Метод эйлера для решения дифференциальных уравнений си

IT Novella

y ‘ = f ( x , y ) , ( 1 )

f ( x , y ) — заданная непрерывная функция в области D. Задача нахождения решения этого уравнения, удовлетворяющего начальному условию

называется задачей Коши.

Метод Эйлера

Пусть требуется найти решение задачи Коши (1)-(2) на отрезке [a,b].

Разобьем отрезок [a,b] на n равных частей точками

i = 0 , 1 , … , n , h = b − a n .

Заменяя в уравнении (1) производную разностным отношением, получим y 1 − y 0 h = f ( x 0 , y 0 ) . Перепишем последнее уравнение в виде

y 1 = y 0 + h · f ( x 0 , y 0 ) Повторяя этот процесс, получим приближенное решение задачи (1)-(2).

Таким образом, итерационная формула метода Эйлера имеет вид

x i + 1 = a + i · h , y i + 1 = y i + h · f ( x i , y i ) , i = 0 , 1 , … , n

Пример. Решить методом Эйлера дифференциальное уравнение

y ‘ = 3 s i n 2 y + x

с начальным условием y(0)=2 на отрезке [0,1] с шагом h=0,1.

Видео:Метод ЭйлераСкачать

Метод Эйлера

Метод Эйлера для решения дифференциального уравнения

Дано дифференциальное уравнение dy / dx = f (x, y) с начальным условием y (x0) = y0. Найти его приближенное решение, используя метод Эйлера .

Метод Эйлера:
В математике и вычислительной науке метод Эйлера (также называется вперед
Метод Эйлера) — числовая процедура первого порядка для решения обыкновенного дифференциала
уравнения (ОДУ) с заданным начальным значением.
Рассмотрим дифференциальное уравнение dy / dx = f (x, y) с начальным условием y (x0) = y0
тогда последовательная аппроксимация этого уравнения может быть задана как:

where h = (x(n) – x(0)) / n
h indicates step size. Choosing smaller
values of h leads to more accurate results
and more computation time.

Пример :

/ * Программа CPP, чтобы найти приближение

обыкновенного дифференциального уравнения

используя метод Эйлера. * /

using namespace std;

// Рассмотрим дифференциальное уравнение
// dy / dx = (x + y + xy)

float func( float x, float y)

return (x + y + x * y);

// Функция для формулы Эйлера

void euler( float x0, float y, float h, float x)

Видео:Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать

Решение системы дифференциальных уравнений методом Эйлера

Метод эйлера для решения дифференциальных уравнений си

Variant 19 (Sukach Maxim, BS17-03)

Метод эйлера для решения дифференциальных уравнений си

Метод эйлера для решения дифференциальных уравнений си

Найдем Метод эйлера для решения дифференциальных уравнений си

Метод эйлера для решения дифференциальных уравнений си

В итоге, наше решение принимает вид:

Метод эйлера для решения дифференциальных уравнений си

Метод Эйлера дает возможность приближенно выразить функцию теоретически с любой наперед заданной точностью. Суть метода Эйлера в пошаговом вычислении значений решения y=y(x) дифференциального уравнения вида y’=f(x,y) с начальным условием (x0;y0). Метод Эйлера является методом 1-го порядка точности и называется методом ломаных.

Для вычисления используются следующие формулы:

Метод эйлера для решения дифференциальных уравнений си

Метод эйлера для решения дифференциальных уравнений си

Метод Эйлера и точное решение при x0 = 0, xf = 9, y0 = 1, h = 0.1

Метод эйлера для решения дифференциальных уравнений си

Метод Эйлера и точное решение при x0 = 0, xf = 3, y0 = 1, h = 0.1

Метод эйлера для решения дифференциальных уравнений си

Метод Эйлера и точное решение при x0 = 0, xf = 1, y0 = 1, h = 0.1

Усовершенствованный метод Эйлера

Суть усовершенствованного метода Эйлера в пошаговом вычислении значений решения y=y(x) дифференциального уравнения вида y’=f(x,y) с начальным условием (x0;y0). Усовершенствованный метод Эйлера является методом 2-го порядка точности и называется модифицированным методом Эйлера.

Разница между данным методом и методом Эйлера минимальна и заключается в использовании следующих формул:

Метод эйлера для решения дифференциальных уравнений си

Метод эйлера для решения дифференциальных уравнений си

Усовершенствованный Метод Эйлера и точное решение при
x0 = 0, xf = 9, y0 = 1, h = 0.1

Метод эйлера для решения дифференциальных уравнений си

Усовершенствованный Метод Эйлера и точное решение при
x0 = 0, xf = 3, y0 = 1, h = 0.1

Метод эйлера для решения дифференциальных уравнений си

Усовершенствованный Метод Эйлера и точное решение при
x0 = 0, xf = 1, y0 = 1, h = 0.1

Классический метод Рунге-Кутты

Суть метода Рунге-Кутты в пошаговом вычислении значений решения y=y(x) дифференциального уравнения вида y’=f(x,y) с начальным условием (x0;y0). Классический метод Рунге-Кутты является методом 4-го порядка точности и называется методом Рунге-Кутты 4-го порядка точности.

Ну и как обычно, формулы:

Метод эйлера для решения дифференциальных уравнений си

Метод эйлера для решения дифференциальных уравнений си

Классический метод Рунге-Кутты и точное решение при x0 = 0, xf = 9, y0 = 1, h = 0.1

Метод эйлера для решения дифференциальных уравнений си

Классический метод Рунге-Кутты и точное решение при x0 = 0, xf = 3, y0 = 1, h = 0.1

Метод эйлера для решения дифференциальных уравнений си

Классический метод Рунге-Кутты и точное решение при x0 = 0, xf = 1, y0 = 1, h = 0.1

Сравнение методов для заданной задачи

Метод эйлера для решения дифференциальных уравнений си

Размер ошибки всех методов на промежутке [0, 9] с шагом 0.1

Метод эйлера для решения дифференциальных уравнений си

Размер ошибки всех методов на промежутке [0, 3] с шагом 0.1

Метод эйлера для решения дифференциальных уравнений си

Размер ошибки всех методов на промежутке [0, 1] с шагом 0.1

Очевидно что, классический метод Рунге-Кутты справляется с задачей аппроксимации в случае данного уравнения намного лучше чем Метод Эйлера и Усовершенствованный метод Эйлера.

График глобальной средней ошибки

Метод эйлера для решения дифференциальных уравнений си

Глобальная ошибка в зависимости от размера шага H на промежутке от 0.01 до 0.91 для x0 = 1, xf = 9

🔥 Видео

Численное решение задачи Коши методом ЭйлераСкачать

Численное решение задачи Коши методом Эйлера

МЗЭ 2022 Численное решение дифференциальных уравнений. Неявный метод Эйлера. Ложкин С.А.Скачать

МЗЭ 2022 Численное решение дифференциальных уравнений.  Неявный метод Эйлера. Ложкин С.А.

Решение ОДУ методом Эйлера (программа)Скачать

Решение ОДУ методом Эйлера (программа)

Пример решения задачи Коши методом Эйлера. Метод Эйлера с пересчетом.Скачать

Пример решения задачи Коши методом Эйлера. Метод Эйлера с пересчетом.

Дифференциальные уравнения. Задача Коши. Метод Эйлера.Скачать

Дифференциальные уравнения. Задача Коши. Метод Эйлера.

Линейное дифференциальное уравнение Коши-ЭйлераСкачать

Линейное дифференциальное уравнение Коши-Эйлера

Дифференциальное уравнение. Формула ЭйлераСкачать

Дифференциальное уравнение. Формула Эйлера

Численные методы решения ДУ: метод ЭйлераСкачать

Численные методы решения ДУ: метод Эйлера

Видеоурок "Системы диф. уравнений. Метод Эйлера"Скачать

Видеоурок "Системы диф. уравнений. Метод Эйлера"

МЗЭ 2022 Численное решение дифференциальных уравнений Метод Эйлера Ложкин С. А.Скачать

МЗЭ 2022 Численное решение дифференциальных уравнений  Метод Эйлера  Ложкин С. А.

Метод Эйлера. Решение систем ДУСкачать

Метод Эйлера. Решение систем ДУ

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравнения

Системы дифференциальных уравнений.Метод исключения.Метод Эйлера.Скачать

Системы дифференциальных уравнений.Метод исключения.Метод Эйлера.

метод Эйлера для решения ОДУСкачать

метод Эйлера для решения ОДУ

Решение ОДУ методом Рунге-Кутта 4 порядка (программа)Скачать

Решение ОДУ методом Рунге-Кутта 4 порядка (программа)

16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
Поделиться или сохранить к себе: