Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Метод Гаусса – теорема, примеры решений

Метод Гаусса – идеальный вариант для решения систем линейных алгебраических уравнений (далее СЛАУ). Благодаря методу Гаусса можно последовательно исключать неизвестные путём элементарных преобразований. Метод Гаусса – это классический метод решения СЛАУ, который и рассмотрен ниже.

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Карл Фридрих Гаусс – немецкий математик, основатель одноименного метода решения СЛАУ

Карл Фридрих Гаусс – был известным великим математиком и его в своё время признали «королём математики». Хотя название «метод Гаусса» является общепринятым, Гаусс не является его автором: метод Гаусса был известен задолго до него. Первое его описание имеется в китайском трактате «Математика в девяти книгах», который составлен между II в. до н. э. и I в. н. э. и представляет собой компиляцию более ранних трудов, написанных примерно в X в. до н. э.

Метод Гаусса – последовательное исключение неизвестных. Этот метод используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений. Хотя уравнения при помощи метода Гаусса решаются легко, но всё же студенты часто не могут найти правильное решение, так как путаются в знаках (плюсы и минусы). Поэтому во время решения СЛАУ необходимо быть предельно внимательным и только тогда можно легко, быстро и правильно решить даже самое сложное уравнение.

У систем линейных алгебраических уравнений есть несколько преимуществ: уравнение не обязательно заранее на совместность; можно решать такие системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равняется нулю; есть возможность при помощи метода Гаусса приводить к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Содержание
  1. Определения и обозначения
  2. Простейшие преобразования элементов матрицы
  3. Алгоритм решения методом Гаусса пошагово
  4. Шаг 1. Переписываем систему в виде матрицы
  5. Шаг 2. Преобразовываем матрицу: вторую строку в первом столбце приводим к нулю
  6. Шаг 3. Приводим матрицу к ступенчатому виду
  7. Шаг 4. Записываем эквивалентную систему
  8. Шаг 5. Производим проверку (решение системы обратным путём)
  9. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица невырожденная, а количество в ней неизвестных равняется количеству уравнений
  10. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица вырожденная, а количество в ней неизвестных не совпадает с количеством уравнений
  11. Примеры решения методом Гаусса
  12. Заключение
  13. Метода Гаусса: примеры решения СЛАУ
  14. Метод Гаусса — что это такое?
  15. Основные определения и обозначения
  16. Описание алгоритма использования метода Гаусса для решения СЛАУ с равным количеством уравнений и неизвестных (обратный и прямой ход метода Гаусса)
  17. Описание алгоритма использования метода Гаусса для решения СЛАУ с несовпадающим количеством уравнений и неизвестных, или с вырожденной системой матрицы
  18. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
  19. Понятие метода Гаусса
  20. Преимущества метода:
  21. Элементарные преобразования системы линейных уравнений
  22. Алгоритм и примеры решения методом Гаусса системы линейных уравнений с квадратной матрицей системы
  23. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса самостоятельно, а затем посмотреть решение
  24. Решение методом Гаусса прикладных задач на примере задачи на сплавы
  25. Метод Гаусса и системы линейных уравнений, имеющие бесконечное множество решений
  26. Метод Гаусса и системы линейных уравнений, не имеющие решений
  27. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса самостоятельно, а затем посмотреть решение
  28. Метод Гаусса и системы, в которых число неизвестных меньше числа уравнений
  29. Метод Гаусса и системы, в которых число неизвестных больше числа уравнений

Видео:Решение системы линейных уравнений методом ГауссаСкачать

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Определения и обозначения

Как уже говорилось, метод Гаусса вызывает у студентов некоторые сложности. Однако, если выучить методику и алгоритм решения, сразу же приходит понимание в тонкостях решения.

Для начала систематизируем знания о системах линейных уравнений.

СЛАУ в зависимости от её элементов может иметь:

  1. Одно решение;
  2. много решений;
  3. совсем не иметь решений.

В первых двух случаях СЛАУ называется совместимой, а в третьем случае – несовместима. Если система имеет одно решение, она называется определённой, а если решений больше одного, тогда система называется неопределённой.

Метод Крамера и матричный способ не подходят для решения уравнений, если система имеет бесконечное множество решений. Вот поэтому нам и нужен метод Гаусса, который поможет нам в любом случае найти правильное решение. К элементарным преобразованиям относятся:

  • перемена мест уравнений системы;
  • почленное умножение обеих частей на одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами;
  • сложение к обеим частям одного из уравнений определённых частей другого уравнения.

Итак, когда мы знаем основные правила и обозначения, можно приступать к решению.

Теперь рассмотрим, как решаются системы методом Гаусса на простом примере:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

где а, в, с – заданные коэффициенты, d – заданные свободные члены, x, y, z – неизвестные. Коэффициенты и свободные члены уравнения можно называть его элементами.

Если Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения= Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения= Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения= Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, тогда система линейных алгебраических уравнений называется однородной, в другом случае – неоднородной.

Множественные числа Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияназываются решением СЛАУ, если при подстановке Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияв СЛАУ получим числовые тождества.

Система, которую мы написали выше имеет координатную форму. Если её переделать в матричную форму, тогда система будет выглядеть так:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

– это основная матрица СЛАУ.

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

– матрица столбец неизвестных переменных.

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

– матрица столбец свободных членов.

Если к основной матрице Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложениядобавить в качестве Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения– ого столбца матрицу-столбец свободных членов, тогда получится расширенная матрица систем линейных уравнений. Как правило, расширенная матрица обозначается буквой Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, а столбец свободных членов желательно отделить вертикальной линией от остальных столбцов. То есть, расширенная матрица выглядит так:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Если квадратная матрица равна нулю, она называется вырожденная, а если Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения– матрица невырожденная.

Если с системой уравнений: Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Произвести такие действия:

  • умножать обе части любого из уравнений на произвольное и отличное от нуля число Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения;
  • менять местами уравнения;
  • к обеим частям любого из уравнений прибавить определённые части другого уравнения, которые умножаются на произвольное число Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения,

тогда получается эквивалентная система, у которой такое же решение или нет решений совсем.

Теперь можно перейти непосредственно к методу Гаусса.

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.

Простейшие преобразования элементов матрицы

Мы рассмотрели основные определения и уже понимаем, чем нам поможет метод Гаусса в решении системы. Теперь давайте рассмотрим простую систему уравнений. Для этого возьмём самое обычное уравнение, где и используем решение методом Гаусса:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Из уравнения запишем расширенную матрицу:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Из данной матрицы видно, по какому принципу она записана. Вертикальную черту не обязательно ставить, но просто так удобнее решать систему.

На матрице, которая написана выше рассмотрим, какие существуют элементарные преобразования:

1. В матрице строки можно переставлять местами. Например, в нашей матрице спокойно можно переставить первую и вторую строки:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения. Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияМетод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

2. Если в матрице имеются (или появились) пропорциональные строки (одинаковые), тогда необходимо оставить всего лишь одну строку, а остальные убрать (удалить).

3. Если в ходе преобразований в матрице появилась строка, где находятся одни нули, тогда такую строку тоже нужно удалять.

4. Строку матрицы можно умножать (делить) на любое число, которое отличное от нуля. Такое действие желательно проделывать, так как в будущем проще преобразовывать матрицу.

5. Сейчас рассмотрим преобразование, которое больше всего вызывает затруднение у студентов. Для этого возьмём изначальную нашу матрицу:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Для удобства умножаем первую строку на (-3):

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияМетод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Теперь ко второй строке прибавляем первую строку, которую умножали на -3. Вот что у нас получается:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

В итоге получилось такое преобразование:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Теперь для проверки можно разделить все коэффициенты первой строки на те же Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияи вот что получается:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

В матрице верхняя строка преобразовалась:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Первую строку делим на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияи преобразовалась нижняя строка:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

И верхнюю строку поделили на то же самое число Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Как вы можете убедиться, в итоге строка, которую мы прибавляли ни капельки не изменилась, а вот вторая строка поменялась. ВСЕГДА меняется только та строка, к которой прибавляются коэффициенты.

Мы расписали в таких подробностях, чтобы было вам понятно, откуда какая цифра взялась. На практике, например, на контрольной или экзамене матрица так подробно не расписывается. Как правило, в задании решение матрицы оформляется так:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения. Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияМетод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Видео:Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса

Алгоритм решения методом Гаусса пошагово

После того, как мы рассмотрели простейшие преобразования, в которых на помощь пришёл метод Гаусса, можем вернуться к нашей системе, которую уже разложили по полочкам и пошагово распишем:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Шаг 1. Переписываем систему в виде матрицы

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Шаг 2. Преобразовываем матрицу: вторую строку в первом столбце приводим к нулю

Как мы привели вторую строку в первом столбце к нулю описано выше. Напомним, что первую строку умножали на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияи вторую строку прибавили к первой , умноженной на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Шаг 3. Приводим матрицу к ступенчатому виду

Теперь вторую строку можно поделить на 2 и получается:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Верхнюю строку делим на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияи приводим матрицу к ступенчатому виду:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Когда оформляют задание, так и отчёркивают простым карандашом для упрощения работы, а также обводят те числа, которые стоят на “ступеньках”. Хотя в учебниках и другой литературе нет такого понятия, как ступенчатый вид. Как правило, математики такой вид называют трапециевидным или треугольным.

Шаг 4. Записываем эквивалентную систему

После наших элементарных преобразований получилась эквивалентная система:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Шаг 5. Производим проверку (решение системы обратным путём)

Теперь систему нужно решить в обратном направлении, то есть обратным ходом, начиная с последней строки.:

находим Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения: Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения,

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения,

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.

После Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложениянаходим Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения,

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.

Как видим, уравнение решено правильно, так как ответы в системе совпадают.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ.  | Математика

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица невырожденная, а количество в ней неизвестных равняется количеству уравнений

Как мы уже упоминали, невырожденная матрица бывает тогда, когда Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения. Разберём систему уравнений невырожденной матрицы, где уравнений по количеству столько же, сколько и неизвестных. Эту систему уравнений решим другим способом.

Дана система уравнений:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Для начала нужно решить первое уравнение системы относительно неизвестной переменной Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения. Далее подставим полученное выражение сначала во второе уравнение, а затем в третье, чтобы исключить из них эту переменную.

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Теперь переходим ко второму уравнению системы относительно Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияи полученный результат подставим в третье уравнение.. Это нужно для того, чтобы исключить неизвестную переменную Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Из последнего, третьего уравнения мы видим, что Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения. Из второго уравнения находим Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения. И последнее, находим первое уравнение Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.

Итак, мы нашли все три неизвестных при помощи последовательного исключения. Такой процесс называют – прямой ход метода Гаусса. Когда последовательно находятся неизвестные переменные, начиная с последнего уравнения, называется обратным ходом метода Гаусса.

Когда выражается Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложениячерез Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияи Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияв первом уравнении, а затем подставляется полученное выражение во второе или третье уравнения, тогда, чтобы привести в к такому же результату, необходимо проделать такие действия:

  • берём второе уравнение и к его левой и правой частям прибавляем определённые части из первого уравнения, которые умножаются на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения,
  • берём третье уравнение и к его левой и правой частям прибавляем определённые части из первого уравнения, которые умножаются на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.

И действительно, благодаря такой процедуре у нас есть возможность исключать неизвестную переменную Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложениясо второго и третьего уравнения системы:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Возникают нюансы с исключением неизвестных переменных тогда, когда в уравнении системы нет каких-либо неизвестных переменных. Рассмотрим такую систему:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

В этой системе в первом уравнении нет переменной Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияи поэтому у нас нет возможности решить первое уравнение системы относительно Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, чтобы исключить данную переменную из остальных уравнений. В таком случае выход есть. Нужно всего лишь уравнения переставить местами.

Так как мы описываем уравнения системы, в которых определитель основных матриц отличен от нуля, тогда всегда есть такое уравнение, в котором есть необходимая нам переменная и это уравнение мы можем поставить туда, куда нам нужно.

В примере, который мы рассматриваем, достаточно всего лишь поменять местами первое и второе уравнение.

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Теперь мы можем спокойно разрешить первое уравнение относительно переменной Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияи убрать (исключить) из остальных уравнений в системе. Вот и весь принцип работы с такими, на первый взгляд, сложными системами.

Видео:12. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Часть 1.Скачать

12. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Часть 1.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица вырожденная, а количество в ней неизвестных не совпадает с количеством уравнений

Метод Гаусса помогает решать системы уравнений, у которых основная матрица прямоугольная или квадратная, но основная вырожденная матрица может совсем не иметь решений, иметь бесконечное множество решений или иметь всего лишь одно единственное решение.

Рассмотрим, как при помощи метода Гаусса устанавливается совместность или несовместность систем линейных уравнений. В случае, если есть совместность определим все решения или одно решение.

В принципе, исключать неизвестные переменные можно точно так, как описано выше. Однако, есть некоторые непонятные ситуации, которые могут возникнуть в ходе решения:

1. На некоторых этапах в момент исключения неизвестных переменных некоторые уравнения могут обратиться в тождества Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения. В данном случае такие уравнения лишние в системе и их можно смело полностью убирать, а затем продолжать решать уравнение методом Гаусса.

Например, вам попалась подобная система:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

У нас получается такая ситуация

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Как видим, второе уравнение Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения. Соответственно, данное уравнение мы можем из системы удалить, так как оно без надобности.

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияМетод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Дальше можно продолжать решение системы линейных алгебраических уравнений уравнений традиционным методом Гаусса.

2. При решении уравнений прямым ходом методом Гаусса могут принять не только одно, но и несколько уравнений такой вид: Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, где Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения– число, которое отличное от нуля. Это говорит о том, что такое уравнение никогда не сможет превратиться в тождество даже при любых значениях неизвестных переменных. То есть, можно выразить по-другому. Если уравнение приняло Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложениявид, значит система несовместна, то есть, не имеет решений. Рассмотрим на примере:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Для начала необходимо исключить неизвестную переменную Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияиз всех уравнений данной системы, начиная со второго уравнения. Для этого нужно прибавить к левой и правой частям второго, третьего, четвёртого уравнения части (левую и правую) первого уравнения, которые соответственно, умножаются на (-1), (-2), (-3). Получается:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

В третьем уравнении получилось равенство Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения. Оно не подходит ни для каких значений неизвестных переменных Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияи Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, и поэтому, у данной системы нет решений. То есть, говорится, что система не имеет решений.

3. Допустим, что при выполнении прямого хода методом Гаусса нам нужно исключить неизвестную переменную Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, и ранее, на каком-то этапе у нас уже исключалась вместе с переменной Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения. Как вы поступите в таком случае? При таком положении нам нужно перейти к исключению переменной Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения. Если же Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияуже исключались, тогда переходим к Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияи т. д.

Рассмотрим систему уравнений на таком этапе, когда уже исключилась переменная Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Такая система уравнений после преобразования выглядит так:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Вы наверное уже обратили внимание, что вместе с Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияисключились Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияи Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения. Поэтому решение методом Гаусса продолжаем исключением переменной Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияиз всех уравнений системы, а начнём мы с третьего уравнения:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Чтобы завершить уравнение прямым ходом метода Гаусса, необходимо исключить последнюю неизвестную переменную Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияиз последнего уравнения:

Допусти, что система уравнений стала:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

В этой системе нет ни одного уравнения, которое бы сводилось к Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения. В данном случае можно было бы говорить о несовместности системы. Дальше непонятно, что же делать? Выход есть всегда. Для начала нужно выписать все неизвестные, которые стоят на первом месте в системе:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

В нашем примере это Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияи Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения. В левой части системы оставим только неизвестные, которые выделены зелёным квадратом а в правую перенесём известные числа, но с противоположным знаком. Посмотрите на примере, как это выглядит:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Можно придать неизвестным переменным с правой части уравнений свободные (произвольные) значения: Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, где Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения– произвольные числа.

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Теперь в правых частях уравнений нашей системы имеются числа и можно приступать к обратному ходу решения методом Гаусса.

В последнем уравнении системы получилось: Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, и теперь мы легко найдём решение в предпоследнем уравнении: Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, а из первого уравнения получаем:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения= Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения=Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

В итоге, получился результат, который можно и записать.

Ответ

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения,

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения,

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения,

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения,

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения,

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.

Видео:Метод Гаусса и метод Жордана-Гаусса ➜ 2 метода за 7 минутСкачать

Метод Гаусса и метод Жордана-Гаусса ➜ 2 метода за 7 минут

Примеры решения методом Гаусса

Выше мы подробно расписали решение системы методом Гаусса. Чтобы закрепить материал, решим несколько примеров, в которых опять нам поможет метод Гаусса. Соответственно, начнём с самой простой системы.

Задача

Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Решение

Выписываем матрицу, куда добавляем столбец свободных членов:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Прежде всего мы смотрим на элемент, который находится в матрице в левом верхнем углу (первая строка, первый столбец). Для наглядности выделим цифру зелёным квадратом. На этом месте практически всегда стоит единица:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Так как Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложениямы должны использовать подходящее элементарное преобразование строк и сделать так, чтобы элемент, который находится в матрице под выделенной цифрой Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияпревратился в Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения. Для этого можно ко второй строке прибавить первую строку и умножить на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.Однако, не сильно хочется работать с дробями, поэтому давайте постараемся этого избежать. Для этого нужно вторую строку умножить на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения(разрешающий элемент данного шага).

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Соответственно, первая строка остаётся неизменной, а вторая поменяется:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Подбираем такое элементарное преобразование строк, чтобы во второй строке в первом столбце образовался Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения. Для этого первую строку нужно умножить на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияи только после этого ко второй строке прибавить изменённую после умножения на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложениявторую строку. Вот что получилось:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения. Теперь прибавляем со второй строки Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияпервую строку Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения. У нас получился Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, который записываем во вторую строку в первый столбец. Также решаем и остальные элементы матрицы. Вот что у нас получилось:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Как всегда у нас первая строка осталась без изменений, а вторая с новыми числами.

Итак, у нас получился ступенчатый вид матрицы:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Записываем новую систему уравнений:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Для проверки решаем систему обратным ходом. Для этого находим сначала Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Так как Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложениянайден, находим Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.

Подставляем в изначальную нашу систему уравнений найденные Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияи Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияи Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.

Как видите из решения, система уравнений решена верно. Запишем ответ.

Ответ

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Выше мы решали систему уравнений в двумя неизвестными, а теперь рассмотрим систему уравнений с тремя неизвестными.

Задача

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Решение

Составляем матрицу, куда вписываем и свободные члены:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Что нам надо? Чтобы вместо цифры 2 появился 0. Для этого подбираем ближайшее число. Например, можно взять цифру -2 и на неё перемножить все элементы первой строки. Значит, умножаем Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, а потом прибавляем, при этом задействуем вторую строку: Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения. В итоге у нас получился нуль, который записываем во вторую строку в первый столбец. Затем Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, и Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения. Аналогично, Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияи Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения. И умножаем свободный член Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения. Так и запишем следующую матрицу. Не забывайте, что первая строка остаётся без изменений:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Дальше необходимо проделать те же самые действия по отношению к третьей строке. То есть, первую строку нужно умножать не на (-2), а на цифру 3, так как и в третьей строке нужно коэффициенты привести у нулю. Также первую строку умножаем на 3 и прибавляем третью строку. Получается так:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Теперь нужно обнулить элемент 7, который стоит в третьей строке во втором столбце. Для этого выбираем цифру (-7) и проделываем те же действия. Однако, необходимо задействовать вторую строку. То есть, вторую строку умножаем на (-7) и прибавляем с третьей строкой. Итак, Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения. Записываем результат в третью строку. Такие же действия проделываем и с остальными элементами. Получается новая матрица:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

В результате получилась ступенчатая система уравнений:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Сначала находим Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения: Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения,

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.

Обратный ход:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Итак, уравнение системы решено верно.

Ответ

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения,

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения,

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.

Система с четырьмя неизвестными более сложная, так как в ней легко запутаться. Попробуем решить такую систему уравнений.

Задача

Решите систему уравнений методом Гаусса:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Решение

В уравнении Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, то есть Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения– ведущий член и пусть Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения≠ 0

Из данного уравнения составим расширенную матрицу:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Теперь нужно умножить последние три строки (вторую, третью и четвёртую) на: Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения. Затем прибавим полученный результат ко второй, третьей и четвёртой строкам исключаем переменную Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияиз каждой строки, начиная не с первой, а не со второй. Посмотрите, как изменилась наша новая матрица и в Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложениятеперь стоит 0.

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Поменяем вторую и третью строку местами и получим:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Получилось так, что Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения= Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияb и тогда, умножая вторую строку на (-7/4) и результат данной строки, прибавляя к четвёртой, можно исключить переменную Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияиз третьей и четвёртой строк:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Получилась такая матрица:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Также, учитывая, что Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения= Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, умножим третью строку на: 13,5/8 = 27/16, и, полученный результат прибавим к четвёртой, чтобы исключить переменную Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияи получаем новую систему уравнений:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Теперь необходимо решить уравнение обратным ходом и найдём из последнего, четвёртого уравнения Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения,

из третьего: Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения= Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения= Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения= Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

второе уравнение находим: Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения= Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения= Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения= 2,

из первого уравнения: Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения= Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.

Значит, решение системы такое: (1, 2, -1, -2).

Ответ

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения,

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения,

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения,

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.

Добавим ещё несколько примеров для закрепления материла, но без такого подробного описания, как предыдущие системы уравнений.

Задача

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Решение

Записываем расширенную матрицу системы:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Сначала смотрим на левое верхнее число:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Как выше уже было сказано, на этом месте должна стоять единица, но не обязательно. Производим такие действия: первую строку умножаем на -3, а потом ко второй строке прибавляем первую:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Производим следующие действия: первую строку умножаем на -1. Затем к третьей строки прибавляем вторую:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Теперь вторую строку умножаем на 1, а затем к третьей строке прибавляем вторую:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Получился ступенчатый вид уравнения:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения,

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения,

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения,

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения,

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.

Ответ

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения,

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения,

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.

Видео:Решение систем уравнений методом сложенияСкачать

Решение систем уравнений методом сложения

Заключение

Итак, вы видите, что метод Гаусса – интересный и простой способ решения систем линейных алгебраических уравнений. Путём элементарных преобразований нужно из системы исключать неизвестные переменные, чтобы систему превратить в ступенчатый вид. Данный метод удобен тем, что всегда можно проверить, правильно ли решено уравнение. Нужно просто подставить найденные неизвестные в изначальную систему уравнений.

Если элементы определителя не равняются нулю, тогда лучше обратиться к методу Крамера, а если же элементы нулевые, тогда такие системы очень удобно решать благодаря методу Гаусса.

Предлагаем ещё почитать учебники, в которых также описаны решения систем методом Гаусса.

Литература для общего развития:

Видео:Решение системы уравнений методом Гаусса 4x4Скачать

Решение системы уравнений методом Гаусса 4x4

Метода Гаусса: примеры решения СЛАУ

В данной статье мы:

  • дадим определение методу Гаусса,
  • разберем алгоритм действий при решении линейных уравнений, где количество уравнений совпадает c количеством неизвестных переменных, а определитель не равен нулю;
  • разберем алгоритм действий при решении СЛАУ с прямоугольной или вырожденной матрицей.

Видео:Система уравнений. Метод алгебраического сложенияСкачать

Система уравнений. Метод алгебраического сложения

Метод Гаусса — что это такое?

Метод Гаусса — это метод, который применяется при решении систем линейных алгебраических уравнений и имеет следующие преимущества:

  • отсутствует необходимость проверять систему уравнений на совместность;
  • есть возможность решать системы уравнений, где:
  • количество определителей совпадает с количеством неизвестных переменных;
  • количество определителей не совпадает с количеством неизвестных переменных;
  • определитель равен нулю.
  • результат выдается при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.

Основные определения и обозначения

Есть система из р линейных уравнений с n неизвестными ( p может быть равно n ):

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2 ⋯ a p 1 x 1 + a p 2 x 2 + . . . + a p n x n = b p ,

где x 1 , x 2 , . . . . , x n — неизвестные переменные, a i j , i = 1 , 2 . . . , p , j = 1 , 2 . . . , n — числа (действительные или комплексные), b 1 , b 2 , . . . , b n — свободные члены.

Если b 1 = b 2 = . . . = b n = 0 , то такую систему линейных уравнений называют однородной, если наоборот — неоднородной.

Решение СЛАУ — совокупность значения неизвестных переменных x 1 = a 1 , x 2 = a 2 , . . . , x n = a n , при которых все уравнения системы становятся тождественными друг другу.

Совместная СЛАУ — система, для которой существует хотя бы один вариант решения. В противном случае она называется несовместной.

Определенная СЛАУ — это такая система, которая имеет единственное решение. В случае, если решений больше одного, то такая система будет называться неопределенной.

Координатный вид записи:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2 ⋯ a p 1 x 1 + a p 2 x 2 + . . . + a p n x n = b p

Матричный вид записи: A X = B , где

A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a p 1 a p 2 ⋯ a p n — основная матрица СЛАУ;

X = x 1 x 2 ⋮ x n — матрица-столбец неизвестных переменных;

B = b 1 b 2 ⋮ b n — матрица свободных членов.

Расширенная матрица — матрица, которая получается при добавлении в качестве ( n + 1 ) столбца матрицу-столбец свободных членов и имеет обозначение Т .

T = a 11 a 12 ⋮ a 1 n b 1 a 21 a 22 ⋮ a 2 n b 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a p 1 a p 2 ⋮ a p n b n

Вырожденная квадратная матрица А — матрица, определитель которой равняется нулю. Если определитель не равен нулю, то такая матрица, а потом называется невырожденной.

Видео:Матричный метод решения систем уравненийСкачать

Матричный метод решения систем уравнений

Описание алгоритма использования метода Гаусса для решения СЛАУ с равным количеством уравнений и неизвестных (обратный и прямой ход метода Гаусса)

Для начала разберемся с определениями прямого и обратного ходов метода Гаусса.

Прямой ход Гаусса — процесс последовательного исключения неизвестных.

Обратный ход Гаусса — процесс последовательного нахождения неизвестных от последнего уравнения к первому.

Алгоритм метода Гаусса:

Решаем систему из n линейных уравнений с n неизвестными переменными:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + . . . + a 2 n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + . . . + a 3 n x n = b 3 ⋯ a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + a n 3 x 3 + . . . + a n n x n = b n

Определитель матрицы не равен нулю.

  1. a 11 не равен нулю — всегда можно добиться этого перестановкой уравнений системы;
  2. исключаем переменную x 1 из всех уравнений систему, начиная со второго;
  3. прибавим ко второму уравнению системы первое, которое умножено на — a 21 a 11 , прибавим к третьему уравнению первое умноженное на — a 21 a 11 и т.д.

После проведенных действий матрица примет вид:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a ( 1 ) 22 x 2 + a ( 1 ) 23 x 3 + . . . + a ( 1 ) 2 n x n = b ( 1 ) 2 a ( 1 ) 32 x 2 + a ( 1 ) 33 x 3 + . . . + a ( 1 ) 3 n x n = b ( 1 ) 3 ⋯ a ( 1 ) n 2 x 2 + a ( 1 ) n 3 x 3 + . . . + a ( 1 ) n n x n = b ( 1 ) n ,

где a i j ( 1 ) = a i j + a 1 j ( — a i 1 a 11 ) , i = 2 , 3 , . . . , n , j = 2 , 3 , . . . , n , b i ( 1 ) = b i + b 1 ( — a i 1 a 11 ) , i = 2 , 3 , . . . , n .

Далее производим аналогичные действия с выделенной частью системы:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a ( 1 ) 22 x 2 + a ( 1 ) 23 x 3 + . . . + a ( 1 ) 2 n x n = b ( 1 ) 2 a ( 1 ) 32 x 2 + a ( 1 ) 33 x 3 + . . . + a ( 1 ) 3 n x n = b ( 1 ) 3 ⋯ a ( 1 ) n 2 x 2 + a ( 1 ) n 3 x 3 + . . . + a ( 1 ) n n x n = b ( 1 ) n

Считается, что a 22 ( 1 ) не равна нулю. Таким образом, приступаем к исключению неизвестной переменной x 2 из всех уравнений, начиная с третьего:

  • к третьему уравнению систему прибавляем второе, которое умножено на — a ( 1 ) 42 a ( 1 ) 22 ;
  • к четвертому прибавляем второе, которое умножено на — a ( 1 ) 42 a ( 1 ) 22 и т.д.

После таких манипуляций СЛАУ имеет следующий вид:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a ( 1 ) 22 x 2 + a ( 1 ) 23 x 3 + . . . + a ( 1 ) 2 n x n = b ( 1 ) 2 a ( 2 ) 33 x 3 + . . . + a ( 2 ) 3 n x n = b ( 2 ) 3 ⋯ a ( 2 ) n 3 x 3 + . . . + a ( 2 ) n n x n = b ( 2 ) n ,

где a i j ( 2 ) = a ( 1 ) i j + a 2 j ( — a ( 1 ) i 2 a ( 1 ) 22 ) , i = 3 , 4 , . . . , n , j = 3 , 4 , . . . , n , b i ( 2 ) = b ( 1 ) i + b ( 1 ) 2 ( — a ( 1 ) i 2 a ( 1 ) 22 ) , i = 3 , 4 , . . . , n . .

Таким образом, переменная x 2 исключена из всех уравнений, начиная с третьего.

Далее приступаем к исключению неизвестной x 3 , действуя по аналоги с предыдущим образцом:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a ( 1 ) 22 x 2 + a ( 1 ) 23 x 3 + . . . + a ( 1 ) 2 n x n = b ( 1 ) 2 a ( 2 ) 33 x 3 + . . . + a ( 2 ) 3 n x n = b ( 2 ) 3 ⋯ a ( n — 1 ) n n x n = b ( n — 1 ) n

После того как система приняла такой вид, можно начать обратный ход метода Гаусса:

  • вычисляем x n из последнего уравнения как x n = b n ( n — 1 ) a n n ( n — 1 ) ;
  • с помощью полученного x n находим x n — 1 из предпоследнего уравнения и т.д., находим x 1 из первого уравнения.

Найти решение системы уравнений методом Гаусса:

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 x 1 — x 2 + 4 x 3 — x 4 = — 1 — 2 x 1 — 2 x 2 — 3 x 3 + x 4 = 9 x 1 + 5 x 2 — x 3 + 2 x 4 = 4

Коэффициент a 11 отличен от нуля, поэтому приступаем к прямому ходу решения, т.е. к исключению переменной x 11 из всех уравнений системы, кроме первого. Для того, чтобы это сделать, прибавляем к левой и правой частям 2-го, 3-го и 4-го уравнений левую и правую часть первого, которая умножена на — a 21 a 11 :

— 1 3 , — а 31 а 11 = — — 2 3 = 2 3 и — а 41 а 11 = — 1 3 .

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 x 1 — x 2 + 4 x 3 — x 4 = — 1 — 2 x 1 — 2 x 2 — 3 x 3 + x 4 = 9 x 1 + 5 x 2 — x 3 + 2 x 4 = 4 ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 x 1 — x 2 + 4 x 3 — x 4 + ( — 1 3 ) ( 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 ) = — 1 + ( — 1 3 ) ( — 2 ) — 2 x 1 — 2 x 2 — 3 x 3 + x 4 + 2 3 ( 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 ) = 9 + 2 3 ( — 2 ) x 1 + 5 x 2 — x 3 + 2 x 4 + ( — 1 3 ) ( 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 ) = 4 + ( — 1 3 ) ( — 2 ) ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 2 3 x 2 — 7 3 x 3 + 5 3 x 4 = 23 3 13 3 x 2 — 4 3 x 3 + 5 3 x 4 = 14 3

Мы исключили неизвестную переменную x 1 , теперь приступаем к исключению переменной x 2 :

— a 32 ( 1 ) a 22 ( 1 ) = — — 2 3 — 5 3 = — 2 5 и а 42 ( 1 ) а 22 ( 1 ) = — 13 3 — 5 3 = 13 5 :

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 2 3 x 2 — 7 3 x 3 + 5 3 x 4 = 23 3 13 3 x 2 — 4 3 x 3 + 5 3 x 4 = 14 3 ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 2 3 x 2 — 7 3 x 3 + 5 3 x 4 + ( — 2 5 ) ( — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 ) = 23 3 + ( — 2 5 ) ( — 1 3 ) 13 3 x 2 — 4 3 x 3 + 5 3 x 4 + 13 5 ( — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 ) = 14 3 + 13 5 ( — 1 3 ) ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 = 39 5 41 5 x 3 — 9 5 x 4 = 19 5

Для того чтобы завершить прямой ход метода Гаусса, необходимо исключить x 3 из последнего уравнения системы — а 43 ( 2 ) а 33 ( 2 ) = — 41 5 — 19 5 = 41 19 :

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 = 39 5 41 5 x 3 — 9 5 x 4 = 19 5 ⇔

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 = 39 5 41 5 x 3 — 9 5 x 4 + 41 19 ( — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 ) = 19 5 + 41 19 39 5 ⇔

⇔ 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 — 5 3 x 2 + 11 3 x 3 — 4 3 x 4 = — 1 3 — 19 5 x 3 + 11 5 x 4 = 39 5 56 19 x 4 = 392 19

Обратный ход метода Гаусса:

  • из последнего уравнения имеем: x 4 = 392 19 56 19 = 7 ;
  • из 3-го уравнения получаем: x 3 = — 5 19 ( 39 5 — 11 5 x 4 ) = — 5 19 ( 39 5 — 11 5 × 7 ) = 38 19 = 2 ;
  • из 2-го: x 2 = — 3 5 ( — 1 3 — 11 3 x 4 + 4 3 x 4 ) = — 3 5 ( — 1 3 — 11 3 × 2 + 4 3 × 7 ) = — 1 ;
  • из 1-го: x 1 = 1 3 ( — 2 — 2 x 2 — x 3 — x 4 ) = — 2 — 2 × ( — 1 ) — 2 — 7 3 = — 9 3 = — 3 .

Ответ: x 1 = — 3 ; x 2 = — 1 ; x 3 = 2 ; x 4 = 7

Найти решение этого же примера методом Гаусса в матричной форме записи:

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = — 2 x 1 — x 2 + 4 x 3 — x 4 = — 1 — 2 x 1 — 2 x 2 — 3 x 3 + x 4 = 9 x 1 + 5 x 2 — x 3 + 2 x 4 = 4

Расширенная матрица системы представлена в виде:

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 1 — 1 4 — 1 — 2 — 2 — 3 1 1 5 — 1 2 — 2 — 1 9 4

Прямой ход метода Гаусса в данном случае предполагает приведение расширенной матрицы к трапецеидальному виду при помощи элементарных преобразований. Этот процесс очень поход на процесс исключения неизвестных переменных в координатном виде.

Преобразование матрицы начинается с превращения всех элементов нулевые. Для этого к элементам 2-ой, 3-ей и 4-ой строк прибавляем соответствующие элементы 1-ой строки, которые умножены на — a 21 a 11 = — 1 3 , — a 31 a 11 = — — 2 3 = 2 3 и н а — а 41 а 11 = — 1 3 .

Дальнейшие преобразования происходит по такой схеме: все элементы во 2-ом столбце, начиная с 3-ей строки, становятся нулевыми. Такой процесс соответствует процессу исключения переменной . Для того, чтобы выполнить этой действие, необходимо к элементам 3-ей и 4-ой строк прибавить соответствующие элементы 1-ой строки матрицы, которая умножена на — а 32 ( 1 ) а 22 ( 1 ) = — 2 3 — 5 3 = — 2 5 и — а 42 ( 1 ) а 22 ( 1 ) = — 13 3 — 5 3 = 13 5 :

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 — 2 3 — 7 3 5 3 | 23 3 0 13 3 — 4 3 5 3 | 14 3

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 — 2 3 + ( — 2 5 ) ( — 5 3 ) — 7 3 + ( — 2 5 ) 11 3 5 3 + ( — 2 5 ) ( — 4 3 ) | 23 3 + ( — 2 5 ) ( — 1 3 ) 0 13 3 + 13 5 ( — 5 3 ) — 4 3 + 13 5 × 11 3 5 3 + 13 5 ( — 4 3 ) | 14 3 + 13 5 ( — 1 3 )

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 41 5 — 9 5 | 19 5

Теперь исключаем переменную x 3 из последнего уравнения — прибавляем к элементам последней строки матрицы соответствующие элементы последней строки, которая умножена на а 43 ( 2 ) а 33 ( 2 ) = — 41 5 — 19 5 = 41 19 .

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 41 5 — 9 5 | 19 5

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 41 5 + 41 19 ( — 19 5 ) — 9 5 + 41 19 × 11 5 | 19 5 + 41 19 × 39 5

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 0 56 19 | 392 19

Теперь применим обратных ход метода. В матричной форме записи такое преобразование матрицы, чтобы матрица, которая отмечена цветом на изображении:

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 0 56 19 | 392 19

стала диагональной, т.е. приняла следующий вид:

x 1 x 2 x 3 x 4 3 0 0 0 | а 1 0 — 5 3 0 0 | а 2 0 0 — 19 5 0 | а 3 0 0 0 56 19 | 392 19 , где а 1 , а 2 , а 3 — некоторые числа.

Такие преобразования выступают аналогом прямому ходу, только преобразования выполняются не от 1-ой строки уравнения, а от последней. Прибавляем к элементам 3-ей, 2-ой и 1-ой строк соответствующие элементы последней строки, которая умножена на

— 11 5 56 19 = — 209 280 , н а — — 4 3 56 19 = 19 42 и н а — 1 56 19 = 19 56 .

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 1 | — 2 0 — 5 3 11 3 — 4 3 | — 1 3 0 0 — 19 5 11 5 | 39 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 1 + ( — 19 56 ) 56 19 | — 2 + ( — 19 56 ) 392 19 0 — 5 3 11 3 — 4 3 + 19 42 × 56 19 | — 1 3 + 19 42 × 392 19 0 0 — 19 5 11 5 + ( — 209 280 ) 56 19 | 39 5 + ( — 209 280 ) 392 19 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 0 | — 9 0 — 5 3 11 3 0 | 9 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

Далее прибавляем к элементам 2-ой и 1-ой строк соответствующие элементы 3-ей строки, которые умножены на

— 11 3 — 19 5 = 55 57 и н а — 1 — 19 5 = 5 19 .

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 0 | — 9 0 — 5 3 11 3 0 | 9 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 + 5 19 ( — 19 5 ) 0 | — 9 + 5 19 ( — 38 5 ) 0 — 5 3 11 3 + 55 57 ( — 19 5 ) 0 | 9 + 55 57 ( — 38 5 ) 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 1 0 | — 11 0 — 5 3 0 0 | 5 3 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

На последнем этапе прибавляем элементы 2-ой строки к соответствующим элементам 1-ой строки, которые умножены на — 2 — 5 3 = 6 5 .

x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 1 0 | — 11 0 — 5 3 0 0 | 5 3 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 2 + 6 5 ( — 5 3 ) 0 0 | — 11 + 6 5 × 5 3 ) 0 — 5 3 0 0 | 5 3 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

x 1 x 2 x 3 x 4

3 0 0 0 | — 9 0 — 5 3 0 0 | 5 3 0 0 — 19 5 0 | — 38 5 0 0 0 56 19 | 392 19

Полученная матрица соответствует системе уравнений

3 x 1 = — 9 — 5 3 x 2 = 5 3 — 19 5 x 3 = — 38 5 56 19 x 4 = 392 19 , откуда находим неизвестные переменные.

Ответ: x 1 = — 3 , x 2 = — 1 , x 3 = 2 , x 4 = 7 . ​​​

Видео:Неоднородная система линейных уравненийСкачать

Неоднородная система линейных уравнений

Описание алгоритма использования метода Гаусса для решения СЛАУ с несовпадающим количеством уравнений и неизвестных, или с вырожденной системой матрицы

Если основная матрица квадратная или прямоугольная, то системы уравнений могут иметь единственное решение, могут не иметь решений, а могут иметь бесконечное множество решений.

Из данного раздела мы узнаем, как с помощью метода Гаусса определить совместность или несовместность СЛАУ, а также, в случае совместности, определить количество решений для системы.

В принципе, метод исключения неизвестных при таких СЛАУ остается таким же, однако есть несколько моментов, на которых необходимо заострить внимание.

На некоторых этапах исключения неизвестных, некоторые уравнения обращаются в тождества 0=0. В таком случае, уравнения можно смело убрать из системы и продолжить прямой ход метода Гаусса.

Если мы исключаем из 2-го и 3-го уравнения x 1 , то ситуация оказывается следующей:

x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 = 7 2 x 1 + 4 x 2 — 2 x 3 + 6 x 4 = 14 x — x + 3 x + x = — 1 ⇔

x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 = 7 2 x 1 + 4 x 2 — 2 x 3 + 6 x 4 + ( — 2 ) ( x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 ) = 14 + ( — 2 ) × 7 x — x + 3 x + x + ( — 1 ) ( x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 ) = — 1 + ( — 1 ) × 7 ⇔

⇔ x 1 + 2 x 2 — x 3 + 3 x 4 = 7 0 = 0 — 3 x 2 + 4 x 3 — 2 x 4 = — 8

Из этого следует, что 2-ое уравнение можно смело удалять из системы и продолжать решение.

Если мы проводим прямой ход метода Гаусса, то одно или несколько уравнений может принять вид — некоторое число, которое отлично от нуля.

Это свидетельствует о том, что уравнение, обратившееся в равенство 0 = λ , не может обратиться в равенство ни при каких любых значениях переменных. Проще говоря, такая система несовместна (не имеет решения).

  • В случае если при проведении прямого хода метода Гаусса одно или несколько уравнений принимают вид 0 = λ , где λ — некоторое число, которое отлично от нуля, то система несовместна.
  • Если же в конце прямого хода метода Гаусса получается система, число уравнений которой совпадает с количеством неизвестных, то такая система совместна и определена: имеет единственное решение, которое вычисляется обратным ходом метода Гаусса.
  • Если при завершении прямого хода метода Гаусса число уравнений в системе оказывается меньше количества неизвестных, то такая система совместна и имеет бесконечно количество решений, которые вычисляются при обратном ходе метода Гаусса.

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvy

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Видео:Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать

Система линейных уравнений.  Общее решение. Метод Гаусса

Понятие метода Гаусса

Чтобы сразу же понять суть метода Гаусса, остановите ненадолго взгляд на анимации ниже. Почему одни буквы постепенно исчезают, другие окрашиваются в зелёный цвет, то есть становятся известными, а числа сменяются другими числами? Подсказка: из последнего уравнения совершенно точно известно, чему равна переменная z .

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Догадались? В такой системе, называемой трапециевидной, последнее уравнение содержит только одну переменную и её значение можно однозначно найти. Затем значение этой переменной подставляют в предыдущее уравнение (обратный ход метода Гаусса, далее — просто обратный ход), из которого находят предыдущую переменную, и так далее.

Метод Гаусса, называемый также методом последовательного исключения неизвестных, состоит в следующем. При помощи элементарных преобразований систему линейных уравнений приводят к такому виду, чтобы её матрица из коэффициентов оказалась трапециевидной (то же самое, что треугольной или ступенчатой) или близкой к трапециевидной (прямой ход метода Гаусса, далее — просто прямой ход). Пример такой системы и её решения как раз и был приведён на анимации в начале урока.

В трапециевидной (треугольной) системе, как видим, третье уравнение уже не содержит переменных y и x , а второе уравнение — переменной x .

После того, как матрица системы приняла трапециевидную форму, уже не представляет труда разобраться в вопросе о совместности системы, определить число решений и найти сами решения.

У студентов наибольшие трудности вызывает именно прямой ход, то есть приведение исходной системы к трапециевидной. И это несмотря на то, что преобразования, которые необходимы для этого, называются элементарными. И называются неслучайно: в них требуется производить умножение (деление), сложение (вычитание) и перемену уравнений местами.

Преимущества метода:

  1. при решении систем линейных уравнений с числом уравнений и неизвестных более трёх метод Гаусса не такой громоздкий, как метод Крамера, поскольку при решении методом Гаусса необходимо меньше вычислений;
  2. методом Гаусса можно решать неопределённые системы линейных уравнений, то есть, имеющие общее решение (и мы разберём их на этом уроке), а, используя метод Крамера, можно лишь констатировать, что система неопределённа;
  3. можно решать системы линейных уравнений, в которых число неизвестных не равно числу уравнений (также разберём их на этом уроке);
  4. метод основан на элементарных (школьных) методах — методе подстановки неизвестных и методе сложения уравнений, которых мы коснулись в соответствующей статье.

Кроме того, метод Гаусса является основой одного из методов нахождения обратной матрицы.

Чтобы все прониклись простотой, с которой решаются трапециевидные (треугольные, ступенчатые) системы линейных уравнений, приведём решение такой системы с применением обратного хода. Быстрое решение этой системы было показано на картинке в начале урока.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений, применяя обратный ход:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Решение. В данной трапециевидной системе переменная z однозначно находится из третьего уравнения. Подставляем её значение во второе уравнение и получаем значение переменой y:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Теперь нам известны значения уже двух переменных — z и y. Подставляем их в первое уравнение и получаем значение переменной x:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Из предыдущих шагов выписываем решение системы уравнений:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Чтобы получить такую трапециевидную систему линейных уравнений, которую мы решили очень просто, требуется применять прямой ход, связанный с элементарными преобразованиями системы линейных уравнений. Это также не очень сложно.

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера 2x2Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера 2x2

Элементарные преобразования системы линейных уравнений

Повторяя школьный метод алгебраического сложения уравнений системы, мы выяснили, что к одному из уравнений системы можно прибавлять другое уравнение системы, причём каждое из уравнений может быть умножено на некоторые числа. В результате получаем систему линейных уравнений, эквивалентную данной. В ней уже одно уравнение содержало только одну переменную, подставляя значение которой в другие уравнений, мы приходим к решению. Такое сложение — один из видов элементарного преобразования системы. При использовании метода Гаусса можем пользоваться несколькими видами преобразований.

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

На анимации выше показано, как система уравнений постепенно превращается в трапециевидную. То есть такую, которую вы видели на самой первой анимации и сами убедились в том, что из неё просто найти значения всех неизвестных. О том, как выполнить такое превращение и, конечно, примеры, пойдёт речь далее.

При решении систем линейных уравнений с любым числом уравнений и неизвестных в системе уравнений и в расширенной матрице системы можно:

  1. переставлять местами строки (это и было упомянуто в самом начале этой статьи);
  2. если в результате других преобразований появились равные или пропорциональные строки, их можно удалить, кроме одной;
  3. удалять «нулевые» строки, где все коэффициенты равны нулю;
  4. любую строку умножать или делить на некоторое число;
  5. к любой строке прибавлять другую строку, умноженное на некоторое число.

В результате преобразований получаем систему линейных уравнений, эквивалентную данной.

Видео:МЕТОД ГАУССА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

МЕТОД ГАУССА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Алгоритм и примеры решения методом Гаусса системы линейных уравнений с квадратной матрицей системы

Рассмотрим сначала решение систем линейных уравений, в которых число неизвестных равно числу уравнений. Матрица такой системы — квадратная, то есть в ней число строк равно числу столбцов.

Пример 2. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Решая системы линейных уравнений школьными способами, мы почленно умножали одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами. При сложении уравнений происходит исключение этой переменной. Аналогично действует и метод Гаусса.

Для упрощения внешнего вида решения составим расширенную матрицу системы:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

В этой матрице слева до вертикальной черты расположены коэффициенты при неизвестных, а справа после вертикальной черты — свободные члены.

Для удобства деления коэффициентов при переменных (чтобы получить деление на единицу) переставим местами первую и вторую строки матрицы системы. Получим систему, эквивалентную данной, так как в системе линейных уравнений можно переставлять местами уравнения:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

С помощью нового первого уравнения исключим переменную x из второго и всех последующих уравнений. Для этого ко второй строке матрицы прибавим первую строку, умноженную на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения(в нашем случае на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения), к третьей строке – первую строку, умноженную на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения(в нашем случае на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения).

Это возможно, так как Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям первую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.

В результате получим матрицу эквивалентную данной системе новой системы уравнений, в которой все уравнения, начиная со второго не содержат переменнную x:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Для упрощения второй строки полученной системы умножим её на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияи получим вновь матрицу системы уравнений, эквивалентной данной системе:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Теперь, сохраняя первое уравнение полученной системы без изменений, с помощью второго уравнения исключаем переменную y из всех последующих уравнений. Для этого к третьей строке матрицы системы прибавим вторую строку, умноженную на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения(в нашем случае на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения).

Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям вторую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.

В результате вновь получим матрицу системы, эквивалентной данной системе линейных уравнений:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Мы получили эквивалентную данной трапециевидную систему линейных уравнений:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Если число уравнений и переменных больше, чем в нашем примере, то процесс последовательного исключения переменных продолжается до тех пор, пока матрица системы не станет трапециевидной, как в нашем демо-примере.

Решение найдём «с конца» — обратный ход. Для этого из последнего уравнения определим z:
Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.
Подставив это значение в предшествующее уравнение, найдём y:
Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Из первого уравнения найдём x: Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Ответ: решение данной системы уравнений — Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.

Проверить решение системы можно и на калькуляторе, решающем методом Крамера: в этом случае будет выдан тот же ответ, если система имеет однозначное решение. Если же система имеет бесконечное множество решений, то таков будет и ответ, и это уже предмет пятой части этого урока.

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 3. Решить систему линейных уравнений:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Перед нами вновь пример совместной и определённой системы линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных. Отличие от нашего демо-примера из алгоритма — здесь уже четыре уравнения и четыре неизвестных.

Пример 4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Решение. Составляем расширенную матрицу системы. С помощью первого уравнения исключаем из последующих уравнений переменную Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения. Для этого ко второй строке прибавляем первую, умноженную на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, к третьей строке — первую, умноженную на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, к четвёртой — первую, умноженную на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияиз последующих уравнений. Проведём подготовительные работы. Чтобы было удобнее с отношением коэффициентов, нужно получить единицу в во втором столбце второй строки. Для этого из второй строки вычтем третью, а полученную в результате вторую строку умножим на -1.

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Проведём теперь собственно исключение переменной Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияиз третьего и четвёртого уравнений. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, а к четвёртой — вторую, умноженную на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияиз четвёртого уравнения. Для этого к четвёртой строке прибавим третью, умноженную на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения. Получаем расширенную матрицу трапециевидной формы.

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Получили систему уравнений, которой эквивалентна заданная система:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Следовательно, полученная и данная системы являются совместными и определёнными. Окончательное решение находим «с конца». Из четвёртого уравнения непосредственно можем выразить значение переменной «икс четвёртое»:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.

Это значение подставляем в третье уравнение системы и получаем

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения,

откуда находим «икс третье»:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.

Далее, подставляем значения Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияи Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияво второе уравнение системы:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения,

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.

Наконец, подстановка значений

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияв первое уравнение даёт

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения,

откуда находим «икс первое»:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.

Ответ: данная система уравнений имеет единственное решение Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.

Проверить решение системы можно и на калькуляторе, решающем методом Крамера: в этом случае будет выдан тот же ответ, если система имеет однозначное решение.

Видео:Общее, частное, базисное решение системы линейных уравнений Метод ГауссаСкачать

Общее, частное, базисное решение системы линейных уравнений Метод Гаусса

Решение методом Гаусса прикладных задач на примере задачи на сплавы

Системы линейных уравнений применяются для моделирования реальных объектов физического мира. Решим одну из таких задач — на сплавы. Аналогичные задачи — задачи на смеси, стоимость или удельный вес отдельных товаров в группе товаров и тому подобные.

Пример 5. Три куска сплава имеют общую массу 150 кг. Первый сплав содержит 60% меди, второй — 30%, третий — 10%. При этом во втором и третьем сплавах вместе взятых меди на 28,4 кг меньше, чем в первом сплаве, а в третьем сплаве меди на 6,2 кг меньше, чем во втором. Найти массу каждого куска сплава.

Решение. Составляем систему линейных уравнений:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Умножаем второе и третье уравнения на 10, получаем эквивалентную систему линейных уравнений:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Составляем расширенную матрицу системы:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Внимание, прямой ход. Путём сложения (в нашем случае — вычитания) одной строки, умноженной на число (применяем два раза) с расширенной матрицей системы происходят следующие преобразования:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Прямой ход завершился. Получили расширенную матрицу трапециевидной формы.

Применяем обратный ход. Находим решение с конца. Видим, что Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.

Из второго уравнения находим

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения,

Из третьего уравнения —

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.

Проверить решение системы можно и на калькуляторе, решающем методом Крамера: в этом случае будет выдан то же ответ, если система имеет однозначное решение.

О простоте метода Гаусса говорит хотя бы тот факт, что немецкому математику Карлу Фридриху Гауссу на его изобретение потребовалось лишь 15 минут. Кроме метода его имени из творчества Гаусса известно изречение «Не следует смешивать то, что нам кажется невероятным и неестественным, с абсолютно невозможным» — своего рода краткая инструкция по совершению открытий.

Во многих прикладных задачах может и не быть третьего ограничения, то есть, третьего уравнения, тогда приходится решать методом Гаусса систему двух уравнений с тремя неизвестными, или же, наоборот — неизвестных меньше, чем уравнений. К решению таких систем уравнений мы сейчас и приступим.

С помощью метода Гаусса можно установить, совместна или несовместна любая система n линейных уравнений с n переменными.

Видео:Как решить систему уравнений методом Гаусса? Просто с лидеромСкачать

Как решить систему уравнений методом Гаусса? Просто с лидером

Метод Гаусса и системы линейных уравнений, имеющие бесконечное множество решений

Следующий пример — совместная, но неопределённая система линейных уравнений, то есть имеющая бесконечное множество решений.

После выполнения преобразований в расширенной матрице системы (перестановки строк, умножения и деления строк на некоторое число, прибавлению к одной строке другой) могли появиться строки вида

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения,

соответствующие уравнению вида

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Если во всех уравнениях имеющих вид

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

свободные члены равны нулю, то это означает, что система неопределённа, то есть имеет бесконечное множество решений, а уравнения этого вида – «лишние» и их исключаем из системы.

Пример 6. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Решение. Составим расширенную матрицу системы. Затем с помощью первого уравнения исключим переменную Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияиз последующих уравнений. Для этого ко второй, третьей и четвёртой строкам прибавим первую, умноженную соответственно на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Теперь вторую строку прибавим к третьей и четвёртой.

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

В результате приходим к системе

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Последние два уравнения превратились в уравнения вида Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения. Эти уравнения удовлетворяются при любых значениях неизвестных и их можно отбросить.

Чтобы удовлетворить второму уравнению, мы можем для Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияи Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложениявыбрать произвольные значения Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, тогда значение для Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияопределится уже однозначно: Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения. Из первого уравнения значение для Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложениятакже находится однозначно: Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.

Как заданная, так и последняя системы совместны, но неопределённы, и формулы

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

при произвольных Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияи Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложениядают нам все решения заданной системы.

Видео:Метод Гаусса решения систем линейных уравненийСкачать

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Метод Гаусса и системы линейных уравнений, не имеющие решений

Следующий пример — несовместная система линейных уравнений, то есть не имеющая решений. Ответ на такие задачи так и формулируется: система не имеет решений.

Как уже говорилось в связи с первым примером, после выполнения преобразований в расширенной матрице системы могли появиться строки вида

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения,

соответствующие уравнению вида

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения
Если среди них есть хотя бы одно уравнение с отличным от нуля свободным членом (т.е. Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения), то данная система уравнений является несовместной, то есть не имеет решений и на этом её решение закончено.

Пример 7. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Решение. Составляем расширенную матрицу системы. С помощью первого уравнения исключаем из последующих уравнений переменную Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения. Для этого ко второй строке прибавляем первую, умноженную на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, к третьей строке — первую, умноженную на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, к четвёртой — первую, умноженную на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияиз последующих уравнений. Чтобы получить целые отношения коэффициентов, поменяем местами вторую и третью строки расширенной матрицы системы.

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Для исключения Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияиз третьего и четвёртого уравнения к третьей строке прибавим вторую, умноженную на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, а к четвёртой — вторую, умноженную на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияиз четвёртого уравнения. Для этого к четвёртой строке прибавим третью, умноженную на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Полученная система несовместна, так как её последнее уравнение Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияне может быть удовлетворено никакими значениями неизвестных. Следовательно, данная система не имеет решений.

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 8. Решить систему линейных уравнений:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Видео:6 способов в одном видеоСкачать

6 способов в одном видео

Метод Гаусса и системы, в которых число неизвестных меньше числа уравнений

Следующий пример — система линейных уравнений, в которой число неизвестных меньше числа уравнений.

Пример 9. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Решение. Составляем расширенную матрицу системы. С помощью первого уравнения исключаем из последующих уравнений переменную Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения. Для этого ко второй строке прибавляем первую, умноженную на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, к третьей строке — первую, умноженную на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, к четвёртой — первую, умноженную на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения. Далее новые вторую, третью и четвёртую строки умножаем на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияиз последующих уравнений. Проведём подготовительные работы. Чтобы было удобнее с отношением коэффициентов, нужно получить единицу в во втором столбце второй строки. Для этого четвёртую строку умножаем на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, а полученную в результате четвёртую строку меняем местами со второй строкой.

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Проведём теперь исключение переменной Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияиз третьего и четвёртого уравнений. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, а к четвёртой — вторую, умноженную на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Четвёртая и третья строки — одинаковые, поэтому четвёртую исключаем из матрицы. А третью умножаем на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Получили следующую систему уравнений, которой эквивалентна заданная система:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияи Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияизвестны, а Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложениянаходим из первого уравнения:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.

Ответ: данная система уравнений имеет единственное решение (1; 1; 1).

Метод Гаусса и системы, в которых число неизвестных больше числа уравнений

Следующий пример — система линейных уравнений, в которой число неизвестных больше числа уравнений.

Если при выполнении преобразований в расширенной матрице системы встретилось хотя бы одно уравнение вида

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения(*)

с равным нулю свободным членом, то в итоге получим эквивалентную исходной системе систему линейных уравнений, в которой число уравнений меньше числа переменных, а уравнения вида (*) удовлетворяются при любых значениях неизвестных. Их можно отбросить.

Неизвестным, которые удовлетворяли уравнению вида 0 = 0, например, третьему и четвёртому (*, отброшенным уравнениям), придадим произвольные значения (пример 2). Они чаще всего записываются так: Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения. Подставляя эти значения в остальные уравнения, не имеющие вида (*), например, первое и второе, получаем формулы, дающие нам значения остальных неизвестных. В них можно подставлять любые численные значения Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияи Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения. Следовательно, существует бесконечное множество выбора значений этих неизвестных, поэтому полученная система уравнений является неопределённой. В этом случае неопределённой является и исходная система.

Пример 10. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Решение. Составляем расширенную матрицу системы. Далее ко второй строке прибавляем первую, умноженную на Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

В ней отсутствуют уравнения, дающие однозначные значения для Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияи Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения. Это равносильно появлению уравнений вида Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения, которые можно отбросить. Мы можем для Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияи Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложениявыбрать произвольные значения Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения. Из первого уравнения значение для Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложениянаходится однозначно: Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения.

Как заданная, так и последняя системы совместны, но неопределённы, и формулы

Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложения

при произвольных Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложенияи Метод гаусса решения систем линейных уравнений предполагает использование алгебраического сложениядают нам все решения заданной системы.

Поделиться или сохранить к себе: