Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Видео:Матричные уравнения Полный разбор трех типов матричных уравненийСкачать

Матричные уравнения Полный разбор трех типов матричных уравнений

Решение матричных уравнений: теория и примеры

Видео:Решение матричных уравненийСкачать

Решение матричных уравнений

Решение матричных уравнений: как это делается

Матричные уравнения имеют прямую аналогию с простыми алгебраическими уравнениями, в которых присутствует операция умножения. Например,

где x — неизвестное.

А, поскольку мы уже умеем находить произведение матриц, то можем приступать к рассмотрению аналогичных уравнений с матрицами, в которых буквы — это матрицы.

Итак, матричным уравнением называется уравнение вида

где A и B — известные матрицы, X — неизвестная матрица, которую требуется найти.

Как решить матричное уравнение в первом случае? Для того, чтобы решить матричное уравнение вида AX = B , обе его части следует умножить на обратную к A матрицу Матричные уравнения примеры с решением и ответамислева:

Матричные уравнения примеры с решением и ответами.

По определению обратной матрицы, произведение обратной матрицы на данную исходную матрицу равно единичной матрице: Матричные уравнения примеры с решением и ответами, поэтому

Матричные уравнения примеры с решением и ответами.

Так как E — единичная матрица, то EX = X . В результате получим, что неизвестная матрица X равна произведению матрицы, обратной к матрице A , слева, на матрицу B :

Матричные уравнения примеры с решением и ответами.

Как решить матричное уравнение во втором случае? Если дано уравнение

то есть такое, в котором в произведении неизвестной матрицы X и известной матрицы A матрица A находится справа, то нужно действовать аналогично, но меняя направление умножения на матрицу, обратную матрице A , и умножать матрицу B на неё справа:

Матричные уравнения примеры с решением и ответами,

Матричные уравнения примеры с решением и ответами,

Матричные уравнения примеры с решением и ответами.

Как видим, очень важно, с какой стороны умножать на обратную матрицу, так как Матричные уравнения примеры с решением и ответами. Обратная к A матрица умножается на матрицу B с той стороны, с которой матрица A умножается на неизвестную матрицу X . То есть с той стороны, где в произведении с неизвестной матрицей находится матрица A .

Как решить матричное уравнение в третьем случае? Встречаются случаи, когда в левой части уравнения неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Тогда известную матрицу из правой части уравнения следует умножить слева на матрицу, обратную той, которая в упомянутом выше произведении трёх матриц была слева, и справа на матрицу, обратную той матрице, которая располагалась справа. Таким образом, решением матричного уравнения

Матричные уравнения примеры с решением и ответами.

Видео:Лекция 8. Решение матричных уравненийСкачать

Лекция 8. Решение матричных уравнений

Решение матричных уравнений: примеры

Пример 1. Решить матричное уравнение

Матричные уравнения примеры с решением и ответами.

Решение. Данное уравнение имеет вид AX = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде Матричные уравнения примеры с решением и ответами, то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

Матричные уравнения примеры с решением и ответами.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Матричные уравнения примеры с решением и ответами.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Матричные уравнения примеры с решением и ответами.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

Матричные уравнения примеры с решением и ответами.

Теперь у нас есть всё, чтобы найти матрицу, обратную матрице A :

Матричные уравнения примеры с решением и ответами.

Наконец, находим неизвестную матрицу:

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Пример 2. Решить матричное уравнение

Матричные уравнения примеры с решением и ответами.

Пример 3. Решить матричное уравнение

Матричные уравнения примеры с решением и ответами.

Решение. Данное уравнение имеет вид XA = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде Матричные уравнения примеры с решением и ответами, то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

Матричные уравнения примеры с решением и ответами.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Матричные уравнения примеры с решением и ответами.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Матричные уравнения примеры с решением и ответами.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

Матричные уравнения примеры с решением и ответами.

Находим матрицу, обратную матрице A :

Матричные уравнения примеры с решением и ответами.

Находим неизвестную матрицу:

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

До сих пор мы решали уравнения с матрицами второго порядка, а теперь настала очередь матриц третьего порядка.

Пример 4. Решить матричное уравнение

Матричные уравнения примеры с решением и ответами.

Решение. Это уравнение первого вида: AX = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде Матричные уравнения примеры с решением и ответами, то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

Матричные уравнения примеры с решением и ответами.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

Матричные уравнения примеры с решением и ответами.

Находим матрицу, обратную матрице A , и делаем это легко, так как определитель матрицы A равен единице:

Матричные уравнения примеры с решением и ответами.

Находим неизвестную матрицу:

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Пример 5. Решить матричное уравнение

Матричные уравнения примеры с решением и ответами.

Решение. Данное уравнение имеет вид XA = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде Матричные уравнения примеры с решением и ответами, то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

Матричные уравнения примеры с решением и ответами.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Матричные уравнения примеры с решением и ответами.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

Матричные уравнения примеры с решением и ответами.

Находим матрицу, обратную матрице A :

Матричные уравнения примеры с решением и ответами.

Находим неизвестную матрицу:

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Пример 6. Решить матричное уравнение

Матричные уравнения примеры с решением и ответами.

Решение. Данное уравнение имеет вид AXB = C , то есть неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Поэтому решение следует искать в виде Матричные уравнения примеры с решением и ответами. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

Матричные уравнения примеры с решением и ответами.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Матричные уравнения примеры с решением и ответами.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Матричные уравнения примеры с решением и ответами.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

Матричные уравнения примеры с решением и ответами.

Находим матрицу, обратную матрице A :

Матричные уравнения примеры с решением и ответами.

Найдём матрицу, обратную матрице B .

Сначала найдём определитель матрицы B :

Матричные уравнения примеры с решением и ответами.

Найдём алгебраические дополнения матрицы B :

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Составим матрицу алгебраических дополнений матрицы B :

Матричные уравнения примеры с решением и ответами.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей B :

Матричные уравнения примеры с решением и ответами.

Находим матрицу, обратную матрице B :

Матричные уравнения примеры с решением и ответами.

Видео:Матричный метод решения систем уравненийСкачать

Матричный метод решения систем уравнений

Решение матричных уравнений

Финальная глава саги.

Линейная алгебра и, в частности, матрицы — это основа математики нейросетей. Когда говорят «машинное обучение», на самом деле говорят «перемножение матриц», «решение матричных уравнений» и «поиск коэффициентов в матричных уравнениях».

Понятно, что между простой матрицей в линейной алгебре и нейросетью, которая генерирует котов, много слоёв усложнений, дополнительной логики, обучения и т. д. Но здесь мы говорим именно о фундаменте. Цель — чтобы стало понятно, из чего оно сделано.

Краткое содержание прошлых частей:

  • Линейная алгебра изучает векторы, матрицы и другие понятия, которые относятся к упорядоченным наборам данных. Линейной алгебре интересно, как можно трансформировать эти упорядоченные данные, складывать и умножать, всячески обсчитывать и находить в них закономерности.
  • Вектор — это набор упорядоченных данных в одном измерении. Можно упрощённо сказать, что это последовательность чисел.
  • Матрица — это тоже набор упорядоченных данных, только уже не в одном измерении, а в двух (или даже больше).
  • Матрицу можно представить как упорядоченную сумку с данными. И с этой сумкой как с единым целым можно совершать какие-то действия. Например, делить, умножать, менять знаки.
  • Матрицы можно складывать и умножать на другие матрицы. Это как взять две сумки с данными и получить третью сумку, тоже с данными, только теперь какими-то новыми.
  • Матрицы перемножаются по довольно замороченному алгоритму. Арифметика простая, а порядок перемножения довольно запутанный.

И вот наконец мы здесь: если мы можем перемножать матрицы, то мы можем и решить матричное уравнение.

❌ Никакого практического применения следующего материала в народном хозяйстве вы не увидите. Это чистая алгебра в несколько упрощённом виде. Отсюда до практики далёкий путь, поэтому, если нужно что-то практическое, — посмотрите, как мы генерим Чехова на цепях Маркова.

Видео:Матричные уравненияСкачать

Матричные уравнения

Что такое матричное уравнение

Матричное уравнение — это когда мы умножаем известную матрицу на матрицу Х и получаем новую матрицу. Наша задача — найти неизвестную матрицу Х.

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Видео:§28 Матричные уравненияСкачать

§28 Матричные уравнения

Шаг 1. Упрощаем уравнение

Вместо известных числовых матриц вводим в уравнение буквы: первую матрицу обозначаем буквой A, вторую — буквой B. Неизвестную матрицу X оставляем. Это упрощение поможет составить формулу и выразить X через известную матрицу.

Матричные уравнения примеры с решением и ответамиПриводим матричное уравнение к упрощённому виду

Видео:§29 Решение матричного уравненияСкачать

§29 Решение матричного уравнения

Шаг 2. Вводим единичную матрицу

В линейной алгебре есть два вспомогательных понятия: обратная матрица и единичная матрица. Единичная матрица состоит из нулей, а по диагонали у неё единицы. Обратная матрица — это такая, которая при умножении на исходную даёт единичную матрицу.

Можно представить, что есть число 100 — это «сто в первой степени», 100 1

И есть число 0,01 — это «сто в минус первой степени», 100 -1

При перемножении этих двух чисел получится единица:
100 1 × 100 -1 = 100 × 0,01 = 1.

Вот такое, только в мире матриц.

Зная свойства единичных и обратных матриц, делаем алгебраическое колдунство. Умножаем обе известные матрицы на обратную матрицу А -1 . Неизвестную матрицу Х оставляем без изменений и переписываем уравнение:

А -1 × А × Х = А -1 × В

Добавляем единичную матрицу и упрощаем запись:

А -1 × А = E — единичная матрица

E × Х = А -1 × В — единичная матрица, умноженная на исходную матрицу, даёт исходную матрицу. Единичную матрицу убираем

Х = А -1 × В — новая запись уравнения

После введения единичной матрицы мы нашли способ выражения неизвестной матрицы X через известные матрицы A и B.

💡 Смотрите, что произошло: раньше нам нужно было найти неизвестную матрицу. А теперь мы точно знаем, как её найти: нужно рассчитать обратную матрицу A -1 и умножить её на известную матрицу B. И то и другое — замороченные процедуры, но с точки зрения арифметики — просто.

Видео:Матричное уравнениеСкачать

Матричное уравнение

Шаг 3. Находим обратную матрицу

Вспоминаем формулу и порядок расчёта обратной матрицы:

  1. Делим единицу на определитель матрицы A.
  2. Считаем транспонированную матрицу алгебраических дополнений.
  3. Перемножаем значения и получаем нужную матрицу.

Собираем формулу и получаем обратную матрицу. Для удобства умышленно оставляем перед матрицей дробное число, чтобы было проще считать.

Матричные уравнения примеры с решением и ответамиТретье действие: получаем обратную матрицу

Видео:Урок 1. Матрицы, определитель матрицы и ранг матрицы | Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Урок 1. Матрицы, определитель матрицы и ранг матрицы | Высшая математика | TutorOnline

Шаг 4. Вычисляем неизвестную матрицу

Нам остаётся посчитать матрицу X: умножаем обратную матрицу А -1 на матрицу B. Дробь держим за скобками и вносим в матрицу только при условии, что элементы новой матрицы будут кратны десяти — их можно умножить на дробь и получить целое число. Если кратных элементов не будет — дробь оставим за скобками.

Матричные уравнения примеры с решением и ответамиРешаем матричное уравнение и находим неизвестную матрицу X. Мы получили кратные числа и внесли дробь в матрицу

Видео:Матричные уравненияСкачать

Матричные уравнения

Шаг 5. Проверяем уравнение

Мы решили матричное уравнение и получили красивый ответ с целыми числами. Выглядит правильно, но в случае с матрицами этого недостаточно. Чтобы проверить ответ, нам нужно вернуться к условию и умножить исходную матрицу A на матрицу X. В результате должна появиться матрица B. Если расчёты совпадут — мы всё сделали правильно. Если будут отличия — придётся решать заново.

👉 Часто начинающие математики пренебрегают финальной проверкой и считают её лишней тратой времени. Сегодня мы разобрали простое уравнение с двумя квадратными матрицами с четырьмя элементами в каждой. Когда элементов будет больше, в них легко запутаться и допустить ошибку.

Матричные уравнения примеры с решением и ответамиПроверяем ответ и получаем матрицу B — наши расчёты верны

Видео:Решение матричного уравнения X(5 3; 4 2) = (1 9; 2 8) Высшая математика. Матрицы.Скачать

Решение матричного уравнения X(5 3; 4 2) = (1 9; 2 8) Высшая математика. Матрицы.

Ну и что

Алгоритм решения матричных уравнений несложный, если знать отдельные его компоненты. Дальше на основе этих компонентов математики переходят в более сложные пространства: работают с многомерными матрицами, решают более сложные уравнения, постепенно выходят на всё более и более абстрактные уровни. И дальше, в конце пути, появляется датасет из миллионов котиков. Этот датасет раскладывается на пиксели, каждый пиксель оцифровывается, цифры подставляются в матрицы, и уже огромный алгоритм в автоматическом режиме генерирует изображение нейрокотика:

Видео:Обратная матрицаСкачать

Обратная матрица

Примеры решения матриц с ответами

Простое объяснение принципов решения матриц и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Видео:22. Матричные уравненияСкачать

22. Матричные уравнения

Алгоритм решения матриц

Матрица – это математическая таблица с числовыми значениями. Обозначаются матрицы латинскими буквами.

Есть два отличия между матрицами:

  1. Комплексные матрицы. Это когда хотя бы одно число равно комплексному.
  2. Действительные матрицы. Это когда в матрице содержаться действительные числа.

С матрицей можно выполнять самые наипростейшие действия: умножение, деление, сложение, вычитание и трансформация.

Видео:Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса

Сложение и вычитание

Данные действия можно совершать тогда, когда матрицы равны между собой, чтобы в конце получилось выражение аналогичной размерности. Сложение и вычитание выполняются по аналогии друг друга.

Задание

Даны две матрицы, найдите их сумму.

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Решение

Элемент первой строки складывается с элементом второй. Абсолютно также совершается вычитание, только вместо плюса, нужно поставить минус.

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Задание

Даны две матрицы, найдите их разность.

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Решение

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Задание

Найдите C=2A +3B, если :

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Решение

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Видео:06 Матричные уравненияСкачать

06  Матричные уравнения

Умножение

В математике умножать таблицу с числами можно абсолютно любую. В таком случае число умножается с показателем. Умножаем первое число на первой строке с числом второго столбца и так далее.

Задание

Даны две матрицы. Умножьте их друг на друга.

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Решение

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Матрицы можно перемножать друг на друга, только если количество столбцов в первой матрице, равно количеству строк второй. Элемент матрицы будет равняться сумме произведений (Aji), где i – строки в таблице; j – строки чисел второй таблицы.

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера.

Возведение матрицы в степень

Данную формулу используют лишь в случаях, если матрица стоит в квадратном выражении. Важно знать, что степень должна быть у таких выражений натуральной!

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Если число не будет натуральным, то это усложняет возведение матрицы в степень, так как степень n придётся умножить саму на себя n количество раз. Но если у Вас такой случай, то используется следующая формула.

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Задание

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Решение

В первую очередь найдём, для этого нужно будет просто умножить её саму на себя.

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

После по формуле подставляем числовые значения.

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Видео:Решение системы уравнений методом обратной матрицы.Скачать

Решение системы уравнений методом обратной матрицы.

Расчёт определителя

В математике линейной есть два понятия – определитель и детерминант. Определитель – это какое-либо число, которое ставится в соответствии с квадратной матрицей. Определитель используется при решении многих задач. Найти его можно с помощью формулы.

А детерминант находиться с помощью перемножения простых матриц, используются числа только с побочной и главной диагоналях.

Есть вероятность, что произведения матрицы будут значительно отличаться друг от друга. Если индекс чётный, то число будет со знаком плюс, если нечётный, то число будет со знаком минус. Обозначается определитель det А, а круглые скобки меняются на квадратные.

Дано

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Решение

Пользуемся свойствам степеней – A^=A^*A

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Далее используем свойство степеней

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Ответ

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Задание

Найдите определитель матрицы А.

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Решение

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvy

Обратная матрица

Перед тем, как речь непосредственно пойдёт о самой обратной связи матрицы, давайте разберём алгоритм трансформирования матрицы. Во время трансформации столбцы и строки меняются местами.

Задание

Найти обратную матрицу А.

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Решение

Приписываем к матрице А матрицу третьего ряда.

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Переводим всё в единичную матрицу.

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Ответ

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.

Обратная матрица

Обратная матрица схожа с алгоритмом нахождения обратных чисел. К примеру, если умножить матричную таблицу на обратную матрицу, то в итоге мы получаем A*A(-1)=E. Но чтобы перейти уже к нахождению обратной матрицы, нам придётся найти её определитель. Мы рассмотрим самый простой способ – алгебраических дополнений.

Задание

В пример возьмём квадратную матрицу, она находиться с помощью следующей формулы:

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

-транспортированные матрицы;|А| – определитель.

Рассмотрим самый простейший пример, где размер таблицы 2*2.

Найти обратную матрицу

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Решение

Для начала находим определитель матрицы.

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Если ответ равен нулю, то обратной матрицы нет! Так как наш ответ равен -2, то всё в порядке. Следующим действием нам нужно будет рассчитать матрицу миронов. Таблица элементов при этом не изменяется. Где прописан нужным нам элемент, нужно вычеркнуть строчку или столбец, оставшееся число и будет являться мироном.

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Подставляем числа, возвращаясь к матрица, которая указана выше.

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Всегда начинаем с левого верхнего угла и делаем следующее:

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

← линиями показано, что нужно и как зачеркнуть.

Как итог, у нас остаётся число 4

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Теперь мы переходим к нахождению алгебраических дополнений.

Первым делом нужно поменять знаки у двух чисел в мироне.

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

← подчёркнуты те числа, у которых мы будем менять знаки.

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

, вот что у нас получилось.

И наконец-то мы переходим к завершающему этапу, к нахождению транспортированной матрице.

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

, вспоминаем формулу нахождения, и подставляем числовые значения

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

В завершении желательно проверить правильно ли мы нашли числовую таблицу. Это делать не обязательно, но рекомендуется, чтобы удостовериться в том, то ответ верный.

Задание

Найдите матрицу А.

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Решение

Начинаем с определения матрицы.

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Матричные уравнения примеры с решением и ответами

Дело осталось за малым – осталось начти алгебраическое дополнение матрицы А:

Поделиться или сохранить к себе: