Материальные уравнения максвелла и их физический смысл

Все электромагнитные процессы макроскопической электродинамики подчиняются уравнениям Максвелла, сформулированным в 1873 г. в виде дифференциальных уравнений. Эти уравнения связывают воедино электрические и магнитные характеристики поля:

rot H = I_пр + D/ t;(5.9,а)

rot Е = — В/ t; (5.9,б)

div D = ; (5.9,в)

Физический смысл этих уравнений заключается в следующем.

Первое уравнение Максвелла(5.9,а) является обобщенным законом Ампера (закон полного тока) и говорит о том, что если в некоторой точке пространства существует переменное электрическое поле Е, создающее токи проводимости I_пр = σE и токи смещения I_см = iω _аE, то в окрестности этой точки возникает переменное вихревое магнитное поле rot Н, создаваемое этим токами. Электрическое поле и создаваемое им магнитное поле образуют правовинтовую систему.

Второе уравнение Максвелла (5.9,б) является обобщенным законом магнитной индукции Фарадея. Фарадей установил, что если замкнутый контур пронизывается переменным магнитным потоком Ф, то в контуре возникает электродвижущая сила (ЭДС) равная скорости изменения магнитного потока:

е = — Ф/ t, (5.10)

Знак «минус» в правой части означает, что возникающая в контуре ЭДС стремится воспрепятствовать изменению потока, пронизывающего контур.

Физический смысл второго уравнения Максвелла заключается в том, что всякое изменение магнитного поля во времени непрерывно вызывает независимо от параметров среды появление электрического поля.

Второе уравнение Максвелла связано с гармоническим колебанием соотношением:

rot Е = — В/ t = -iω _аH , (5.11)

т.е. оно утверждает, что если в некоторой точке пространства существует переменное магнитное поле, то в окрестностях этой точки возникает переменное вихревое электрическое поле. Магнитное поле и создаваемое им электрическое поле образуют левовинтовую систему.

Следует отметить, что электрическое поле может быть как вихревым, так и потенциальным. Источником потенциального электрического поля являются заряды (в случае электрических полей), которые находятся в тех точках пространства, где текут токи проводимости, представляющие собой движущиеся заряды.

Таким образом, гармоническое электрическое поле может быть вихревым, потенциальным или представлять суперпозицию (сумму) потенциального и вихревого полей, тогда как магнитное поле только вихревое.

Первое и второе уравнения Максвелла говорят о том, что между электрической и магнитной составляющими в переменном электромагнитном поле существует тесная взаимосвязь, которая выражается тем, что созданное сторонними источниками меняющееся во времени электромагнитное поле, может существовать вне этого источника за счет собственной энергии, перекачивающейся из энергии электрического поля в энергию магнитного поля и обратно.

Третье уравнение Максвелла(материальное уравнение 5.9,в) — это обобщенный закон Гаусса для случая переменных процессов, физически означает, что источником электрического поля являются электрические заряды, т.е. электрическая индукция D связана с плотностью электрических зарядов . Из выражения (5.9,в) следует, что дивергенция вектора D отлична от нуля в тех точках пространства, где есть свободные заряды, а линии вектора D имеют начало (исток) на положительных зарядах и конец (сток) на отрицательных зарядах.

Четвертое уравнениеМаксвелла (материальное уравнение 5.9,г) показывает, что в природе отсутствуют магнитные заряды, а линии вектора В непрерывны и всегда пронизывают любую замкнутую поверхность.

Таким образом, третье и четвертое уравнения Максвелла учитывают электрическую и магнитную характеристики среды. Действительно, в случае линейных изотропных сред можно записать:

D = _аE; B = _аH. (5.12)

Следует отметить, что к основным уравнениям электродинамики относят и закон Ома в дифференциальной форме (5.6), который выражает зависимость плотности тока I_пр в какой-либо точке проводящей сферы от напряженности электрического поля в этой точке.

Таким образом, мы рассмотрели основные уравнения электродинамики, каждое из которых описывает те или иные свойства электромагнитного поля. Однако, для полного анализа электродинамических процессов необходимо использовать полную систему уравнений Максвелла, содержащую основные уравнения Максвелла (5.9,а-г) и материальные уравнения (5.6) и (5.10), которая записывается в виде:

rot H = I_пр + D/ t =iωD + ωE + iω _аE;

rot Е = — В/ t = — i B;

div D = ; (5.13)

D = _аE; B = _аH. (5.14)

Поскольку уравнения (5.13) и (5.14) являются линейными дифференциальными уравнениями, можно утверждать, что электромагнитные поля удовлетворяют принципу суперпозиции.

Видео:Билеты №32, 33 "Уравнения Максвелла"Скачать

Уравнения Максвелла

Вы будете перенаправлены на Автор24

Видео:О чем говорят уравнения Максвелла? Видео 1/2Скачать

Значение уравнений Максвелла

Уравнения Дж. Максвелла создают основу для предложенной им теории электромагнитных явлений, которая объяснила все известные в то время эмпирические факты, некоторые эффекты предсказала. Главным выводом теории Максвелла стало положение о существовании электромагнитных волн, которые распространяются со скоростью света.

Уравнения, предложенные Максвеллом, в электромагнетизме играют роль подобную роли законов Ньютона в классической механике. Они явились обобщением экспериментальных законов и продолжением идей ученых (Кулона, Ампера, Фарадея и др.) изучавших электромагнетизм до Максвелла.

Сам Максвелл предложил двадцать уравнений в дифференциальной форме с двадцатью неизвестными величинами. В современном виде мы имеем систему уравнений Максвелла благодаря немецкому физику Г. Герцу и англичанину О. Хэвисайду. С помощью этих уравнений можно описать все электромагнитные явления.

Видео:ЧК_МИФ: 4.1.1.ДФ_1 Физический смысл уравнений МаксвеллаСкачать

Система уравнений Максвелла

Систему уравнений Максвелла составляют:

Выражения (1)-(4) называют полевыми уравнениями, они применимы для описания всех макроскопических электромагнитных явлений. Иногда уравнения системы Максвелла группируют в пары, первую пару составляют из второго и третьего уравнения, вторую пару — из первого и четвертого уравнений. При этом говорят, что в первую пару уравнений входят только основные характеристики поля ($overrightarrow и overrightarrow$), а во вторую пару — вспомогательные ($overrightarrow и overrightarrow$).

Каждое из векторных уравнений (1) и (2) эквивалентно трем скалярным уравнениям. Эти уравнения связывают компоненты векторов, которые находятся в левой и правой частях выражений. Так, в скалярном виде уравнение (1) представляется как:

Готовые работы на аналогичную тему

В скалярном виде уравнение (2) запишем как:

Третье уравнение из системы Максвелла в скалярном виде:

Четвертое уравнение в скалярной форме примет следующий вид:

Для того чтобы рассмотреть конкретную ситуацию, систему уравнений (1)-(4) дополняют следующими материальными уравнениями, которые учитывают электромагнитные свойства среды:

Необходимо отметить, что существует целый ряд явлений, в которых материальные уравнения существенно отличны от уравнений (5), например, если речь идет о нелинейных явлениях. В таких случаях получение материальных уравнений составляет отдельную научную задачу.

Видео:Джеймс Клерк Максвелл. Научные труды и вклад в наукуСкачать

Физический смысл уравнений Максвелла

Уравнение (1) системы указывает на то, что двумя возможными источниками магнитного поля являются токи проводимости ($overrightarrow$) и токи смещения ($frac<partial overrightarrow>$).

Уравнение (2) является законом электромагнитной индукции и отображает тот факт, что переменное магнитное поле — один из источников возникновения электрического поля.

Следующим источником электрического поля служат электрические заряды, что и отображает уравнение (4), которое является, по сути, законом Кулона.

Уравнение (3) означает, что линии магнитной индукции не имеют источников (они либо замкнуты, либо уходят в бесконечность), что приводит к выводу об отсутствии магнитных зарядов, которые создают магнитное поле.

Материальные уравнения (5) — это соотношения между векторами поля и токами. Диэлектрические свойства среды заключены в диэлектрической проницаемости ($varepsilon $). Магнитные свойства, которые описывает намагниченность, учтены в магнитной проницаемости ($mu $). Проводящие свойства среды сосредоточены в удельной проводимости ($sigma $).

Уравнения поля линейны и учитывают принцип суперпозиции.

Видео:Физика. Лекция 8. Уравнения Максвелла и электромагнитные волны.Скачать

Границы применимости уравнений Максвелла

Система уравнений Максвелла ограничена следующими условиями:

Материальные тела должны быть неподвижны в поле.

Постоянные $varepsilon , mu ,sigma $ могут зависеть от координат, но не должны зависеть от времени и векторов поля.

В поле не должно находиться постоянных магнитов и ферромагнитных тел.

Если существует необходимость учета движения среды, то уравнения системы Максвелла оставляют неизменными, а движение учитывается в материальных уравнениях, которые становятся зависимыми от скорости среды и существенно усложняются. Кроме прочего материальные уравнения перестают быть соотношениями между парами величин, как в (5). Например, плотность тока проводимости становится зависимой от индукции магнитного поля, а не только от напряженности электрического поля.

Магнитное поле постоянных магнитов, например, можно описать, используя систему Максвелла, если известна намагниченность. Но, если заданы токи, то в присутствии ферромагнетиков описать поле при помощи данных уравнений не получится.

Задание: Докажите, что из уравнений Максвелла следует закон сохранения заряда.

Решение:

В качестве основания для решения задачи используем из системы Максвелла уравнение:

Проведем операцию дивергирования в обеих частях выражения (1.1):

Для выражения (1.2) в соответствии с теоремой равенстве нулю дивергенции ротора имеем:

Рассмотрим второе слагаемое в правой части. Мы можем поменять порядок дифференцирования, так как время и пространственные координаты независимы, то есть записать:

В соответствии с системой Максвелла мы знаем, что источниками электрических полей служат заряды или:

Что позволяет нам записать уравнение (1.4) в виде:

Что дает нам закон сохранения заряда, который записан в виде:

Данное уравнение называют уравнением непрерывности тока, оно содержит в себе закон сохранения заряда, что совершенно очевидно, если выражение (1.8), записать в интегральной форме:

тогда если области замкнуты и изолированы получаем:

Что требовалось доказать.

Задание: Покажите, что уравнения $rotoverrightarrow=-frac<partial overrightarrow>$ и $divoverrightarrow=0$ , входящие в систему Максвелла не противоречат друг другу.

Решение:

За основу решения примем уравнение:

Возьмём дивергенцию от обеих частей уравнения:

В соответствии с теоремой равенстве нулю дивергенции ротора имеем:

Соответственно, получаем, что

Выражение $divoverrightarrow=const$ не противоречит тому, что $divoverrightarrow=0$.

Мы получили, что уравнения $rotoverrightarrow=-frac<partial overrightarrow>$ и $divoverrightarrow=0$ совместны, что требовалось показать.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 01 03 2021

Видео:3 14 Уравнения МаксвеллаСкачать

Уравнения Максвелла — формулы и физический смысл

Видео:Уравнения Максвелла 2021Скачать

Основная идея

Если в замкнутом контуре меняется магнитный поток, то по нему течёт электрический ток. В итоге возникает электродвижущая сила магнитной индукции. Происходит это из-за изменения магнитного поля. Предположим, имеется магнит, у которого поток с течением времени увеличивается. Если в поле поместить замкнутый проводник кольцевого типа, то по правилу Ленца в нём возникнет индукционный ток, противоположный магнитной силе через контур.

Ток — это направленное движение заряженных частиц. Сила, заставляющая их перемещаться, называется электрическим полем. Появляется она при изменении магнитного потока. Отсюда можно сделать вывод, что электрическое поле существует всегда там, где есть изменяющееся магнитное, при этом оно имеет замкнутую форму. Этот вид силы и называли вихревым полем. Когда вектор магнитной силы возрастает, то увеличивается и вихревое поле, а если убывает, то, соответственно, оно уменьшается.

Джеймс Клерк Максвелл предположил, что если меняющееся магнитное поле порождает электрическое, то этот процесс может быть и обратным. Его идея заключалась в том, что если имеется проводник с током, то вокруг него существует стационарное магнитное поле. На длине этого проводника он выбрал произвольные три точки равноудалённые от него на расстояние r.

В этих точках поле будет одинаковое. Максвелл предположил, что если проводник разорвать, то для того чтобы ток продолжал движение, нужно сохранить заряды. То есть фактически использовать конденсатор. По мнению Максвелла, тогда в точке разрыва поле будет такое же, как и вокруг проводника. Между обкладками возникнет электрическая сила, так как на них происходит сохранение (накопление) зарядов. Учитывая это, физик пришёл к выводу, что изменяющееся электрическое поле приводит к возникновению магнитного потока.

Так как на обкладках имеется заряд, то сила тока будет равняться I = dq / dt. Заряд можно связать с напряжением на обкладках конденсатора и электроёмкостью: q = C * U. Ёмкость же в вакууме определяется как E0 * S/ d, а напряжение — как E * d.

Подставив значения в формулу, Максвелл получил выражение: dq / dt = E0 * S * dE / dt. Так как ток между обкладками не течёт, а перенос происходит полем, физик предложил ввести понятие фиктивный ток смещения. Плотность этого тока можно найти по формуле: j = E0 * dE / dt. Это позволило упростить вычисления магнитной силы. Ток смещения и вихревое поле стали основой для создания системы уравнений.

Видео:Вывод уравнений МаксвеллаСкачать

Физическая суть

Электромагнитное поле представляет собой материю, с помощью которой заряженные элементарные частицы взаимодействуют между собой. В вакууме явление характеризуется напряжённостью E и магнитной индукцией B. Эти параметры определяют силы, воздействующие на подвижные и неподвижные заряды. Кроме них, значение электромагнитного поля определяется скалярным и векторным потенциалами и двумя дополнительными величинами: индукцией D и напряжённостью магнитных линий H.

Открытие в 1831 году Фарадеем закона электромагнитной индукции, устанавливающего зависимость между зарядом и намагниченностью у токоведущих тел, помогло Максвеллу сформулировать ряд уравнений, после названных его именем. Главное его исследование заключалось в исследовании тока смещения, равного по магнитному действию электрическому току.

Сформулировав свою систему, физик смог связать электрическое и магнитное поле с зарядом и током. Физический смысл уравнений Максвелла заключается в том, что электромагнитное поле рассматривалось им как самостоятельный объект, в котором передача энергии происходит колебанием от точки к точке с конечной скоростью. При этом в вакууме она определяется скоростью света.

С точки зрения математики, для описания процессов учёный использовал векторный анализ, выраженный через инвариантную форму, использующую кватернионы Гамильтона. Написанные им уравнения неохотно принимались учёным советом Лондонского Королевского общества. Это происходило из-за того, что они не были похожи ни на одно из описаний известных ранее.

Тем не менее система Максвелла получила признание и стала фундаментальной в области электродинамики. При этом её справедливость получила подтверждение не только в микромире, ни и в области квантовой физики.

Основным следствием открытия стало понятие о скорости распространения электромагнитных волн и создании теории света. По сути, эта система теории волн в науке об электромагнетизме играет роль сопоставимую с законами Ньютона в области механики или с теоремами в электродинамике.

Видео:Лекция №9. Уравнения МаксвеллаСкачать

Дифференциальная запись

Открытие в проводящих телах тока смещения позволило Максвеллу вывести четыре уравнения, на основе которых была создана теория электромагнитных явлений. Обычно в физике математическая запись процессов не зависит от системы единиц, но в термодинамике это не так. Всё дело в том, что при записи в различных системах изменяются коэффициенты (постоянные).

Например, в системе единиц, используемой в описании квантовой теории поля, скорость света и электромагнитная константа равна единице. Поэтому уравнения не будут иметь ни одной постоянной. Для записи используют две системы: СГС — симметричная гауссова, и СИ — Международная система единиц.

В этих двух стандартах система уравнений Максвелла может быть описана словесно и математически следующим образом:

1. В качестве источника электрической индукции выступает заряженная частица. В СГС: ∇ * D = 4*p* ρ; в СИ: ∇ * D = 4* ρ.
2. В электромагнитном поле магнитных зарядов нет. В обеих системах формула выглядит одинакового: ∇ * B = 0.
3. При изменении величины магнитной индукции возникает электрическое вихревое поле. В СГС: ∇ * E = — δ B / c * δ t; в СИ: ∇ * E = — δ B / δ t.
4. Вихревое магнитное поле появляется из-за изменений электрической индукции и тока. В СГС: ∇ * H = 4 pj / c + δ D / c * δ t; в СИ: ∇ * H = j + δ D / δ t.

Это классические четыре закона описывающие природу и условия возникновения электромагнитного поля. Первая гипотеза связывает напряжённость с индукцией и является выражением теоремы электромагнитной индукции. Вторая доказывает отсутствие объектов, генерирующих магнитное поле. Третья устанавливает зависимость между током смещения и проводимостью, создающейся в магнитном поле. Четвёртая объясняет, что источником вектора электрической индукции служит сторонний заряд.

Указанные уравнения представляют собой запись в дифференциальной форме. При этом каждое из них эквивалентно скалярным уравнениям. В этой форме они имеют следующий вид:

1. (δEy / δx) — (δEx / δy) = — δBx / δt;
2. (δBx / δx) — (δEy / δy) + (δBz / δz) = 0;
3. (δHy / δx) — (δHx / δy) = jz + δDx / δt;
4. (δDx / δx) — (δDy / δy) + (δDz / δz) = ρ.

Для того чтобы воспользоваться этими постулатами для расчёта полей, нужно уравнения дополнить граничными правилами объединяющим электрическую индукцию (D), плотность электрического тока (j), напряжённость (E). Эти положения имеют вид: D = e0*e*E; B = m0*m*H; j = δ*E. Совокупность этих соотношений позволяет сделать вывод об основе электродинамики сред, находящихся в спокойном состоянии.

Видео:Лекция №14 "Электричество и магнетизм" (Попов П.В.): Уравнения МаксвеллаСкачать

Интегральная форма

Запись уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной форме позволяет рассчитать электромагнитное поле в любой среде. Первые два уравнения, включающие интегралы, получаются путём преобразования дифференциальных форм по произвольной поверхности и применения теоремы Стокса, ограничивающей поверхность. Вторые же два путём интегрирования по произвольному объёму с дальнейшим их упрощением по теореме Остроградского — Гаусса, по ограниченной поверхности в замкнутом объёме.

Выглядят они следующим образом:

1. ∫ D * ds = 4 pQ. Это закон Гаусса устанавливающий, что поток электрической индукции сквозь ограниченную поверхность зависит от величины свободного заряда, существующего в объёме формирующимся этой поверхностью.
2. ∫ B * ds = 0. Теорема для магнитного поля сообщающая, что сила линий магнитной индукции через ограниченную поверхность равна нулю.
3. ∫ E * dl = — d / dt*c ∫ B * ds. Свойство Фарадея обозначающее, что поток магнитной индукции, проходя через замкнутую поверхность пропорционален вращению электрического поля в контуре ограничивающим поверхность.
4. ∫ H * dl = 4pI / c + (d / dt) ∫ D * ds. Правило циркуляции магнитного поля. Электрический ток свободных частиц и колебания электромагнитной индукции зависят от размера и движения магнитного потока, ограниченного контуром l.

В этих уравнениях буквой S обозначается замкнутое пространство двухмерной поверхности определяющей границы объёма V или контура l. При этом Q является электрическим зарядом, находящимся в замкнутом объёме площадью S и равным: Q = ∫p * dV, а I — электрическим током, протекающим сквозь S и определяющимся из уравнения: I = ∫j * ds.

Нужно отметить, что вектор потока по ограниченной поверхности считается направленным из объёма. Вращение же находится согласно правилу правого винта по незамкнутой площади. В уравнениях величины E, B, D и H являются равнозначными значениями, определяющимися в результате решения системы.

Видео:Уравнения Максвелла и соответствующие уравнения Волновой МоделиСкачать

Значение уравнений

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля объясняет все электромагнитные явления. Её применяют при полном анализе полей при известных распределениях токов и заряженных частиц. Часто уравнения называют материальными, подчёркивая индивидуальные свойства занимающей пространство среды: D = e * e0 * E, B = m * m0 * H, J = E .

Формулы физика подтверждают существование электромагнитных волн. Иначе говоря, предпологают возможность электрического поля излучать энергию вне зависимости от присутствия электрических зарядов и токов. Из всего многообразия применения уравнений можно выделить основные четыре:

1. Нахождение характеристик электрического и магнитного поля по известному распределению заряженных частиц и токов. То есть это теория электромагнитного поля (ЭМП) примирительная к любой системе зарядов и токов. Она обобщает электрические и магнитные явления.
2. Изучение макроскопических полей. Уравнения Максвелла применимы к макрозарядам и макротокам. Их можно использовать в среде, где расстояния от источника излучения до зафиксированной точки намного превышает периоды внутренних явлений.
3. Теоремы Максвелла раскрывают внутренний механизм процессов в среде, описываемых тремя фундаментальными характеристиками: ε, μ и σ.
4. Используя теорию, являющуюся близкодейственной, можно описать электрические и магнитные взаимодействия, возникающие в электромагнитном поле распространяющимся с ограниченной скоростью.

Система включает в себя все основные законы электрического и магнитного поля с учётом такого важного параметра, как электромагнитная индукция. Теоретическое исследование физика позволило утверждать, что свет представляет собой электромагнитные волны и существования токов смещения в магнитном поле. То есть изменение ЭМП без движения электрических зарядов. Благодаря этому стало возможным находить полный ток.

Максвеллом было найдено четыре важных закономерности, заключающиеся в том, что электрический заряд образует электрическое поле, колебания магнитных волн порождает электрические вихри, магнитных зарядов быть не может, изменение индукции приводит к появлению вихревого магнитного потока. Эти теоретические суждения после были подтверждены экспериментально и позволили получить картину распространения свободной энергии электромагнитной волны в пространстве.

💥 Видео

Физические ошибки. Уравнения МаксвеллаСкачать

ЧК_МИФ /ЛИКБЕЗ/ 3_3_5_1 СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА. ПРИМЕРЫ (минимум теории)Скачать

60. Уравнения МаксвеллаСкачать

Урок 383. Вихревое электрическое поле. Ток смещенияСкачать

Максвелл и уравнения электромагнетизма (рассказывает Андрейс Цеберс)Скачать

Уравнения Максвелла Лекция 10-1Скачать

Уравнения Максвелла (электромагнетизм) 1: почему в уравнениях Максвелла нет никаких сил?Скачать

Электромагнитные волны и уравнения Максвелла — Эмиль АхмедовСкачать