Метод эйлера для уравнений третьего порядка (2 видео)

Задачи с начальными условиями для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений $$ begin tag frac &= f_i (t, u_1, u_2, ldots, u_n), quad t > 0\ tag u_i(0) &= u_i^0, quad i = 1, 2, ldots, m. end $$

Используя векторные обозначения, задачу (1), (2) можно записать как задачу Коши $$ begin tag frac<d pmb> &= pmb(t, pmb), quad t > 0, \ tag pmb(0) &= pmb_0 end $$ В задаче Коши необходимо по известному решению в точке ( t = 0 ) необходимо найти из уравнения (3) решение при других ( t ).

Содержание

Численные методы решения задачи Коши
Явный метод Эйлера
Программная реализация явного метода Эйлера
Неявный метод Эйлера
Программная реализация неявного метода Эйлера
Методы Рунге—Кутта
Многошаговые методы
Жесткие системы ОДУ
Метод эйлера для уравнений третьего порядка
Метод Эйлера: для чего он нужен, порядок действий и упражнения
Содержание:
Что такое метод Эйлера?
Решенные упражнения
Упражнение 1
Решение
Упражнение 2.
Решение
Упражнение 3.
Решение
Ньютоновская динамика и метод Эйлера
Упражнение 4.
Решение
Предлагаемые упражнения для дома
Упражнение 1
Упражнение 2.
Ссылки

Видео:Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать

Численные методы решения задачи Коши

Существует большое количество методов численного решения задачи (3), (4). Вначале рассмотрим простейший явный метод Эйлера и его программную реализацию. Затем будут представлены методы Рунге—Кутта и многошаговые методы.

При построении численных алгоритмов будем считать, что решение этой дифференциальной задачи существует, оно единственно и обладает необходимыми свойствами гладкости.

Идея численных методов решения задачи (3), (4) состоит из четырех частей:

1. Вводится расчетная сетка по переменной ( t ) (время) из ( N_t + 1 ) точки ( t_0 ), ( t_1 ), ( ldots ), ( t_ ). Нужно найти значения неизвестной функции ( pmb ) в узлах сетки ( t_n ). Обозначим через ( pmb^n ) приближенное значение ( pmb(t_n) ).

2. Предполагаем, что дифференциальное уравнение выполнено в узлах сетки.

3. Аппроксимируем производные конечными разностями.

4. Формулируем алгоритм, который вычисляет новые значения ( pmb^ ) на основе предыдущих вычисленных значений ( pmb^k ), ( k 0 ) при ( tauto 0 ).

Видео:Линейное дифференциальное уравнение Коши-ЭйлераСкачать

Явный метод Эйлера

Проиллюстрируем указанные шаги. Для начала введем расчетную сетку. Очень часто сетка является равномерной, т.е. имеет одинаковое расстояние между узлами ( t_n ) и ( t_ ): $$ omega_tau = . $$

Затем, предполагаем, что уравнение выполнено в узлах сетки, т.е.: $$ pmb^prime (t_n) = pmb(t_n, u(t_n)), quad t_n in omega_tau. $$

Заменяем производные конечными разностями. С этой целью, нам нужно знать конкретные формулы, как производные могут быть аппроксимированы конечными разностями. Простейший подход заключается в использовании определения производной: $$ pmb^prime(t) = lim_ frac<pmb(t+tau) — pmb(t)>. $$

В произвольном узле сетки ( t_n ) это определение можно переписать в виде: $$ begin pmb^prime(t_n) = lim_ frac<pmb(t_n+tau) — pmb(t_n)>. end $$ Вместо того, чтобы устремлять шаг сетки к нулю, мы можем использовать малый шаг ( tau ), который даст численное приближение ( u^prime(t_n) ): $$ begin pmb^prime(t_n) approx frac<pmb^ — pmb^>. end $$ Такая аппроксимация известна как разностная производная вперед и имеет первый порядок по ( tau ), т.е. ( O(tau) ). Теперь можно использовать аппроксимацию производной. Таким образом получим явный метод Эйлера: $$ begin tag frac<pmb^ — pmb^n> = pmb(t_n, pmb^). end $$

Четвертый шаг заключается в получении численного алгоритма. Из (5) следует, что мы должны знать значение ( y^n ) для того, чтобы решить уравнение (5) относительно ( y^ ) и получить формулу для нахождения приближенного значения искомой функции на следующем временном слое ( t_ ): $$ begin tag pmb^ = pmb^n + tau pmb(t_n, pmb^) end $$

При условии, что у нас известно начальное значение ( pmb^0 = pmb_0 ), мы можем использовать (6) для нахождения решений на последующих временных слоях.

Программная реализация явного метода Эйлера

Выражение (6) может быть как скалярным так и векторным уравнением. И в скалярном и в векторном случае на языке Python его можно реализовать следующим образом

При решении системы (векторный случай), u[n] — одномерный массив numpy длины ( m+1 ) (( m ) — размерность задачи), а функция F должна возвращать numpy -массив размерности ( m+1 ), t[n] — значение в момент времени ( t_n ).

Таким образом численное решение на отрезке ( [0, T] ) должно быть представлено двумерным массивом, инициализируемым нулями u = np.zeros((N_t+1, m+1)) . Первый индекс соответствует временному слою, а второй компоненте вектора решения на соответствующем временном слое. Использование только одного индекса, u[n] или, что то же самое, u[n, :] , соответствует всем компонентам вектора решения.

Функция euler решения системы уравнений реализована в файле euler.py:

Строка F_ = lambda . требует пояснений. Для пользователя, решающего систему ОДУ, удобно задавать функцию правой части в виде списка компонент. Можно, конечно, требовать чтобы пользователь возвращал из функции массив numpy , но очень легко осуществлять преобразование в самой функции решателе. Чтобы быть уверенным, что результат F будет нужным массивом, который можно использовать в векторных вычислениях, мы вводим новую функцию F_ , которая вызывает пользовательскую функцию F «прогоняет» результат через функцию assaray модуля numpy .

Видео:Метод ЭйлераСкачать

Неявный метод Эйлера

При построении неявного метода Эйлера значение функции ( F ) берется на новом временном слое, т.е. для решении задачи (5) используется следующий метод: $$ begin tag frac<pmb^ — pmb^n> = pmb(t_, pmb^). end $$

Таким образом для нахождения приближенного значения искомой функции на новом временном слое ( t_ ) нужно решить нелинейное уравнение относительно ( pmb^ ): $$ begin tag pmb^ — tau pmb(t_, pmb^) — y^n = 0. end $$

Для решения уравнения (8) можно использовать, например, метод Ньютона.

Программная реализация неявного метода Эйлера

Функция backward_euler решения системы уравнений реализована в файле euler.py:

Отметим, что для нахождения значения u[n+1] используется функция fsolve модуля optimize библиотеки scipy . В качестве начального приближения для решения нелинейного уравнения используется значение искомой функции с предыдущего слоя u[n] .

Видео:Математика без Ху!ни. Линейное неоднородное уравнение 1 порядка. Метод вариации постоянной.Скачать

Методы Рунге—Кутта

Одношаговый метод Рунге—Кутта в общем виде записывается следующим образом: $$ begin tag frac<pmb^ — pmb^n> = sum_^s b_i pmb_i, end $$ где $$ begin tag pmb_i = pmbleft( t_n + c_itau, pmb^n + tau sum_^s a_pmb_j right), quad i = 1, 2, ldots, s. end $$ Формула (9) основана на ( s ) вычислениях функции ( pmb ) и называется ( s )-стадийной. Если ( a_ = 0 ) при ( j geq i ) имеем явный метод Рунге—Кутта. Если ( a_ = 0 ) при ( j > i ) и ( a_ ne 0 ), то ( pmb_i ) определяется неявно из уравнения $$ begin tag pmb_i = pmbleft( t_n + c_itau, pmb^n + tau sum_^ a_pmb_j + tau a_ pmb_i right), quad i = 1, 2, ldots, s. end $$ О таком методе Рунге—Кутта говорят как о диагонально-неявном.

Одним из наиболее распространенных является явный метод Рунге-Кутта четвертого порядка: $$ begin tag pmb_1 & = pmb(t_n, pmb^n), &quad pmb_2 &= pmbleft( t_n + frac, pmb^n + tau frac<pmb_1> right),\ pmb_3 &= pmbleft( t_n + frac, pmb^n + tau frac<pmb_2> right), &quad pmb_4 &= pmbleft( t_n + tau, pmb^n + tau pmb_3 right),\ frac<pmb^ -pmb^n> &= frac (pmb_1 + 2pmb_2 + 2pmb_3 + pmb_4) & & end $$

Видео:Численное решение задачи Коши методом ЭйлераСкачать

Многошаговые методы

В методах Рунге—Кутта в вычислениях участвуют значения приближенного решения только в двух соседних узлах ( pmb^n ) и ( pmb^ ) — один шаг по переменной ( t ). Линейный ( m )-шаговый разностный метод записывается в виде $$ begin tag frac sum_^m a_i pmb^ = sum_^ b_i pmb(t_, pmb^), quad n = m-1, m, ldots end $$ Вариант численного метода определяется заданием коэффициентов ( a_i ), ( b_i ), ( i = 0, 1, ldots, m ), причем ( a_0 ne 0 ). Для начала расчетов по рекуррентной формуле (13) необходимо задать ( m ) начальных значений ( pmb^0 ), ( pmb^1 ), ( dots ), ( pmb^ ) (например, можно использовать для их вычисления метод Эйлера).

Различные варианты многошаговых методов (методы Адамса) решения задачи с начальными условиями для систем обыкновенных дифференциальных уравнений могут быть получены на основе использования квадратурных формул для правой части равенства $$ begin tag pmb(t_) — pmb(t_n) = int_^<t_> pmb(t, pmb) dt end $$

Для получения неявного многошагового метода используем для подынтегральной функции интерполяционную формулу по значениям функции ( pmb^ = pmb(t_, pmb^) ), ( pmb^n ), ( dots ), ( pmb^ ), т.е. $$ begin tag frac<pmb^ — pmb^n> = sum_^ b_i pmb(t_, pmb^) end $$

Для интерполяционного метода Адамса (15) наивысший порядок аппроксимации равен ( m+1 ).

Для построения явных многошаговых методов можно использовать процедуру экстраполяции подынтегральной функции в правой части (14). В этом случае приближение осуществляется по значениям ( pmb^n ), ( pmb^ ), ( dots ), ( pmb^ ) и поэтому $$ begin tag frac<pmb^ — pmb^n> = sum_^ b_i pmb(t_, pmb^) end $$

Для экстраполяционного метода Адамса (16) погрешность аппроксимации имеет ( m )-ый порядок.

На основе методов Адамса строятся и схемы предиктор–корректор. На этапе предиктор используется явный метод Адамса, на этапе корректора — аналог неявного метода Адамса. Например, при использовании методов третьего порядка аппроксимации в соответствии с (18) для предсказания решения положим $$ frac<pmb^ — pmb^n> = frac (23 pmb^ -16pmb^ + 5pmb^). $$ Для уточнеия решения (см. (17)) используется схема $$ frac<pmb^ — pmb^n> = frac (9pmb^ + 19pmb^ — 5pmb^ + pmb^). $$ Аналогично строятся и другие классы многошаговых методов.

Видео:3_11. Алгоритм Рунге-КуттыСкачать

Жесткие системы ОДУ

При численном решении задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (3), (4) могут возникнуть дополнительные трудности, порожденные жесткостью системы. Локальные особенности поведения решения в точке ( u = w ) передаются линейной системой $$ begin frac

= sum_^ frac (t, w) v + bar(t), quad t > 0. end $$
Пусть ( lambda_i(t) ), ( i = 1, 2, ldots, m ) — собственные числа матрицы $$ begin A(t) = < a_(t) >, quad a_(t) = frac(t, w). end $$ Система уравнений (3) является жесткой, если число $$ begin S(t) = frac <max_|Re lambda_i(t)|> <min_|Re lambda_i(t)|> end $$ велико. Это означает, что в решении присутствуют составляющие с сильно различающимися масштабами изменения по переменной ( t ).
Для численное решения жестких задач используются вычислительные алгоритмы, которые имеют повышенный запас устойчивости. Необходимо ориентироваться на использование ( A )-устойчивых или ( A(alpha) )-устойчивых методов.
Метод называется ( A )-устойчивым, если при решении задачи Коши для системы (3) область его устойчивости содержит угол $$ begin |arg(-mu)| —>
Видео:Дифференциальное уравнение. Формула ЭйлераСкачать
Метод эйлера для уравнений третьего порядка
Системой дифференциальных уравнений называется система вида
где x — независимый аргумент,
y_i — зависимая функция, ,
Функции y_i(x), при подстановке которой система уравнений обращается в тождество, называется решением системой дифференциальных уравнений.
Численные методы решения систем дифференциальных уравнений.
Модифицированный метод Эйлера.
Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.
Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида
F(x,y,у’,y»)=0 (1)
y»=f(x,y,y’). (2)
Функция y(x), при подстановке которой уравнение обращается в тождество, называется решением дифференциального уравнения.
Численно ищется частное решение уравнения (2), которое удовлетворяет заданным начальным условиям, то есть решается задача Коши.
Для численного решения дифференциальное уравнение второго порядка преобразуется в систему двух дифференциальных уравнений первого порядка и приводится к машинному виду (3). Для этого вводится новая неизвестная функция , слева в каждом уравнении системы оставляют только первые производные неизвестных функций, а в правых частях производных быть не должно
. (3)
Функция f₂(x, y₁, y) в систему (3) введена формально для того, чтобы методы, которые будут показаны ниже, могли быть использованы для решения произвольной системы дифференциальных уравнений первого порядка. Рассмотрим несколько численных методов решения системы (3). Расчетные зависимости для i+1 шага интегрирования имеют следующий вид. Для решения системы из n уравнений расчетные формулы приведены выше. Для решения системы из двух уравнений расчетные формулы удобно записать без двойных индексов в следующем виде:
Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.
где h — шаг интегрирования. Начальные условия при численном интегрировании учитываются на нулевом шаге: i=0, x=x₀, y₁=y₁₀, y=y₀.
Контрольное задание по зачетной работе.
Колебания с одной степенью свободы
Цель. Изучение численных методов решения дифференциальных уравнений второго порядка и систем дифференциальных уравнений первого порядка.
Задание. Численно и аналитически найти:
закон движения материальной точки на пружинке х(t),
закон изменения силы тока I(t) в колебательном контуре (RLC — цепи) для заданных в табл.1,2 режимов. Построить графики искомых функций.
Свободные незатухающие колебания
Затухающее колебательное движение
Предельное апериодическое движение
Вынужденное колебание без сопротивления
Вынужденное колебание без сопротивления, явление резонанса
Вынужденное колебание с линейным сопротивлением
Вынужденное колебание с линейным сопротивлением, явление резонанса
Видео:Метод Эйлера. Решение систем ДУСкачать
Метод Эйлера: для чего он нужен, порядок действий и упражнения
Метод Эйлера: для чего он нужен, порядок действий и упражнения — Наука
Видео:МЗЭ 2022 Численное решение дифференциальных уравнений. Неявный метод Эйлера. Ложкин С.А.Скачать
Содержание:
В Метод Эйлера Это самая базовая и простая из процедур, используемых для нахождения приближенных численных решений обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, при условии, что известно его начальное условие.
Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) — это уравнение, которое связывает неизвестную функцию одной независимой переменной с ее производными.
Если наибольшая производная, которая появляется в уравнении, имеет степень один, то это обыкновенное дифференциальное уравнение первой степени.
Самый общий способ написать уравнение первой степени:
Видео:Видеоурок "Системы диф. уравнений. Метод Эйлера"Скачать
Что такое метод Эйлера?
Идея метода Эйлера заключается в нахождении численного решения дифференциального уравнения в интервале между X₀ и X_F .
Сначала интервал дискретизируется на n + 1 балл:
Которые получаются так:
Икс_я= х₀+ я
Где h — ширина или шаг подынтервалов:
С начальным условием также можно узнать производную в начале:
Эта производная представляет собой наклон касательной к кривой функции y (x) точно в точке:
Затем делается приблизительный прогноз значения функции y (x) в следующей точке:
Затем была получена следующая приближенная точка решения, которая будет соответствовать:
Процедура повторяется для получения последовательных баллов.
На рисунке, показанном в начале, синяя кривая представляет точное решение дифференциального уравнения, а красная — последовательные приближенные точки, полученные с помощью процедуры Эйлера.
Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать
Решенные упражнения
Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать
Упражнение 1
я) Пусть дифференциальное уравнение имеет вид:
При начальном условии x = a = 0; Y_к= 1
Используя метод Эйлера, получить приближенное решение Y в координате X = b = 0,5, разбивая интервал [a, b] на n = 5 частей.
Видео:Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать
Решение
Численные результаты резюмируются следующим образом:
Из чего делается вывод, что решение Y для значения 0,5 составляет 1,4851.
Примечание: для проведения расчетов, Smath studio, бесплатная программа для бесплатного использования.
Видео:метод Эйлера для решения ОДУСкачать
Упражнение 2.
II) Продолжая работу с дифференциальным уравнением из упражнения I), найдите точное решение и сравните его с результатом, полученным методом Эйлера. Найдите ошибку или разницу между точным и приблизительным результатом.
Видео:ШОК! Решение ДУ методом Эйлера! ПОХИЩЕНИЕ С СЮРПРИЗОМ!Скачать
Решение
Точное решение найти не очень сложно. Производная функции sin (x) известна как функция cos (x). Следовательно, решение y (x) будет:
Для выполнения начального условия и (0) = 1 константа C должна быть равна 1. Затем точный результат сравнивается с приблизительным:
Сделан вывод, что в расчетном интервале аппроксимация имеет три значащих цифры точности.
Видео:Пример решения задачи Коши методом Эйлера. Метод Эйлера с пересчетом.Скачать
Упражнение 3.
III) Рассмотрим дифференциальное уравнение и его начальные условия, указанные ниже:
При начальном условии x₀ = 0; Y₀ = 1
Используйте метод Эйлера, чтобы найти приблизительные значения решения у (х) в интервале х = [0, 1,5]. Используйте шаг h = 0,1.
Видео:6.1 Численные методы решения задачи Коши для ОДУСкачать
Решение
Метод Эйлера очень подходит для использования с электронной таблицей. В этом случае мы будем использовать электронную таблицу геогебра бесплатная и бесплатная программа.
В электронной таблице на рисунке показаны три столбца (A, B, C), первый — это переменная Икс , второй столбец представляет переменную Y, а третий столбец — производная Y ‘.
Строка 2 содержит начальные значения Икс, Y, Y ‘ .
Шаг значения 0,1 помещен в ячейку абсолютного положения ($ D $ 4).
Начальное значение y0 находится в ячейке B2, а y1 — в ячейке B3. Чтобы вычислить y₁ используется формула:
Эта формула электронной таблицы будет иметь вид B3: = B2 + $ D $ 4 * C3.
Точно так же y2 будет в ячейке B4, и его формула показана на следующем рисунке:
На рисунке также показан график точного решения и точки A, B,…, P приближенного решения по методу Эйлера.
Видео:Численные методы решения ДУ: метод ЭйлераСкачать
Ньютоновская динамика и метод Эйлера
Классическая динамика была разработана Исааком Ньютоном (1643 — 1727). Первоначальная мотивация Леонарда Эйлера (1707 — 1783) к разработке своего метода заключалась именно в решении уравнения второго закона Ньютона в различных физических ситуациях.
Второй закон Ньютона обычно выражается в виде дифференциального уравнения второй степени:
куда Икс представляет положение объекта в момент т. Указанный объект имеет массу м и подвергается силе F. Функция F связана с силой и массой следующим образом:
Для применения метода Эйлера требуются начальные значения времени. т, скорость v и положение Икс.
В следующей таблице объясняется, как, начиная с начальных значений t1, v1, x1, можно получить приближение скорости v2 и положения x2 в момент t2 = t1 + Δt, где Δt представляет небольшое увеличение и соответствует шагу в методе Эйлер.
Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать
Упражнение 4.
IV) Одна из фундаментальных проблем механики — это проблема блока массы M, привязанного к пружине (или пружине) с постоянной упругостью K.
Второй закон Ньютона для этой проблемы будет выглядеть так:
В этом примере для простоты мы возьмем M = 1 и K = 1. Найдите приблизительные решения для положения Икс и скорость v методом Эйлера на временном интервале [0, π / 2], разбивая интервал на 12 частей.
Возьмите 0 в качестве начального момента, начальную скорость 0 и начальное положение 1.
Решение
Численные результаты представлены в следующей таблице:
Также отображаются графики положения и скорости между временами от 0 до 1,44.
Предлагаемые упражнения для дома
Упражнение 1
Используйте электронную таблицу, чтобы найти приближенное решение с помощью метода Эйлера для дифференциального уравнения:
y ’= — Exp (-y) с начальными условиями x = 0, y = -1 в интервале x = [0, 1]
Начните с шага 0,1. Постройте результат.
Упражнение 2.
Используя электронную таблицу, найдите численные решения следующего квадратного уравнения, где y является функцией независимой переменной t.
y ’’ = -1 / y² с начальным условием t = 0; и (0) = 0,5; у ‘(0) = 0
Найдите решение на интервале [0,5; 1.0] с шагом 0,05.
Постройте результат: y vs t; y ‘vs t
Ссылки
Метод Эрлера Взято с wikipedia.org
Решатель Эйлера. Взято с en.smath.com
Значение символа медицины
Мгновенная скорость: определение, формула, расчет и упражнения