Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a - Про уравнения

Матричное уравнение xa b с невырожденной квадратной матрицей a

Решить матричное уравнение.

Записываем в матричном виде AX=B

Равенство AX=B обычно называют матричным уравнением, и если матрица А невырожденная, то можно найти решение уравнения AX=B с помощью обратной матрицы А -1

Пусть | А | 0. Умножая обе части AX=B на А -1 слева, получим А -1 (AX) = А -1 B ,

откуда A -1 (AX) = (A -1 A) X = EX = А -1 B

Последнее равенство даёт нам все решения матричного уравнения

det | А | = 4 (11) + 3 (4) + 18 (-3) = 44 + 12 — 54 = 56 — 54 = 2

Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

Содержание

Матричные уравнения
AX = B, где матрица A обратима
XA = B, где матрица A обратима
Решение матричных уравнений: теория и примеры
Решение матричных уравнений: как это делается
Решение матричных уравнений: примеры

Матричные уравнения

AX = B, где матрица A обратима

Поскольку умножение матриц не всегда коммутативно, умножаем слева обе части уравнения на$ A^$.

$A^cdot|Acdot X = B$

$A^cdot Acdot X = A^cdot B$

$I_cdot X = A^cdot B$

Решение уравнения имеет общий вид
$color<X =A^cdot B>$

Пример 50
Решить уравнение
$begin 1 & 3\ 2 & 5 endcdot X begin 3 & 5\ 2 & 1 end$

Убедимся, что первая матрица обратима.
$left|Aright|=5-6=-1neq 0$, следовательно, матрица обратима.

Умножаем слева на обратную ей матрицу.
$begin 1 & 3\ 2 & 5\ end^cdot begin 1 & 3\ 2 & 5 endcdot X= begin 1 & 3\ 2 & 5 end^cdot begin 3 & 5\ 2 & 1 end$

$I_cdot X = begin 1 & 3\ 2 & 5 end^cdot begin 3 & 5\ 2 & 1 end$

$begin 1 & 3\ 2 & 5 end^= begin -5 & 3\ 2 & -1 endrightarrow X= begin -5 & 3\ 2 & -1 endcdot begin 3 & 5\ 2 & 1 end= begin -9 & -22\ 4 & 9 end$

XA = B, где матрица A обратима

Поскольку умножение матриц не всегда коммутативно, умножаем справа обе части уравнения на$ A^$.

$Xcdot A = B |cdot A^$

$Xcdot Acdot A^ = Bcdot A^$

$X cdot I_ =Bcdot A^$

Решение уравнения имеет общий вид
$color<X =Bcdot A^>$

Пример 51
Решить уравнение
$X begin 1 & 3\ 2 & 5\ end= begin 3 & 5\ 2 & 1\ end$

Убедимся, что первая матрица обратима.
$left|Aright|=5-6=-1neq 0$, следовательно, матрица обратима.

Умножаем справа на обратную ей матрицу.
$X begin 1 & 3\ 2 & 5 endcdot begin 1 & 3\ 2 & 5 end^= begin 3 & 5\ 2 & 1 endcdot begin 1 & 3\ 2 & 5 end^$

$Xcdot I_= begin 3 & 5\ 2 & 1 endcdot begin 1 & 3\ 2 & 5 end^$

$begin 1 & 3\ 2 & 5 end^= begin -5 & 3\ 2 & -1 endrightarrow X= begin 3 & 5\ 2 & 1 end cdot begin -5 & 3\ 2 & -1 end= begin -5 & 4\ -8 & 5 end$

Решение матричных уравнений: теория и примеры

Решение матричных уравнений: как это делается

Матричные уравнения имеют прямую аналогию с простыми алгебраическими уравнениями, в которых присутствует операция умножения. Например,

где x — неизвестное.

А, поскольку мы уже умеем находить произведение матриц, то можем приступать к рассмотрению аналогичных уравнений с матрицами, в которых буквы — это матрицы.

Итак, матричным уравнением называется уравнение вида

где A и B — известные матрицы, X — неизвестная матрица, которую требуется найти.

Как решить матричное уравнение в первом случае? Для того, чтобы решить матричное уравнение вида A ⋅ X = B , обе его части следует умножить на обратную к A матрицу слева:

По определению обратной матрицы, произведение обратной матрицы на данную исходную матрицу равно единичной матрице: , поэтому

Так как E — единичная матрица, то E ⋅ X = X . В результате получим, что неизвестная матрица X равна произведению матрицы, обратной к матрице A , слева, на матрицу B :

Как решить матричное уравнение во втором случае? Если дано уравнение

то есть такое, в котором в произведении неизвестной матрицы X и известной матрицы A матрица A находится справа, то нужно действовать аналогично, но меняя направление умножения на матрицу, обратную матрице A , и умножать матрицу B на неё справа:

Как видим, очень важно, с какой стороны умножать на обратную матрицу, так как . Обратная к A матрица умножается на матрицу B с той стороны, с которой матрица A умножается на неизвестную матрицу X . То есть с той стороны, где в произведении с неизвестной матрицей находится матрица A .

Как решить матричное уравнение в третьем случае? Встречаются случаи, когда в левой части уравнения неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Тогда известную матрицу из правой части уравнения следует умножить слева на матрицу, обратную той, которая в упомянутом выше произведении трёх матриц была слева, и справа на матрицу, обратную той матрице, которая располагалась справа. Таким образом, решением матричного уравнения

Решение матричных уравнений: примеры

Пример 1. Решить матричное уравнение

Решение. Данное уравнение имеет вид A ⋅ X = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

Теперь у нас есть всё, чтобы найти матрицу, обратную матрице A :

Наконец, находим неизвестную матрицу:

Пример 2. Решить матричное уравнение

Пример 3. Решить матричное уравнение

Решение. Данное уравнение имеет вид X ⋅ A = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

Находим матрицу, обратную матрице A :

Находим неизвестную матрицу:

До сих пор мы решали уравнения с матрицами второго порядка, а теперь настала очередь матриц третьего порядка.

Пример 4. Решить матричное уравнение

Решение. Это уравнение первого вида: A ⋅ X = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

Находим матрицу, обратную матрице A , и делаем это легко, так как определитель матрицы A равен единице:

Находим неизвестную матрицу:

Пример 5. Решить матричное уравнение

Сначала найдём определитель матрицы A :

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

Находим матрицу, обратную матрице A :

Находим неизвестную матрицу:

Пример 6. Решить матричное уравнение

Решение. Данное уравнение имеет вид A ⋅ X ⋅ B = C , то есть неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Поэтому решение следует искать в виде . Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :