Метод даламбера для решения уравнения колебания струны с закрепленными концами (3 видео)

Содержание

Электронная библиотека
Применение метода Даламбера к решению уравнения колебаний струны с подвижными концами Текст научной статьи по специальности « Математика»
Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Баев С.В., Пикуш Ю.С.
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Баев С.В., Пикуш Ю.С.
Текст научной работы на тему «Применение метода Даламбера к решению уравнения колебаний струны с подвижными концами»
💡 Видео

Видео:Уравнение колебания струны. Решение методом ДаламбераСкачать

Электронная библиотека

Рассмотрим задачу о колебаниях бесконечной струны. Если представить себе очень длинную струну, то ясно, что на колебания, возникшие в ее средней части, концы струны не будут оказывать заметного влияния. Так, если взять длинную натянутую веревку и слегка качнуть ее в середине, то по веревке влево и вправо побегут волны.

Картина начнет искажаться только тогда, когда волны дойдут до концов веревки и, отразившись, пойдут обратно. Следовательно, не учитывая влияния концов струны, мы, тем самым, не будем учитывать влияния отраженных волн.

Таким образом, мы приходим к задаче о свободных колебаниях неограниченной струны, которая формулируется так: решить однородное линейное дифференциальное уравнение гиперболического типа

при начальных условиях

где функции и заданы на всей числовой оси. Никакие другие условия на искомую функцию не накладываются. Такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши. Метод ее решения называется методом Даламбера или методом бегущих волн.

Уравнение характеристик распадается на два:

Характеристиками являются прямые:

Введя новые переменные , получим канонический вид уравнения колебаний:

Интегрируя это уравнение по , получим:

Интегрируя последнее уравнение по (при фиксированном значении ), будем иметь:

Полученный общий интеграл запишем, подставив и :

Учитывая начальные условия (4.19), получим:

Интегрируя уравнение (4.22), получим:

Решая уравнение (4.23) совместно с уравнением (4.21) будем иметь:

Учитывая, что функции и определены для любого аргумента, заменяем x в уравнении (4.24) на и в уравнении (4.25) на .

Подставляя полученные выражения в уравнение (4.20), получим:

Выражение (4.26) называется формулой Даламбера или решением Даламбера задачи Коши для уравнения колебаний неограниченной струны. Она показывает также существование и единственность решения данной задачи.

Выясним физический смысл полученного решения. Рассмотрим два частных случая.

Пусть начальные скорости точек струны равны нулю, и струна колеблется в результате начального отклонения. В этом случае в формуле (4.26) надо положить . Тогда

Колебание можно рассматривать как наложение (суперпозицию) колебаний двух волн:

· первая волна распространяется со скоростью a вправо (прямая волна);

· вторая волна распространяется с той же скоростью влево (обратная волна).

В начальный момент времени t = 0 профили обеих волн совпадают и повторяют начальное отклонение струны с половинной амплитудой.

Пусть теперь начальное смещение , а отлично от нуля в промежутке , а вне этого промежутка . В таком случае говорят, что струна имеет только начальный импульс (волна импульса). Тогда в соответствии с (4.26) решение имеет вид:

Используя выражение (4.29), запишем уравнение (4.28) в виде:

То есть, по струне распространяются две волны импульса: прямая и обратная , а результирующая волна является суммой (суперпозицией) этих волн.

Вывод: действие импульса заключается в том, что с течением времени точки струны сдвигаются на отрезок, определяемый интегралом (4.28) и остаются в этом положении. Волна как бы оставляет след после своего прохождения.

Полученные результаты для колебаний бесконечной струны не могут быть применены к реальному колебанию физической струны. Действительно, при их выводе не были учтены многие факторы. В частности, опыт учит нас, что струна какой угодно длины, выведенная из положения равновесия или ударенная, колеблется. Законы колебания бесконечной струны (4.27) и (4.28) этого не показывают, потому что колебания конечной струны происходят вследствие отражения отклонений от закрепленных концов струны, а при рассмотрении бесконечной струны мы не учитываем влияния концов. Поэтому практически решения уравнений (4.27) и (4.28) применимы только для таких моментов t, для которых отклонения точек струны не успели дойти до ее концов. Кроме того, начальные функции и должны быть такими, чтобы в течение всего процесса было малой величиной, которой можно пренебречь по сравнению с единицей.

Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00

Видео:4.1 Колебания полуограниченной струны с закрепленным и свободным концомСкачать

Применение метода Даламбера к решению уравнения колебаний струны с подвижными концами Текст научной статьи по специальности « Математика»

Видео:Неоднородное уравнение колебания струныСкачать

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Баев С.В., Пикуш Ю.С.

Представлено решение задачи о колебаниях натянутой струны, закрепленной на концах. Концы струны совершают периодические поперечные перемещения с различными периодами. Для решения использован метод Даламбера.

Видео:Уравнения математической физики. Решение Даламбера одномерного волнового уравненияСкачать

Текст научной работы на тему «Применение метода Даламбера к решению уравнения колебаний струны с подвижными концами»

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ДАЛАМБЕРА К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ С ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ

С. В. Баев, д. т. н., проф., Ю. С. Пикуш, студент

Актуальность проблемы. К решению волнового уравнения приводят многие задачи о поперечных колебаниях натянутой струны, крутильных колебаниях валов, продольных нелинейных колебаниях стержня. Известная в литературе [1—3] процедура построения этого решения при заданных начальных и ненулевых граничных условиях довольно громоздка, что приводит к большим трудностям при исследовании решения. В связи с этим представляет интерес построение решения краевой задачи для однородного линейного волнового уравнения с неоднородными граничными условиями, удобного для исследования. Для этого можно применить метод бегущих волн.

Постановка задачи. Построим решение уравнения поперечных колебаний натянутой струны

при заданных начальных условиях

и неоднородных граничных условиях

Здесь и = и (х, г) — поперечное перемещение точек струны, х — абсцисса, г — время, Ь — длина струны. Функции у(г) и у2(г) определяют закон вертикального перемещения левой и правой опор, на которых крепится струна. Предполагается, что они непрерывны и периодические, в отличие от работы [6], с разными периодами, которые соответственно равны 21 и 211. Очевидно, начальные и граничные условия должны быть совместными, т. е. удовлетворять равенствам

I (0) = у (0), I (Ь) = у (0), Р (0) = у’ (0), Р (Ь) = у; (0).

Решение задачи. Для решения линейной задачи справедлив принцип суперпозиции. Будем искать решение задачи в виде суммы двух функций:

и( х, г) = у1 (х, г)+у2 (х, г).

Пусть первая функция У1 (х, г) удовлетворяет однородным граничным условиям и определенным начальным, которые определим позже. Тогда вторая функция У2(х, г) должна удовлетворять неоднородным граничным условиям (4) и (5):

В отличие от решения, предложенного в работе [4], используем следующий прием. Поменяем ролями переменные х и ^. Перепишем уравнение (1) в виде

Э2u _ 1 Э2и Эх2 a2 Эt2 ‘

Его решение v2 (х, t) методом Даламбера имеет вид

y It — х I + y i [ t + х I t+a

лч V a) I a) a г . . v2 (x, t) = —^-J—-^-J- + — I f (z)dz

и удовлетворяет условиям

/ ч Эv2 = ¥i(t), ^ x = 0 Эх

Функцию ) определим позже. Разложим функцию ) в ряд Фурье с периодом Т = 21, а пока не определенную функцию ) представим в виде суммы двух рядов Фурье с периодами Т = 21 и Т = 211:

y(t) = -0 + S an cos — +bn sin —, (13)

c _ f(t) = f + S Cn cos

c0 -A * npt ,* . npt +—- + > с cos—+dn sin-.

где коэффициенты Фурье a0, an, bn определяются известными формулами. Подставляя в

равенство (13) вместо t сначала t—, а затем t +— и складывая результаты в левой и правой

части, получим разложение в ряд Фурье для первого слагаемого правой части формулы (11):

y It — х I + y It + х I ¥ p p

V a) V a) a0 ^ npt npx , . npt npx

2 2 tí n l a ■ l n l a ■ l

Второе слагаемое формулы (11) с учетом равенства (14) преобразуется к виду

a f I c0 nnz . npz c0 * npt * . np =—• I — + > cn cos—Ш„ sin—I-— + > c cos—Ш„ sin—

9 J 9 n 1 n 1 П ‘ n J n 1

2 x V 2 n=1 l l 2 n=1 1 1 )

После упрощения находим:

^^чт c0 ‘х v^ al npt . npx 1 al . npt . npx c*x

2 Jx 2 n=i np l al np l al 2

* aL npt . npx 7* aL . npt . npx cn—cos-sin—+dn—sin-sin-.

n=1 np l1 al1 np l1 al1

Складывая выражения (15) и (16), находим функцию v2 (x, t) :

■A npt npx 1 . npt npx

+ У an cos-cos—+ bn sin-cos—+

al npt . npx , al . npt . npx

cn — cos-sin—+ dn — sin-sin—+

n=1 n np l al n np l al

Z* al1 npt . npx al . npt . npx

cn —L cos-sin—+ dn —L sin-sin —

n=1 np l1 al1 np l1

Разложим функцию y2 (t) с периодом 2l1 в ряд Фурье:

Теперь определим коэффициенты c*, c* и d*. Подставляя x = L в равенство (17) и учитывая граничное условие (9) и равенство (18), приходим к тождеству:

a0 -A npt п . npt a0 npt npL . npt npL

—+ У an cos—+p„ sin-=—+ У an cos-cos—+ bn sin-cos—+

2 tí » l1 l1 2 tí » l al n l al

c0L ^ al npt . npL „ al . npt . npL

+—+ У cn — cos-sin—+ dn — sin-sin—+

2 n=1 n np l al n np l al

c*L * al, npt . npL .» al, . npt . npL +—+ У cn —Lcos-sin—+ dn —Lsin-sin-.

2 n=1 n np l1 al1 n np l1 al1

a0 ^ npt _ npt /юл

У2 (t) = + yan cos — +bn sin— . (18)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях sin—, cos^—, sin —— и

cos- в левой и правой части, найдем c0 + c0, cn, dn, cn и dn:

npL 1 npL _ an cos—bn cos-

co + c,*-^0, cn -_—d — al

L ‘ n al . npL’ n al . npL’

Подставляя эти коэффициенты в равенство (17), находим функцию v2 (x, t) :

/ ч a0 npt npx 1 . npt npx « — a0 x v2(x;t) =—+ Zan cos-cos—— + b„ sin cos—— +

Z4 „’ ai npt . npx 4 n’ ai npt . npx

. npL l al ■ npL l al

1 npt . npx n 1 . npt . npx

n=1 n . npL I al „ . npL I al,

(x; t) = 041 — x I + ^ + Z

1 npt np x sin-sin-.

ao, a„, bn, «о, «„, ßn определяются формулами

— yx(t)dt, a„ = — JVj(i) ■ cos „—dt , bn = — Jy,(t) • sin „—dt ,

if 1 f npt 1 f npt

Проверка показывает, что построенная функция удовлетворяет неоднородным граничным условиям (8) и (9).

Теперь определим функцию У1 (х, ^), которая должна удовлетворять однородным граничным условиям и новым начальным условиям

= f (x), —it = 0 Jiy ‘ Эt

fi( x) = f ( x) — V 2

, F,( x) = F (x) —^ t = 0 iW V ‘ Эt

Отметим, что в силу равенств (6) функции /(х) и Р1(х) обращаются в ноль на концах струны

/1 (0) = /(0) — (0,0) = /(0) — у (0) = 0,

/ (Ь) = /(Ь) — У2 (1,0) = /(Ь) — У2(0) = 0 , ЭУ2(X, 0

^(0) = F(0) -Fl( Ь) = F (Ь) —

= F (Ь)-у2 (0) = 0. х = Ь, г = 0

Построим решение Даламбера. Используя прием, который применял Н. Г. Бондарь [5], продолжим функции /1 (х) и F1 (х) периодически с периодом, равным 2Ь, причем нечетным образом. Легко доказать, что в этом случае разбегающиеся волны гасят друг друга на концах струны и однородные граничные условия удовлетворяются автоматически. Теперь решение Даламбера является также и решением краевой задачи с однородными граничными условиями. Функции /1 (х) и F1 (х) могут быть разложены в ряд Фурье по синусам в силу их нечетности:

/1(г) = £ Й1П sin ПШ , Fl(г) = £ Ь

Ь1п =- i /г (х) • — ёх , (22)

Подставим правые части равенств (21) в решение Даламбера:

/1 (х — аг) + /1 (х + аг) 1 „ ч ,

у, (х, г) = —-——— + — к (1)йх.

Первое слагаемое правой части последнего равенства принимает вид:

/ (х — аг)+ / (х + аг) ^ . пш пшаг —-Чг^-» = 2 Ьщ эт — • есв—. (23)

Упростим второе слагаемое

1 г 1 г . пшг , . пшх . пшаг ^^

— I 2М2 = — I 2Ь2П вт-—= 2Ь3П вт-— • вт——, (24)

Ь3п =-| F1(x) • эт-ёх. (25)

Складывая почленно равенства (23) и (24), получим функцию У1 (х, г)

ч i nrnit , . nrnit i . npx , ч

v(xt)=z I bin • +b3n’sin _^Jsin ‘

где коэффициенты b1n и b3n определяются формулами (22) и (25).

Вывод. Решение волнового уравнения (1) при заданных начальных условиях (2) и (3) и неоднородных граничных условиях (4) и (5) имеет вид

u (x, t) = v1(x, t) + v2 (x, t) ,

где функции Vj( x, t) и v2( x, t) определяются формулами (26) и (20). Его вид значительно проще, если сравнивать с известным решением [1; 2], и он удобен для исследования. Например,

анализ выражения (20) приводит к выводу, что в случае, когда число — или — является

целым, то наступает резонанс по n -й гармонике, и амплитуда колебаний неограниченно возрастает. Это объясняется отсутствием сил вязкого сопротивления.

Замечание. Полученное решение можно применить, если функции y1 (t) и y2 (t) заданы на конечном интервале, непрерывны, но не являются периодическими. В этом случае их можно разложить в ряд Фурье с периодом, равным удвоенному конечному интервалу.

1. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. — М.: Высшая школа, 1970. — 710 с.

2. Соболев С. Л. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1966. — 443 с.

3. Араманович И. Г., Левин В. И. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1969. — 286 с.

4. Баев С. В., Пикуш Ю. С. Применение метода Даламбера к построению периодических решений уравнения колебаний струны при неоднородных краевых условиях. // Theoretical Foundations of Civil Engineering — XY. — Warsaw: 2007, pp. 21-24.

5. Бондарь Н. Г. Нелинейные автономные задачи механики упругих систем. — К.: Бущвельник, 1971. — 140 с.

6. Баев С.В., Пикуш Ю.С. Построение решения уравнения колебаний струны при неоднородных краевых условиях. // Вюник Придшпровсько! державно! академи будiвництва та архггектури. — Д.: ПДАБА, 2007. — № 12. — 68 с.

Применение метода Даламбера к решению уравнения колебаний струны с подвижными концами /С. В. Баев, Ю. С. Пикуш //Вкник ПридншровськоТ державноТ академп будiвництва та архггектури. — Д.: ПДАБА, 2007. — № — С. Бiблiогр. : (5 назв).