Матрица линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными алгебраические действия над матрицами

В данной статье мы расскажем о матричном методе решения системы линейных алгебраических уравнений, найдем его определение и приведем примеры решения.

Метод обратной матрицы — это метод, использующийся при решении СЛАУ в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений.

Найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

Матричный вид записи: А × X = B

где А = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ а n n — матрица системы.

X = x 1 x 2 ⋮ x n — столбец неизвестных,

B = b 1 b 2 ⋮ b n — столбец свободных коэффициентов.

Из уравнения, которое мы получили, необходимо выразить X . Для этого нужно умножить обе части матричного уравнения слева на A — 1 :

A — 1 × A × X = A — 1 × B .

Так как А — 1 × А = Е , то Е × X = А — 1 × В или X = А — 1 × В .

Обратная матрица к матрице А имеет право на существование только, если выполняется условие d e t A н е р а в е н н у л ю . Поэтому при решении СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь находится d e t А .

В том случае, если d e t A н е р а в е н н у л ю , у системы имеется только один вариант решения: при помощи метода обратной матрицы. Если d e t А = 0 , то систему нельзя решить данным методом.

Видео:Урок 1. Матрицы, определитель матрицы и ранг матрицы | Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Пример решения системы линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы

Решаем СЛАУ методом обратной матрицы:

2 x 1 — 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 — 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 — x 2 + 5 x 3 = 2

• Записываем систему в виде матричного уравнения А X = B , где

А = 2 — 4 3 1 — 2 4 3 — 1 5 , X = x 1 x 2 x 3 , B = 1 3 2 .

• Выражаем из этого уравнения X :

• Находим определитель матрицы А :

d e t A = 2 — 4 3 1 — 2 4 3 — 1 5 = 2 × ( — 2 ) × 5 + 3 × ( — 4 ) × 4 + 3 × ( — 1 ) × 1 — 3 × ( — 2 ) × 3 — — 1 × ( — 4 ) × 5 — 2 × 4 — ( — 1 ) = — 20 — 48 — 3 + 18 + 20 + 8 = — 25

d e t А не равняется 0, следовательно, для этой системы подходит метод решения обратной матрицей.

• Находим обратную матрицу А — 1 при помощи союзной матрицы. Вычисляем алгебраические дополнения А i j к соответствующим элементам матрицы А :

А 11 = ( — 1 ) ( 1 + 1 ) — 2 4 — 1 5 = — 10 + 4 = — 6 ,

А 12 = ( — 1 ) 1 + 2 1 4 3 5 = — ( 5 — 12 ) = 7 ,

А 13 = ( — 1 ) 1 + 3 1 — 2 3 — 1 = — 1 + 6 = 5 ,

А 21 = ( — 1 ) 2 + 1 — 4 3 — 1 5 = — ( — 20 + 3 ) = 17 ,

А 22 = ( — 1 ) 2 + 2 2 3 3 5 — 10 — 9 = 1 ,

А 23 = ( — 1 ) 2 + 3 2 — 4 3 — 1 = — ( — 2 + 12 ) = — 10 ,

А 31 = ( — 1 ) 3 + 1 — 4 3 — 2 4 = — 16 + 6 = — 10 ,

А 32 = ( — 1 ) 3 + 2 2 3 1 4 = — ( 8 — 3 ) = — 5 ,

А 33 = ( — 1 ) 3 + 3 2 — 4 1 — 2 = — 4 + 4 = 0 .

• Записываем союзную матрицу А * , которая составлена из алгебраических дополнений матрицы А :

А * = — 6 7 5 17 1 — 10 — 10 — 5 0

• Записываем обратную матрицу согласно формуле:

A — 1 = 1 d e t A ( A * ) T : А — 1 = — 1 25 — 6 17 — 10 7 1 — 5 5 — 10 0 ,

• Умножаем обратную матрицу А — 1 на столбец свободных членов В и получаем решение системы:

X = A — 1 × B = — 1 25 — 6 17 — 10 7 1 — 5 5 — 10 0 1 3 2 = — 1 25 — 6 + 51 — 20 7 + 3 — 10 5 — 30 + 0 = — 1 0 1

Ответ: x 1 = — 1 ; x 2 = 0 ; x 3 = 1

Видео:МАТРИЦЫ математика УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ и простейшие операции с матрицамиСкачать

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с примерами

Содержание:

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Метод Крамера

Определение: Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется выражение

Определение: Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется главным определителем системы

Крамер предложил следующий метод решения СЛАУ: умножим главный определитель на для этого умножим все элементы первого столбца на эту неизвестную:

Второй столбец умножим на третий столбец — на -ый столбец — на и все эти произведения прибавим к первому столбцу, при этом произведение не изменится:

Согласно записи СЛАУ первый столбец получившегося определителя представляет собой столбец свободных коэффициентов, т.е.

Определение: Определитель называется первым вспомогательным определителем СЛАУ.

Поступая аналогично тому, как описано выше, найдем все вспомогательные определители СЛАУ:

31. Для того чтобы найти вспомогательный определитель i, надо в главном определителе СЛАУ заменить столбец i на столбец свободных коэффициентов.

Определение: Полученные выше соотношения называются формулами Крамера. Используя формулы Крамера, находят неизвестные величины Проанализируем полученные формулы:

• если главный определитель системы отличен от нуля (), то система имеет единственное решение;
• если главный определитель системы равен нулю (), а хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля ( или , или, . или ), то система не имеет решений (деление на нуль запрещено);
• если все определители системы равны нулю (), то система имеет бесчисленное множество решений.

Пример:

Решить СЛАУ методом Крамера

Решение:

Прежде всего, обращаем внимание на то, что в последнем уравнении переменные записаны в неправильном порядке, в этом случае говорят, что СЛАУ записана в ненормализованном виде. Нормализуем СЛАУ, для чего запишем неизвестные в последнем уравнении системы в правильном порядке, чтобы одноименные неизвестные были записаны друг под другом

Найдем главный определитель СЛАУ (раскрываем по первой строке)

Так как главный определитель системы отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение. Найдем три вспомогательных определителя

Воспользуемся формулами Крамера

Замечание: После нахождения решения СЛАУ надо обязательно провести проверку, для чего найденные числовые значения неизвестных подставляется в нормализованную систему линейных алгебраических уравнений.

Выполним проверку Отсюда видно, что СЛАУ решена верно.

Матричный способ решения СЛАУ

Для решения СЛАУ матричным способом введем в рассмотрение матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных матpицы-столбцы неизвестных и свободных коэффициентов

Тогда СЛАУ можно записать в матричном виде Матричный способ решения СЛАУ состоит в следующем: умножим слева матричное уравнение на обратную матрицу к матрице А, получим в силу того, что произведение найдем Таким образом, для нахождения неизвестных матричным способом, надо найти обратную к А матрицу после чего надо умножить эту матрицу на матрицу-столбец свободных коэффициентов.

Пример:

Решить СЛАУ матричным способом

Решение:

Введем в рассмотрение следующие матрицы

Найдем матрицу (см. Лекцию № 2): найдем детерминант матрицы А.

Пример:

Решение:

Найдем алгебраические дополнения всех элементов Запишем обратную матрицу (в правильности нахождения обратной матрицы убедиться самостоятельно). Подействуем пай денной матрицей на матрицу-столбец свободных коэффициентов В:

Отсюда находим, что х = 1; y = l; z = l.

Метод Гаусса

Метод Гаусса или метод исключения неизвестных состоит в том, чтобы за счет элементарных преобразований привести СЛАУ к треугольному виду. Покажем использование расширенной матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных и расширенной за счет столбца свободных коэффициентов, для приведения СЛАУ к треугольному виду на примере системы, рассматриваемой в этой лекции. Расширенная матрица для СЛАУ имеет вид:

Замечание: В методе Гаусса желательно, чтобы первая строка расширенной матрицы начиналась с единицы.

Обменяем в расширенной матрице первую и вторую строки местами, получим Приведем матрицу к треугольному виду, выполнив следующие преобразования: умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к соответствующим элементам второй строки Разделим все элементы второй строки на (-5), получим эквивалентную матрицу

Умножим элементы первой строки на (—1) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки Разделим все элементы третьей строки на (-3), получим Таким образом, эквивалентная СЛАУ имеет вид (напомним, что первый столбец это коэффициенты при неизвестной х, второй — при неизвестной у, третий — при неизвестной z, а за вертикальной чертой находится столбец свободных коэффициентов):

Из первого уравнения находим, что х = 1.

Вывод: Из вышеизложенного материала следует, что вне зависимости от

способа решения СЛАУ всегда должен получаться один и тот же ответ.

Замечание: После нахождения решения СЛАУ надо обязательно выполнить проверку, то есть подставить полученные значения неизвестных в заданную СЛАУ и убедиться в тождественности левой части всех равенств системы соответствующим правым частям. Отметим, что задание СЛАУ всегда верно, то есть, если проверка показывает нарушение оговоренной тождественности, то надо искать ошибку в проведенных вычислениях.

Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли

Определение: Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.

Если то среди всевозможных миноров этой матрицы есть хотя бы один минор порядка r, который отличен от нулю, а все миноры порядков больших, чем r, равны нулю.

При вычислении ранга необходимо начинать вычислять миноры 2 порядка, затем миноры 3 порядка и так далее, пока не будут найдены миноры, обращающиеся в нуль. Если все миноры порядка p равны нулю, то и все миноры, порядок которых больше p, равны нулю.

Пример:

Найти ранг матрицы

Решение:

Очевидно, что среди миноров второго порядка есть миноры отличные от нуля, например, среди миноров третьего порядка также есть миноры, которые не равны нулю, например, Очевидно, что определитель четвертого порядка равен нулю, так как он будет содержать строку, состоящую из одних нулей (см. свойство для определителей). Следовательно, ранг матрицы А равен 3.

Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности СЛАУ). Для совместности системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы совпадал с рангом основной матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных величинах.

Видео:Матричный метод решения систем уравненийСкачать

Следствия из теоремы Кронекера — Капелли

Следствие: Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение (то есть она определенная).

Следствие: Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений (т.е. она неопределенная).

В случае неопределенной системы решения ищут следующим образом: выбираются главные неизвестные, число которых равно рангу, а остальные неизвестные считаются свободными; далее главные неизвестные выражаются через свободные и получают множество решений, зависящих от свободных неизвестных. Это множество решений называется общим решением системы. Придавая свободным неизвестным различные произвольные значения, получим бесчисленное множество решений, каждое из которых называется частным решением системы.

• Скалярное произведение и его свойства
• Векторное и смешанное произведения векторов
• Преобразования декартовой системы координат
• Бесконечно малые и бесконечно большие функции
• Критерий совместности Кронекера-Капелли
• Формулы Крамера
• Матричный метод
• Экстремум функции

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Решение СЛАУ

Содержание:

Определители, их свойства

Квадратной матрицей n-го порядка называется таблица чисел

Числа — элементы матрицы; — номер строки; — номер столбца.

Определителем (детерминантом) II порядка, соответствующим квадратной матрице II порядка, называется число, обозначаемое символом и вычисляемое по правилу

Определителем III порядка, соответствующим квадратной матрице III порядка, называется число, вычисляемое по правилу

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Примеры №1:

Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца. Алгебраическим дополнением элемента называется число

Например, для определителя III порядка (1.1)

Свойства определителей следуют из определения (1.1).

1°. Транспонирование: определитель не изменится, если все его строки заменить на соответствующие столбцы:

2°. Разложение определителя по любому ряду (строке или столбцу):

определитель равен сумме произведения элементов любого ряда на их алгебраические дополнения. Например, для определителя (1.1) разложение по второму столбцу:

3°. Перестановка двух строк (столбцов) определителя равносильна умножению его на (-1).

4°. Определитель

1) все элементы какого-нибудь ряда равны нулю;

2) соответствующие элементы двух строк (столбцов) пропорциональны (в частности, равны).

5°. Общий множитель всех элементов ряда можно вынести за знак определителя. 6°. Определитель не изменится, если к элементам одной его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Аналогично определению определителя III порядка вводится определение определителя

n-го порядка, соответствующего квадратной матрице n-го порядка.

Например, определителем IV порядка называется число, вычисляемое по правилу

Свойства 1°—6° сохраняются для определителей любого порядка. При вычислении определителей IV и выше порядков удобно, используя свойство 6°, преобразовать его так, чтобы все элементы (кроме одного) какого-нибудь ряда были нулями, затем разложить его по этому ряду.

Пример 1:

Здесь вторую строку последовательно умножаем на 2, 3, 5 и складываем соответственно с 1-й, 3-й, 4-й строками. Системы линейных алгебраических уравнений их совместность, определенность.

Методы Гаусса и Крамера

Системой m линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n неизвестными будем называть следующую систему:

где — неизвестные, — коэффициенты при неизвестных; — свободные члены. При система называется однородной. Решением системы (1.2) называется такая совокупность чисел которая при подстановке вместо в каждое уравнение системы обращает его в тождество.

СЛАУ называется совместной, если она имеет решение, несовместной — если решения нет.

Однородная система всегда совместна, так как имеет нулевое решение.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений бесконечное множество.

Две совместные системы называются равносильными, если все их решения совпадают.

Система (1.2) переходит в равносильную, если:

• а) поменять местами два уравнения;
• б) умножить любое уравнение на число
• в) прибавить к обеим частям одного уравнения соответствующие части другого, умноженные на любое число.

Назовем такие преобразования системы элементарными. Коэффициенты при неизвестных в системе составляют прямоугольную таблицу — матрицу из m строк и n столбцов:

Она называется основной матрицей системы, а матрица — расширенной:

Преобразования со строками расширенной матрицы системы, соответствующие элементарным преобразованиям системы, будем тоже называть элементарными, а матрицы, полученные при элементарных преобразованиях, — эквивалентными.

Обозначим i-ю строку матрицы А через

Строки называют линейно зависимыми, если существуют числа что В противном случае строки называют линейно независимыми.

Рангом матрицы А (обозначается rang А) называется максимальное число линейно независимых строк матрицы. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях.

Т: (Кронекера—Капелл и) Система (1.2) совместна тогда, когда rang А = rang (A | В) Доказательство см. в [1. С.97]. Для решения системы (1.2) применяется метод Гаусса — метод последовательного исключения неизвестных из уравнений системы путем элементарных преобразований.

Все преобразования проводятся с расширенной матрицей. Пусть Тогда умножением первой строки последовательно и сложением соответственно со 2-й, . и m-й строками получаем матрицу Аналогичные преобразования производим с матрицей Процесс продолжаем, пока не получим матрицу ступенчатого вида причем rang (A | В) равен числу ненулевых строк в ступенчатой матрице.

Возможны три случая:

1) Получилась строка ей соответствует уравнение — система несовместна .

2) Число ненулевых строк г меньше числа неизвестных, тогда система имеет бесчисленное множество решений. Последней ненулевой строке соответствует уравнение

из которого находим неизвестное хг через и — г так называемых свободных неизвестных: Из уравнений, соответствующих другим строкам, последовательно находим , также через свободные неизвестные.

3) Если решение системы единственно. Последней ненулевой строке соответствует уравнение из которого находим неизвестное, а далее последовательно

Пример 2:

Для получения матрицы, эквивалентной расширенной, умножаем первую строку последовательно на (-2), (-3) и складываем соответственно со 2-й и 3-й строками. Затем в полученной матрице вторую строку умножаем на (-1) и складываем с третьей, приходим к матрице ступенчатого вида.

Второй строке соответствует уравнение из которого находим Подставляем в первое уравнение системы: и находим где — свободное неизвестное Если то матрица А — квадратная и ее определитель — главный определитель системы.

При решение системы единственно и находится по формулам Крамера: В них определитель называется определителем неизвестного . и получается из определителя заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

Выведем формулы Крамера, например, для системы трех уравнений с тремя неизвестными. Для этого умножаем 1-е, 2-е и 3-е уравнения системы соответственно на алгебраические дополнения затем складываем их: Множитель при — разложенный по 1-му столбцу определитель множители при и правая часть соответственно — определители: Таким образом, Формулы для выводятся аналогично.

Пример 3:

Находим Отсюда

Действия над матрицами. Матричный способ решения СЛАУ

Матрица (1.3) кратко записывается в виде и называется прямоугольной матрицей размерности Две матрицы одинаковой размерности называются равными, если

Сложение матриц. Суммой матриц одинаковой размерности называется матрица

Сложение матриц подчиняется переместительному и сочетательному законам:

Матрица, все элементы которой нули, называется нуль-матри-цей, обозначается 0;

Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы А на число называется матрица

Умножение матриц. Произведением матрицы размерности на матрицу размерности (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В) называется матрица

Произведение матриц в общем случае не подчиняется переместительному закону:

Сочетательный и распределительный законы справедливы:

Примеры №2:

Для квадратных матриц одинакового порядка умножение всегда возможно. Особое значение при таком умножении имеет еди- ничная матрица Е, у которой по главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы — нули: Очевидно, что определитель единичной матрицы det Е= 1. Легко проверяется, что

Если матрица С — АВ для квадратных матриц А и В, то Для квадратной матрицы вводится понятие обратной матрицы.

Матрица называется обратной для квадратной матрицы А, если (1.4) Если выполняется равенство (1.4), то справедливо Т: Для того чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, т.е.

Доказательство см. в [1. С.76]. В процессе доказательства получен вид матрицы для квадратной матрицы А порядка n: где — алгебраические дополнения элементов определителя

Пример 3:

Определитель поэтому обратная матрица существует и Используя действия над матрицами, СЛАУ (1.2) в случае можно записать в виде где и решить при так называемым матричным способом (1.6) Равенство (1.6) получаем, умножая обе части (1.5) слева на матрицу .

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

🎬 Видео

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Система линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Матричный метод.Скачать

Операции над матрицами #1Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Решение системы уравнений методом обратной матрицы.Скачать

Решение системы трех уравнений по формулам КрамераСкачать

МАТРИЦЫ и операции над нимиСкачать

Математика Без Ху!ни. Система линейных уравнений. Метод Крамера.Скачать

Лекция 2. Алгебраические операции над матрицамиСкачать

Решение матричных уравненийСкачать

Матрицы: виды и действия над ними | Высшая математика | Линейная алгебра | TutorOnlineСкачать

Решение системы уравнений методом Крамера 2x2Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать

Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в Excel МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМСкачать