Метод декарта для решения уравнений

Видео:Лучший Метод Принятия Решений: Квадрат ДекартаСкачать

КАК ПОЛЬЗОВАТЬСЯ ПРАВИЛОМ ЗНАКОВ ДЕКАРТА (С ПРИМЕРАМИ) — СТЕБЕЛЬ — 2022

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Что такое правило знаков Декарта?

Правило знаков Декарта — это полезное и простое правило для определения количества положительных и отрицательных нулей полинома с действительными коэффициентами. Он был открыт известным французским математиком Рене Декартом в 17 веке. Прежде чем сформулировать правило Декарта, мы должны объяснить, что подразумевается под изменением знака для такого многочлена.

Если члены полиномиальной функции f (x) расположены в порядке убывания степеней x, мы говорим, что изменение знака происходит всякий раз, когда два следующих друг за другом члена имеют противоположные знаки. При подсчете общего количества вариаций знака игнорируйте пропущенные члены с нулевыми коэффициентами. Мы также предполагаем, что постоянный член (член, не содержащий x) отличен от 0. Мы говорим, что есть изменение знака в f (x), если два последовательных коэффициента имеют противоположные знаки, как указано ранее.

Правило знаков Декарта

Джон Рэй Куэвас

Видео:Метод Декарта-Эйлера (решение уравнения четвертой степени)Скачать

Пошаговая процедура использования правила знаков Декарта

Ниже показаны этапы использования правила знаков Декарта.

1. Внимательно посмотрите на знак каждого члена многочлена. Возможность определять знаки коэффициентов позволяет легко отслеживать смену знака.
2. При определении количества действительных корней составьте полиномиальное уравнение в форме P (x) для положительных действительных корней и P (-x) для отрицательных действительных корней.
3. Обратите внимание на значительные изменения знака, которые могут меняться от положительного к отрицательному, от отрицательного к положительному или вообще без изменений. Смена знака — это условие чередования двух знаков соседних коэффициентов.
4. Подсчитайте количество вариаций знаков. Если n — количество вариаций знака, то количество положительных и отрицательных действительных корней может быть равно n, n -2, n -4, n -6 и так далее и так далее. Не забывайте продолжать вычитать это число, кратное 2. Прекратите вычитание, пока разница не станет 0 или 1.

Например, если P (x) имеет n = 8 вариаций знака, возможное количество положительных вещественных корней будет 8, 6, 4 или 2. С другой стороны, если P (-x) имеет n = 5 количество изменений знака коэффициентов, возможное количество отрицательных действительных корней — 5, 3 или 1.

Примечание: всегда будет верно, что сумма возможных чисел положительных и отрицательных вещественных решений будет одинаковой до степени полинома, или на два, или на четыре, и так далее.

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Правило знаков Декарта Определение

Пусть f (x) — многочлен с действительными коэффициентами и ненулевым постоянным членом.

• Число положительных вещественных нулей функции f (x) либо равно количеству изменений знака в f (x), либо меньше этого числа на четное целое число.

Количество отрицательных действительных нулей функции f (x) либо равно количеству изменений знака в f (−x), либо меньше этого числа на четное целое число . Правило знаков Декарта предусматривает, что постоянный член многочлена f (x) отличен от 0. Если постоянный член равен 0, как в уравнении x 4 −3x 2 + 2x 2 −5x = 0, мы вычитаем наименьшая степень x, получая x (x 3 −3x 2 + 2x − 5) = 0. Таким образом, одно решение — x = 0, и мы применяем правило Декарта к многочлену x 3 −3x 2 + 2x − 5, чтобы определить характер остальных трех решений.

Применяя правило Декарта, мы считаем корни кратности k за k корней. Например, если x 2 −2x + 1 = 0, многочлен x 2 −2x + 1 имеет две вариации знака, и, следовательно, уравнение имеет либо два положительных действительных корня, либо ни одного. Факторизованная форма уравнения: (x − 1) 2 = 0, и, следовательно, 1 является корнем кратности 2.

Чтобы проиллюстрировать разнообразие знаков многочлена f (x) , вот некоторые из примеров правила знаков Декарта.

Видео:Правила метода Р.ДекартаСкачать

Пример 1: Определение количества вариаций знака в положительной полиномиальной функции

Используя правило Декарта, сколько вариаций знака имеется в многочлене f (x) = 2x 5 −7x 4 + 3x 2 + 6x − 5?

Решение

Знаки членов этого многочлена в порядке убывания показаны ниже. Затем подсчитайте и определите количество изменений знака для коэффициентов f (x). Вот коэффициенты нашей переменной в f (x).

У нас есть первое изменение знаков между первыми двумя коэффициентами, второе изменение между вторым и третьим коэффициентами, отсутствие изменения знаков между третьим и четвертым коэффициентами и последнее изменение знаков между четвертым и пятым коэффициентами. Следовательно, у нас есть одно изменение от 2x 5 до −7x 4 , второе от −7x 4 до 3x 2 и третье от 6x до −5.

Ответ

Данный многочлен f (x) имеет три варианта знака, как указано фигурными скобками.

Пример 1: Нахождение числа вариаций знака в положительной полиномиальной функции с использованием правила знаков Декарта

Джон Рэй Куэвас

Видео:МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать

Пример 2: Нахождение количества вариаций знака в отрицательной полиномиальной функции

Используя правило Декарта, сколько вариаций знака имеется в многочлене f (−x) = 2x 5 −7x 4 + 3x 2 + 6x − 5?

Решение

Правило Декарта в этом примере относится к вариациям знака в f (-x) . Используя предыдущую иллюстрацию в примере 1, просто заданное выражение с помощью –x.

F (-x) = 2 (-x) 5 — 7 (-x) 4 + 3 (-x) 2 + 6 (-x) — 5

f (-x) = -2x 5 — 7x 4 + 3x 2 — 6x — 5

Знаки членов этого многочлена в порядке убывания показаны ниже. Затем подсчитайте и определите количество изменений знака для коэффициентов f (-x). Вот коэффициенты нашей переменной в f (-x).

На рисунке показано изменение от -7x 4 до 3x 2 и второго члена от 3x 2 до -6x.

Окончательный ответ

Следовательно, как показано на рисунке ниже, есть два варианта знака в f (-x).

Пример 2: Нахождение количества вариаций знака в отрицательной полиномиальной функции с использованием правила знаков Декарта

Джон Рэй Куэвас

Видео:9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

Пример 3: Нахождение числа вариаций знака полиномиальной функции

Используя Правило знаков Декарта, сколько знаков имеет многочлен f (x) = x 4 — 3x 3 + 2x 2 + 3x — 5?

Решение

Знаки членов этого многочлена, расположенные в порядке убывания, показаны на изображении ниже. На рисунке показано изменение знака с x 4 на -3x 3 , с -3x 3 на 2x 2 и с 3x на -5.

Окончательный ответ

Есть три варианта знака, о чем свидетельствуют петли над знаками.

Пример 3: Определение количества вариаций знака полиномиальной функции с использованием правила знаков Декарта

Джон Рэй Куэвас

Видео:КАК ПРИНИМАТЬ РЕШЕНИЯ. Квадрат ДекартаСкачать

Пример 4: Определение числа возможных вещественных решений полиномиальной функции

Используя правило знаков Декарта, определите количество вещественных решений полиномиального уравнения 4x 4 + 3x 3 + 2x 2 — 9x + 1.

Решение

1. На рисунке ниже показано изменение знака с 2x 2 на -9x и с -9x на 1. В данном полиномиальном уравнении есть два изменения знака, которые означают, что существует два или ноль положительных решений для уравнения.
2. Для случая отрицательного корня F (-x) , подставить -x к уравнению. На изображении видно, что знак изменился с 4x 4 на -3x 3 и с -3x 3 на 2x 2 .

Окончательный ответ

Есть два или ноль положительных реальных решений. С другой стороны, существует два или ноль отрицательных вещественных решений.

Пример 4: Определение числа возможных вещественных решений полиномиальной функции с использованием правила знаков Декарта

Джон Рэй Куэвас

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Пример 5: Нахождение числа действительных корней полиномиальной функции

Воспользовавшись правилом знаков Декарта, найдите число действительных корней функции x 5 + 6x 4 — 2x 2 + x — 7.

Решение

1. Сначала оцените случай положительного корня, посмотрев на функцию как она есть. Обратите внимание на диаграмму ниже, что знак меняется с 6x 4 на -2x 2 , -2x 2 на x и x на -7. Знаки меняются трижды, что означает, что корней может быть три.
2. Затем найдите f (-x), но оцените случай отрицательного корня. Возможны варианты знаков от –x 5 до 6x 4 и от 6x 4 до -2x 2 . Знаки меняются дважды, а это значит, что отрицательных корней может быть два или вообще нет.

Окончательный ответ

Следовательно, есть три положительных корня или один; есть два отрицательных корня или их нет вообще.

Пример 5: Нахождение числа действительных корней полиномиальной функции с помощью правила знаков Декарта

Джон Рэй Куэвас

Видео:Система уравнений. Метод алгебраического сложенияСкачать

Пример 6: Определение возможного количества решений уравнения

Определите возможное количество решений уравнения x 3 + x 2 — x — 9, используя Правило знаков Декарта.

Решение

1. Сначала оцените функцию, наблюдая за изменением знака. Обратите внимание на диаграмму, что знак меняется только с x 2 на –x. Знаки меняются один раз, что говорит о том, что функция имеет ровно один положительный корень.
2. Оцените случай отрицательного корня, рассчитывая на вариации знака для f (-x). Как вы можете видеть на изображении, есть переключатели знаков от –x 3 до x 2 и с x до -9. Смена знака показывает, что уравнение либо имеет два отрицательных корня, либо вообще не имеет.

Окончательный ответ

Следовательно, существует ровно один положительный действительный корень; есть два отрицательных корня или их нет вообще.

Пример 6: Определение возможного числа решений уравнения с использованием правила знаков Декарта

Джон Рэй Куэвас

Видео:Классический способ решения Диофантовых уравнений ➜ Решите уравнение в целых числах ➜ 13x-7y=6Скачать

Пример 7: Определение количества положительных и отрицательных вещественных решений полиномиальной функции

Обсудите количество возможных положительных и отрицательных вещественных решений и мнимых решений уравнения f (x) = 0, где f (x) = 2x 5 — 7x 4 + 3x 2 + 6x — 5.

Решение

Многочлен f (x) — это тот, который приведен в двух предыдущих примерах (см. Предыдущие примеры). Поскольку существует три варианта знака в f (x), уравнение имеет либо три положительных действительных решения, либо одно действительное положительное решение.

Поскольку f (−x) имеет два варианта знака, уравнение имеет либо два отрицательных решения, либо нет отрицательных решений, либо нет отрицательного решения.

Поскольку f (x) имеет степень 5, всего существует 5 решений. Решения, которые не являются положительными или отрицательными действительными числами, являются мнимыми числами. В следующей таблице перечислены различные возможности, которые могут возникнуть для решения уравнения.

Таблица 1: Правило знаков Декарта. В этой таблице показано количество положительных реальных решений, отрицательных вещественных решений и мнимых решений для данной функции.

Видео:Как решать возвратные уравнения?Скачать

Алгебра Декарта (Примеры)

Видео:ФИЛОСОФИЯ ЗА 5 МИНУТ | Рене ДекартСкачать

ЧТО ТАКОЕ АЛГЕБРА ДЕКАРТА

В основе всеобщей математики Декарта лежало вычисление отрезков. Именно исчисление строилось с помощью усовершенствованной Декартом символики. Он обозначал данные отрезки начальными буквами алфавита а, b , с,…, а неизвестные или «неопределенные» (Лейбниц первый стал говорить о «переменные» величины) — последними буквами х, у, z. обозначения степеней было упрощено и приняло знакомый нам вид а 2 , а 3 ,…, x 2 , x 3 ,… и т.п. а впрочем, когда речь шла о квадрат, еще долго писали аа, хх.

Поэтому алгебраические записи Декарта мало чем отличаются от современных. Однако он еще не распространил свое обозначение степеней на любые дробные и отрицательные показатели,— это сделал Ньютон (1676). Для обозначения корней с целым положительным показателем, большим двух, Декарт ставил показатель или первую букву его названия перед под радикальным выражением, объединенным нередко горизонтальной чертой сверху и обособленным скобкой или точкой, вроде √(са 3 — а 3 + а bb).

Нововведение Декарта

Это нововведение, именно применение черточки, вскоре было подхвачено. Современная удобная форма 3 √ , 4 √ и т. д., которую предложил еще Жирар (1629) и которая применялась, правда, непоследовательно, Ньютоном и Лейбницем, окончательно закрепилась в первой половине XVIII века.

Следует отметить, что буквенные знаки данных величин сами по себе у Декарта означали только положительные величины, и для выражения отрицательных величин он присоединил знак «минус», а когда это был коэффициент неизвестного знака, то ставил перед ним точки.

Употребление букв со знаком «плюс» впереди для выражения как положительных, так и отрицательных чисел впервые встречается в труде Гудде, помещенной во втором латинском издании «Геометрии» 1659-1661 pp. Знак равенства, предложенный Декартом, имел вид ». До начала XVIII века. он был распространен во Франции и Голландии, но потом его везде вытеснил символ Рекорд.

Преимущества декартовой символики обеспечили ее безусловную победу, но на первых порах применялись и различные другие системы обозначений.

Основные теоремы алгебры Декарта

Основные теоремы алгебры Декарт изложил в третьей книге «Геометрии». Многие из них встречались у его предшественников, особенно Так, Жирара и Гарриота, но большая их часть является его собственностью, и именно изложение Декарта, который применял новую замечательную символику и терминологию и предоставил всем формулировкой максимальной простоты, стал отправным пунктом дальнейшего развития алгебры.

Теорию алгебраических уравнений Декарт начинает с принципиально важного предостережения, что их целесообразно рассматривать с правой частью, равной нулю. Затем он переходит к составлению многочленов перемножением линейных двочленів вида х ± а и формулирует основную теорему такими словами: «Всякое уравнение может иметь столько же различных корней или же значений неизвестной величины, сколько она имеет измерений», а чуть дальше он добавляет, что «хотя всегда можно представить себе столько корней, сколько я сказал, но иногда не существует ни одной величины, которая соответствует этим воображаемым корням».

Отдельно указано, что левая часть уравнения делится на двочлен х ± а, где ± а есть корень; это позволяет снизить степень уравнения, если известен корень,— прием, которым пользовался еще в 1567 г. П. Нуньес (1492-1577).

Вслед за этим следует «правило знаков» Декарта для определения числа положительных и отрицательных корней по знакам коэффициентов уравнения. Ньютон несколько уточнил формулировку этого правила, и мы приведем это правило так, как он его высказал: если среди корней уравнения нет «невозможных» (мнимых — отв. ред.), то положительных корней столько, сколько в последовательности коэффициентов перемен знаков от «плюса» к «минусу» — или от «минуса» к «плюсу»; остальные — корни отрицательные.

Правило Декарта

Правило Декарта положило начало целой серии исследований о распределении корней алгебраических уравнений, имеющих важные применения (например, в теории устойчивости). Доведение правила, приведенного в «Геометрии» без заключения, предложил в 1728 г. профессору Геттингене и Галле Йогам

Андреас Зегнер (1704-1777), изобретатель так называемого зегнерового колеса — простейшего типа гидротурбины, а затем и другие математики.Доказательства эти основываются на рассмотрении изменений в чередовании знаков коэффициентов во время умножения левой части на двочлен х ± а (этим же руководствовался, видимо, сам Декарт). К тому же кругу вопросов относятся и замечания Декарта об определении границ действительных корней, спричинилось в многочисленных дальнейших исследований.

Наряду с проблемой распределения корней в «Геометрии» поставлено вторую фундаментальную проблему сводности, то есть розкладності целого многочлена с рациональными (в частности, целыми) коэффициентами на аналогичные сомножители более низких степеней.

Так Декарт рассмотрел вопрос, когда корни кубического уравнения с целыми коэффициентами и старшим из них, который равен 1, строятся с помощью циркуля и линейки (то есть разрешимое уравнение в квадратных радикалов),— вопрос, который интересовал еще Хайяма. Декарт пришел к выводу, что это возможно в том и только в том случае, когда уравнение имеет целый корень, то есть сводное.

Для разрешимости теми же средствами уравнений четвертой степени должна решаться в квадратных радикалов его кубическая резольвента (срок Эйлера). (Определенными преобразованиями решения уравнения 4-ой степени можно свести к решению некоторого кубического уравнения. Последнее и называется кубічною резольвентою уравнения 4-ой степени).

Доказательство неразрешимости циркулем и линейкой неприводимых уравнений третьей степени опубликовал ровно через 200 лет преподаватель Политехнической школы в Париже П. Л. Венцель (1814-1848). Проблему сводности глубоко исследовали Ньютон, Эйлер, Лагранж, Гаусе и много других ученых.

Геометрическая построение корней

Общим методом решения алгебраических уравнений у Декарта была все-таки геометрическая построение их корней, которую все его предшественники применяли лишь в отдельных случаях, а он оригинально распространил на исследование действительных корней уравнений любой степени. В математике Декарт геометрическое построение корней стала своего рода эквивалентом основной теоремы алгебры в ее тогдашнем формулировке; вместе с тем она могла сыграть роль универсального метода приближенного графического решения уравнений.

Взаимодействие алгебры и геометрии здесь выступает особенно отчетливо. Прежде всего действительные корни квадратных уравнений можно построить с помощью пересечения окружности и прямой. Это дает возможность построить по какой-нибудь данной координатой любую точку кривой второго порядка: когда задают одну координату, вторая оказывается корнем квадратного уравнения. А поскольку можно построить множество сколь угодно близких точек кривых второго порядка, то эти линии, с точки зрения Декарта, оказываются допустимым средством дальнейшего анализа.

Затем корни уравнения третьей и четвертой степеней строят с помощью пересечения окружности и параболы, а это в силу тех же соображений позволяет найти бесконечное количество точек кривых третьего и четвертого порядков, которые, в свою очередь, становятся допустимыми в дальнейших конструкциях. Далее Декарт строит корни уравнений пятого и шестого степеней с помощью круга и кривой третьего порядка, которая теперь носит название парабола Декарта или трезубца Ньютона. Именно уравнения вида

развязывается с помощью круга

Далее, говорит Декарт, нужно лишь идти тем же путем. Иначе говоря, корни уравнений степени n > 3 каждый раз строятся с помощью двух кривых порядка ниже n. Возможность нахождения бесчисленного количества произвольных точек кривой Декарт считал достаточной, чтобы использовать эту линию для построений; он также считал, и вполне правильно, что все точки любой дуги «геометрической» кривой могут быть описаны движением шарнирных механизмов (теорема Кемпе), а это обеспечивало непрерывность линий.

Однако основная линия развития алгебры шла в направлении ее автономной, независимой от геометрии построения.

Статья на тему Алгебра Декарта

Похожие страницы:

Понравилась статья поделись ей

Leave a Comment

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Видео:Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать

Сон Рене Декарта. Мастерская квадратных уравнений. Статья 3

Рядом с Виетом существовал и мыслил великий человек, который, признавая роль формул, стремился найти также способы подключения геометрической интуиции в математике, но уже на принципиально новом уровне… Об этом человеке мы теперь и поговорим.

Однажды в XVII веке по дороге из Парижа в Нейбург вечером одинокий путник зашел на постоялый двор. По кривой скрипучей лестнице он поднялся на второй этаж бедной гостиницы. Зашел в полутемный номер, снял шпагу и плащ, отпустил слугу, зажег свечу и сел за дубовый стол. Из дорожной сумки он достал бумагу и гусиное перо с чернильницей. Через какое-то время бумага покрылась таинственными знаками. Скажу по секрету: наш путник был математиком и философом, то есть человеком, любящим мудрость.Но в этот день ему не везло.Формулы, как назло, не сходились, задача не решалась, несмотря на все старания. Никакой из известных приемов не подходил. Наконец под утро, отчаявшись, он лег на жесткую кровать, заснул и увидел сон.Но это был такой сон, который невозможно рассказать, так как в нем не было никакого сюжета. Просто море, огромные волны бились о берег. И вдруг эти волны остановились. Время как будто замерло. Все вокруг, и сами волны, и морская пена, и облака, быстро бежавшие по небу, вдруг оказалось охвачено некоей сетью и в один момент застыло, словно замерзло… И можно было бродить вдоль этой замерзшей волны и видеть там замерзших рыб, неподвижные водоросли. И можно было все это рассматривать и изучать.Путник проснулся с каким-то удивительно легким и приятным чувством открытия. Он подошел к столу, взял перо и нарисовал нечто подобное сетке из линий. Взглянул на календарь: 10 ноября 1619 года. Открытие состоялось. Путника звали Рене Декарт, он открыл систему координат, которую в дальнейшем стали называть декартовой. Следующее рассуждение мы проведем в духе Декарта.Что такое система координат, вы, конечно, знаете. Изобразим две оси: ось абсцисс и ось ординат. И рассмотрим, например, уравнение x2 – 4x + 3 = 0.С ним неразрывно связана функция y = x2 – 4x + 3. В том случае, когда уравнение имеет корни, у = 0, то есть график функции пересекает ось абсцисс. Если мы узнаем эти точки, мы фактически решим уравнение. Поэтому есть смысл построить график.Начнем с графика y = x2. Это парабола, ветви которой указывают вверх. Саму кривую легко построить по точкам. Парабола симметрична, так как x2 = (-x)2. Мы знаем также, что замена x на x+m сдвинет график влево на m, тогда как замена у на у+n приведет к опусканию графика вниз на n. Иными словами, график функции y = (x + m)2 + n будет той же параболой, но сдвинутой на m влево и на n вверх.Вернемся к функции y = x2 – 4x + 3 и ее графику. Одну точку этого графика мы точно знаем. При х = 0 у = 3 (достаточно подставить х = 0 в формулу y = x2 – 4x + 3). Так что можно сразу отметить точку у=3 на оси ординат.Попробуем построить еще какие-нибудь точки. Идея! Построим точку на графике, симметричную только что построенной (относительно оси симметрии параболы). Мы знаем о такой точке, что она лежит на той же высоте у = 3. Поэтому зададим у = 3:3 = x2 – 4x + 3Упрощая, получаем:x (x – 4) = 0Это уравнение имеет два корня х = 0 (это уже построенная нами точка) и х = 4. То есть мы можем нанести еще одну точку х = 4, у = 3.Ось симметрии будет лежать посередине между этими точками и задаваться прямой х = 2. И теперь нам будет несложно найти третью точку – самую нижнюю точку параболы (ее вершину, которую в данном случае естественнее назвать низиной), для чего нужно подставить 2 в y = x2 – 4x + 3. Получим у = -1. Итак, строим третью точку х = 2, у = -1. Теперь можно построить эскиз графика.Ничто не мешает провести эти рассуждения в общем виде для уравнения x2+px+q=0. И тогда координаты первых двух точек будут следующими: (0, q), (-p, q). А третью точку получим, если подставим в y = x2 + px + q значение -р/2. .Значит, координаты этой точки будут .Ну хорошо. График мы построили. Но ведь мы так и не научились определять корни, то есть абсциссы точек, где кривая пересекает ось абсцисс. Будем действовать так. Сдвинем построенную нами параболу y = x2 – 4x + 3 на 2 влево, чтобы ее ось симметрии совпала с осью ординат. Можно обойтись без подстановок, итак ясно: график этой кривой будет той же параболой y = x2, но опущенной вниз на 1. То есть это будет функция y = x2 – 1. Ее корни найти легко: . Теперь, чтобы найти корни заданной функции, нужно просто сдвинуть эти точки назад, вправо, то есть увеличить их на 2. Получаем x1=1, x2=3.В общем виде.Сдвигая график функции на -p/2 «влево» (а куда он реально сдвинется, зависит от значения p), получаем функцию . Чтобы найти ее точки пересечения с осью абсцисс, решаем уравнение . Получаем . Сдвигая корни обратно («вправо») на -p/2 (для чего нужно прибавить это число к х1 и х2), получаем наконец хорошо известную нам формулу решения приведенного квадратного уравнения .Интересно, что если координаты вершины параболы обозначить через (v1, v2), то эта формула записывается очень коротко: . И становится ясно, почему величина «сигналит» о наличии корней – ведь это же просто ордината вершины параболы. А так как в случае приведенного квадратного уравнения ветви параболы всегда направлены вверх, то от ее значения зависит, пересечется парабола с осью абсцисс или нет.Итак, мы вывели эту формулу три раза (см. статьи 1 и 2). Методом выделения полного квадрата, опирающегося на геометрическую интуицию, где число выступает и как длина, и как площадь, как это делали в Средние века. Методом Виета, то есть с помощью манипуляции формулами без обращения к геометрическим образам. И наконец, методом Декарта, с помощью системы координат и графиков. В нашем случае даже трудно сказать, какой вариант лучше или проще. Но сила этих методов различна. Два последних гораздо эффективнее в более сложных случаях. И мне хотелось показать вам на этом примере характерные особенности квадратных уравнений.Я думаю, что современная математика в основном пользуется формальными методами Виета. Не раз были попытки вообще избавиться от чертежей. Последняя такая попытка была совершена группой французских математиков под псевдонимом Никола Бурбаки. Но постепенно мы видим, как в процессе даже наиболее абстрактных вычислений современные математики все чаще пользуются представлением своих результатов в графической форме, следуя Декарту. Прошли те времена, когда даже толстые учебники геометрии могли не содержать ни одного чертежа. И даже в трудах по алгебре можно ныне изредка встретить систему координат с графиками. Методы Декарта и Виета переплетаются и имеют огромную познавательную силу. Именно об этой математике великий философ Иммануил Кант сказал, что в каждой науке столько науки, сколько в ней математики.

🔥 Видео

Как решают уравнения в России и США!?Скачать

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЕГЭ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэСкачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

11 класс, 27 урок, Общие методы решения уравненийСкачать

Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

5 способов решения уравнений | Эрик Легион | 100балльный репетиторСкачать