Механические колебания в дифференциальных уравнениях (4 видео)

Дифференциальное уравнение механических колебаний

На всех уровнях организации – от макромолекулярного до популяционного – в биологическихсистемах происходят незатухающие колебания их параметров: ферментативной активности, концентрации метаболитов, параметров, определяющих физиологическое состояние (пульс, смена сна и бодрствования и т.д.). Считается, что любая биологическая система не только может, но и должна быть колебательной. Вот почему колебательным процессам уделяется столь пристальное внимание.

Рассмотрим одну из задач прикладной механики, исследовав, и разрешив ее с помощью линейных дифференциальных уравнений.

Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Рис. 6.

Пусть, например, тело массой m, подвешено на пружине, жестко закрепленной одним концом (см. рис.6).

Как видно из рис.1 (положение I), вес тела уравновешивается упругой силой пружины, т.е.

Если оттянуть пружину, то появятся еще две силы: F — восстанавливающая сила пружины, пропорциональная изменению длины пружины и F_сопр — сила сопротивления среды, пропорциональная скорости движения тела.

Равнодействующая сил, расположенных на одной прямой (положение II) определяется как их алгебраическая сумма :

Исходя из того, что F₁ = mg равнодействующая будет равна

По второму закону Ньютона

R = ma ;

(1)

Силу F можно определить по закону Гука

где k — коэффициент жесткости пружины.

Сила F_сопр пропорциональна скорости движения и направлена противоположно ей:

, (4)

где r — коэффициент, характеризующий свойства среды оказывать сопротивление движению.

Подставив (2), (3) и (4) в выражение (1) имеем

;

Разделим обе части на m, и перенесем все члены в одну сторону, получим

(5)

Введем следующие обозначения:

Замечание. k и m — величины положительные, следовательно и k/m — тоже величина положительная, поэтому мы вправе обозначить ее квадратом некоторого числа.

Тогда выражение (5) будет иметь вид

или (6)

Итак, решение нашей задачи свелось к решению линейного однородного дифференциального уравнения.

Воспользуемся нашим алгоритмом решения.

1. Напишем характеристическое уравнение

2. Найдем корни этого уравнения

3. Запишем общее решение. Как мы знаем, общее решение зависит от того, какого вида получились у нас корни. Поэтому исследуем каждое решение в отдельности.

1) b > w₀, тогда корни действительные, отрицательные и решение имеет вид

Рис. 7 График, представляющий решение дифф. уравнения при k₁ ¹ k₂

Как видно, общее решение выражается через показательные функции. Следовательно, смещение x, при любых C₁ и C₂ асимптотически стремится к нулю, при t®¥. Графически это выглядит так(рис. 7)

В данном случае колебаний не будет, т.к. силы сопротивления велики по сравнению с коэффициентом жесткости пружины.

2) b = w₀, тогда корни характеристического уравнения k₁ = k₂ = -b.

Рис. 8. График, представляющий решение дифф. уравнения при k₁ = k₂

Общее решение, как следует из теории, имеет вид

Здесь также смещение стремится к нулю при t®¥, однако не так быстро, как в предыдущем случае (благодаря наличию сомножителя C₁ + C₂t). Графически это можно представить следующим образом (см. рис.8)

3) b = 0, т.е. отсутствует сила сопротивления, уравнение (6) тогда примет вид

(7)

Дифференциальное уравнение (7) называется уравнением свободных колебаний. Характеристическое уравнение имеет вид ;

Общее решение (8)

Общее решение можно также записать в следующем виде:

Рис. 9. Гармонический колебательный процесс

заменив математические постоянные C₁ и C₂ величинами A и j₀ , имеющими смысловую физическую нагрузку. Эти величины можно легко выразить через C₁ и C₂ следующим образом:

Итак, если отсутствуют силы сопротивления, мы получаем гармонический колебательный процесс, где
x — смещение колеблющейся точки от положения равновесия происходит по косинусоидальному закону. При этом w₀ — есть круговая (циклическая) частота,
A — амплитуда, т.е. максимальное смещение точки от положения равновесия, j₀ — начальная фаза.

4) b — bt (C₁ cos wt + C₂ sin wt ).

Введя постоянные A₀, j₀, можно записать решение в виде

Рис. 10. Затухающий колебательный процесс

Мы получили дифференциальные уравнения затухающих колебаний, где — круговая частота затухающих колебаний, b — коэффициент затухания. Кроме того мы получили зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени

В результате данного анализа дифференциального уравнения, соответствующего конкретной задаче механических колебаний выяснили, что колебания будут гармоническими, если корни характеристического уравнения мнимые, или затухающими, если корни характеристического уравнения комплексные. В любом другом случае движения будут апериодическими.

Содержание

Лекция №7. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
5.1. Свободные гармонические колебания и их характеристики.
5.2. Сложение одинаково направленных и взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.
5.3. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение.
5.4. Энергия гармонических колебаний.
5.5. Пружинный, математический и физический маятники.
Механические колебания.
Гармонические колебания.
Уравнение гармонических колебаний.
Пружинный маятник.
Математический маятник.
Свободные и вынужденные колебания.
🔍 Видео

Видео:МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ период колебаний частота колебанийСкачать

Лекция №7. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

5.1. Свободные гармонические колебания и их характеристики.

Колебания − это движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебания, повторяются через равные промежутки времени. Наиболее важными характеристиками колебания являются: смещение, амплитуда, период, частота, циклическая частота, фаза.

Простейший вид периодических колебаний − это гармонические колебания. Гармонические колебания − это периодическое изменение во времени физической величины, происходящее по закону косинуса или синуса. Уравнение гармонических колебаний имеет вид

1) Смещение x − это величина, характеризующая колебания и равная отклонению тела от положения равновесия в данный момент времени.

2) Амплитуда колебаний А − это величина, равная максимальному отклонению тела от положения равновесия.

3) Период колебаний T − это наименьший промежуток времени, через который система, совершающая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент, выбранный произвольно. Единица измерения [T] = 1 с .

За период система совершает одно полное колебание.

4) Частота колебаний ν − это величина, равная числу колебаний, совершаемых в единицу времени (за 1 секунду). Единица измерения [ν]= 1 Гц . Частота определяется по формуле

5) Циклическая частота ω − это величина, равная числу полных колебаний, совершающихся за 2π секунд. За единицу циклической частоты принята угловая частота, при которой за время 1 с совершается 2π циклов колебаний, [ω]= с -1 . Циклическая частота связана с периодом и частотой колебаний соотношением

6) Фаза колебаний ωt + φ₀ − фаза указывает местоположение колеблющейся точки в данный момент времени.

7) Начальная фаза φ₀ − указывает местоположение колеблющейся точки в момент времени t = 0 .

5.2. Сложение одинаково направленных и взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.

Сложение нескольких колебаний одинакового направления можно изображать графически с помощью метода векторной диаграммы.

Гармоническое колебание может быть представлено графически с помощью вращающегося вектора амплитуды А . Для этого из произвольной точки O , выбранной на оси Ox , под углом φ₀ , равным начальной фазе колебания, откладывается вектор амплитуды А . Модуль этого вектора равен амплитуде рассматриваемого колебания. Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью ω , равной циклической частоте колебаний, то проекция конца вектора амплитуды будет перемещаться по оси Ox и принимать значения от -A до +A , а колеблющаяся величина изменяться со временем по закону x = Acos(ωt + φ₀)

1. Сложение одинаково направленных гармонических колебаний.

Сложим два гармонических колебания одинакового направления и одинаковой частоты. Смещение x колеблющегося тела будет суммой смещений x₁ и x₂ , которые запишутся следующим образом:

Представим оба колебания на векторной диаграмме. Построим по правилу сложения векторов результирующий вектор А . Проекция этого вектора на ось Ox равна сумме проекций слагаемых векторов x=x₂+x₂ , следовательно, вектор А представляет собой результирующее колебание. Определим результирующий вектор амплитуды А потеореме косинусов

Так как угол между векторами А ₁ и А ₂ равен φ=π-(φ₂-φ₁) , то cos[π-(φ₂-φ₁)]=-cos(φ₂-φ₁) , следовательно, результирующая амплитуда колебания будет равна

Определим начальную фазу результирующего колебания.

Из рисунка видно, что начальная фаза результирующего колебания

Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, также совершает гармонические колебания в том же направлении и с той же частотой.

2. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.

Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях. Допустим, что материальная точка совершает колебания как вдоль оси X , так и вдоль оси Y . Выберем начало отсчета времени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю. Тогда уравнения колебаний примут вид

где φ − разность фаз обоих колебаний.

Уравнение траектории получим, исключив из уравнений (5.2.6) параметр времени t: cosωt= $$xover A_1$$ , а sinωt= $$sqrt=sqrt$$ Разложим косинус во втором из уравнений (5.2.6)

Перепишем это уравнение в следующем виде

После преобразования, получим

Используя тригонометрическое тождество cos 2 φ+sin 2 φ=1 , окончательно получим

Это есть уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей произвольно. Ориентация эллипса и величина его полуосей зависят от амплитуд колебаний и разности фаз.

Рассмотрим несколько частных случаев и определим форму траектории для них:

a) разность фаз равна нулю [φ=0]

В этом случае $$( — )^2=0$$ , откуда получается уравнение прямой

Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой ω и амплитудой $$A= sqrt<A_1+A_2>$$ .

2) разность фаз равна ±π[φ=±π] .

В этом случае $$( — )^2=0$$ , откуда получается уравнение прямой

3) Разность фаз равна ± $$πover 2$$ [φ=± $$π over2$$ ] . Тогда

Уравнение эллипса, причем полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. При равенстве амплитуд колебаний эллипс вырождается в окружность. Случаи φ=+ $$πover 2$$ и φ=- $$πover 2$$ отличаются направлением движения. Если φ=+ $$πover 2$$ , то уравнения колебаний имеют следующий вид: x=A₁cosωt , и y=-A₂sinωt и движение совершается по часовой стрелке. Если φ=- $$πover 2$$ , , то уравнения колебаний имеют следующий вид: x=A₁cosωt , и y=A₂sinωt и движение совершается против часовой стрелке.

Рассмотренные три частных случая представлены на рис. 5.2.3, а, б, в. Рис

4) Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то траектория результирующего движения имеет вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу . Форма этих кривых определяется соотношением амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний.

На рис. 5.2.4 показаны фигуры Лиссажу, которые получаются при соотношении частот 1:2 и различной разности фаз колебаний.

По виду фигур можно определить неизвестную частоту по известной частоте или определить соотношение частот складываемых колебаний.

5.3. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение.

Продифференцируем по времени уравнение гармонических колебаний

и получим выражение для скорости

Из сравнения уравнений (5.3.1) и (5.3.2) следует, что скорость опережает смещение по фазе на π/2 . Амплитуда скорости равна Аω .

Продифференцировав уравнение (2) еще раз по времени, получим выражение для ускорения

Как следует из уравнения (5.3.3), ускорение и смещение находятся в противофазе. Это означает, что в тот момент времени, когда смещение достигает наибольшего, положительного значения, ускорение достигает наибольшего по величине отрицательного значения, и наоборот. Амплитуда ускорения равна Аω 2 (рис. 5.3.1).

Из выражения (5.3.3) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Результирующая сила, действующая на материальную точку массой m , определяется с помощью второго закона Ньютона. Проекция этой силы

Эта сила пропорциональна смещению точки из положения равновесия и направлена в сторону противоположную этому смещению, т. е. она стремится вернуть точку в положение равновесия, и поэтому называется возвращающей силой . Таким образом, гармонические колебания происходят под действием силы F , пропорциональной смещению x и направленной к положению равновесия,

где k=mω 2 − постоянный коэффициент. Возвращающая сила подобна упругим силам, возникающим в телах при их деформации. Такая зависимость силы от смещения характерна для упругой силы, поэтому силы иной физической природы, удовлетворяющие зависимости (5.3.6) называются квазиупругими силами .

Материальная точка, совершающая колебания под действием квазиупругой силы, называется линейным осциллятором . Ее динамическое поведение описывается дифференциальным уравнением

ω₀ − собственная частота осциллятора.

Решение этого уравнения дает закон движения линейного осциллятора x=Acos(ωt+φ₀) .

5.4. Энергия гармонических колебаний.

В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную энергию и обратно (рис. 5.4.1). В момент наибольшего отклонения от положения равновесия полная энергия состоит только из потенциальной энергии, которая достигает своего наибольшего значения. Далее при движении к положению равновесия потенциальная энергия уменьшается, при этом кинетическая энергия возрастает. При прохождении через положение равновесия полная энергия состоит лишь из кинетической энергии, которая в этот момент достигает своего наибольшего значения. Далее при движении к точке наибольшего отклонения происходит уменьшение кинетической и увеличение потенциальной энергии. И при наибольшем отклонении потенциальная опять максимальная, а кинетическая энергия рана нулю. И т. д.

Потенциальная энергия тела, совершающего гармонические колебания равна

Кинетическая энергия тела, совершающего гармонические колебания равна

Таким образом, полная энергия гармонического колебания, состоящая из суммы кинетической и потенциальной энергий, определяется следующим образом

Следовательно, полная энергия гармонического колебания

оказывается постоянной в случае гармонических колебаний.

Найдем среднее значение потенциальной энергии за период колебания

Аналогично получается для среднего значение кинетической энергии

Таким образом, и потенциальная, и кинетическая энергии изменяются относительно своих средних значений по гармоническому закону с частотой 2ω и амплитудой ωt kA 2

5.5. Пружинный, математический и физический маятники.

Рассмотрим несколько простейших систем, совершающих свободные гармонические колебания.

1) Пружинный маятник − это материальная точка массой m , подвешенная (или расположенная горизонтально) на абсолютно упругой пружине жесткостью k и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы. Пусть шайба массой m , прикрепленная к пружине, совершает колебания. Для составления дифференциального уравнения колебаний запишем второй закон Ньютона в проекции на ось Ox F_упр=ma . Упругая сила F_упр=-kx . Приравнивая последние два уравнения и, используя определение ускорения тела, получим

Сравнивая уравнения (5.3.7) и (5.5.2) получаем, что пружинный маятник совершает гармонические колебания с частотой

Так как период колебаний определяется по формуле T= $$2πover ω_0$$ , то период колебаний пружинного маятника

2) Математический маятник − это идеализированная система, состоящая из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена материальная точка массой m . Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом φ , образованным нитью с вертикалью.

При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент M , равный по величине mqlsinφ .Он имее акое же направление, что стремится вернуть маятник в положение равновесия. Следовательно, выражение для вращательного момента имеет вид: M=-mqlsinφ . Применим основно ательного движения

где L=ml 2 − момент инерции материальной точки. Тогда, учитывая, что угловое ускорение ε= $$d^2φover dt^2$$ , получим

Если рассматривать малые колебания, то sinφ≈φ . Получим

То есть при малых колебаниях угловое отклонение математического маятника изменяется по гармоническому закону с частотой

Период колебаний математического маятника

3) Физический маятник − это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной оси, проходящей через точку, не совпадающую с центром масс тела. При отклонении маятника от положения равновесия на угол φ возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен M=-mglsinφ .

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения получаем

где I − момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса.

Если рассматривать малые колебания, то sinφ≈φ . Получим

Период колебаний математического маятника

Из сопоставления формул периодов колебаний математического и физического маятников T=2π $$sqrt$$ и T=2π $$sqrt$$ получается, что математический маятник с длиной

будет иметь такой же период колебаний, что и данный физический маятник.

Величина l_пр (отрезок OO′) называется приведенной длиной физического маятника − это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника. Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром масс, и лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания (О′) физического маятника. Точка подвеса О и центр качания обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса становится новым центром качания.

Видео:Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.Скачать

Механические колебания.

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ : гармонические колебания; амплитуда, период, частота, фаза колебаний; свободные колебания, вынужденные колебания, резонанс.

Колебания — это повторяющиеся во времени изменения состояния системы. Понятие колебаний охватывает очень широкий круг явлений.

Колебания механических систем, или механические колебания — это механическое движение тела или системы тел, которое обладает повторяемостью во времени и происходит в окрестности положения равновесия. Положением равновесия называется такое состояние системы, в котором она может оставаться сколь угодно долго, не испытывая внешних воздействий.

Например, если маятник отклонить и отпустить, то начнутся колебания. Положение равновесия — это положение маятника при отсутствии отклонения. В этом положении маятник, если его не трогать, может пребывать сколь угодно долго. При колебаниях маятник много раз проходит положение равновесия.

Сразу после того, как отклонённый маятник отпустили, он начал двигаться, прошёл положение равновесия, достиг противоположного крайнего положения, на мгновение остановился в нём, двинулся в обратном направлении, снова прошёл положение равновесия и вернулся назад. Совершилось одно полное колебание. Дальше этот процесс будет периодически повторяться.

Амплитуда колебаний тела — это величина его наибольшего отклонения от положения равновесия.

Период колебаний — это время одного полного колебания. Можно сказать, что за период тело проходит путь в четыре амплитуды.

Частота колебаний — это величина, обратная периоду: . Частота измеряется в герцах (Гц) и показывает, сколько полных колебаний совершается за одну секунду.

Видео:Свободные колебания и дифференциальное уравнениеСкачать

Гармонические колебания.

Будем считать, что положение колеблющегося тела определяется одной-единственной координатой . Положению равновесия отвечает значение . Основная задача механики в данном случае состоит в нахождении функции , дающей координату тела в любой момент времени.

Для математического описания колебаний естественно использовать периодические функции. Таких функций много, но две из них — синус и косинус — являются самыми важными. У них много хороших свойств, и они тесно связаны с широким кругом физических явлений.

Поскольку функции синус и косинус получаются друг из друга сдвигом аргумента на , можно ограничиться только одной из них. Мы для определённости будем использовать косинус.

Гармонические колебания — это колебания, при которых координата зависит от времени по гармоническому закону:

Выясним смысл входящих в эту формулу величин.

Положительная величина является наибольшим по модулю значением координаты (так как максимальное значение модуля косинуса равно единице), т. е. наибольшим отклонением от положения равновесия. Поэтому — амплитуда колебаний.

Аргумент косинуса называется фазой колебаний. Величина , равная значению фазы при , называется начальной фазой. Начальная фаза отвечает начальной координате тела: .

Величина называется циклической частотой. Найдём её связь с периодом колебаний и частотой . Одному полному колебанию отвечает приращение фазы, равное радиан: , откуда

Измеряется циклическая частота в рад/с (радиан в секунду).

В соответствии с выражениями (2) и (3) получаем ещё две формы записи гармонического закона (1) :

График функции (1) , выражающей зависимость координаты от времени при гармонических колебаниях, приведён на рис. 1 .

Рис. 1. График гармонических колебаний

Гармонический закон вида (1) носит самый общий характер. Он отвечает, например, ситуации, когда с маятником совершили одновременно два начальных действия: отклонили на величину и придали ему некоторую начальную скорость. Имеются два важных частных случая, когда одно из этих действий не совершалось.

Пусть маятник отклонили, но начальной скорости не сообщали (отпустили без начальной скорости). Ясно, что в этом случае , поэтому можно положить . Мы получаем закон косинуса:

График гармонических колебаний в этом случае представлен на рис. 2 .

Рис. 2. Закон косинуса

Допустим теперь, что маятник не отклоняли, но ударом сообщили ему начальную скорость из положения равновесия. В этом случае , так что можно положить . Получаем закон синуса:

График колебаний представлен на рис. 3 .

Рис. 3. Закон синуса

Видео:МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫСкачать

Уравнение гармонических колебаний.

Вернёмся к общему гармоническому закону (1) . Дифференцируем это равенство:

Теперь дифференцируем полученное равенство (4) :

Давайте сопоставим выражение (1) для координаты и выражение (5) для проекции ускорения. Мы видим, что проекция ускорения отличается от координаты лишь множителем :

Это соотношение называется уравнением гармонических колебаний. Его можно переписать и в таком виде:

C математической точки зрения уравнение (7) является дифференциальным уравнением. Решениями дифференциальных уравнений служат функции (а не числа, как в обычной алгебре).
Так вот, можно доказать, что:

-решением уравнения (7) является всякая функция вида (1) с произвольными ;

-никакая другая функция решением данного уравнения не является.

Иными словами, соотношения (6) , (7) описывают гармонические колебания с циклической частотой и только их. Две константы определяются из начальных условий — по начальным значениям координаты и скорости.

Видео:Физика 9 класс (Урок№9 - Механические колебания.)Скачать

Пружинный маятник.

Пружинный маятник — это закреплённый на пружине груз, способный совершать колебания в горизонтальном или вертикальном направлении.

Найдём период малых горизонтальных колебаний пружинного маятника (рис. 4 ). Колебания будут малыми, если величина деформации пружины много меньше её размеров. При малых деформациях мы можем пользоваться законом Гука. Это приведёт к тому, что колебания окажутся гармоническими.

Трением пренебрегаем. Груз имеет массу , жёсткость пружины равна .

Координате отвечает положение равновесия, в котором пружина не деформирована. Следовательно, величина деформации пружины равна модулю координаты груза.

Рис. 4. Пружинный маятник

В горизонтальном направлении на груз действует только сила упругости со стороны пружины. Второй закон Ньютона для груза в проекции на ось имеет вид:

Если 0′ alt=’x>0′ /> (груз смещён вправо, как на рисунке), то сила упругости направлена в противоположную сторону, и . Наоборот, если , то 0′ alt=’F_>0′ /> . Знаки и всё время противоположны, поэтому закон Гука можно записать так:

Тогда соотношение (8) принимает вид:

Мы получили уравнение гармонических колебаний вида (6) , в котором

Циклическая частота колебаний пружинного маятника, таким образом, равна:

Отсюда и из соотношения находим период горизонтальных колебаний пружинного маятника:

Если подвесить груз на пружине, то получится пружинный маятник, совершающий колебания в вертикальном направлении. Можно показать, что и в этом случае для периода колебаний справедлива формула (10) .

Видео:Как решить уравнение колебаний? | Олимпиадная физика, механические гармонические колебания, 11 классСкачать

Математический маятник.

Математический маятник — это небольшое тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити (рис. 5 ). Математический маятник может совершать колебания в вертикальной плоскости в поле силы тяжести.

Рис. 5. Математический маятник

Найдём период малых колебаний математического маятника. Длина нити равна . Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Запишем для маятника второй закон Ньютона:

и спроектируем его на ось :

Если маятник занимает положение как на рисунке (т. е. 0′ alt=’x>0′ /> ), то:

Если же маятник находится по другую сторону от положения равновесия (т. е. ), то:

Итак, при любом положении маятника имеем:

Когда маятник покоится в положении равновесия, выполнено равенство . При малых колебаниях, когда отклонения маятника от положения равновесия малы (по сравнению с длиной нити), выполнено приближённое равенство . Воспользуемся им в формуле (11) :

Это — уравнение гармонических колебаний вида (6) , в котором

Следовательно, циклическая частота колебаний математического маятника равна:

Отсюда период колебаний математического маятника:

Обратите внимание, что в формулу (13) не входит масса груза. В отличие от пружинного маятника, период колебаний математического маятника не зависит от его массы.

Видео:Уравнения и графики механических гармонических колебаний. Практ. часть - решение задачи. 11 класс.Скачать

Свободные и вынужденные колебания.

Говорят, что система совершает свободные колебания, если она однократно выведена из положения равновесия и в дальнейшем предоставлена сама себе. Никаких периодических внешних
воздействий система при этом не испытывает, и никаких внутренних источников энергии, поддерживающих колебания, в системе нет.

Рассмотренные выше колебания пружинного и математического маятников являются примерами свободных колебаний.

Частота, с которой совершаются свободные колебания, называется собственной частотой колебательной системы. Так, формулы (9) и (12) дают собственные (циклические) частоты колебаний пружинного и математического маятников.

В идеализированной ситуации при отсутствии трения свободные колебания являются незатухающими, т. е. имеют постоянную амплитуду и длятся неограниченно долго. В реальных колебательных системах всегда присутствует трение, поэтому свободные колебания постепенно затухают (рис. 6 ).

Рис. 6. Затухающие колебания

Вынужденные колебания — это колебания, совершаемые системой под воздействием внешней силы , периодически изменяющейся во времени (так называемой вынуждающей силы).

Предположим, что собственная частота колебаний системы равна , а вынуждающая сила зависит от времени по гармоническому закону:

В течение некоторого времени происходит установление вынужденных колебаний: система совершает сложное движение, которое является наложением выужденных и свободных колебаний. Свободные колебания постепенно затухают, и в установившемся режиме система совершает вынужденные колебания, которые также оказываются гармоническими. Частота установившихся вынужденных колебаний совпадает с частотой
вынуждающей силы (внешняя сила как бы навязывает системе свою частоту).

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. График этой зависимости показан на рис. 7 .

Рис. 7. Резонанс

Мы видим, что вблизи частоты наступает резонанс — явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний. Резонансная частота приближённо равна собственной частоте колебаний системы: , и это равенство выполняется тем точнее, чем меньше трение в системе. При отсутствии трения резонансная частота совпадает с собственной частотой колебаний, , а амплитуда колебаний возрастает до бесконечности при .