Решить матричное уравнение.
Записываем в матричном виде AX=B
Равенство AX=B обычно называют матричным уравнением, и если матрица А невырожденная, то можно найти решение уравнения AX=B с помощью обратной матрицы А -1
Пусть | А | 0. Умножая обе части AX=B на А -1 слева, получим А -1 (AX) = А -1 B ,
откуда A -1 (AX) = (A -1 A) X = EX = А -1 B
Последнее равенство даёт нам все решения матричного уравнения
det | А | = 4 (11) + 3 (4) + 18 (-3) = 44 + 12 — 54 = 56 — 54 = 2
Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А:
Видео:§28 Матричные уравненияСкачать
Матричные уравнения
Видео:Решение матричных уравненийСкачать
AX = B, где матрица A обратима
Поскольку умножение матриц не всегда коммутативно, умножаем слева обе части уравнения на$ A^$.
$A^cdot|Acdot X = B$
$A^cdot Acdot X = A^cdot B$
$I_cdot X = A^cdot B$
Решение уравнения имеет общий вид
$color<X =A^cdot B>$
Пример 50
Решить уравнение
$begin 1 & 3\ 2 & 5 endcdot X begin 3 & 5\ 2 & 1 end$
Убедимся, что первая матрица обратима.
$left|Aright|=5-6=-1neq 0$, следовательно, матрица обратима.
Умножаем слева на обратную ей матрицу.
$begin 1 & 3\ 2 & 5\ end^cdot begin 1 & 3\ 2 & 5 endcdot X= begin 1 & 3\ 2 & 5 end^cdot begin 3 & 5\ 2 & 1 end$
$I_cdot X = begin 1 & 3\ 2 & 5 end^cdot begin 3 & 5\ 2 & 1 end$
$begin 1 & 3\ 2 & 5 end^= begin -5 & 3\ 2 & -1 endrightarrow X= begin -5 & 3\ 2 & -1 endcdot begin 3 & 5\ 2 & 1 end= begin -9 & -22\ 4 & 9 end$
Видео:Лекция 8. Решение матричных уравненийСкачать
XA = B, где матрица A обратима
Поскольку умножение матриц не всегда коммутативно, умножаем справа обе части уравнения на$ A^$.
$Xcdot A = B |cdot A^$
$Xcdot Acdot A^ = Bcdot A^$
$X cdot I_ =Bcdot A^$
Решение уравнения имеет общий вид
$color<X =Bcdot A^>$
Пример 51
Решить уравнение
$X begin 1 & 3\ 2 & 5\ end= begin 3 & 5\ 2 & 1\ end$
Убедимся, что первая матрица обратима.
$left|Aright|=5-6=-1neq 0$, следовательно, матрица обратима.
Умножаем справа на обратную ей матрицу.
$X begin 1 & 3\ 2 & 5 endcdot begin 1 & 3\ 2 & 5 end^= begin 3 & 5\ 2 & 1 endcdot begin 1 & 3\ 2 & 5 end^$
$Xcdot I_= begin 3 & 5\ 2 & 1 endcdot begin 1 & 3\ 2 & 5 end^$
$begin 1 & 3\ 2 & 5 end^= begin -5 & 3\ 2 & -1 endrightarrow X= begin 3 & 5\ 2 & 1 end cdot begin -5 & 3\ 2 & -1 end= begin -5 & 4\ -8 & 5 end$
Видео:§29 Решение матричного уравненияСкачать
Решение матричных уравнений: теория и примеры
Видео:Система линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Матричный метод.Скачать
Решение матричных уравнений: как это делается
Матричные уравнения имеют прямую аналогию с простыми алгебраическими уравнениями, в которых присутствует операция умножения. Например,
где x — неизвестное.
А, поскольку мы уже умеем находить произведение матриц, то можем приступать к рассмотрению аналогичных уравнений с матрицами, в которых буквы — это матрицы.
Итак, матричным уравнением называется уравнение вида
где A и B — известные матрицы, X — неизвестная матрица, которую требуется найти.
Как решить матричное уравнение в первом случае? Для того, чтобы решить матричное уравнение вида A ⋅ X = B , обе его части следует умножить на обратную к A матрицу слева:
.
По определению обратной матрицы, произведение обратной матрицы на данную исходную матрицу равно единичной матрице: , поэтому
.
Так как E — единичная матрица, то E ⋅ X = X . В результате получим, что неизвестная матрица X равна произведению матрицы, обратной к матрице A , слева, на матрицу B :
.
Как решить матричное уравнение во втором случае? Если дано уравнение
то есть такое, в котором в произведении неизвестной матрицы X и известной матрицы A матрица A находится справа, то нужно действовать аналогично, но меняя направление умножения на матрицу, обратную матрице A , и умножать матрицу B на неё справа:
,
,
.
Как видим, очень важно, с какой стороны умножать на обратную матрицу, так как . Обратная к A матрица умножается на матрицу B с той стороны, с которой матрица A умножается на неизвестную матрицу X . То есть с той стороны, где в произведении с неизвестной матрицей находится матрица A .
Как решить матричное уравнение в третьем случае? Встречаются случаи, когда в левой части уравнения неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Тогда известную матрицу из правой части уравнения следует умножить слева на матрицу, обратную той, которая в упомянутом выше произведении трёх матриц была слева, и справа на матрицу, обратную той матрице, которая располагалась справа. Таким образом, решением матричного уравнения
.
Видео:Матричный метод решения систем уравненийСкачать
Решение матричных уравнений: примеры
Пример 1. Решить матричное уравнение
.
Решение. Данное уравнение имеет вид A ⋅ X = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
.
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Теперь у нас есть всё, чтобы найти матрицу, обратную матрице A :
.
Наконец, находим неизвестную матрицу:
Пример 2. Решить матричное уравнение
.
Пример 3. Решить матричное уравнение
.
Решение. Данное уравнение имеет вид X ⋅ A = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
.
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Находим матрицу, обратную матрице A :
.
Находим неизвестную матрицу:
До сих пор мы решали уравнения с матрицами второго порядка, а теперь настала очередь матриц третьего порядка.
Пример 4. Решить матричное уравнение
.
Решение. Это уравнение первого вида: A ⋅ X = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
Составим матрицу алгебраических дополнений:
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Находим матрицу, обратную матрице A , и делаем это легко, так как определитель матрицы A равен единице:
.
Находим неизвестную матрицу:
Пример 5. Решить матричное уравнение
.
Решение. Данное уравнение имеет вид X ⋅ A = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Находим матрицу, обратную матрице A :
.
Находим неизвестную матрицу:
Пример 6. Решить матричное уравнение
.
Решение. Данное уравнение имеет вид A ⋅ X ⋅ B = C , то есть неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Поэтому решение следует искать в виде . Найдём матрицу, обратную матрице A .
Сначала найдём определитель матрицы A :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы A :
.
Составим матрицу алгебраических дополнений:
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :
.
Находим матрицу, обратную матрице A :
.
Найдём матрицу, обратную матрице B .
Сначала найдём определитель матрицы B :
.
Найдём алгебраические дополнения матрицы B :
Составим матрицу алгебраических дополнений матрицы B :
.
Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей B :
.
Находим матрицу, обратную матрице B :
.
🌟 Видео
Матричное уравнениеСкачать
Матричные уравнения Полный разбор трех типов матричных уравненийСкачать
Обратная матрицаСкачать
Разбор доказательства свойства об определителе произведения матрицСкачать
Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.Скачать
Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать
2 13 Решение матричного уравнения AXB=CСкачать
Решить матричное уравнениеСкачать
Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать
Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать
Матричное уравнение. Пример 1Скачать
Решение системы уравнений методом обратной матрицы - bezbotvyСкачать
Обратная матрица (2 способа нахождения)Скачать