке 1 + / Полуплоскость Im W > 0 с разрезом по мнимому лучу с началом в точке 12/, +/•©( Nf39 Плоскость с разрезами по действительным лучам Угол с разрезом по действительному лучу Arg z — т/л с началом в точке Полоса с разрезами w — с*

Полуплоскость Im с разрезом по дуге окружности иг » с Полоса 0 т с разрезом по мнимому отрезку ( Полуплоскость Im с разрезом по дуге окружности w — е Полоса 0 разрезом по мнимому отрезку fW/2, TiJ N? Полоса Полуплоскость Im w > О с разрезами по мнимым с разрезами по дуге отрезкам [0, al и [Ы, «1, окружности w « t*, КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ М43 Полоса Плоскость с разрезом по действительному лучу (0. +«( №44 Полоса с разрезом Полуплоскость Im по действительному с разрезом по мнимому лучу I отрезку [О, /I

Полоса 0 Полоса с разрезом по действительному лучу I №46 Полоса Полоса 0 с разрезом по действительному лучу R №47 Область 1 Полоса 01 Область с удаленным кругом Re Полоса Полуплоскость Im z > О с удаленным круговым сегментом Угол №50 -Ш Полуплоскость Im с удаленным круговым сегментом Полуплоскость Im w > 0 № 51 Полуполоса Полуплоскость Im w > Полуплоскость Im Полуполоса с удаленными полукругами № 53

Полуполоса Полуполоса N? 54 Угол Полуплоскость Im w > 0 с удаленным сектором единичного круга Ne 55 Угол Im z с удаленным полукругом Полуполоса 0 Внешность параболы Полуплоскость Im w Внутренность параболы Полуплоскость Im № 58 Внешность гиперболы Полуплоскость Im w Внутренность правой ветви гиперболы Полуплоскость Iro W > О Внешность эллипса Внешность круга М > I

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Овчинцев Евгений ИФО 3-2 Применение метода конформных преобразований к уравнениям математической физики. — презентация

Презентация была опубликована 9 лет назад пользователемifoshki.narod.ru

Похожие презентации

Презентация на тему: » Овчинцев Евгений ИФО 3-2 Применение метода конформных преобразований к уравнениям математической физики.» — Транскрипт:

1 Овчинцев Евгений ИФО 3-2 Применение метода конформных преобразований к уравнениям математической физики

2 Введение Функция называется гармонической, если : 1. Существуют частные производные до второго порядка включительно. 2. Все они непрерывны. 3. Она удовлетворяет уравнению Лапласа :

3 Методы функции комплексного переменного Если комплексная функция имеет первую производную в области G 1. Она бесконечное число раз дифференцируема. 2. Все эти производные непрерывны и

4 О сохранении гармоничности функции при конформном отображении. — конформное отображение области G на область G. является взаимно однозначным отображением.

5 О сохранении гармоничности функции при конформном отображении. Пусть – некоторая гармоническая функция, заданная внутри области.

6 О сохранении гармоничности функции при конформном отображении. Тогда частные производные от функции : Следовательно, вторые частные производные от нее же :

7 О сохранении гармоничности функции при конформном отображении. Сложим : Получим : В силу условий Коши — Римана :

8 О сохранении гармоничности функции при конформном отображении. Из получившихся соотношений следует : Т. к. Т. е. – гармоническая функция в.

9 Задача Дирихле Найти функцию, удовлетворяющую условиям : где – заданная непрерывная функция на границе области.

10 Задача Дирихле Теорема : « Решение задачи Дирихле существует и притом единственно ».

11 Практическая задача Труба радиуса r помещена на заданной глубине. Найти установившееся распределение температуры в почве, если на поверхности земли она равна нулю, а температура трубы ( рис.1).

12 Практическая задача – температура земли в точке. – гармоническая функция. Для нее должно выполняется уравнение и она должна удовлетворять граничным условиям

13 Практическая задача Докажем, что область отображается на кольцо дробно — линейной функцией : 1. Известно, что дробно — линейная функция обладает круговым свойством. 2. Известно, что при дробно — линейном отображении точки симметричные переходят в точки, симметричные по отношению к образу кривой.

14 Практическая задача Отобразим область G конформно на круговое кольцо : ( рис.2) В кольце получили задачу Дирихле :

15 Практическая задача. Решение задачи Дирихле Такая функция — гармоническая. Для выполняются граничные условия : 1. 2.

16 Решение практической задачи Найдем на оси две точки ( рис.3) такие, что они являются симметричными и для оси и для окружности одновременно.

17 Решение практической задачи Рассмотрим дробно-линейное отображение : Подставим в него : Докажем, что эта функция отображает область на круговое кольцо :

18 Решение практической задачи – ось. Пусть. Тогда То есть, и, значит, образом оси является окружность.

19 Решение практической задачи Найдем образ окружности. Ее образом будет окружность с центром в точке. Таким образом область отображается на круговое кольцо. Найдем. Образом точки будет точка, лежащая на окружности. Следовательно :

20 Решение практической задачи Решение нашей основной задачи имеет вид : Перейдя к переменным и, получим : где

21 Рассмотрим конкретный пример Пусть a=2, h=4, а T=10. Тогда А график этой функции имеет вид :

22 Заключение 1. Методом конформных отображений можно решать и другие задачи, базирующиеся на гармонических функциях, переходя конформно к более простому и известному виду. 2. Этим методом можно решать задачи в картографии, электростатике, механике сплошных сред ( гидро — и аэромеханика, газовая динамика, теория упругости, теория пластичности и др. )