Метод эйлера решения дифференциальных уравнений питон (5 видео)

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) в Python

Рассмотрены приемы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с помощью модуля scipy.integrate языка Python

Содержание

Краткое описание модуля scipy.integrate
Решение одного ОДУ
Решение системы ОДУ
5++ способов в одну строку на Python решить первую задачу Проекта Эйлера
Условие задачи
00 — Базовое решение
01 — Generator Expression. Выражение-генератор
01.a — List Comprehension. Выражение на основе списка
01.b — Set Comprehension. Выражение на основе множества
02 — Filter
03 — Map
04 — Reduce
05 — Однострочное решение на основе множества
05.a — Ещё одно однострочное решение на основе множества
05.b — И ещё одно однострочное решение на основе множества
05.c И последнее однострочное решение на основе множества
Смотрим на скорость выполнения каждого однострочного решения
Заключение
Метод эйлера решения дифференциальных уравнений питон
📹 Видео

Видео:Численное решение задачи Коши методом ЭйлераСкачать

Краткое описание модуля scipy.integrate

Модуль scipy.integrate имеет две функции ode() и odeint(), которые предназначены для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка с начальными условиями в одной точке (т.е. задача Коши).

Функция ode() более универсальная, а функция odeint() (ODE integrator) имеет более простой интерфейс и хорошо решает большинство задач.

Функция odeint() имеет три обязательных аргумента и много опций. Она имеет следующий формат

Видео:Метод ЭйлераСкачать

Решение одного ОДУ

Допустим надо решить диф. уравнение 1-го порядка

Получилось что-то такое:

Видео:Python - численное решение дифференциального уравнения 1го порядка и вывод графикаСкачать

Решение системы ОДУ

Пусть теперь мы хотим решить (автономную) систему диф. уравнений 1-го порядка

Выходной массив w состоит из двух столбцов — y1(t) и y2(t).

Также без труда можно построить фазовые траектории:

Видео:Метод Эйлера для дифурСкачать

5++ способов в одну строку на Python решить первую задачу Проекта Эйлера

Однажды меня посетила мысль, а что если попробовать решить первую задачу Проекта Эйлера всевозможными способами, но с условием, что решение должно быть в одну строку. В итоге получилось более пяти однострочных решений с применением Filter, Map, Reduce, Generator Expression и т.д. В этой статье я покажу то, к чему я пришёл.

Это моя первая статья. Стоит отнестись к ней настороженно. Уникальные решения будут оформлены в отдельные пункты. Менее уникальные — в подпункты.

Условие задачи

Если выписать все натуральные числа меньше 10, кратные 3 или 5, то получим 3, 5, 6 и 9. Сумма этих чисел равна 23.

Найдите сумму всех чисел меньше 1000, кратных 3 или 5.

00 — Базовое решение

Прежде чем перейти непосредственно к однострочным решениям, разумно было бы упомянуть сначала стандартное, классическое решение:

Перебираем последовательность чисел от 1 до 999. Если перебираемое число делится на 3 или на 5 без остатка от деления, то прибавляем каждое такое число в заранее объявленную переменную result .

01 — Generator Expression. Выражение-генератор

Числа из последовательности от 1 до 999, делящиеся на 3 или на 5 без остатка от деления, собираются в генератор. Затем функция sum() складывает содержимое генератора.

01.a — List Comprehension. Выражение на основе списка

В отличии от предыдущего, здесь выражение дополнительно помещается в список. Стоило упомянуть этот вариант, так как он довольно часто встречается в различных статьях.

01.b — Set Comprehension. Выражение на основе множества

Тоже, что и в предыдущем, но вместо списка здесь множество.

02 — Filter

Функция filter схожа по принципу работы с выражением-генератором. Функция лямбда применяется к каждому элементу последовательности чисел от 1 до 999. Все числа последовательности, делящиеся на 3 или на 5 без остатка от деления, возвращаются, затем суммируются функцией sum() .

03 — Map

Перебираемые числа последовательности от 1 до 999, делящиеся на 3 или 5 без остатка от деления, остаются без изменений, все остальные числа заменяются на ноль. Полученная последовательность суммируется функцией sum() .

04 — Reduce

Из всей подборки, этот вариант «очень не очень». Как по степени реализации, так и по времени выполнения(но об этом попозже).
Если в reduce указан инициализатор(в нашем случае ноль), то он становится накопителем. К нему по очереди прибавляются только те числа из последовательности от 1 до 999, которые делятся на 3 или на 5 без остатка от деления. Если из функции reduce убрать инициализатор ноль, то инициализатором станет крайний левый элемент последовательности.

05 — Однострочное решение на основе множества

Самое элегантное решение, как по красоте написания, так и по времени выполнения.
Последовательность чисел от 1 до 999, кратную трём, помещаем во множество и объединяем со множеством, содержащим в себе последовательность чисел от 1 до 999, кратную пяти. Содержимое, полученного множества суммируем функцией sum() .

05.a — Ещё одно однострочное решение на основе множества

Похожий вариант на предыдущий, но, если использовать фигурные скобки, то последовательность чисел от 1 до 999, кратную трём и последовательность чисел от 1 до 999, кратную пяти, нужно распаковывать.

05.b — И ещё одно однострочное решение на основе множества

Создаём множество, с последовательностью чисел от 1 до 999, кратную трём и присоединяем к нему последовательность чисел от 1 до 999, кратную пяти. Затем функцией sum() суммируем.

05.c И последнее однострочное решение на основе множества

По аналогии с предыдущими. Распаковываем последовательности чисел в списки. Складываем списки. Оборачиваем во множество. Затем суммируем функцией sum() .

Смотрим на скорость выполнения каждого однострочного решения

Если проверить скорость выполнения каждого однострочного решения в командной строке, при помощи timeit, получим следующие значения в микросекундах:

Методика расчёта: python -m timeit «выражение»

Быстрее всего справились с задачей последние четыре варианта.

Заключение

Всего получилось 5 уникальных + 5 не уникальных решений. Благодаря этой задаче у меня появилось более устойчивое понимание работы функций Filter, Map, Reduce. И если раньше я недоумевал, почему функцию Reduce убрали из основного модуля, то теперь я не сомневаюсь в правильности этого решения.

В статье я старался отойти от популярного шаблона повествования «точность на грани бесполезности». Где предложения набиты под завязку «тяжёлыми» терминами, а из знакомого там только союзы и предлоги. Не уверен, что у меня получилось.

Видео:Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать

Метод эйлера решения дифференциальных уравнений питон

Variant 19 (Sukach Maxim, BS17-03)

Найдем

В итоге, наше решение принимает вид:

Метод Эйлера дает возможность приближенно выразить функцию теоретически с любой наперед заданной точностью. Суть метода Эйлера в пошаговом вычислении значений решения y=y(x) дифференциального уравнения вида y’=f(x,y) с начальным условием (x0;y0). Метод Эйлера является методом 1-го порядка точности и называется методом ломаных.

Для вычисления используются следующие формулы:

Метод Эйлера и точное решение при x0 = 0, xf = 9, y0 = 1, h = 0.1

Метод Эйлера и точное решение при x0 = 0, xf = 3, y0 = 1, h = 0.1

Метод Эйлера и точное решение при x0 = 0, xf = 1, y0 = 1, h = 0.1

Усовершенствованный метод Эйлера

Суть усовершенствованного метода Эйлера в пошаговом вычислении значений решения y=y(x) дифференциального уравнения вида y’=f(x,y) с начальным условием (x0;y0). Усовершенствованный метод Эйлера является методом 2-го порядка точности и называется модифицированным методом Эйлера.

Разница между данным методом и методом Эйлера минимальна и заключается в использовании следующих формул:

Усовершенствованный Метод Эйлера и точное решение при
x0 = 0, xf = 9, y0 = 1, h = 0.1

Усовершенствованный Метод Эйлера и точное решение при
x0 = 0, xf = 3, y0 = 1, h = 0.1

Усовершенствованный Метод Эйлера и точное решение при
x0 = 0, xf = 1, y0 = 1, h = 0.1

Классический метод Рунге-Кутты

Суть метода Рунге-Кутты в пошаговом вычислении значений решения y=y(x) дифференциального уравнения вида y’=f(x,y) с начальным условием (x0;y0). Классический метод Рунге-Кутты является методом 4-го порядка точности и называется методом Рунге-Кутты 4-го порядка точности.

Ну и как обычно, формулы:

Классический метод Рунге-Кутты и точное решение при x0 = 0, xf = 9, y0 = 1, h = 0.1

Классический метод Рунге-Кутты и точное решение при x0 = 0, xf = 3, y0 = 1, h = 0.1

Классический метод Рунге-Кутты и точное решение при x0 = 0, xf = 1, y0 = 1, h = 0.1

Сравнение методов для заданной задачи

Размер ошибки всех методов на промежутке [0, 9] с шагом 0.1

Размер ошибки всех методов на промежутке [0, 3] с шагом 0.1

Размер ошибки всех методов на промежутке [0, 1] с шагом 0.1

Очевидно что, классический метод Рунге-Кутты справляется с задачей аппроксимации в случае данного уравнения намного лучше чем Метод Эйлера и Усовершенствованный метод Эйлера.

График глобальной средней ошибки