Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a

Решить матричное уравнение.

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a

Записываем в матричном виде AX=B

Равенство AX=B обычно называют матричным уравнением, и если матрица А невырожденная, то можно найти решение уравнения AX=B с помощью обратной матрицы А -1

Пусть | А | Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a0. Умножая обе части AX=B на А -1 слева, получим А -1 (AX) = А -1 B ,

откуда A -1 (AX) = (A -1 A) X = EX = А -1 B

Последнее равенство даёт нам все решения матричного уравнения

det | А | = 4 (11) + 3 (4) + 18 (-3) = 44 + 12 — 54 = 56 — 54 = 2

Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

Видео:Решение матричных уравненийСкачать

Решение матричных уравнений

Матричные уравнения

Видео:Лекция 8. Решение матричных уравненийСкачать

Лекция 8. Решение матричных уравнений

AX = B, где матрица A обратима

Поскольку умножение матриц не всегда коммутативно, умножаем слева обе части уравнения на$ A^$.

$A^cdot|Acdot X = B$

$A^cdot Acdot X = A^cdot B$

$I_cdot X = A^cdot B$

Решение уравнения имеет общий вид
$color<X =A^cdot B>$

Пример 50
Решить уравнение
$begin 1 & 3\ 2 & 5 endcdot X begin 3 & 5\ 2 & 1 end$

Убедимся, что первая матрица обратима.
$left|Aright|=5-6=-1neq 0$, следовательно, матрица обратима.

Умножаем слева на обратную ей матрицу.
$begin 1 & 3\ 2 & 5\ end^cdot begin 1 & 3\ 2 & 5 endcdot X= begin 1 & 3\ 2 & 5 end^cdot begin 3 & 5\ 2 & 1 end$

$I_cdot X = begin 1 & 3\ 2 & 5 end^cdot begin 3 & 5\ 2 & 1 end$

$begin 1 & 3\ 2 & 5 end^= begin -5 & 3\ 2 & -1 endrightarrow X= begin -5 & 3\ 2 & -1 endcdot begin 3 & 5\ 2 & 1 end= begin -9 & -22\ 4 & 9 end$

Видео:§28 Матричные уравненияСкачать

§28 Матричные уравнения

XA = B, где матрица A обратима

Поскольку умножение матриц не всегда коммутативно, умножаем справа обе части уравнения на$ A^$.

$Xcdot A = B |cdot A^$

$Xcdot Acdot A^ = Bcdot A^$

$X cdot I_ =Bcdot A^$

Решение уравнения имеет общий вид
$color<X =Bcdot A^>$

Пример 51
Решить уравнение
$X begin 1 & 3\ 2 & 5\ end= begin 3 & 5\ 2 & 1\ end$

Убедимся, что первая матрица обратима.
$left|Aright|=5-6=-1neq 0$, следовательно, матрица обратима.

Умножаем справа на обратную ей матрицу.
$X begin 1 & 3\ 2 & 5 endcdot begin 1 & 3\ 2 & 5 end^= begin 3 & 5\ 2 & 1 endcdot begin 1 & 3\ 2 & 5 end^$

$Xcdot I_= begin 3 & 5\ 2 & 1 endcdot begin 1 & 3\ 2 & 5 end^$

$begin 1 & 3\ 2 & 5 end^= begin -5 & 3\ 2 & -1 endrightarrow X= begin 3 & 5\ 2 & 1 end cdot begin -5 & 3\ 2 & -1 end= begin -5 & 4\ -8 & 5 end$

Видео:§29 Решение матричного уравненияСкачать

§29 Решение матричного уравнения

Решение матричных уравнений: теория и примеры

Видео:Матричный метод решения систем уравненийСкачать

Матричный метод решения систем уравнений

Решение матричных уравнений: как это делается

Матричные уравнения имеют прямую аналогию с простыми алгебраическими уравнениями, в которых присутствует операция умножения. Например,

где x — неизвестное.

А, поскольку мы уже умеем находить произведение матриц, то можем приступать к рассмотрению аналогичных уравнений с матрицами, в которых буквы — это матрицы.

Итак, матричным уравнением называется уравнение вида

где A и B — известные матрицы, X — неизвестная матрица, которую требуется найти.

Как решить матричное уравнение в первом случае? Для того, чтобы решить матричное уравнение вида AX = B , обе его части следует умножить на обратную к A матрицу Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей aслева:

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a.

По определению обратной матрицы, произведение обратной матрицы на данную исходную матрицу равно единичной матрице: Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a, поэтому

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a.

Так как E — единичная матрица, то EX = X . В результате получим, что неизвестная матрица X равна произведению матрицы, обратной к матрице A , слева, на матрицу B :

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a.

Как решить матричное уравнение во втором случае? Если дано уравнение

то есть такое, в котором в произведении неизвестной матрицы X и известной матрицы A матрица A находится справа, то нужно действовать аналогично, но меняя направление умножения на матрицу, обратную матрице A , и умножать матрицу B на неё справа:

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a,

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a,

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a.

Как видим, очень важно, с какой стороны умножать на обратную матрицу, так как Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a. Обратная к A матрица умножается на матрицу B с той стороны, с которой матрица A умножается на неизвестную матрицу X . То есть с той стороны, где в произведении с неизвестной матрицей находится матрица A .

Как решить матричное уравнение в третьем случае? Встречаются случаи, когда в левой части уравнения неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Тогда известную матрицу из правой части уравнения следует умножить слева на матрицу, обратную той, которая в упомянутом выше произведении трёх матриц была слева, и справа на матрицу, обратную той матрице, которая располагалась справа. Таким образом, решением матричного уравнения

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a.

Видео:Система линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Матричный метод.Скачать

Система линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Матричный метод.

Решение матричных уравнений: примеры

Пример 1. Решить матричное уравнение

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a.

Решение. Данное уравнение имеет вид AX = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a, то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a.

Теперь у нас есть всё, чтобы найти матрицу, обратную матрице A :

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a.

Наконец, находим неизвестную матрицу:

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a

Пример 2. Решить матричное уравнение

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a.

Пример 3. Решить матричное уравнение

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a.

Решение. Данное уравнение имеет вид XA = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a, то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a.

Находим матрицу, обратную матрице A :

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a.

Находим неизвестную матрицу:

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a

До сих пор мы решали уравнения с матрицами второго порядка, а теперь настала очередь матриц третьего порядка.

Пример 4. Решить матричное уравнение

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a.

Решение. Это уравнение первого вида: AX = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a, то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a.

Находим матрицу, обратную матрице A , и делаем это легко, так как определитель матрицы A равен единице:

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a.

Находим неизвестную матрицу:

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a

Пример 5. Решить матричное уравнение

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a.

Решение. Данное уравнение имеет вид XA = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a, то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a.

Находим матрицу, обратную матрице A :

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a.

Находим неизвестную матрицу:

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a

Пример 6. Решить матричное уравнение

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a.

Решение. Данное уравнение имеет вид AXB = C , то есть неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Поэтому решение следует искать в виде Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a.

Находим матрицу, обратную матрице A :

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a.

Найдём матрицу, обратную матрице B .

Сначала найдём определитель матрицы B :

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a.

Найдём алгебраические дополнения матрицы B :

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a

Составим матрицу алгебраических дополнений матрицы B :

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей B :

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a.

Находим матрицу, обратную матрице B :

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a.

📽️ Видео

Матричные уравнения Полный разбор трех типов матричных уравненийСкачать

Матричные уравнения Полный разбор трех типов матричных уравнений

Матричное уравнениеСкачать

Матричное уравнение

Разбор доказательства свойства об определителе произведения матрицСкачать

Разбор доказательства свойства об определителе произведения матриц

Обратная матрицаСкачать

Обратная матрица

Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера.

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.Скачать

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.

2 13 Решение матричного уравнения AXB=CСкачать

2 13 Решение матричного уравнения AXB=C

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvy

Матричное уравнение. Пример 1Скачать

Матричное уравнение. Пример 1

Решение системы уравнений методом обратной матрицы - bezbotvyСкачать

Решение системы уравнений методом обратной матрицы - bezbotvy

Решить матричное уравнениеСкачать

Решить матричное уравнение

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.

Обратная матрица (2 способа нахождения)Скачать

Обратная матрица (2 способа нахождения)
Поделиться или сохранить к себе: