Метод галеркина для уравнений в частных производных

Видео:Метод конечных элементов. Основы 1.1.3 - Метод ГалеркинаСкачать

Метод конечных элементов. Основы 1.1.3 - Метод Галеркина

Метод галеркина для решения краевых задач

Метод Галеркина используется для приближенного решения краевых задач для дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных.

Рассмотрим краевую задачу

Метод галеркина для уравнений в частных производных(3.1)

Для ее приближенного решения выберем какую-либо последовательность базисных функций

Метод галеркина для уравнений в частных производных(3.2)

т. е. последовательность функций, удовлетворяющих соответствующим однородным краевым условиям

Метод галеркина для уравнений в частных производныхМетод галеркина для уравнений в частных производных

и обладающих свойством полноты. Последнее означает, что любую функцию из достаточно широкого класса, удовлетворяющую указанным однородным краевым условиям, можно разложить в ряд по функциям (3.2).

Чаще всего полагают

Метод галеркина для уравнений в частных производныхили Метод галеркина для уравнений в частных производных, Метод галеркина для уравнений в частных производных.

Кроме того, надо выбрать какую-нибудь функцию Метод галеркина для уравнений в частных производных, удовлетворяющую краевым условиям, указанным в (3.1), например,

Метод галеркина для уравнений в частных производныхили Метод галеркина для уравнений в частных производных

Приближенное решение задачи (3.1) ищется в виде

Метод галеркина для уравнений в частных производных, (3.3)

где функции Метод галеркина для уравнений в частных производных, Метод галеркина для уравнений в частных производных, … Метод галеркина для уравнений в частных производныхмы задаем, а постоянные Метод галеркина для уравнений в частных производных, Метод галеркина для уравнений в частных производных, … , Метод галеркина для уравнений в частных производныхподбираем. Тогда краевые условия, указанные в (3.1), заведомо удовлетворяются, а при подстановке выражения (3.3) в дифференциальное уравнение получается невязка (т. е. разность между левой и правой частями уравнения)

Метод галеркина для уравнений в частных производных.

С ее помощью получаем систему из Метод галеркина для уравнений в частных производныхуравнений с Метод галеркина для уравнений в частных производныхнеизвестными для определения Метод галеркина для уравнений в частных производных

Метод галеркина для уравнений в частных производныхМетод галеркина для уравнений в частных производных.

3.2. Реализация метода Галеркина в|посредством| MathCad

Пример. Найти методом Галеркина приближенное решение краевой задачи

Метод галеркина для уравнений в частных производных

Метод галеркина для уравнений в частных производных, Метод галеркина для уравнений в частных производных.

Приведем решение краевой задачи с помощью|посредством| программного комплекса MathCad:

Метод галеркина для уравнений в частных производных

Метод галеркина для уравнений в частных производных

Метод галеркина для уравнений в частных производных

Метод галеркина для уравнений в частных производных

Сравним, значения точного и приближенного решений:

Метод галеркина для уравнений в частных производных

например, при Метод галеркина для уравнений в частных производныхимеем

Метод галеркина для уравнений в частных производных

Как видим, погрешность близка к 0,03 %. Для получения более точного решения необходимо использовать большее количество базисных функций.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Увлечёшься девушкой-вырастут хвосты, займёшься учебой-вырастут рога 9966 — Метод галеркина для уравнений в частных производных| 7768 — Метод галеркина для уравнений в частных производныхили читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Метод галеркина для уравнений в частных производных

Будем искать приближенное решение этой краевой задачи в виде суммы Метод галеркина для уравнений в частных производных

Пусть дано дифференциальное уравнение с линейными краевыми условиями

где % Читайте также: Бумага для принтера epson l805

Метод галеркина для уравнений в частных производных

x ), которая на [а, Ь] будет сколь угодно точно приближать функцию у(х) вместе с ее производными У(х) и у»(х).

Докажем, что если для некоторой функции F(x) и полной системы функций

причем скк 5*0, иначе к Метод галеркина для уравнений в частных производных. Здесь оператор L [ ⋅ ] Метод галеркина для уравнений в частных производныхможет содержать частные или полные производные искомой функции.

Видео:Сеточные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.Скачать

Сеточные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.

Содержание

Видео:Уравнения в частных производных первого порядка| poporyadku.schoolСкачать

Уравнения в частных производных первого порядка| poporyadku.school

Основа метода [ править | править код ]

Первым шагом в реализации метода Галёркина является выбор набора базисных функций, которые:

  • удовлетворяют граничным условиям.
  • в пределе бесконечного количества элементов базиса образуют полную систему.

Конкретный вид функций определяется из специфики задачи и удобства работы. Часто применяются тригонометрические функции, ортогональные полиномы (полиномы Лежандра, Чебышёва, Эрмита и др.).

Решение представляется в виде разложения по базису:

ψ ( x ) = ∑ k = 1 n α k ϕ k ( x ) . alpha _ phi _ (x).> Метод галеркина для уравнений в частных производных

Затем приближённое решение подставляется в исходное дифференциальное уравнение, и вычисляется его невязка. Для однородного уравнения:

L [ ∑ k = 1 n α k ϕ k ( x ) ] = N ( x ) . alpha _ phi _ (x)
ight]=N(x).> Метод галеркина для уравнений в частных производных

Для неоднородного уравнения L [ u ] = f ( x ) Метод галеркина для уравнений в частных производныхневязка будет иметь вид N ( x ) = L [ u ] − f ( x ) Метод галеркина для уравнений в частных производных.

Далее выдвигается требование ортогональности невязки к базисным функциям, то есть:

∫ a b N ( x ) ϕ k ( x ) ρ ( x ) d x = 0. (x)
ho (x)dx>=0.> Метод галеркина для уравнений в частных производных

Отсюда получается однородная система уравнений для коэффициентов в разложении, и удаётся приближённо найти собственные значения задачи.

Видео:Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnline

Пример [ править | править код ]

ψ ″ + λ ψ = 0 , Метод галеркина для уравнений в частных производных

с граничными условиями:

ψ ( 0 ) = ψ ( 1 ) = 0. Метод галеркина для уравнений в частных производных

Решение данного уравнения известно:

ψ ( x ) = sin ⁡ π n x , λ = π 2 n 2 , n = 1 , 2.. n^ ,qquad n=1,2..> Метод галеркина для уравнений в частных производных

Для первого нетривиального решения ( n = 1 ) Метод галеркина для уравнений в частных производныхсобственное число равно λ = π 2 ≈ 9 , 869. approx 9,869. > Метод галеркина для уравнений в частных производных.

Теперь применим метод Галёркина. Выберем сперва одну базисную функцию:

ϕ 0 ( x ) = x ( 1 − x ) , ψ ( x ) = a 0 ϕ 0 ( x ) . (x)=x(1-x),qquad psi (x)=a_ phi _ (x).> Метод галеркина для уравнений в частных производных

Подставляя в уравнение, получим невязку:

N ( x ) = a ( ϕ ″ + λ ϕ ) , Метод галеркина для уравнений в частных производных

и требование ортогональности невязки перепишется в виде:

∫ 0 1 ϕ ″ ϕ d x + λ ∫ 0 1 ϕ 2 d x = 0. ^

+lambda int limits _ ^

dx>=0.> Метод галеркина для уравнений в частных производных

λ = − ∫ 0 1 ϕ ″ ϕ d x ∫ 0 1 ϕ 2 d x = ∫ 0 1 ( ϕ ′ ) 2 d x ∫ 0 1 ϕ 2 d x . ^

over int limits _ ^

dx>>= ^ dx> over int limits _ ^

dx>>.> Метод галеркина для уравнений в частных производных

В приводимом здесь примере получается λ = 10 Метод галеркина для уравнений в частных производных, что менее чем на 1,5 % отличается от точного решения. Задание большего числа базисных функций позволяет уточнить уже известное значение λ, а также получить первое приближение для следующего (соответствующего n=2).

Представим решение в виде линейной комбинации n функций:

ψ ( x ) = ∑ k = 1 n α k ϕ k ( x ) . alpha _ phi _ (x).> Метод галеркина для уравнений в частных производных

N = ∑ k = 1 n N k ( x ) N_ (x)> Метод галеркина для уравнений в частных производных.

Система уравнений для коэффициентов разложения:

∑ k = 1 n α k ∫ a b ϕ j N k d x = 0 , j = 1.. n . alpha _ int limits _^

N_ dx>=0,quad j=1..n.> Метод галеркина для уравнений в частных производных

В этом случае собственные значения находятся из условия разрешимости системы (равенство нулю её определителя):

det ⁡ ( A j k ) = 0 , A j k = ∫ a b ϕ j N k d x left(A_
ight)=0,quad A_ =int limits _^

N_ dx>> Метод галеркина для уравнений в частных производных

Важно помнить, что сходимость метода Галёркина не всегда быстро достигается. Успешное применение возможно только для т. н. самосопряжённых задач, то есть инвариантных к эрмитовому сопряжению.

Видео:2. Приведение уравнений второго порядка к каноническому видуСкачать

2. Приведение уравнений второго порядка к каноническому виду

Разновидности [ править | править код ]

Метод Галёркина имеет несколько усовершенствованных вариантов:

  • Метод Галёркина — Петрова — разложение решения производится по одному базису, а ортогональность невязки требуется к другому.
  • Метод Галёркина — Канторовича — позволяет свести уравнения в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Например, в двумерной задаче решение представляется в виде: ψ ( x , y ) = ∑ n b n X n ( x ) Y n ( y ) , b_ X_ (x)Y_ (y),>Метод галеркина для уравнений в частных производныхи процедура Галёркина проводится применительно лишь к одним функциям (здесь X n ( x ) (x)>Метод галеркина для уравнений в частных производныхлибо Y n ( y ) (y)>Метод галеркина для уравнений в частных производных). В итоге получается система ОДУ, для решения которых существуют эффективные численные методы. Данный приём подобен известному в квантовой механике методу Хартри — Фока.

Видео:Приведение ДУ 2 порядка в частных производных к каноническому видуСкачать

Приведение ДУ 2 порядка в частных производных к каноническому виду

Применение [ править | править код ]

Методы Галёркина давно применяются как для решения дифференциальных уравнений с частными производными, так и для формирования основы метода конечных элементов.

Применение метода к исследованию задач устойчивости гидродинамических течений было реализовано Г. И. Петровым, который доказал сходимость метода Галёркина для отыскания собственных значений широкого класса уравнений, включая уравнения для неконсервативных систем, такие, как например уравнения колебаний в вязкой жидкости.

В гидродинамике наиболее эффективно метод Галёркина работает в задачах о конвекции, в силу их самосопряжённости. Задачи о течениях таковыми не являются, и сходимость метода при неудачном выборе базиса может быть сильно затруднена.

Видео:Методы приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производныхСкачать

Методы приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных

Происхождение названия [ править | править код ]

Метод приобрёл популярность после исследований Бориса Галёркина (1915). Однако этот метод разработал не он, а Вальтер Ритц (1908), на которого Галёркин ссылается в своих первых публикациях. Его также применял Иван Бубнов (1913) для решения задач теории упругости. Поэтому иногда этот метод называют методом Бубнова — Галёркина. Теоретически метод был обоснован советским математиком Мстиславом Келдышем в 1942.


источники:

🔥 Видео

Математика без Ху!ни. Частные производные функции нескольких переменных. Градиент.Скачать

Математика без Ху!ни. Частные производные функции нескольких переменных. Градиент.

6-2. Метод сетокСкачать

6-2. Метод сеток

Разрывный метод ГалёркинаСкачать

Разрывный метод Галёркина

Уравнение колебаний струны. Метод разделения переменных. Метод ФурьеСкачать

Уравнение колебаний струны. Метод разделения переменных. Метод Фурье

6. Линейные однородные уравнения в частных производных первого порядкаСкачать

6. Линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка

Методы решения нелинейных краевых задач для ОДУСкачать

Методы решения нелинейных краевых задач для ОДУ

АЛГЕБРА С НУЛЯ — Что такое Производная?Скачать

АЛГЕБРА С НУЛЯ — Что такое Производная?

19. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные диф уравнения 2-го порядкаСкачать

19. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные диф уравнения 2-го порядка

Горицкий А. Ю. - Уравнения математической физики - Уравнения с частными производными 1-го порядкаСкачать

Горицкий А. Ю. - Уравнения математической физики - Уравнения с частными производными 1-го порядка

Дифференциальные уравнения не разрешенные относительно производной | poporyadku.schoolСкачать

Дифференциальные уравнения не разрешенные относительно производной | poporyadku.school

Кобельков Г. М. - Численные методы. Часть 2 - Метод Галёркина для полинома второй степениСкачать

Кобельков Г. М. - Численные методы. Часть 2 - Метод Галёркина для полинома второй степени
Поделиться или сохранить к себе: